07 Прямые на плоскости. Различные виды уравнения прямой на плоскости.

1. Напишем уравнение в виде (по сути, с точностью до перенесения всех членов в одну сторону () это и есть так называемое общее уравнение прямой).
Как мы помним, угловой коэффициент в уравнении - это и есть коэффициент т.е. в данном случае мы сразу можем сказать, что (геометрический смысл углового коэффициента напомним, состоит в том, что где - это угол наклона нашей прямой, т.е. угол между нашей прямой и положительным направлением оси ).
Далее, раз наша прямая отсекает на оси отрезок, равный то это попросту означает, что если мы рассматриваем наше уравнение как задающее функцию
Следовательно, раз и в то же время то Итого получаем, что искомое уравнение прямой имеет вид Если мы хотим записать его в общем виде, то у нас получится:

2. Общее уравнение прямой по определению всегда имеет вид Найдем коэффициенты и исходя из условий задачи.
Во-первых, т.к. нам дано, что прямая проходит через точку то это означает, что при подстановке координат этой точки в её уравнение оно обращается в равенство.
Таким образом, мы получаем первое уравнение на коэффициенты:
С другой стороны, раз нам дано, что наша прямая параллельна оси то это непременно означает, что (т.к. если прямая параллельна то это значит, что если точка принадлежит этой прямой, то и для любого точка тоже принадлежит прямой. Такое может быть только если коэффициент перед в уравнении равен т.е. ).
Следовательно, от условия остаётся только что Как мы помним, общее уравнение прямой определено с точностью до умножения всех коэффициентов на одно и то же ненулевое число. Так что можно просто взять Получается, что искомое уравнение имеет вид:

3. Аналогично пункту 2), из условия того, что точка лежит на прямой, сразу получаем (при помощи подстановки этой точки в общее уравнение прямой ) условие на коэффициенты:
Кроме того, нам дано, что наша прямая параллельна вектору Но тангенс угла наклона вектора равен (см. рисунок ниже:)

Следовательно, если бы мы хотели написать уравнение нашей прямой в виде то мы бы сразу сказали, что
Но, поскольку нас интересует общее уравнение прямой то в нём коэффициенты связаны с из уравнения следующим образом: (убедитесь сами!).
Значит, мы получаем ещё одно условие: Итого, получаем такую вот систему условий:

Учитывая, вновь, что общее уравнение прямой определено с точностью до умножения на ненулевое число, давайте положим Тогда имеем: Эта система имеет единственное решение Следовательно, в данном случае общее уравнение нашей прямой будет иметь вид:
Заметьте, что если бы мы взяли другое то и и тоже получились бы другими, но уравнение было бы в конце концов таким же с точностью до умножения всех его коэффициентов на скаляр, то есть задавало бы ту же самую прямую, что и наше

4. То, что наша прямая проходит через точки и сразу даёт нам такую систему уравнений на коэффициенты:

Опять же таки, давайте возьмём Тогда получим систему:

Она имеет единственное решение Таким образом, искомое уравнение прямой имеет вид: или, домножив его на получим чуть более красивый вид:
Контрольный вопрос: в выборе у нас уже который раз наблюдается некоторый произвол. Вопрос: допустимо ли нам брать вообще совершенно любое (да, мы брали каждый раз но могли бы взять и или )?

5. Из того условия, что наша прямая проходит через точку сразу же получаем условие на коэффициенты:
В то же время, нам дано, что наша прямая параллельна прямой, заданной уравнением Это то же самое, что быть параллельной прямой, заданной уравнением То есть, точно по той же логике, что и в пункте 3), мы получаем, что отношение
Таким образом, у нас получается следующая система уравнений:

Если мы вновь возьмём в качестве то система будет иметь единственное решение
Таким образом, получаем, что общее уравнение нашей прямой имеет вид:

6. Из того условия, что наша прямая проходит через точку сразу же получаем условие на коэффициенты:
А раз наша прямая перпендикулярна прямой

то есть прямой с направляющим вектором то направляющий вектор нашей прямой (обозначим его за ) должен иметь координаты такие, чтобы т.е.
Конечно, в выборе есть произвол. Возьмём, например, То есть направляющий вектор нашей прямой имеет координаты Следовательно, тангенс угла наклона нашей прямой равен То есть, как и в предыдущем пункте, мы имеем т.е.
Таким образом, мы получаем систему уравнений:

Положим и у системы будет единственное решение
Таким образом, искомое уравнение нашей прямой имеет вид Или, домножив на для красоты, получим такое общее уравнение прямой:

Чтобы написать параметрическое уравнение прямой, достаточно знать, через какую точку она проходит, и какой её направляющий вектор Тогда её параметрическое уравнение будет иметь вид:

Из общего уравнения очевидно, что прямая проходит через точку Её и возьмём в качестве А направляющий вектор найдём, взяв какую-нибудь другую точку, лежащую на прямой. Например, пусть это будет Тогда направляющий вектор прямой будет разностью этих точек:
Таким образом, получаем параметрическое задание нашей прямой в виде:

Чтобы узнать, какие отрезки наша прямая отсекает на координатных осях, достаточно найти лишь координаты её пересечения с осями и
С осью наша прямая пересекается при (это условие того, что ), соответственно при Значит, от оси наша прямая отсекает отрезок длины
Аналогично, с осью наша прямая пересекается при (это условие того, что ). Соответственно при Значит, от оси наша прямая отсекает отрезок длины

Исходя из параметрического задания, мы заключаем, что наша прямая проходит через точку и параллельна вектору Откуда мы заключаем, что тангенс угла наклона этой прямой равен То есть, мы получаем условие Получаем следующую систему уравнений ( при этом традиционно уже принимаем равным ):

Эта система имеет единственное решение
Таким образом, искомое общее уравнение прямой имеет вид: Домножим на и получим:

Из вершины проведём медиану и заодно нарисуем чертёж:

Ясно, что для того чтобы написать общее уравнение прямой, содержащей медиану достаточно знать две точки, через которые она проходит. Первая точка нам уже дана и так - это точка
Найдём координаты точки

Коль скоро - медиана, то есть находится посередине отрезка то

Значит, имеет координаты
Таким образом, мы получаем систему уравнений на коэффициенты в уравнении нашей искомой прямой:

Взяв как обычно получим систему

которая имеет единственное решение
Таким образом, искомое уравнение прямой имеет вид Домножая для красоты на имеем:

Для удобства для начала приведём уравнения наших прямых к единообразному виду. Пускай это будет параметрическое задание. Вторая прямая и так задана параметрически. А вот чтобы задать параметрически первую прямую, нужно, во-первых, найти какую-нибудь точку через которую она проходит. Таких точек, разумеется, очень много, возьмём к примеру с координатами

Направляющий вектор прямой можно найти, например, взяв вектор, ортогональный её нормальному вектору Например, в качестве направляющего вектора всегда можно взять вектор

Таким образом, имеем параметрическое уравнение первой прямой:

Приступим теперь к решению трёх пунктов нашей задачи:

a) Чтобы эти прямые пересекались, необходимо и достаточно, чтобы их направляющие вектора не были коллинеарны.
Направляющий вектор первой прямой имеет координаты В свою очередь, направляющий вектор второй прямой, как легко видеть из её параметрического задания, имеет координаты
Условие их неколлинераности состоит в том, чтобы не они не были пропорциональны, то есть, чтобы отношение их первых координат не было равно отношению их вторых координат.
Записывая это условие формулой, получим, что для неколлинераности направляющих векторов наших двух прямых необходимо и достаточно, чтобы Или, что то же самое, т.е. или
b) Наоборот, чтобы наши прямые были параллельны, нужно, конечно, чтобы их направляющие векторы были коллинеарны. Совершенно аналогичные рассуждения приводят нас к условию вида
Но только надо позаботиться о том, чтобы наши прямые, как это требуется по условию. были именно параллельны, нужно, чтобы эти две прямые не совпали случайно в одну прямую (разумеется, при условии прямые наши могут совпасть, ведь у совпадающих прямых направляющие векторы безусловно коллинеарны).
Чтобы наши прямые не совпали, потребуем, например, чтобы первая прямая не проходила через точку через которую также проходит вторая прямая. Это условие, очевидно, записывается в виде
Таким образом, ответом в пункте b) будет уже целая система условий:
c) Тут, понятное дело, то же самое, что в пункте b), но в конце мы, наоборот, потребуем, чтобы первая прямая проходила через точку через которую также проходит вторая прямая. Таким образом, получаем очень похожую на пункт b), отличающуюся лишь знаком второго уравнения, систему условий:

Нарисуем картинку:

Где нарисована красным, - синим, - зелёным

Пусть угол между и равен ,
Пусть угол между и равен ,
Пусть угол между и равен ,

Тогда, поскольку прямые заданы их общими уравнениями, мы сразу можем вычислить, что

Аналогично можно вычислить
Аналогично,

Однако мы видим, что углы и - острые, а угол - тупой, поэтому имеем:

По формуле расстояния от точки до прямой имеем:

Давайте искать уравнение искомой прямой в виде . Поскольку эта прямая содержит вершину то сразу же имеем условие .

Далее, пусть - точка пересечения медианы со стороной . Тогда, по формулам деления отрезка в данном отношении, координаты равны полусумме соответствующий координат и . То есть .

Значит, тоже лежит на искомой прямой.

Получаем систему линейных уравнений на и :

Решением которой служит пара . Значит, уравнение искомой прямой есть . То есть, переписывая в чуть более красивом виде: