Тема 6. Решение уравнений

6.08 Тригонометрические уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2227

Решите уравнение $siny = 0.$ В ответе укажите целый корень уравнения.

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно серии корней

y = πn, n∈ ℤ

Заметим, что единственный целый корень из этой серии получается при $n = 0$ и это $y = 0.$ Все остальные корни будут вида «целое число умножить на $π$ », что является иррациональным числом.

Ответ: 0

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2228

Решите уравнение $sinα = 1.$

В ответе укажите наименьший положительный корень уравнения, деленный на $π.$

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно серии корней

π α = 2-+2πn, n ∈ℤ

Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство:

π-+2πn > 0 ⇔ n> − 1 2 4

Наименьшее подходящее целое $n$ — это $n= 0,$ при нем получается $α= π. 2$

Следовательно, в ответ пойдет

π 1 2-:π = 2 = 0,5

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2229

Решите уравнение $cosx= 1. 2$

В ответе укажите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней.

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно двум сериям корней

π- π- x1 = 3 + 2πn, x2 = − 3 + 2πm, n,m ∈ℤ

Отберем корни двумя способами.

Способ 1.

Найдем положительные корни уравнения, решив неравенства

π 1 3-+ 2πn> 0 ⇔ n > −6 π 1 − 3 + 2πm > 0 ⇔ m > 6

Наименьшее подходящее целое $n$ — это $n= 0,$ при нем получается $π- x = 3.$

Наименьшее подходящее целое $m$ — это $m = 1,$ при нем получается $x = 53π.$

При этом имеем $π- 5π 3 < 3 .$

Аналогично найдем наибольший отрицательный корень, он получается из второй серии корней при $m = 0:$ $π- x= − 3.$

Способ 2.

Выпишем корни при некоторых подряд идущих значениях $n$ и $m.$ Тогда имеем:

n= −1 ⇒ x= − 5π- 3 n= 0 ⇒ x = π- 3 n= 1 ⇒ x = 7π 3 m = 0 ⇒ x= − π- 3 m = 1 ⇒ x= 5π 3 m = 2 ⇒ x= 11π 3

Отсюда видим, что наименьший положительный и наибольший отрицательный корни равны соотвественно $π- 3$ и $− π-. 3$

На этом отбор корней завершен. Тогда сумма наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней равна

π ( π) -3 + − 3-= 0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2233

Решите уравнение $√- sinx = -2. 2$ В ответе укажите деленный на $π$ наименьший положительный корень, принадлежащий первой четверти.

Показать ответ и решение

Решениями уравнения являются две серии:

π- 3π x1 = 4 +2πk, x2 = 4 +2πk, k ∈ ℤ

$PIC$

Видим, что в первой четверти лежит только серия

x1 = π-+ 2πk 4

Отберем нужный корень двумя способами.

Способ 1.

Найдем наименьший положительный корень, решив неравенство

π-+ 2πk > 0 ⇔ k > − 1 4 8

Тогда наименьшее целое $k = 0,$ при этом получаем корень $x = π. 4$

Способ 2.

Выпишем корни при некоторых подряд идущих значениях $k.$ Тогда имеем:

k = −1 ⇒ x= − 7π 4 k = 0 ⇒ x = π- 4 k = 1 ⇒ x = 9π 4

Отсюда видим, что наименьший положительный корень равен $π x = 4.$

На этом отбор завершен. Следовательно, в ответ запишем число

π-:π = 1 = 0,25 4 4

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2756

Решите уравнение $cosx= −1.$

В ответе укажите сумму наименьших трех положительных корней уравнения, деленную на $π.$

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно серии корней

x = −π +2πn, n∈ ℤ

Отберем нужные корни двумя способами.

Способ 1.

Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство

1 − π+ 2πn> 0 ⇔ n > 2

Значит, первые три положительных корня получаются при $n= 1; 2; 3$ и это $x = π; 3π; 5π.$

Способ 2.

Выпишем корни при некоторых подряд идущих значениях $n.$ Тогда имеем:

n =0 ⇒ x= −π n =1 ⇒ x= π n =2 ⇒ x= 3π n =3 ⇒ x= 5π n =4 ⇒ x= 7π

Отсюда видим, что три наименьших положительных корня равны $x = π; 3π; 5π.$

На этом отбор корней завершен. Следовательно, сумма трех наименьших положительных корней, деленная на $π,$ равна

(π +3π + 5π ):π = 9π :π = 9

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#135

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.

( 4π ) √3 cos --x = --- 3 2

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $cosx = a$ имеет вид: $x = ±arccosa +2πn, n ∈ ℤ,$ откуда для исходного уравнения получаем

4π π -3-x = ± 6-+ 2πn, n ∈ ℤ,

что равносильно $x = ± 1+ 1,5n, n ∈ ℤ 8$ – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный $x = − 1= − 0,125 8$ при $n = 0.$

Ответ: -0,125

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#136

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его не отрицательных корней.

(π ) ( 0,25π) sin -3x = sin --3--

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $sin x = a$ имеет вид: $x1 = arcsin a+ 2πn, x2 = π − arcsina+ 2πn, n ∈ ℤ,$ откуда для исходного уравнения получаем

π 0,25π π 0,25π 3x1 = --3--+ 2πn, n ∈ ℤ, 3x2 = π −--3-- +2πn, n ∈ ℤ,

что равносильно $x1 = 0,25 + 6n, n ∈ ℤ,$ $x2 = 2,75+ 6n, n ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший не отрицательный $x = 0,25.$

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#137

( π ) (8π ) cos 7x = cos -7-

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $cosx = a$ имеет вид: $x = ±arccosa+ 2πn, n ∈ ℤ.$ Так как

( ( 8π)) ( ( 8π ) ) ( ( 6π)) ( ( 6π)) 6π arccos cos 7-- = arccos cos 7-− 2π = arccos cos − 7-- = arccos cos 7-- = 7-,

то для исходного уравнения получаем

π-x = ± 6π-+ 2πn, n ∈ ℤ, 7 7

что равносильно $x = ±6 + 14n, n ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный $x = − 6$ при $n = 0.$

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#138

Найдите корень уравнения $( ) tg πx = 1. 2$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $π2x ⁄= π2 + πk, k ∈ℤ.$ Решим на ОДЗ.

Решение уравнения $tgx = a$ имеет вид

x= arctga +πn, n∈ ℤ.

Отсюда для исходного уравнения получаем

πx = π-+πn, n∈ ℤ. 2 4

Это равносильно $x = 0,5+ 2n, n ∈ℤ$ — подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный $x= −1,5$ при $n= − 1.$

Ответ: -1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#139

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

(π- ) √ - tg 6x = 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $π π 6x ⁄= 2 + πk, k ∈ ℤ.$ Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $tgx = a$ имеет вид: $x = arctg a+ πn, n ∈ ℤ,$ откуда для исходного уравнения получаем

π- π- 6x = 3 + πn, n ∈ ℤ,

что равносильно $x = 2+ 6n,n ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный $x = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#140

Найдите корень уравнения $ctg(2πx)= 1.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $2πx⁄= πk,$ $k ∈ ℤ.$ Решим уравнение на ОДЗ.

Решение уравнения $ctgx =a$ имеет вид

x= arcctga+ πn,n∈ ℤ.

Отсюда для исходного уравнения получаем

2πx= π-+ πn,n∈ ℤ. 4

Это равносильно $x = 0,125+ 0,5n,n∈ ℤ$ — подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный $x = 0,125.$

Ответ: 0,125

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#141

(π- ) ( π) ctg 4x = ctg 8

Показать ответ и решение

ОДЗ: $π 4x ⁄= πk,k ∈ ℤ.$ Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $ctgx = a$ имеет вид: $x = arcctga + πn, n ∈ ℤ,$ откуда для исходного уравнения получаем

π- π- 4 x = 8 + πn,n ∈ ℤ,

что равносильно $x = 0,5+ 4n,n ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный $x = 0,5.$

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#142

(2π ) ( 5π) ctg -9-x = ctg -9-

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2π 9 x ⁄= πk, k ∈ ℤ$ . Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $ctg x = a$ имеет вид: $x = arcctga + πn, n ∈ ℤ,$ тогда для исходного уравнения получаем

2π 5π -9-x = 9-+ πn,n ∈ ℤ,

что равносильно $x = 2,5+ 4,5n, n ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный $x = 2,5.$

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#144

( ( 1 ) ) 1 cos π 12x + 5 = 2

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $cosx = a$ имеет вид: $x = ±arccosa +2πn, n ∈ ℤ,$ откуда для исходного уравнения получаем

( 1 ) π ( 1 ) 1 π 12x + 5 = ±3-+ 2πn, n ∈ ℤ, ⇔ 12x + 5 = ±3 + 2n, n ∈ ℤ,

что равносильно $x = − 60 ± 4+ 24n, n ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ и среди них наибольший отрицательный $x = − 8$ при $n = 2.$

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#145

Найдите корень уравнения $( ( 1 )) 1 sin π 2 − 3x = 2.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его не отрицательных корней.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $sinx =a$ имеет вид: $x1 = arcsina+ 2πn, x2 = π− arcsin a+ 2πn, n ∈ℤ,$ откуда для исходного уравнения получаем

( 1 ) π ( 1 ) π π 2− 3x1 = 6 + 2πn, n ∈ ℤ, π 2− 3x2 = π− 6-+ 2πn, n ∈ℤ,

что равносильно

1 1 1 1 2− 3 x1 = 6 + 2n, n ∈ ℤ, 2 − 3x2 = 1− 6 +2n, n∈ ℤ,

что равносильно

x1 = 11 − 6n, n∈ ℤ, x2 = 7− 6n, n∈ ℤ 2 2

– подходят по ОДЗ. Наименьший не отрицательный корень исходного уравнения $x= 3,5.$

Ответ: 3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#705

Решите уравнение. В ответ запишите сумму корней, принадлежащих отрезку $[ π-] 0;2 ,$ деленную на $π.$

√3- sin 4x− --- = 0 2

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $4x = y.$ Тогда уравнение принимает вид простейшего уравнения:

√ - ⌊ π- --3 ⌈y = 3 + 2πn, n ∈ ℤ sin y = 2 ⇒ y = π− π+ 2πk, k ∈ ℤ 3

Сделаем обратную замену:

⌊ π- ⌊ π- π- |4x = 3 + 2πn, n ∈ ℤ ⌈x1 = 12 + 2 n, n ∈ ℤ ⌈ 2π- ⇒ x = π+ πk, k ∈ ℤ 4x = 3 + 2πk, k ∈ ℤ 2 6 2

Заметим, что из первой серии корней $π- π x1 = 12 + 2n, n ∈ ℤ$ в промежуток $[ π] 0;2$ попадает только корень $π- x = 12$ при $n = 0.$

Из второй серии корней $π π x2 = 6 + 2 k, k ∈ ℤ$ в промежуток $[ π] 0;2$ попадает только корень $π x = 6$ при $k = 0.$

Сумма этих корней равна

π- π- π- 12 + 6 = 4

Следовательно, в ответ пойдет $π4 ÷π = 14 = 0,25$ .

Ответ: 0,25

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#706

Решите уравнение. В ответе укажите произведение корней, входящих в промежуток $( π-π-) − 2;2 ,$ деленное на $π2.$

( π ) √ - 2cos 4 − 3x = 2

Показать ответ и решение

Т.к. косинус – четная функция, то $cos(− x) = cosx,$ следовательно, $(π ) ( π) cos 4 − 3x = cos 3x− 4 .$

Сделаем замену: $π 3x − 4-= y.$ Тогда уравнение принимает вид простейшего уравнения:

⌊ π √2 y = 4-+ 2πk, k ∈ ℤ cosy =-2- ⇔ ⌈ π- y = − 4 + 2πn, n ∈ ℤ

Сделаем обратную замену:

⌊ π π ⌊ ⌊ π 2π 3x − --= --+ 2πk, k ∈ ℤ 3x = π-+ 2πk, k ∈ ℤ x1 = --+ --k, k ∈ ℤ ⌈ 4π 4 π ⇒ ⌈ 2 ⇒ |⌈ 62π 3 3x − 4-= − 4-+2πn, n ∈ ℤ 3x = 2πn, n ∈ ℤ x2 = --n, n ∈ ℤ 3

Из первой серии корней $x1 = π6 + 2π3 k, k ∈ ℤ$ в промежуток $(− π2 ; π2)$ попадает только корень $π6$ при $k = 0.$

Из второй серии корней $x2 = 2π3 n, n ∈ ℤ$ в промежуток $(− π2; π2)$ попадает только корень $0$ при $n = 0.$

Следовательно, произведение этих корней равно $π6 ⋅0 = 0.$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1481

(π ) 1 sin 9-x = 2

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

π- π- π- π- 9 x1 = 6 + 2πn, n ∈ ℤ, 9x2 = π − 6 + 2πn, n ∈ ℤ,

что равносильно $x1 = 1,5+ 18n, n ∈ ℤ,$ $x2 = 7,5+ 18n, n ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный $x = 1,5.$

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1482

( π ) √3 sin -x = −--- 3 2

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

π- π- π- ( π) 3x1 = − 3 + 2πn, n ∈ ℤ, 3 x2 = π − − 3 +2πn, n ∈ ℤ,

что равносильно $x1 = − 1 + 6n, n ∈ ℤ,$ $x2 = 4+ 6n, n ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный $x = − 1.$

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1483

Найдите корень уравнения.Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.

( π ) (2π ) cos 5x = cos -5-

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения $cosx = a$ имеет вид: $x = ±arccosa +2πn, n ∈ ℤ,$ откуда для исходного уравнения получаем

π 2π 5x = ±-5-+ 2πn,n ∈ ℤ,

что равносильно $x = ±2 + 10n,n ∈ ℤ$ – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный $x = − 2$ при $n = 0.$

Ответ: -2

Предыдущий раздел

Следующий раздел