Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Смешанные уравнения и неравенства (тригонометрия, логарифмы, степени, модули, корни)

Тема АЛГЕБРА

Смешанные уравнения и неравенства (тригонометрия, логарифмы, степени, модули, корни)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76654

Докажите, что для любого $x∈ [0;2]$ верно

x ∘ ------- 2 +1− 10,5x +4 ≤0.

Источники: ЮМШ-23/24, 11 класс, 1 отборочный тур (см. yumsh.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Немного преобразуем неравенство так, чтобы нам приходилось сравнивать показательную функцию с функцией с корнем. Как они выглядит на графике? Что у них общего и чем они различаются?

Подсказка 2

Одна из них — выпуклая, другая — вогнутая. Ка кто можно использовать, сравнивая значения в некоторых точках? Какие точки стоит рассмотреть, чтобы применить эти свойства?

Подсказка 3

Рассмотрите точки, в которых графики пересекаются.

Показать доказательство

Решение 1.

Перепишем неравенство, данное в условии:

x ∘------- 2 ≤ 10,5x+ 4− 1.

Посмотрим на график степенной функции. Если соединить две точки, принадлежащие графику, отрезок их соединяющий лежит выше графика.

С графиком функции $y =√10,5x-$ наоборот: если соединить две точки, принадлежащие графику, отрезок их соединяющий лежит ниже графика. График функции $√------- 10,5x+ 4− 1$ это сдвинутый по осям абсцисс и ординат график функции $√---- y = 10,5x.$ Значит, и для графика функции $√ ------- 10,5x+ 4− 1$ верно: если соединить две точки, принадлежащие графику, отрезок их соединяющий лежит ниже графика.

Подставим значения $x =0, и x= 2$ в левую и правую части неравенства. Получаем, что графики функций $x √------- 2 и 10,5x+ 4− 1$ проходят через точки $(0;1) и (2;4).$ Тогда все значения функции $x 2$ лежат ниже отрезка, соединяющего точки $(0;1) и (2;4),$ а все значения $√------- 10,5x+ 4− 1$ выше.

То есть в каждой точке отрезка $[0;2]$ все значения функции $x 2$ не меньше чем значения $√ ------- 10,5x +4− 1.$

∘------- 2x ≤ 10,5x +4− 1

x ∘ ------- 2 +1− 10,5x +4 ≤0.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение 2.

Обозначим

------- f(x)= 2x +1− ∘ 10,5x+4.

Докажем, что $f(x)≤ 0$ на всём отрезке $[0;2].$

Производная $f(x)$ на отрезке $[0;2]$

f′(x)= ln(2)⋅2x− -√-10,5--- 2 10,5x+ 4

Приравняем $f′(x)$ к $0$ :

ln(2)⋅2x− -√-21----= 0 4 10,5x+ 4

x 21 ln(2)⋅2 = 4√10,5x-+4

x∘------- --21- 2 10,5x+ 4= 4ln(2)

Функции $√ ------- 2x и 10,5x+ 4$ – возрастающие на отрезке $[0;2].$ Тогда $√------- 2x 10,5x+ 4$ тоже возрастающая. Значит, производная имеет не более одного корня на отрезке $[0;2].$ То есть $f(x)$ имеет не более одной точки экстремума на отрезке $[0;2].$

На концах $f(0)= f(2)= 0.$

Тогда если на отрезке $[0;2]$ нет точек экстремума и монотонность не меняется, то $f(x)=0$ на всем отрезке. Если точка экстремума лежит на отрезке $[0;2],$ то возможны два варианта:

1. Это точка минимума. Тогда функция убывает от 0 до точки минимума, а затем возрастает до 2.

2. Это точка максимума. Тогда функция возрастает от 0 до точки максимума, а затем убывает до 2.

Отметим, что $f(1)<0,$ то есть

f(1)= 21+ 1− ∘10,5⋅1+-4= 3− ∘14,5 <0

Значит, возможен только первый вариант. Тогда $f(x)≤ 0$ на всём отрезке $[0;2].$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#83306

Решить уравнение

x x 4cosπx =[lg(100 ⋅3 )]− [lg[3]]

Здесь $[a]$ – целая часть числа $a$ – наибольшее целое число, не превосходящее $a$ .

Источники: Росатом - 2024, вариант регионов, 11.2 (по мотивам ММО - 2020, 11.2 второго дня)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу, как мы видим логарифмы, надо записывать ОДЗ. ОДЗ здесь будет x >= 0. Дальше, давайте сделаем тождественные преобразования. У нас выходит, что 4cos(pi * x) - 2 = [lg(3^x)] - [lg[3^x]]. Попробуйте посмотреть чему вообще может равняться правая часть. Как нам оценить 3^x (по сути из этой оценки и вытекает значение правой части)?

Подсказка 2

Для любого x можно найти такое k, что 10^(k + 1) > 3^x >= 10^k, k - целое. При этом эта оценка работает и на [3^x] с тем же k. Значит, правая часть всегда 0. Что теперь остаётся сделать?

Подсказка 3

Верно, решить уравнение 4cos(pi * x) = 2 с учетом ОДЗ. После понятных преобразований, нужно получить две серии решений, каждая из которых зависит от периода, и понять для каких периодов x >= 0.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

x x [3 ]≥1 =⇒ 3 ≥ 1 =⇒ x ≥0

Сделаем преобразования:

x x 4cosπx = [lg(100 ⋅3 )]− [lg[3 ]]

4cosπx= 2+ [lg(3x)]− [lg[3x]]

Докажем, что $[lg(3x)]− [lg[3x]]= 0.$ Пусть $[lg(3x)]= k,$ тогда $10k+1 > 3x ≥ 10k.$ Если взять целую часть, то получим $10k+1 > [3x]≥10k.$ То есть "перескочить"через целое невозможно, то есть в действительности $[lg(3x)]− [lg[3x]]= 0.$

Тогда получаем

4cosπx= 2 =⇒ cosπx= 1 2

⌊ ⌊ πx = π+ 2πk | x= 1 +2k ||⌈ 3 ⇐⇒ || 3 πx =− π+ 2πn ⌈ x= − 1+ 2n 3 3

С учетом ОДЗ получаем

⌊ x= 1 +2k, k ∈ℤ, k ≥0, || 3 |⌈ 1 x= − 3 + 2n, n∈ ℤ, n≥ 1

Ответ:

$1 +2k, k ∈ℤ, k≥ 0, 3$ $− 1+ 2n, n∈ ℤ, n≥ 1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#85307

Решите неравенство

∘ ---||----||--- 2cosx − |x|+ x2+||c1osx||− 1 ≤ 12

Показать ответ и решение

Выпишем сначала ограничение $cosx⁄= 0$ . Заметим, что $--1-- ≥1 |cosx|$ , поэтому подкоренное выражение неотрицательно. Оценим корень:

∘ ------------ √-- x2+ |co1sx| − 1≥ x2 = |x|

Поэтому

∘ ---||-1--||--- −|x|+ x2+||cosx||− 1≥ 0

Также заметим, что $2cosx ≥ 2−1 = 12.$

Итого, левая часть исходного неравенства не меньше $12$ . Тогда исходное неравенство верно только в случае равенства

------------ cosx ∘ || 1 || 1 2 − |x|+ x2 +||cosx||− 1= 2.

То есть необходимо $2cosx = 2−1 ⇐⇒ cosx= −1$ . Убеждаемся, что при таких $x$ выполняется и второе равенство

∘ ---||-1--||--- √-- −|x|+ x2 +||cosx-||− 1= −|x|+ x2 =0

Значит, точки $cosx =− 1 ⇐ ⇒ x= π+ 2πk, k ∈ℤ$ являются решением неравенства.

Ответ:

$π +2πk, k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85555

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

x 2 |2[tga]− 1| =[tga]+ 2

имеет рациональное решение $x$ . Здесь, $[t]$ - целая часть числа $t$ .

Источники: ПВГ - 2024, 11.6 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы найти все а, нужно сначала найти все возможные значения [tgа]. А чтобы целая часть тангенса не смущала, можно просто заменить её на некоторое целое число b.

Подсказка 2

Если b = 0, b > 0 и b < 0. Первый совсем простой. Рассмотрим, когда b > 0, то есть b — натуральное. Попробуйте оценить правую часть выражения. Может ли х быть отрицательный?

Подсказка 3

Чтобы ответить на вопрос предыдущей подсказки, Вам поможет неравенство (b - 1)² ≥ 0.

Подсказка 4

Эти выражения имеют одни и те же простые делители! Тогда если p — некоторый общий простой делитель, то пусть b² + 2 = pN, а 2b - 1 = pM. Избавившись от b в левых частях уравнений полученной системы, получите уравнение в целых числах(*) и сделайте вывод, чему может быть равно p.

Подсказка 5

р = 3. Поэтому можно записать b² + 2 как 3^n, а 2b - 1 как 3^m, тогда, используя это, (*) уже совсем несложно решается.

Подсказка 6

Случай b < 0, решается аналогично, если сделать замену c = -b.

Показать ответ и решение

Положим $b= [tga]$ . Тогда уравнение принимает вид $(|2b− 1|)x =b2+ 2,b∈ ℤ$ . Нужно найти все целочисленные значения $b$ , при которых существует рациональное решение $x$ .

При $b= 0$ решений нет. Рассмотрим вначале случай $b> 0$ , т.е. $b∈ℕ$ . Тогда поскольку при любом натуральном $b$

2 b + 2> 2b− 1 ≥1,

то можем считать, что в представлении $x= d∕q$ числа $d$ и $q$ натуральные. Значит, числа $b2+ 2$ и $2b − 1$ имеют одни и те же простые делители.

Пусть $p$ - общий простой делитель этих чисел, тогда

{ b2+ 2= pN, 2b− 1= pM,

где $N$ и $M$ - натуральные. Исключая $b$ из левых частей уравнений этой системы, получаем

9= 4(b2 +2)− (2b− 1)(2b+1)= (4N − (2b+ 1)M )p.

Значит $(4N − (2b+1)M )$ - натуральное, а $p$ -делитель 9 , т.е. $p= 3$ . Поэтому

{ b2+ 2= pm, 2b− 1= pk,

где $m$ и $k$ - натуральные и $m > k$ . Так как

( ) ( ) 9= 4(b2+ 2)− (2b− 1)(2b+ 1)= 4⋅3m − 3k+2 ⋅3k =3k 4⋅3m−k − 3k− 2 ,

a $4⋅3m−k− 3k− 2$ не делится на 3 , то $k =2$ и $m = 3,b= 5,x= 32$ .

Для отрицательных $b$ решение проводится почти аналогично. Положим $c= −b$ . Тогда исходное уравнение будет записываться в виде:

(2c+ 1)x =c2+ 2, c∈ ℕ.

Случай $c=1$ очевиден, поскольку решение $x= 1$ . Пусть $c∈ℕ,c≥ 2$ . Аналогично предыдущему показывается, что в представлении $x= d∕q$ числа $d$ и $q$ натуральные. Опять предположив, что $p$ - общий простой делитель этих чисел, получим

{ c2+ 2= pN, 2c+ 1= pM,

и также сделаем вывод, что $p= 3$ . Поэтому

{ c2+ 2= 3m, 2c+ 1= 3k,

где $m$ и $k$ - натуральные и $m > k$ . Так как

( ) ( ) 9= 4(c2+ 2)− (2c− 1)(2c+ 1)= 4⋅3m − 3k− 2 ⋅3k =3k 4⋅3m−k − 3k+ 2 ,

а $4⋅3m−k− 3k+ 2$ не делится на 3 , то $k= 2$ и $4⋅3m−2− 32+2 =1$ или $4⋅3m−2 = 8$ , но последнее уравнение не имеет натуральных решений.

Поэтому все решения описываются уравнениями: $[tga]= −1$ и $[tga]=5$ , решив которые приходим к ответу.

Ответ:

$a ∈[−π∕4+πn;πn)∪[arctg5+ πn;arctg6+ πn),n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92114

Решите неравенство

4x2 − 164x−8 √x2-+4x+-√12+-4x−-x2 > 0.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В неравенстве присутствуют корни и дробь, поэтому сразу выпишем ОДЗ! Что можно сказать про знаменатель?

Подсказка 2

Знаменатель у дроби положительный, значит, можно на него домножить!

Подсказка 3

Теперь нам нужно сравнить степени четверки! А что если перейти к сравнению самих показателей степени?

Показать ответ и решение

Для начала выпишем ОДЗ этого неравенства:

(| x2+ 4x≥ 0 { 12+ 4x − x2 ≥0 |( √-2---- √--------2- x + 4x+ 12+ 4x− x ⁄=0

Первые два условия уже обеспечивают выполнение третьего, так как не может быть одновременно $x2+ 4x= 0,− x2 +4x+ 12= 0.$ Поэтому ОДЗ задаётся системой

{ x(x+ 4)≥ 0 (x − 6)(x+ 2)≤ 0

x ∈[0;6]

С учётом ОДЗ мы можем домножить наше неравенство на положительный знаменатель, получим

4x2 − (42)4x−8 > 0

4x2 − 48x−16 > 0

Так как $t f(t)= 4$ — строго возрастающая функция, то знак разности функций (левой части) будет совпадать со знаком разности аргументов, поэтому получаем

x2− (8x− 16) >0

(x− 4)2 > 0

Пересекая $x⁄= 4$ с ОДЗ, получаем ответ $[0;4)∪(4;6].$

Ответ:

$[0;4)∪(4;6]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#99238

Решите неравенство:

√ -x2−6x+9 √ -x2−6x+7 ---4- (2+ 3) + (2− 3) +√3-− 2 < 0.

Источники: Газпром - 2024, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, надо понять что в этом неравенстве хорошего, а что плохого. Хорошее — то, насколько похожие степени у нас слева и то, что у нас связаны числа в основании. Но как они связаны? А что нам это дает?

Подсказка 2

Это дает нам возможность сделать замену, ведь если заменить на t (2 + √3) в определенной степени, на месте (2-√3) появится 1/t! Какую тогда можно взять степень? Как решать такое неравенство?

Подсказка 3

Если сделать замену t = (2 + √3)^(x² - 6x + 8), то после сокращения неравенство превращается в t + 1/t < 4. Остается только решить его не забыть про неравенство на показатели, после чего получить ответ!

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

√ -x2−6x+9 √ -x2−6x+7 4 (2 + 3) + (2− 3) <− √3−-2

√- √- (2+ 3)x2−6x+9+ (2− 3)x2− 6x+7 <--4√- 2− 3

Домножив обе части на $2− √3> 0$ , получим

- √- √- x2−6x+9 √- √ -x2−6x+7 4(2−-√3) (2− 3)(2+ 3) + (2− 3)(2 − 3) < 2 − √3

√- √ - √ - 2 √- 2 (2− 3)(2 + 3)(2+ 3)x −6x+8 +(2− 3)x −6x+8 < 4

(2 +√3)x2−6x+8+ (2− √3-)x2−6x+8 <4

Заметим, что $√ - √- (2− 3)(2+ 3)= 1$ , следовательно, $√- 2− 3= 2+1√3.$ Уравнение можно записать в виде:

( ) 2 (2 +√3)x2−6x+8+ --1√-- x−6x+8 < 4. 2 + 3

Сделаем замену переменной $(2+√3-)x2−6x+8 =t,t>0$ , тогда неравенство примет вид

{ t+ 1 <4, t> t0

{ t2− 4t+1 <0, t>0

{ √ - √- 2 − 3<t <2+ 3, t> 0

√- √- 2− 3< t< 2+ 3

Сделаем обратную замену:

{ √ -x2−6x+8 √ - { √- x2−6x+8 √ -−1 (2+√ 3)x2−6x+8 >2 −√ 3, ⇔ (2+ √3)x2−6x+8> (2+√-3) , ⇔ ({2+ 3) <2 + 3{ (2+ 3) { < 2+ 3 ⇔ x2− 6x+ 8> −1, ⇔ x2− 6x +9 >0, ⇔ x ⁄=3√, √ - x2− 6x+ 8< 1 x2− 6x +7 <0 3− 2 <x <3 + 2.

Ответ:

$(3− √2;3)∪ (3;3+ √2)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63594

Решите систему уравнений

{ 23x+1 +2y−2 = 3⋅2y+3x ∘3x2-+1+-xy = √x+-1

Показать ответ и решение

Возводя второе уравнение в квадрат, получим

2 3x + xy = x ⇐⇒ x= 0 или 3x+ y = 1

Если $x= 0$ , то второе уравнение верно, а в первом получаем

y−2 y 2y- y y -8 8- 2 +2 = 3⋅2 ⇐ ⇒ 2+ 4 = 3⋅2 ⇐ ⇒ 2 = 11 ⇐ ⇒ y =log2 11

Иначе $3x +y =1,y = 1− 3x$ . На ОДЗ $x >−1$ , второе уравнение выполнено, поэтому подставим это в первое

3x+1 −1−3x 1 3x 1 2 + 2 = 3⋅2 ⇐ ⇒ [2 =t] ⇐ ⇒ 2t+ 2t − 6= 0 ⇐ ⇒

√-- √- ⇐ ⇒ 4t2− 12t+ 1= 0 ⇐⇒ t= 6±--32= 3±-2-2 4 2

Поскольку $x> −1$ , то $√- 23x > 2−3 = 18 > 3−22-2$ , поэтому остаётся только одно решение $( √-) ( √-) x = 13 log2 3+22-2 ,y = 1− 3x =1− log2 3+22-2 .$

Ответ:

$(0,log -8),(1log (3+2√2),1− log (3+2√2)) 211 3 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#67932

Решите уравнение

2 3 ∘--4---2--- ∘ -4----2--- log2(|x − 2|+ 1)+ 4x − 3x +5= 2x +5x − 3

Источники: Ломоносов-2023, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит страшно: и корни, и логарифм по отдельности..может, тут есть какие-то оценочки?)

Подсказка 2

Например, можно обратить внимание, что раз |x-2|³ ≥ 0, то аргумент логарифма ≥ 1, и сам логарифм ≥ 0. А еще в подкоренном выражении слева у старшего члена коэффициент больше, чем в подкоренном выражении справа. Что это может значить?

Подсказка 3

То, что левая часть почти всегда больше правой) А еще сами корни положительные. Поэтому, чтобы решение существовало, нужно чтобы левый корень был не больше, чем правый корень (т.к. логарифм и так ≥ 0). При каких иксах это так?

Подсказка 4

Если написать неравенство на подкоренные выражения, то после нехитрых преобразований, получится, что (x²-2)² ≤ 0! Т.е. x = ±√2. Проверьте, подходят ли они как решение)

Показать ответ и решение

Так как

2 3 2 3 2 3 |x − 2| ≥ 0⇒ |x − 2| +1 ≥1⇒ log2(|x − 2| +1)≥ 0

∘ --4---2--- 4x − 3x + 5≥ 0

∘2x4-+5x2−-3≥ 0

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялось неравенство

4x4 − 3x2+ 5≤ 2x4+ 5x2− 3

(x2− 2)2 ≤0

x2 = 2

Проверка показывает, что $√- x= ± 2$ — решение.

Ответ:

$±√2-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#68093

Найдите количество целых решений уравнения

sin(π⋅log2x)+ cos(π⋅log2x)= 1

на отрезке $[1;90].$

Источники: Межвед-2023, 11.1 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Классическое уравнение на сумму синуса и косинуса, причём справа константа, сразу хочется как-то преобразовать обе части уравнения) Как?

Подсказка 2

Поделить обе части на √2, тогда сможем слева собрать в синус суммы, а справа останется константа! Остаётся лишь разобрать пару случаев)

Показать ответ и решение

Разделим обе части уравнения на $√2 :$

π π -1- sin(π ⋅log2 x)⋅cos4 + sin 4 ⋅cos(π⋅log2x)= √2

( ) sin π ⋅log2x+ π = √1- 4 2

[ π ⋅log2x+ π4 = π4 +2πn,n∈ ℤ π ⋅log2x+ π4 = 3π4 + 2πk,k ∈ℤ

[ π⋅log2x= 2πn π⋅log2x= π2 +2πk

Отсюда получаем, что $x= 22n$ или $1 x =22+2k.$ Поскольку число $1 22+2k$ не является целым, остается найти количество целых значений $n$ таких, что

1≤ 22n ≤90.

Решениями неравенства являются целые числа $0,1,2,3.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#69372

Решите уравнение

4 tgx x4 (x − 2)(2 − 1)+ (3 − 9)tgx =0

Источники: Звезда - 2023 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

"По-нормальному" мы это уравнение точно не решим, поэтому давайте вспоминать все хитрости, которые у нас есть. В уравнение мы видим похожие конструкции в обоих слагаемых. Попробуйте ещё получше преобразовать tg(x), 3^x⁴-9 и 2^{tg x}-1, чтобы они стали совсем идентичными. Как тогда их можно связать между собой?

Подсказка 2

Верно, если записать tg(x)=tg(x)-0, 2^{tg x}-1=2^{tg x}-2^0 а 3^x⁴-9=3^x⁴-3^2, то это всё намекает посмотреть на уравнение с точки зрения функции. А справа у нас ноль. То есть хорошо бы было просто сказать, что каждое из слагаемых равно нулю. Но у нас может быть такое, что одно положительное, а другое отрицательное... Или не может? Попробуйте понять, почему у нас два слагаемых обязательно одного знака.

Подсказка 3

Верно, можно сказать, что мы сравниваем два числа и степени 3 и 2 возведённые в них. Тогда из-за возрастания 3^x и 2^x знак в таких скобках будет совпадать в скобках с просто выражениями x⁴ и 2 или tg(x) и 0. Всё, теперь можем уже "законно" сказать, что каждое из слагаемых должно быть равно нулю и доделать задачу!

Показать ответ и решение

Функции $y = 2t$ и $y = 3t$ - возрастающие, следовательно, выражение $3x4 − 9= 3x4 − 32$ имеет такой же знак, как и $4 x − 2$ , а выражение $tgx tgx 0 2 − 1= 2 − 2$ имеет такой же знак, как и $tgx− 0= tgx$ . Таким образом, слагаемые в левой части уравнения - одного знака, равенство нулю возможно лишь в том случае, когда один из множителей равен нулю. Имеем

[ 4 x − 2= 0 tgx= 0

Решая эти уравнения, получаем ответ.

Ответ:

$±√42;πn,n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#71667

Найдите все решения системы

({ ysinx =log ||ysinx||; ( 2 )2(|s1in+23xy| cos2x) 2 ( 6y + 2y 4 + 4 = 25y + 6y+ 1

такие, что $|y|≤ 1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на второе уравнение - не очень удобно, когда с одной стороны у нас и скобки с sin x и cos x в степенях, и обычные многочлены от y... Может, попробовать собрать с одной стороны все выражения, содержащие y, а с другой - все, содержащие x? Главное - не забыть проверить, когда это возможно

Подсказка 2

Да, так как справа положительное выражение, то обе скобки ненулевые. Тогда можем поделить уравнение на 6y²+2y. Заменим cos² по основному тригонометрическому тождеству. Кажется, теперь левую часть получившегося выражения можно неплохо оценить.

Подсказка 3

Конечно, из неравенства о взаимно обратных левая часть не меньше 4, а также из ограничений для синуса она будет не больше 5. Но ведь тогда эти же ограничения действуют и для правой части выражения! Остаётся только записать систему неравенств, найти подходящие y и подставить их в первое уравнение!

Показать ответ и решение

Правая часть второго уравнения всегда положительна, поэтому и в левой части $6y2 +2y > 0.$

Тогда поделим второе уравнение на $2 6y +2y ⁄= 0$

25y2+ 6y +1 sin2x 4 --6y2+-2y-- =4 + 4sin2x ∈ [4;5]

Так как в силу неравенства на сумму взаимно обратных чисел

( 2 ) 2 4sinx-+ --2-- ≥ 4 2 4sin2x

А также

2 4 4sin x+ 4sin2x-≤5 ⇐ ⇒

⇐⇒ 1≤ 4sin2x ≤4 —верно всегда

Из оценки на правую часть, получаем для левой части

( 2 ||{ 25y-+-6y+-1≤ 5 | 25y6y22++62yy+ 1 |( --6y2+-2y--≥ 4

Домножим оба неравенства на $6y2+2y > 0$

( [ ) ⌊ { y ∈ (− ∞;−1]∪ 1;+∞ y =[−1 ] ( 5 ⇐⇒ ⌈ y ∈ 1 ;1 y ∈ [− 1;1] 5

Подставляя $y = −1$ в первое уравнение, получим

1− sinx =log2 sinx

sinx= --2-≥ 1 ,но sin x≤ 1 2sinx

Значит, в этом случае $(π ) 2 + 2πk, −1$ — единственная серия решений.

Преобразуем неравенство:

1 ≤y ≤1 5

1≤ 1 ≤5 y

1 --1-- 1 8 ≤3 + 1 ≤ 4 y

Тогда из первого уравнения системы

||ysinx|| 1 2ysinx = ||1+3y||≤ 4 =2−2

ysin x≤ −2

Противоречие, так как $|ysinx|≤1.$ В этом случае решений нет.

Ответ:

$(π+ 2πk, −1),k∈ ℤ 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#75111

Решите уравнение

logsinxsin2x+ logsin2x sin3x+ logsin3x sinx=

=logsin2xsinx +logsin3xsin 2x +logsinxsin3x

Источники: Росатом-2023, 11.2, региональный (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что первым делом нужно написать в уравнении с логарифмами?

Подсказка 2

Конечно, ОДЗ! Само уравнение выглядит довольно страшно, но не видите ли вы в нём много похожего?

Подсказка 3

Подумайте, как можно выразить все логарифмы из правой части через логарифмы в левой части. Тогда можно будет ввести замену: заменяем первый логарифм, второй... а третий ведь можно выразить через первые два!

Подсказка 4

Получили красивое уравнение, но, правда, с двумя переменными... Не спешите пугаться! Его можно разложить на скобочки :) Останется только решить получившуюся совокупность, не забыв учесть ОДЗ и ограничение на знаменатель

Показать ответ и решение

Областью определения функций, входящих в исходное уравнение, являются значения $x$ , при которых $sinx ∈(0;1),sin2x∈ (0;1),sin3x∈$ $(0;1).$

Положим $u =logsinx sin2x$ и $v = logsin2x sin3x$ . Тогда, по формулам перехода от одного основания логарифма к другому имеем

logsinxsinx 1 1 logsin2xsinx = logsinxsin2x = logsinx-sin2x = u,

logsin3xsinx = logsin2xsinx-= -1. logsin2x sin3x uv

Далее, аналогично, $log sin2x= 1 sin3x v$ и $log sin3x= uv sinx$ . После этого исходное уравнение запишется так:

1- 1 1 u+ v+ uv = u + v + uv.

Перенося все члены из левой части уравнения в правую и выполняя стандартные преобразования, получаем

v+-u+-u2v2-− u2v−-uv2− 1 (u-+v)−-uv(u+-v)+(u2v2−-1)- uv = uv = = (u+-v)(1−-uv)+-(uv− 1)(uv-+1)= (uv−-1)(uv−-u− v-+1)= uv uv = (uv−-1)(u(v− 1)−-(v-− 1))= (uv− 1)(1-− u)(v-− 1)= 0. uv uv

Поэтому решениями преобразованного уравнения являются все значения $u$ и $v$ , удовлетворяющие хотя бы одному из равенств $u= 1$ , или $v =1$ , или $uv = 1$ при условии (это относится только к первым двум равенствам) $uv ⁄= 0$ .

Возвращаясь к исходному уравнению отсюда следует, что с учётом области определения, его решениями являются решения совокупности

u= logsinxsin2x =1,v = logsin2xsin3x= 1,uv =logsinx sin3x= 1.

Эта совокупность на области определения эквивалентна совокупности уравнений

sinx =sin2x,sin2x =sin 3x,sinx =sin 3x.

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

sinx= sin2x⇔ sin x− sin2x= 0⇔ sinx− 2sinxcosx= 0⇔ sinx(1− 2cosx)= 0.

Это уравнение на области определения решений не имеет.

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

sin2x= sin3x⇔ sin 3x − sin 2x =0 ⇔ 3x − 2x 3x+ 2x x 5x sin --2--cos--2---= sin2 cos 2-= 0.

Решения уравнения $sin x2 = 0$ в область определения не входят. Решениями уравнения $cos5x2-= 0$ являются $52x= π2 + πk,k$ — целое, т.е. $x = π5 + 2π5-k$ . При $k$ кратном $5$ такие $x$ принадлежат области определения, при остальных значениях $k$ - нет.

Рассмотрим третье уравнение совокупности:

sinx= sin3x⇔ sin 3x − sin x= 0⇔ sin 3x−-xcos 3x-+x-= sinxcos2x =0. 2 2

Решения уравнения $sinx =0$ в область определения не входят. Если $cos2x= 0$ , то $sin 2x =±1$ , поэтому решения уравнения $cos2x= 0$ в область определения также не входят.

Ответ:

$π + 2πn,n∈ Z 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#76752

Решите уравнение

2 sinx x2 (x − 2)(2 − 1)+ (2 − 4)sinx= 0

Показать ответ и решение

Заметим, что знак выражения $x2− 2$ совпадает со знаком выражения $2x2 − 22$ по методу рационализации. Также знак выражения $sinx$ совпадает со знаком выражения $sinx 0 2 − 2 .$ Следовательно знаки произведений совпадают. А значит, чтобы выполнялось равенство нулю, нужно, чтобы хотя бы одно из произведений равнялось нулю.

[ 2 x − 2= 0 sinx =0

Решив совокупность, получаем ответ. Легко проверить, что при этом в обеих слагаемых получаются нулевые произведения.

Ответ:

$±√2; πn, n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#89478

Решите уравнение

( 2x √- ) log4 2 − 3cosx− sin2x = x

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно

2x √- x 2 − 3 cosx − sin2x= 4

Заметим, что в этом случае аргумент логарифма равен положительному числу $4x,$ следовательно, он больше нуля, то есть выполнено ОДЗ уравнения. Преобразуем полученное уравнение, заметив, что $22x = 4x.$

√3-cosx +2 sinxcosx =0 √ - c⌊osx(2sinx + 3)= 0 cosx = 0 |⌈ √3 sinx= − -2- ⌊ x= π-+ πk, k ∈ ℤ || 2 || x= − 2π + 2πk, k ∈ ℤ |⌈ 3 x= − π-+ 2πk, k ∈ ℤ 3

Ответ:

$π + πk; 2$ $− 2π+ 2πk; 3$ $− π+ 2πk, 3$ $k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32654

Решите уравнение

1 log125(sin2x− sinx)+3 = log5(−2 sinx)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим логарифм - ищем ОДЗ! Дальше, заметим "магию чисел": 125=5³, а одно из слагаемых равно одной трети! Что нужно сделать, чтобы уравнение приняло более красивый вид?

Подсказка 2

Нужно домножить всё на 3 и представить единицу, как log₅5. Дальше просто воспользуйтесь формулой суммы логарифмов и тем, что множитель перед логарифмом можно занести в его основание или аргумент! При этом подумайте, как это сделать наиболее удачно, чтобы одно из слагаемых появилось как в левой, так и в правой части уравнения!

Подсказка 3

Если всё получилось, то log₅(-sin(x)) появился как в левой, так и в правой части уравнения! Таким образом, осталось лишь решить логарифмическое уравнение, где у каждого слагаемого одинаковое основание! Если основания равны, то что будем приравнивать?

Подсказка 4

Да, приравниваем аргументы!

Показать ответ и решение

Для существования логарифмов нужно $sinx< 0$ и $sin2x − sinx =sinx(2cosx− 1)>0$ , так что $2cosx− 1< 0$ , то есть $1 cosx< 2$ .

Домножим всё на $3$ , тогда по свойствам логарифмов уравнение имеет вид:

2 log5(− sin x)+ log5(5(1− 2cosx))= log5(− sinx)+log5(8sin x)

2 log5(5(1− 2cosx))= log5(8sin x)

2 1 3 5− 10cosx =8− 8cosx ⇔ cosx = −4 или cosx= 2

Тогда $1 x = ±arccos(− 4)+ 2πk,k ∈ℤ$ , но с учётом $sinx <0$ подходит только $1 x= − arccos(− 4)+2πk,k∈ℤ$ .

Ответ:

$− arccos(− 1)+2πk,k∈ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#32655

Решите неравенство:

-----1---- -----1----- |log27x3|− 2 ≤ |log3(x∕3)|− 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами логарифмическое уравнение, поэтому первым делом надо найти ОДЗ! Дальше надо внимательно посмотреть на логарифм в левой части неравенства, что про него можно сказать?

Подсказка 2

Верно, поскольку 27=3³, то этот логарифм превращается в log₃x. А как тогда выразить log₃(x/3)?

Подсказка 3

Да, log₃(x/3) = log₃x - 1! Осталось сделать замену, рассмотреть все случаи раскрытия модулей и пересечь ответ с ОДЗ!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ , $||log x3||⁄= 2 27$ , $|log(x∕3)|⁄= 1. 3$

Понятно, что $3 log27x = log3x$ . Пусть $t= log3x$ . Тогда

1 1 |t|−-2 ≤ |t− 1|−-1

Если $t≥1$ , то неравенство выполнено.

Если $t∈(0,1)$ , то $t1−2 ≤ −1t$ , $1t ≤ 12−t-⇐⇒ 2− t≤ t$ или $1≤ t$ , здесь решений нет.

Если $t<0$ , то $−1t−2-≤ 1−t ⇐⇒ t(2t+2) ≤ 0$ и $t∈(−2,0)$ .

По ОДЗ $t⁄= ±2$ и $t− 1⁄= ±1$ . Значит, в итоге $t=log3x∈(−2,0)∪[1,2)∪(2,+∞)$ и соответственно $x∈ (19,1)∪[3,9)∪ (9,∞)$ .

Ответ:

$(1;1)∪[3;9)∪(9;+ ∞) 9$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#51847

Решить неравенство

x2-− |x|−-12 log13 log2 x +3 > 0.

Показать ответ и решение

Исходное неравенство равносильно следующему

x2− |x|− 12 1< ---x+-3---<2

(1)

a) Пусть $x> 0,$ тогда $x2− |x|− 12 =(x− 4)(x+ 3)$ и неравенство (1) примет вид $1 <x − 4< 2,$ откуда $5< x< 6.$

б) Пусть $x< 0,$ тогда неравенство (1) записывается в виде

2 1< x-+-x−-12< 2 x+ 3

(2)

Если $− 3< x< 0,$ то неравенство (1) равносильно неравенству $x+ 3< x2+ x− 12 <2(x+ 3)$ или системе неравенств

{ x2− x− 18 <0, { x1 <x <x2 x2− 15 >0, откуда |x|>√15-

где $√-- √-- x1 = 1−273,x2 = 1+273$ . Система неравенств

{ |x|> √15 −3< x <0

несовместна. Если $x< −3,$ то система (2) равносильна системе

{ (x− x1)(x − x2)> 0 |x|< √15

откуда $√-- − 15 <x <x1,$ так как $√ -- x1 > − 15.$

Ответ:

$(−√15;1−√73)∪(5;6) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#51850

Найдите область определения функции

∘-----------||--------|| y = log4(1+6x)+ |log18(1+ 7x)|.

Показать ответ и решение

Область определения функции задаётся системой неравенств

(| 1+ 6x> 0 |{ 1+ 7x> 0 ||( || || log4(1+ 6x)+ |log18(1 +7x)|≥ 0

равносильной системе (в неравенстве воспользуемся свойством логарифмов и домножим на $6$ ):

{ x >− 1 7 3log2(1+ 6x)+ 2|log2(1+ 7x)|≥ 0

Рассмотрим два случая:

$x≥ 0,$ и $− 1< x <0 7$

а) $B$ этом случае $1+ 6x ≥1,$ $log(1+ 6x)≥0 2$ и неравенство справедливо в силу того, что оба слагаемых в левой части неотрицательны.

б) $1+7x< 1,$ тогда $log (1 +7x)< 0 2$ и неравенство принимает вид

3log(1+ 6x)− 2log(1+ 7x)≥ 0, (1+ 6x)3 ≥ (1 +7x)2 2162x3+ 59x2 +4x2≥ 0, 216x2 +59x+ 4≤ 0 (x< 0) − 4-≤x ≤− 1 27 8

Таким образом, область определения функции задается неравенствами

1 1 x ≥0 и − 7 <x ≤− 8 .

Ответ:

$(− 1;− 1] ∪[0;+∞ ) 7 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#67083

Решите уравнение

(x 11π) ( ( 7π )) tg 2 − 16 ⋅log2 sin 2x + 4 = 0

Источники: Газпром - 2022

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражение уже разложено на множители, так что решаем совокупность! Из уравнения на тангенс несложно выразить x.

Подсказка 2

Во втором уравнении есть логарифм, поэтому уже для найденных значений не забываем проверить, входят ли они в ОДЗ!

Подсказка 3

Второе уравнение также несложно решить, если понять, когда логарифм будем равен нулю.

Подсказка 4

В первом уравнении есть тангенс, поэтому уже для найденных значений не забываем проверить, определён ли он!

Показать ответ и решение

Из данного уравнения следует:

[ tg(x− 11π-)=0 log 2(sin1(62x+ 7π)) =0. 2 4

Решим первое уравнение:

x − 11π =πn,n ∈ℤ 2 16

11π x= -8-+ 2πn.

Тогда:

( 7π) ( 18π ) (9π ) π sin 2x+ 4- = sin -4-+ 4πn = sin -2 +4πn = sin2 =1.

Значит такие $x$ нам подходят. Решим второе уравнение:

( ) sin 2x+ 7π =1 4

2x+ 7π= π + 2πk,k∈ ℤ 4 2

5π- x= − 8 + πk.

Тогда:

(x 11π) ( 5π πk 11π) ( πk) tg 2 −-16 = tg − 16 +-2 − 16- = tg −π+ -2 .

Что определено только при четных $k$ , значит такие значения $x$ при четных $k$ нам подходят. Но заметим, что решения, полученные из первого уравнения такие же, как от второго уравнения.

Ответ:

$x = 11π+ 2πn,n∈ℤ. 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#70491

Если действительные числа $a,b,c$ упорядочить по нестрогому возрастанию, получив тройку $x ≤x ≤ x , 1 2 3$ то число $x 2$ будем называться средним из чисел $a,b,c.$ Найдите все значения $t,$ при каждом из которых среднее из трёх чисел

3 t 1 a= t − 100t; b= 2− 16; c= sint− 2

положительно.

Источники: Ломоносов-2022, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Среднее из трёх чисел положительно, а числа заданы с параметром да еще и в виде функций... Сравнивать такие числа реально сложно, надо подумать, как можно переформулировать вопрос.

Подсказка 2

Если рассуждать в общем, то для того, чтобы среднее из трех чисел было положительно, среди них должно быть не менее двух положительных, иначе условие задачи не выполниться (два числа будут неположительными, а среднее по нестрогому возрастанию уж точно!)

Подсказка 3

То есть нам подойдут случаи, когда два или три числа положительны. Теперь поймем, когда же наши числа будут положительными = найдем нули функций и отметим их на вещественной прямой.

Подсказка 4

Сначала можно отметить нули чисел(функций) a и b, так как кол-во их нулей конечно, расставить знаки функций на каждом промежутке и заметить, что некоторые промежутки нам уже подходят, а некоторые - точно нет.

Подсказка 5

Осталось понять знаки числа(функции) с, это можно сделать только на уже потенциально подходящих нам промежутках, выписать их объединение в ответ.

Показать ответ и решение

Напрямую значения $a,b,c$ сравнивать сложно. Однако, чтобы среднее из трёх чисел было положительным, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере два числа из тройки были положительны.

3 a= t − 100t= t(t− 10)(t+ 10)> 0⇒ t ∈(−10;0)∪ (10;+ ∞)

t b= 2 − 16> 0⇒ t> 4

( ) c= sint− 1> 0⇒ t∈ 2πn+ π;2πn+ 5π , где n ∈ℤ 2 6 6

Нужно, чтобы хотя бы два из трех чисел были положительны. $a> 0$ и $b> 0$ при $t> 10,$ область $(10;+∞ )$ идёт в ответ. $a≤ 0$ и $b≤ 0$ при $t∈(−∞;− 10]∪ [0;4],$ эта область в ответе быть не может. На оставшейся области $t∈ (− 10;0)∪(4;10]$ положительно только одно из чисел $a,b.$ Значит, в ответ пойдут те её части, где $c> 0.$ Посмотрим, как пересекаются

( π 5π ) t∈(−10;0)∪ (4;10] и t∈ 2πn+ 6;2πn + 6 , где n ∈ℤ

При $n =0$ получим интервал $( ) t∈ π6;5π6 .$ Он с областью $t∈(−10;0)∪ (4;10]$ не пересекается, ведь $0< π6 < 5π6-< 4.$

При $n =1$ получим интервал $( ) t∈ 2π+ π6;2π+ 56π .$ Он лежит в области целиком, ведь $4< 2π+ π6 <2π + 5π6 <10.$ Интервал идёт в ответ.

При $n =− 1$ получим интервал $t∈ (− 2π + π6;− 2π + 5π6 ).$ Он тоже лежит в области целиком, ведь $− 10< −2π+ π6 <− 2π + 5π6-< 0.$ Интервал идёт в ответ.

При $n =− 2$ получим интервал $( π 5π-) t∈ − 4π+ 6;−4π+ 6 .$ Тут получается такое неравенство: $π 5π − 4π+ 6 < −10< −4π+ 6 ,$ интервал пересекается с областью $t∈ (−10;0)∪(4;10],$ пересечение - это множество $( 5π) −10;− 4π + 6 ,$ которое пойдёт в ответ.