Смешанные уравнения и неравенства (тригонометрия, логарифмы, степени, модули, корни)

На ОДЗ получаем по основному логарифмическому тождеству уравнение

Поделим на чтобы воспользоваться методом вспомогательного угла:

Вторая серия корней не входит в ОДЗ а первую серию пишем в ответ.

Исследуем функцию . Выделив полный квадрат, получаем . Отсюда имеем

С другой стороны,

Следовательно,

Следовательно, исходная задача равносильна системе

Решение 1.

Перепишем неравенство, данное в условии:

Посмотрим на график степенной функции. Если соединить две точки, принадлежащие графику, отрезок их соединяющий лежит выше графика.

С графиком функции наоборот: если соединить две точки, принадлежащие графику, отрезок их соединяющий лежит ниже графика. График функции это сдвинутый по осям абсцисс и ординат график функции Значит, и для графика функции верно: если соединить две точки, принадлежащие графику, отрезок их соединяющий лежит ниже графика.

Подставим значения в левую и правую части неравенства. Получаем, что графики функций проходят через точки Тогда все значения функции лежат ниже отрезка, соединяющего точки а все значения выше.

То есть в каждой точке отрезка все значения функции не меньше чем значения

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение 2.

Обозначим

Докажем, что на всём отрезке

Производная на отрезке

Приравняем к :

Функции – возрастающие на отрезке Тогда тоже возрастающая. Значит, производная имеет не более одного корня на отрезке То есть имеет не более одной точки экстремума на отрезке

На концах

Тогда если на отрезке нет точек экстремума и монотонность не меняется, то на всем отрезке. Если точка экстремума лежит на отрезке то возможны два варианта:

1. Это точка минимума. Тогда функция убывает от 0 до точки минимума, а затем возрастает до 2.

2. Это точка максимума. Тогда функция возрастает от 0 до точки максимума, а затем убывает до 2.

Отметим, что то есть

Значит, возможен только первый вариант. Тогда на всём отрезке

Запишем ОДЗ

Сделаем преобразования:

Докажем, что Пусть тогда Если взять целую часть, то получим То есть "перескочить"через целое невозможно, то есть в действительности

Тогда получаем

С учетом ОДЗ получаем

Выпишем сначала ограничение . Заметим, что , поэтому подкоренное выражение неотрицательно. Оценим корень:

Поэтому

Также заметим, что

Итого, левая часть исходного неравенства не меньше . Тогда исходное неравенство верно только в случае равенства

То есть необходимо . Убеждаемся, что при таких выполняется и второе равенство

Значит, точки являются решением неравенства.

Положим . Тогда уравнение принимает вид . Нужно найти все целочисленные значения , при которых существует рациональное решение .

При решений нет. Рассмотрим вначале случай , т.е. . Тогда поскольку при любом натуральном

то можем считать, что в представлении числа и натуральные. Значит, числа и имеют одни и те же простые делители.

Пусть - общий простой делитель этих чисел, тогда

где и - натуральные. Исключая из левых частей уравнений этой системы, получаем

Значит - натуральное, а -делитель 9 , т.е. . Поэтому

где и - натуральные и . Так как

a не делится на 3 , то и .

Для отрицательных решение проводится почти аналогично. Положим . Тогда исходное уравнение будет записываться в виде:

Случай очевиден, поскольку решение . Пусть . Аналогично предыдущему показывается, что в представлении числа и натуральные. Опять предположив, что - общий простой делитель этих чисел, получим

и также сделаем вывод, что . Поэтому

где и - натуральные и . Так как

а не делится на 3 , то и или , но последнее уравнение не имеет натуральных решений.

Поэтому все решения описываются уравнениями: и , решив которые приходим к ответу.

Для начала выпишем ОДЗ этого неравенства:

Первые два условия уже обеспечивают выполнение третьего, так как не может быть одновременно Поэтому ОДЗ задаётся системой

С учётом ОДЗ мы можем домножить наше неравенство на положительный знаменатель, получим

Так как — строго возрастающая функция, то знак разности функций (левой части) будет совпадать со знаком разности аргументов, поэтому получаем

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ

Преобразуем неравенство:

Домножив обе части на , получим

Заметим, что , следовательно, после замены неравенство примет вид

Сделаем обратную замену:

Возводя второе уравнение в квадрат, получим

Если , то второе уравнение верно, а в первом получаем

Иначе . На ОДЗ , второе уравнение выполнено, поэтому подставим это в первое

Поскольку , то , поэтому остаётся только одно решение

Так как

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялось неравенство

Проверка показывает, что — решение.

Разделим обе части уравнения на

Отсюда получаем, что или Поскольку число не является целым, остается найти количество целых значений таких, что

Решениями неравенства являются целые числа

Функции и - возрастающие, следовательно, выражение имеет такой же знак, как и , а выражение имеет такой же знак, как и . Таким образом, слагаемые в левой части уравнения - одного знака, равенство нулю возможно лишь в том случае, когда один из множителей равен нулю. Имеем

Решая эти уравнения, получаем ответ.

Правая часть второго уравнения всегда положительна, поэтому и в левой части

Тогда поделим второе уравнение на

Так как в силу неравенства на сумму взаимно обратных чисел

А также

Из оценки на правую часть, получаем для левой части

Домножим оба неравенства на

Подставляя в первое уравнение, получим

Значит, в этом случае — единственная серия решений.

Преобразуем неравенство:

Тогда из первого уравнения системы

Противоречие, так как В этом случае решений нет.

Областью определения функций, входящих в исходное уравнение, являются значения , при которых

Положим и . Тогда, по формулам перехода от одного основания логарифма к другому имеем

Далее, аналогично, и . После этого исходное уравнение запишется так:

Перенося все члены из левой части уравнения в правую и выполняя стандартные преобразования, получаем

Поэтому решениями преобразованного уравнения являются все значения и , удовлетворяющие хотя бы одному из равенств , или , или при условии (это относится только к первым двум равенствам) .

Возвращаясь к исходному уравнению отсюда следует, что с учётом области определения, его решениями являются решения совокупности

Эта совокупность на области определения эквивалентна совокупности уравнений

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

Это уравнение на области определения решений не имеет.

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

Решения уравнения в область определения не входят. Решениями уравнения являются — целое, т.е. . При кратном такие принадлежат области определения, при остальных значениях - нет.

Рассмотрим третье уравнение совокупности:

Решения уравнения в область определения не входят. Если , то , поэтому решения уравнения в область определения также не входят.

Заметим, что знак выражения совпадает со знаком выражения по методу рационализации. Также знак выражения совпадает со знаком выражения Следовательно знаки произведений совпадают. А значит, чтобы выполнялось равенство нулю, нужно, чтобы хотя бы одно из произведений равнялось нулю.

Решив совокупность, получаем ответ. Легко проверить, что при этом в обеих слагаемых получаются нулевые произведения.

Данное уравнение равносильно

Заметим, что в этом случае аргумент логарифма равен положительному числу следовательно, он больше нуля, то есть выполнено ОДЗ уравнения. Преобразуем полученное уравнение, заметив, что

Для существования логарифмов нужно и , так что , то есть .

Домножим всё на , тогда по свойствам логарифмов уравнение имеет вид:

Тогда , но с учётом подходит только .

ОДЗ: , ,

Понятно, что . Пусть . Тогда

Если , то неравенство выполнено.

Если , то , или , здесь решений нет.

Если , то и .

По ОДЗ и . Значит, в итоге и соответственно .

Исходное неравенство равносильно следующему

(1)

a) Пусть тогда и неравенство (1) примет вид откуда

б) Пусть тогда неравенство (1) записывается в виде

(2)

Если то неравенство (1) равносильно неравенству или системе неравенств

где . Система неравенств

несовместна. Если то система (2) равносильна системе

откуда так как

Из данного уравнения следует:

Решим первое уравнение:

Тогда:

Значит такие нам подходят. Решим второе уравнение:

Тогда:

Что определено только при четных , значит такие значения при четных нам подходят. Но заметим, что решения, полученные из первого уравнения такие же, как от второго уравнения.