Тема МВ / Финашка (Миссия выполнима. Твоё признание — финансист)

Алгебраические текстовые задачи на МВ (Финашке)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мв / финашка (миссия выполнима. твоё признание — финансист)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81368

Среди людей, не говорящих по-английски, $4%$ говорят по-французски, а среди людей, не говорящих по-французски, $20%$ говорят по-английски. Во сколько раз число людей, не говорящих по-французски, больше числа людей, не говорящих по-английски?

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.1 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть на английском НЕ говорят х человек, а на французском - y. Какое значение мы можем однозначно выразить, используя эти переменные?

Подсказка 2

Да, можем из условия найти количество людей, не знающих ни один из этих языков, и составить уравнение для x y. Теперь нужно только аккуратно всё посчитать и найти отношение

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — число людей, не говорящих по-английски, а $y$ — число людей, не говорящих по-французски. Тогда из условия людей, не говорящих ни на одном из языков: $96%$ от $x$ , а с другой стороны $80%$ от $y$ .

Откуда $0.96x = 0.8y$ , то есть $y x = 1.2$ .

Ответ: 1,2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63945

Фитнес-центр продал 515 годовых абонементов, базовая цена каждого из которых составляла 8000 рублей. При этом каждый $m$ -й продаваемый абонемент был акционный и продавался со скидкой, равной 1000 руб. Покупатель каждого четвертого акционного абонемента получал, сверх того, и дополнительную скидку в размере 1500 руб. Определите число $m$ , если итоговая выручка фитнес-центра от продажи абонементов составила 3 979 500 руб.

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.1 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В данной задаче проще считать не сумму, потраченную на покупку абонементов, а сумму скидок. Чему она равна?

Подсказка 2

Сумма скидок это 515*8000-3979500. Теперь остаётся лишь посчитать её другим способом и составить уравнение...

Подсказка 3

Будем рассматривать только абонементы со скидкой. Пусть со скидкой 1000+1500=2500 было продано x абонементов. Сколько тогда было продано со скидкой 1000?

Подсказка 4

Тогда со скидкой 1000 было продано "примерно в три раза больше", а если строго, то 3x+r, где r это 0, 1, 2 или 3. Теперь составляем уравнение в целых числах и находим из него x и r.

Подсказка 5

Как теперь найти m? Для этого достаточно найти количество всех билетов со скидкой 1000 и...

Подсказка 6

Разделить 515 на это количество.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — количество абонементов, проданных с максимальной ( $1000 +1500= 2500$ pуб.) скидкой. Количество остальных акционных абонементов тогда выражается формулой $3x+ r$ , где $r ∈{0,1,2,3}$ . При этом общая сумма скидок, равная $2500x +1000(3x+ r)= 5500x+ 1000r$ (руб.), равна с другой стороны $515 ⋅8000− 39795000 =140500$ (руб.)

Уравнение $5500x+ 1000r =1405000$ при $r= 0,1,2$ не имеет целых корней, а при $r= 3$ получается $x= 25.$ Искомое $m$ теперь находим как частное от деления 515 на $25+ 3⋅25+3 =103.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#97443

Салон сотовой связи продал $495$ телефонов, базовая цена каждого из которых составляла $5000$ руб. При этом каждый $m$ -й продаваемый телефон был акционный и продавался со скидкой, равной $500$ руб. Покупатель каждого третьего акционного телефона получал, сверх того, и дополнительную скидку в размере $750$ руб. Определите число $m,$ если итоговая выручка салона от продажи телефонов составила 2 413 750 руб.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что для такой задачи надо составить уравнение для дальнейшего решения, что стоит взять за x?

Подсказка 2

Пусть, x — количество телефонов, которые были проданы с максимальной скидкой. Как тогда можно выразить количество телефонов, которые были проданы со скидкой в 500 рублей?

Подсказка 3

Количество телефонов со скидкой 500 рублей равно 2x + r, где r — число от 0 до 2 (так как количество телефонов, которые были проданы со скидкой, может не делиться на 3). Какое уравнение тогда можно составить?

Подсказка 4

Мы знаем, что выручка равна 2413750, а если каждый телефон был бы продан без скидки, то получилось бы 495*500. Значит, скидка составила 61250 рублей. Тогда имеет место такое уравнение: 1250x + 500*(2x+r) = 61250. Остаётся решить это уравнение при разных r и задача решена!

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — количество телефонов, проданных с максимальной $(500 +750= 1250$ руб.) скидкой. Количество остальных акционных телефонов тогда выражается формулой $2x +r$ , где $r∈ {0,1,2}$ . При этом общая сумма скидок, равная $1250x +500(2x+ r)=2250x+ 500r$ (руб.), равна с другой стороны $495 ⋅5000− 2413750 =61250$ (руб.).

Уравнение $2250x+ 500r =61250$ при $r =0$ и $r= 2$ не имеет целых корней, а при $r= 1$ получается $x =27$ . Искомое $m$ теперь находим как неполное частное от деления 495 на $27+ 2⋅27+ 1= 82$ .

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#76527

В фирме работало 150 сотрудников, в том числе 73 женщины. Затем произошло объединение с другой фирмой, где женщины составляли $40%.$ В результате доля женщин среди сотрудников стала равна $p%.$ Найдите все возможные целые значения $p.$

Источники: Миссия выполнима-2022, 11.1 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посчитаем, сколько всего сотрудников каждого пола оказалось в фирме после слияния.

Подсказка 2

Измерять количество людей через проценты не очень удобно, лучше запишем соотношение полов в виде 2n:3n. Теперь, добавляя количество людей в первой фирме, можно найти отношение количества женщин к количеству людей всего

Подсказка 3

Да, получаем сумму из целого числа и дробного, в знаменателе которого стоит n. Вспомним, что и n, и сама дробь должны быть целыми неотрицательными числами, и найдём все возможные варианты

Показать ответ и решение

В фирме, с которой произошло объединение, отношение числа женщин к числу мужчин равнялось $40 :60 =2 :3.$ Поэтому можно полагать, что там было $2n$ женщин и $3n$ мужчин, где n $∈ ℕ.$ В результате объединения получилась фирма, среди сотрудников которой, ровно $73+ 2n$ женщин. Поскольку

73+ 2n 7300 +200n 1460+40n 260 p = 150+-5n ⋅100=-150+-5n--= --30+n-- =40+ 30+-n,

то число $30+ n$ делит $260$ и может быть равным $260,130,65 или 52.$ Соответствующие значения $p$ равны $41,42,44 и 45.$

Ответ: 41, 42, 44, 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#66354

Какие линейные размеры может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен $200см3,$ площадь полной поверхности равна $2 300см ,$ а периметр основания равен $50см$ ?

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.2 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прямоугольный параллелепипед задаётся своими сторонами, так давайте обозначим их переменными x, y, z.

Подсказка 2

Мы получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, её можно решить методом подстановки.

Показать ответ и решение

Пусть его стороны $a,b,c,$ тогда получаем систему

(| abc= 200 { 2(ab+bc+ ac) =300 |( 2(a+ b) =50

{ b =25− a c = 150−ab= 150−ab a+b 25

150−-200c- 8 c= 25 = 6− c

2 c − 6c+ 8= 0

c= 2 или c =4

Получили два случая.

В первом $c= 2,$ откуда $ab= 100,a +b= 25 ⇐⇒ a= 5,b= 20$ (второй вариант не будем включать из-за симметрии обозначений).

Во втором $c= 4$ и $25−5√17- 25+5√17 ab =50,a+b =25 ⇐⇒ a= ---2--,b= --2---.$

Ответ:

$2$ см $× 5$ см $× 20$ см (с точностью до порядка следования)

или

$4$ см $25−5√17 × 2$ см $25+5√17 × 2$ см (с точностью до порядка следования)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#96825

При оптимизации штатного расписания в учреждении было сокращено $13$ вакансий, в результате чего их доля в расписании снизилась на $13$ процентных пунктов. Зная, что вакансии в этом учреждении еще остались, определите их количество.

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.1 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим за m количество оставшихся вакансий, а за n — количество работников. Как тогда записать условие на долю?

Подсказка 2

(m+13)/(m+n+130)- m/(m+n) = 0.13. Попробуем преобразать в произведение двух скобок! Нам повезло, что скобки целые — тогда мы решаем уравнение в натуральных числах!

Подсказка 3

(m+n)(m+n+13) = 100n. Какие выводы можно сделать о каждой скобке, на что они должны делиться?

Подсказка 4

Одна из них кратна 25, а другая — 4! Тогда несложно перебрать их значения ;)

Показать ответ и решение

Пусть в учреждении было $m + 13,$ а осталось $m >0$ вакансий. Тогда, если $n$ — число работающих, то

-m-+13-- -m--- 13- m+ n+ 13 − m +n = 100

(m + n)(m +n +13)= 100 ⋅n

Отсюда ясно, что ( $m + n$ ) и ( $m + n+ 13$ ) — натуральные числа, меньшие $100.$ Причём одно из них кратно $25,$ а другое $4.$ Перебором устанавливаем, что $m + n= 12$ либо $m +n = 75.$ В первом случае $12⋅(12+13) n = 100 = 3,$ а во втором: $75⋅(75+13) n = --100---= 66.$

Число оставшихся вакансий $m$ в обоих случаях равно $9.$

Ответ:

$9$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#96831

Пекарня планирует перейти на округление чеков в меньшую сторону (покупатель будет платить $p$ рублей за товар ценой в $p$ рублей с копейками). В связи с этим коммерческий директор выбрал $100$ чеков и подсчитал, что выручка при таком округлении снизилась бы на $1%.$ Известно, что чеков на сумму менее $10$ рублей не было, и что все цены в пекарне кратны $10$ копейкам. Каким наибольшим (среди этих чеков) могло быть количество чеков на сумму более $100$ рублей каждый?

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.8 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, а какое вообще количество может потерять пекарня с одного чека? А со всех?

Подсказка 2

С одного чека теряет не более 90 копеек, значит, мы можем оценить потери со всех чеков и с помощью условия оценить сумму всех чеков!

Подсказка 3

Отлично, теперь попробуем посчитать сумму всех чеков другим способом. Что, если ввести переменную, отвечающую за количество чеков на сумму от 100 рублей? Сколько тогда пекарня могла получить после округления?

Подсказка 4

Если больших (на сумму от 100 рублей) было n, то после округления пекарня получила бы не меньше, чем 100n + 10*(100-n). Теперь, исходя из условия, мы можем оценить сумму чеков до округления! Здорово, ведь эту сумму можно сравнить с суммой из подсказки 2 ;)

Показать ответ и решение

Чек на сумму более $100$ рублей будем называть большим. Заметим, что при округлении одного чека пекарня теряет не более $90$ коп., а при округлении $100$ чеков — не более $90$ руб. Поэтому чеки были выбраны на общую сумму, не превышавшую $9000$ руб.

Пусть ровно $n$ чеков из выбранных были большими. Тогда при округлении всех $100$ чеков пекарня получила бы не меньше, чем $100⋅n+ 10⋅(100− n)=90⋅n +1000$ рублей. Следовательно, без округления получено не меньше, чем $90⋅n+1000 100⋅(90⋅n+1000) 0,99 = 99$ руб. Наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству $100⋅(90⋅n+1000) -----99-----< 9000,$ равно $87.$ И оно, действительно, могло быть реализовано на чеках. Например, при $87$ чеках на сумму $100,9$ руб. каждый, $12$ чеках на сумму $16,9$ руб. каждый и одном чеке на сумму $18,9$ руб.

Ответ:

$n =87$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#84144

В некотором регионе $60%$ работающих — бюджетники, и их зарплата в среднем на $20%$ ниже средней зарплаты по этому региону. На сколько процентов должна повыситься зарплата бюджетников, чтобы сравняться со средней зарплатой всех работающих?

Показать ответ и решение

Пусть $n$ - число всех работающих, $s−$ их средняя зарплата. Тогда число бюджетников равно $0,6n$ , а их средняя зарплата равна $0,8s$ . Зарплата всех бюджетников равна $0,6n⋅0,8s= 0,48ns$ . Средняя зарплата остальных $0,4n$ работающих равна

ns− 0,48ns --0,4n----=1,3s.

Чтобы зарплата бюджетников стала равной зарплате всех работающих в данном регионе, необходимо чтобы она выросла с $0,8s$ до $1,3s$ , то есть на

1,3s-− 0,8s ⋅100% =62,5%. 0,8s

Ответ:

на $62,5%$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#68089

1 января 1019 года количество золотых монет у купца Ивана относилось к количеству золотых монет у купца Петра как $3:7$ . Каждый день 1019 года, начиная со 2 января, у одного из них количество золотых монет увеличивалось (у Ивана — ровно на 7 монет, у Петра — ровно на 3 монеты), а у второго оставалось неизменным. Укажите ближайшую дату, когда отношение количества монет у Ивана к количеству монет у Петра снова может стать $3:7.$

Источники: Миссия выполнима - 2019, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте записать то отношение, которое нам дали в задаче математически. Как в таком случае можно записать прибавление по 7 монет для одного человека и по 3 монеты для другого человека?

Подсказка 2

Да, если Вы сделали всё правильно и привели подобный слагаемые, то должно было получиться равенство вида 49k = 9m, где k, m — целые неотрицательные числа! Осталось понять, при каких k и m это может выполняться.

Подсказка 3

Конечно, так как их сумма должны быть минимальной(исходя из вопроса задачи), то сами k и m должны быть минимально возможными! Возможно, быстрее понять правильный ответ поможет факт: НОД(49; 9) = 1

Показать ответ и решение

Пусть $3n$ и $7n$ — первоначальное количество монет у Ивана и Петра соответственно.

Через некоторое время количество монет у Ивана будет $3n+ 7k$ , а у Петра $7n +3m$ . При этом $7(3n +7k)= 3(7n+ 3m)$ .

Следовательно, $49k =9m$ .

Нужно определить при какой наименьшей сумме $k+ m$ это возможно.

Так как $m$ должно делиться на $49$ , а $k$ — на $9$ , то наименьшая сумма $k+ m$ равна $58$ .

Итак, отношение количества монет у Ивана к количеству монет у Петра снова может стать $3:7$ только через $58$ дней, то есть $28$ февраля $1019$ года.

Ответ:

$28$ февраля $1019$ года

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#66355

Сотрудники фирмы делятся на трудяг и лентяев. В $2016$ году средняя зарплата трудяг превышала в два раза среднюю зарплату лентяев. Повысив свою квалификацию, трудяги в $2017$ году стали получать на $50%$ больше, а зарплата лентяев не изменилась. При этом часть лентяев уволили в конце $2016$ года. Средняя зарплата всех сотрудников в $2017$ году стала на $20%$ больше, чем была в $2016$ году. Найдите, сколько процентов от общего числа сотрудников составляли в $2017$ году трудяги, если в $2016$ году их было $10%.$

Источники: Миссия выполнима - 2018, 11.4 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо придумать, какие бы такие переменные ввести, чтобы они нормально описывали происходящее. Подумаем, какие есть независимые “составляющие” у задачи. Во-первых, число людей, его для удобства в начале можно обозначить за 10х. Во-вторых, зарплаты этих людей, и в-третьих, доля сотрудников, которых уволили. Вводя эти три величины, можно описать всё, что происходит в задаче. Неважно, например, какую вводить переменную: “зарплата трудяги” или “зарплата лентяя” — они все равно выражаются друг через друга. Поэтому вводим переменные из соображений удобства подсчетов.

Подсказка 2

Понятно, что такое средняя зарплата — количество всех денег, отнесенное к числу сотрудников. Как раз от этой величины и надо отталкиваться — записываем через наши три переменные, чему средняя зарплата была равна в начале и чему стала равна в конце. Отсюда получится выразить k — долю уволенных лентяев, а зная k, легко понять, как изменилась доля трудяг среди работников.

Показать ответ и решение

Пусть в $2016$ было $9x$ лентяев и $x$ трудяг, при этом зарплата лентяев была $y,$ трудяг — $2y.$ Отсюда в $2017$ зарплата трудяг стала $3y,$ то есть в полтора раза больше. Пусть также оставили долю $k <1$ всех лентяев (остальных $1− k$ уволили), посчитаем среднюю зарплату. Для этого нужно весь поток денег поделить на число сотрудников. В $2016$ она была

9x⋅y+ x⋅2y 11 ----10x----= 10y

а в $2017$ стала

9kx⋅y+ x⋅3y 9k+ 3 12 11 ---x+9kx---= 9k+-1y = 10 ⋅10y

где последнее равенство следует из повышения зарплаты в $1.2$ раза.

В итоге $900k+ 300= 132⋅9k+ 132 ⇐⇒ k= 172,$ то есть лентяев осталось $9x⋅ 712 = 241x.$ Тогда доля трудяг равна $x+x21∕4x = 425 = 16%.$

Ответ:

$16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#84143

Турнир по стрельбе предполагает несколько серий по 10 выстрелов каждая. В одной серии Иван выбил 82 очка, в результате чего среднее количество очков, выбиваемых им за серию, увеличилось с 75 до 76 очков. Сколько очков должен выбить Иван в следующей серии выстрелов, чтобы среднее количество очков, выбитых за серию, стало равно $77?$

Показать ответ и решение

Пусть $N$ - выбитые очки за $n$ рассматриваемых серий, в последней из которых Иван выбил 82 очка. Тогда

N = 76n

N − 82= 75(n− 1)

Решая полученную систему, находим $n= 7$ и $N =532$ .

Пусть для выполнения условия задачи Ивану необходимо выбить $x$ очков. В этом случае получаем

77⋅8= 532+x ⇒ x= 84

Ответ: 84

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#74601

Каждый из 2017 учащихся средней школы изучает английский или немецкий язык. Английский язык изучают от $70%$ до $85%$ от общего числа учащихся, а оба языка изучают от $5%$ до $8%$ . Какое наибольшее число школьников может изучать немецкий язык?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что надо сделать с количеством учеников, которые изучают английский язык или оба языка, чтобы максимизировать число тех, кто изучает немецкий?

Подсказка 2

Для ответа на предыдущий вопрос, давайте составим уравнение на количество учеников! 2017 = A + C - B(это можно понять с помощью кругов Эйлера), где A - те, кто изучает только английский, C - количество тех, кто изучает только немецкий, B - оба языка! Отсюда видно, что C = 2017 - A + B, то есть надо минимизировать число тех, кто изучает английский и максимизировать число тех, кто изучает обо языка!

Подсказка 3

Английский изучает не менее 2017*0.7 = 1411.9, а оба языка изучают не более 2017*0.08 = 161.31, остаётся в правильную сторону округлить числа, и задача решена!

Показать ответ и решение

Пусть $A$ человек изучают английский язык, $B$ – немецкий язык, а $C$ – оба языка. Тогда $B = 2017 − A +C.$ Известно, что $A ≥ 2017⋅0,7= 1411,9$ и $C ≤ 0,08⋅2017= 161,31.$

Следовательно, $B ≤ 2017 − 1412+161= 766.$

Тогда наибольшее $B = 766,$ а достигается при $A= 1412,C =161.$

Ответ: 766

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#66352

В школе учатся $1200$ школьников, у каждого из которых каждый день по пять уроков. Любой учитель этой школы проводит в день $4$ урока. Сколько учителей работает в школе, если в каждом классе ровно $30$ учеников?

Источники: Миссия выполнима - 2016, 9.3 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посчитаем количество классов в школе, чтобы понять, сколько всего нужно провести уроков.

Подсказка 2

А теперь обозначьте за x количество учителей и составьте уравнение.

Показать ответ и решение

Пусть учителей $x,$ тогда они могут провести $4x$ уроков в день. Школьникам же требуется $1200⋅5= 200 30$ уроков, где первое число означает число классов, которым нужно проводить уроки. Отсюда $200 =4x ⇐ ⇒ x =50.$

Ответ:

$50$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#74604

В треугольнике отметили шесть ячеек: в вершинах и в серединах сторон. Шесть последовательных натуральных чисел от 10 до 15 вписаны в эти ячейки таким образом, что суммы трех чисел на каждой из сторон равны. Какое максимальное значение может принимать эта сумма?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте предположим, что сумма на каждой стороне равна S. Запишите уравнения с этими суммами и сложите их все) Что можно заметить?

Подсказка 2

С одной стороны будет сумма всех ячеек + сумма всех вершин треугольника (т.к. они в двух суммах участвовали каждая), а с другой - 3S. Попробуйте с помощью этого оценить S, ведь мы точно знаем сумму всех чисел)

Подсказка 3

Да, S ≤ 25 + (15+14+13)/3 = 39! Осталось привести пример)

Показать ответ и решение

Пусть $a,b,c,d,e,f$ — указанные числа, записанные в порядке их следования в кругах при обходе по часовой стрелке и числа a, c, e располагаются в вершинах треугольника. Если $S$ — рассматриваемая сумма, то имеем:

( |{ a+ b+ c=S, |( c+ d+ e=S, e+ f + a= S.

Складывая все уравнения системы, получаем: $(a+ b+ c+d +e+ f)+ a+c+ e= 3S,$ где $a+ b+c+ d+ e+f = 75,$ то есть:

a+-c+e- 75+ a+ c+e =3S ⇔ S = 25+ 3 .

Следовательно, число $S$ не может быть больше числа $15+14+13 25+ 3 = 39.$

Приведем пример, когда $39$ достигается.

$PIC$

Ответ: 39

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#97447

Егоров решил открыть накопительный вклад для покупки автомобиля стоимостью $900000$ руб. Начальная сумма вклада равна $300000$ руб. Через месяц и далее ежемесячно Егоров планирует пополнять свой вклад на $15000$ руб. Банк начисляет ежемесячно проценты по ставке $12%$ годовых. Начисленные за месяц проценты перечисляются на вклад, и в следующем месяце на них также начисляются проценты. Через какое наименьшее число месяцев на вкладе будет сумма достаточная для покупки автомобиля?

Показать ответ и решение

Пусть $S n$ - сумма вклада через $n$ месяцев после начисления процентов и после внесения дополнительных взносов $D$ ( 15000 руб.). Так как в месяц банк начисляет $1%$ , то

S1 =300000(1+ 0,01)+D, S2 =S1(1+ 0,01)+ D = (S0(1+0,01)+ D)(1+ 0,01)+D = S0(1+ 0,01)2 +D (1+ (1+0,01)) S3 =S2(1+ 0,01) =(S0(1 +0,01)2+D (1 +0,01)+ D)(1+ 0,01)+ D = = S0(1+ 0,01)3+ D ((1+ 0,01)2 +(1+ 0,01)+ 1) .........................................(................... ) Sn = S0(1+ 0,01)n +D (1+ 0,01)n− 1+(1+ 0,01)n−2+ ...+ (1 +0,01)+ 1

По формуле суммы $n$ членов геометрической прогрессии получаем

1,01n− 1 1,01n − 1 (1 +0,01)n−1+(1+ 0,01)n−2+ ...+ (1+0,01)+ 1= -1,01− 1-=--0,01--

Следовательно, $Sn = S0(1+ 0,01)n +D 1,001n,0−1-1$ . Искомое число месяцев удовлетворяет неравенству

300000⋅1,01n+ 150001,01n−-1 ≥900000 ⇔ 0,01 ⇔ 3⋅1,01n+15(1,01n− 1)≥9 ⇔ ⇔ 18 ⋅1,01n ≥24⇔ 1,01n ≥ 24-⇔ n≥ 28,91 18

Таким образом, достаточная для покупки автомобиля сумма будет на вкладе через 29 месяцев.

Ответ: 29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#97448

Несколько бизнесменов решили открыть фирму и делить всю прибыль на равные части. Одного из бизнесменов назначили директором. Однажды этот директор фирмы перевел часть прибыли со счета фирмы на свой собственный счет. Эта часть денег была втрое больше, чем часть каждого из остальных, если бы они разделили остаток прибыли между собой поровну. После этого директор покинул фирму. Следующий директор фирмы, один из оставшихся бизнесменов, сразу же поступил точно также, как и предыдущий и т. д. В конце концов, предпоследний директор фирмы перевел на свой собственный счет часть прибыли, которая также была в три раза больше, чем осталось у последнего бизнесмена. В результате этих распределений доходов последний бизнесмен получил денег в $190$ раз меньше, чем первый директор фирмы. Сколько бизнесменов открыли эту фирму?

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — количество бизнесменов и $d i$ — прибыль $i$ -го директора, $i=1,...,n$ . По условию $d = 3di+1+di+2+...+dn- i n− i$ . Тогда

di+1+di+2+...+dn- di−1 = 3di+di+1+...+dn-=33----n−i-----+-di+1+-...+-dn= n− i+1 n − i+ 1 = 3(n−-i+3)(n(di−+ i1)(+n−di+i2++1)...+-dn)

Таким образом,

di−1-= n−-i+3,i= 2,...,n di n− i+1

Перемножая эти равенства, получим

d1 d1 d2 dn−1 dn = d2 ⋅ d3-⋅...⋅-dn-=

= nn-+−1 1 ⋅nn−-2 ⋅...⋅ 42 ⋅ 31 = (n+21)n

По условию $dd1n = 190$ , то есть $(n+ 1)n = 380$ , откуда $n= 19$ .

Ответ: 19

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#77216

Инвестиционная компания вложила равное количество денег в несколько проектов. При этом для каждого проекта в случае успеха вложенный капитал увеличивался на $25%$ , а в случае неудачи фирме возвращалось только четверть вложенных в проект средств. За год фирма увеличила свой капитал на 20 $%.$ Определите, во скольких случаях фирме сопутствовал успех, если средства были вложены не более чем в 25 проектов.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — деньги, вкладываемые в один проект, $m$ — число всех проектов, $1≤ m ≤25$ . Тогда начальный капитал фирмы равен $mx$ . Пусть $y$ — количество успешных проектов, тогда ( $m− y$ ) — количество неуспешных проектов. Из вложенных в неуспешные проекты $(m − y)x$ денег компании вернется

1 4(m− y)x

Из вложенных в успешные проекты $yx$ денег компании вернется

1 5 yx +4 yx = 4yx

По условию задачи, за год фирма увеличила свой капитал на $20%$ , то есть он составил

mx + 1mx = 6mx. 5 5

Получим уравнение:

1(m − y)x+ 5yx = 6mx, m − y +5y = 24m, 4y = 19m, 4 4 5 5 5 y =19m. 20

Среди чисел $1,2,...,25$ только $m =20$ удовлетворяет условию натуральности числа $y$ , поэтому $y =19$ .

Ответ: в 19 случаях

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#84146

В организации работает 200 сотрудников. Для изменения административно-правового статуса организации необходимо, чтобы за это проголосовали не менее $2 3$ ее сотрудников. При первом голосовании было принято решение не менять административно-правовой статус. Через год статус организации решили поменять, поскольку число сторонников этого изменения выросло в $12 11$ раза. Сколько сторонников изменения правового статуса было изначально, если общее число сотрудников не менялось?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть х – число изначальных сторонников изменения, как мы можем оценить х с учётом того, что изначально статус компании не изменился?

Подсказка 2

Теперь сторонников стало больше, и статус компании все же поменялся. Какое неравенство мы можем составить?

Подсказка 3

Мы получили две оценки на х, остается лишь учесть, что х – целое число, и получить ответ)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — число изначальных сторонников изменения. Тогда по условию $x< 2⋅200= 1331, 3 3$ а иначе административно-правовой статус компании изменился бы сразу. Так как $x$ — целое, то $x≤ 133.$

С другой стороны, через год стало $12 11x$ сторонников изменения, и изменение было принято. Тогда получаем неравенство

12 400 11x≥ -3-

То есть $x≥ 11090= 12229.$ Так как, $x$ — целое, то $x ≥123.$

Из условия следует, что $12x 11$ — целое, значит, $x ... 11.$ Таким образом, нужно найти число $x$ , делящееся на $11,$ которое удовлетворяет условию $123≤ x≤ 133.$ Легко видеть, что это единственное число $132.$

Ответ: 132

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#97444

При осеннем сборе урожая собрали $200$ ящиков яблок и рассортировали. На консервный завод отправили более $8%,$ но менее $14%$ ящиков от их общего количества. $52%$ от оставшихся ящиков отправили в магазины, а остальные ящики с яблоками — на хранение. Сколько процентов ящиков с яблоками от общего их количества отправили на хранение?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сколько ящиков могли оправить на завод? Давайте оценим это количество y.

Подсказка 2

0.86*200 < y < 0.92 * 200. Так мы сможем понять, сколько же ящиков могли увезти. Давайте обратимся к здравому смыслу. Если в задаче сказано, что 0.52y увезли, то что можно сказать про это число?

Подсказка 3

Оно целое! Осталось понять, при каком y 0.52y будем целым!

Показать ответ и решение

Пусть $y$ — количество ящиков яблок, которые отправили в магазины и на хранение.

Из условия задачи следует

0,86 ⋅200< y < 0,92⋅200

172< y < 184

Итак, возможны следующие варианты:

y =173,174,175,176,177,178,179,180,181,182,183

Поскольку $0,48y$ является целым числом, то $y =175$ , а $0,48y =84$ . На хранение отправили 84 ящиков яблок, то есть $42%$ .

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#97446

На собеседовании $39$ претендентам на должность финансового аналитика было предложено пройти три испытания. Первое испытание не прошел $21$ человек, второе — $23$ человека, а третье — $20$ человек. Хотя бы одно из первых двух испытаний не прошел $31$ претендент, из первого и третьего — $30$ претендент, из второго или третьего — $31$ претендент. На работу взяли всех, кто успешно справился со всеми испытаниями. Сколько человек были приняты на работу, если $7$ претендентов не справились ни с одним из испытаний?

Показать ответ и решение

Пусть $x i$ — число претендентов, которые не справились с $i$ -ым испытанием, $x ij$ — число претендентов, которые одновременно не справились с $i$ -ым и $j$ -ым испытанием, $x123$ — число претендентов, которые не справились ни с одним из испытаний.

Итак, $x1 = 21,x2 =23,x3 = 20,x123 = 7$ . Число претендентов, которые не справились хотя бы с одним из испытаний, $i$ -ым и $j$ -ым, равно $xi+ xj − xij$ .

Следовательно,

x1+x2− x12 = 31 ⇒ x12 = x1 +x2− 31= 21 +23− 31= 13 x1+x3− x13 = 30 ⇒ x13 =x1+ x3− 30 =21+ 20− 30 =11 x2+x3− x23 = 31 ⇒ x23 = x2 +x3− 31= 23 +20− 31= 12

Число человек, которые не справились хотя бы с одним из испытаний, равно

x1+x2+ x3− x12− x13− x23+ x123 = 21+ 23+20− 13− 11− 12+ 7= 35

следовательно, на работу приняли $39− 35= 4$ человек.

Ответ: 4

Предыдущий раздел

Следующий раздел