03 Конечные вероятностные пространства. Условная вероятность. Формула полной вероятности.

Давайте для начала нарисуем картинку

Понятно, что чтобы посчитать вероятность объединения , нужно как минимум сложить вероятности событий . То есть, начало формулы будет явно таким, поскольку их мы учесть обязаны:

Но что же дальше? Ясно, что если мы так сложим вероятности, мы посчитаем вероятности попарных пересечений дважды: мы дважды учтём (как часть и как часть ), дважды учтём (как часть и как часть ) и дважды учтём (как часть и как часть ). Поэтому вероятности этих пересечений нужно отнять, чтобы не посчитать их дважды. Значит, наша формула продолжается так:

Однако теперь заметим, что мы трижды посчитали сердцевину - вероятность тройного пересечения - как часть , как часть и как часть .

Однако и отняли вероятность сердцевины мы тоже три раза - когда отнимали . Значит, на данном этапе вероятность сердцевины у нас вообще не посчитана, и её нужно добавить. Получается, что итоговая формула будет такая:

Замечание 1. Эта формула называется формулой включений-исключений и, разумеется, допускает обобщение на любое количество множеств.

Замечание 2. Разумеется, можно было доказать всё иначе, просто разбив наше изначальное объединение на непересекающиеся части и сосчитав сумму их вероятностей.

Обозначим за событие, что наугад выбранное число делится на , за событие, что наугад выбранное число делится на и за событие, что наугад выбранное число делится на . Понятно, что (поскольку каждое третье число делится на 3). Аналогично, (поскольку каждое пятое число делится на 5) и (поскольку каждое седьмое число делится на 7).

Далее, - это вероятность того, что наугад выбранное число делится одновременно на и на 5. То есть делится на 15. Следовательно, .

Аналогично, - это вероятность того, что наугад выбранное число делится одновременно на и на 7. То есть делится на 35. Следовательно,

И точно так же - это вероятность того, что наугад выбранное число делится одновременно на и на 7. То есть делится на 21. Следовательно, .

И, в конце концов, - это вероятность того, что наугад выбранное число делится одновременно на и на 5 и на 7. То есть делится на 105. Следовательно, .

Тогда по формуле включений-исключений для трёх событий, имеем: вероятность того, что наугад выбранное число делится хотя бы на одно из чисел: , то есть равна:

И, подставляя наши числа:

Обозначим за событие, что наугад выбранное число делится на , за событие, что наугад выбранное число делится на и за событие, что наугад выбранное число делится на . Понятно, что (поскольку каждое третье число делится на 3). Аналогично, (поскольку каждое шестое число делится на 6) и (поскольку каждое седьмое число делится на 7).

Далее, - это вероятность того, что наугад выбранное число делится одновременно на и на 6. То есть делится на 6. Следовательно, .

Аналогично, - это вероятность того, что наугад выбранное число делится одновременно на и на 7. То есть делится на 42. Следовательно,

И точно так же - это вероятность того, что наугад выбранное число делится одновременно на и на 7. То есть делится на 21. Следовательно, .

И, в конце концов, - это вероятность того, что наугад выбранное число делится одновременно на и на 6 и на 7. То есть делится на 42. Следовательно, .

Тогда по формуле включений-исключений для трёх событий, имеем: вероятность того, что наугад выбранное число делится хотя бы на одно из чисел: , то есть равна:

И, подставляя наши числа:

Пусть - событие, состоящее в том, что случайно выбранный турист знает немецкий, - событие, состоящее в том, что случайно выбранный турист знает французский. - событие, состоящее в том, что случайно выбранный турист знает либо немецкий, либо французский, - событие, состоящее в том, что случайно выбранный турист знает оба языка.

Тогда, понятное дело, , . А как же посчитать ? Но мы-то по условию знаем, что человек не знают ни того, ни другого языка. Значит, 90 человек знают хотя бы один. Следовательно, .

Но тогда, вспоминая формулу для вероятности объединения любых двух событий:

Получаем, что

Но это и есть искомая вероятность.

Всего при двух бросках кубика у нас возможны 36 вариантов:

То есть всевозможные пары где .

А исходы, при которых сумма является простым числом - это:

То есть их всего 15 штук. Следовательно, поскольку модель вероятности классическая, то есть все исходы равновероятны, то исходная вероятность равна

Пусть - событие, состоящее в том, что первый выбранный велосипед - не бракованный, - событие, состоящее в том, что второй выбранный велосипед - не бракованный, - событие, состоящее в том, что третий выбранный велосипед - не бракованный.

Тогда понятно, что нас интересует . Но эту вероятность проще всего будет вычислить по так называемому правилу цепи. Оно работает, когда у нас вероятность каждого следующего события сильно зависит от того, случилось или не случилось предыдущее. Итак, можно расписать вероятность пересечения через условные вероятности:

Ну и точно так же применяем еще раз это же соображение: :

Эта последняя формула и называется правилом цепи. То есть у нас вероятность пересечения расписана только через условные вероятности. Мы так сделали, потому что так будет проще всего посчитать, ведь эти условные вероятности легко вычисляются.

Ну, во-первых понятно, что безусловная , а далее . Потому что - это вероятность того, что второй окажется не бракованным, если мы первый взяли не бракованный. Но раз мы первый взяли не бракованный, то хороших велосипедов осталось 94, а всего их осталось 99. Именно поэтому получилась такая дробь.

Аналогично , потому что это вероятность того, что мы третий взяли не бракованный, при условии что первый и второй тоже были не бракованными. Но значит хороших велосипедов осталось 93, а всего их было уже 98. Поэтому у нас такая дробь.

Значит, в конце концов:

a) Всего есть 4 равновероятные возможности того, кто мог родиться в семье: .

Следовательно, вероятность элементарного исхода, состоящего в том, что родились 2 девочки, равна .

Замечание. Важно, что здесь мы выбрали именно классическое вероятностное пространство, то есть взяли такое

что все элементарные исходы в нем равновероятны. Поступи мы иначе, а именно, скажи мы, что возможны всего три исхода:

то отсюда был бы соблазн сказать, что вероятность того, что обе девочки равна - поскольку это один вариант из трёх в модели Но это был бы неверный ответ. Поскольку МОДЕЛЬ - НЕ ЯВЛЯЕТСЯ КЛАССИЧЕСКОЙ, В НЕЙ НЕ ВСЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИСХОДЫ РАВНОВЕРОЯТНЫ.

b) Пусть - событие, состоящее в том, что оба ребенка девочки, - событие, состоящее в том, что один из детей - девочка. Тогда надо найти .

Заметим, что . Однако , но вероятность пересечения события с каким угодно другим событием не может оказаться больше, чем просто сама . Следовательно, учёный ошибся в расчётах.

a) Пусть событие состоит в том, что тест покажет наличие вируса. Пусть событие состоит в том, что человек здоров. Тогда нам нужно найти - это и есть вероятность ложноположительного теста.

Со знаменателем здесь всё легко - нам по условию дано, что из популяции болеет 5 населения, значит, .

А в числителе - это вероятность того, что человек одновременно здоров, а тест ему показал наличие вируса. Но тест показывает наличие вируса только у 90 больных, значит, у 10 здоровых он тоже показывает наличие вируса. Значит, . Таким образом,

b) Пусть событие состоит в том, что тест покажет отсутствие вируса. Пусть событие состоит в том, что человек болен. Тогда нам нужно найти - это и есть вероятность ложноотрицательного теста.

Со знаменателем здесь всё легко - нам по условию дано, что из популяции болеет 5 населения, значит, .

А в числителе - это вероятность того, что человек одновременно болен, а тест ему показал отсутствие вируса. Но тест показывает отсутствие вируса только у 99 здоровых, значит, у 1 больных он тоже показывает отсутствие вируса. Значит, . Таким образом,

Как же так? Несмотря на то, что по условию, казалось бы, тест навскидку кажется довольно хорошим (и, разумеется, именно цифры из условия и стоит озвучивать в рекламной компании, если мы хотим обмануть людей), но при расчётах например аж в целых 20 случаев тест будет ложноотрицательный, то есть скажем больному человеку, что он здоров. Этот эффект вызван тем, что в популяции мало больных людей.