Тема 11. Задачи на свойства графиков функций

11.01 Задачи №11 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#100056

На рисунке изображён график функции $f (x)= --k--. x + a$ Найдите значение $x,$ при котором $f (x)= 20.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 1

Показать ответ и решение

Коэффициент $a$ функции $f(x)$ отвечает за сдвиг вертикальной асимптоты. По картинке видно, что ею является прямая $x = −1,$ значит, $a= 1.$

Найдем коэффициент $k.$ По картинке видно, что график функции $f(x)$ проходит через целую точку $(− 3;− 2),$ следовательно, справедливо равенство

f(− 3)= −2 k −-3+-a = −2 --k---= −2 − 3+ 1 k--= −2 −2 k =4

Таким образом, мы восстановили уравнение функции:

-4--- f(x)= x+ 1.

Тогда

f(x)= 20 4 x+-1-= 20 4 =20x +20 20x= − 16 x= −0,8

Ответ: -0,8

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#100057

На рисунке изображён график функции $f(x)= -k--. x+ a$ Найдите $f(18).$

$120xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

Коэффициент $a$ функции $f(x)$ отвечает за сдвиг вертикальной асимптоты. По картинке видно, что ею является прямая $x = 3,$ значит, $a = −3.$

Найдем коэффициент $k.$ По картинке видно, что график функции $f(x)$ проходит через целую точку $(2;3),$ следовательно, справедливо равенство

f(2)= 3 k 2+-a = 3 -k--= 3 2− 3 -k-= 3 − 1 k = −3

Таким образом, мы восстановили уравнение функции:

--3-- f(x)= −x − 3.

Тогда

f(18) =− --3-- =− 3-= − 1= − 0,2. 18− 3 15 5

Ответ: -0,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32264

Ha рисунке изображён график функции $f(x)= ax+ b.$ Найдите значение $x,$ при котором $f (x)= 76.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Найдем коэффициент $b,$ подставив в уравнение функции точку $(0;−4),$ через которую проходит график:

f(0)= − 4 a0+ b= −4 1 +b =− 4 b= −5

Теперь найдем основание $a,$ подставив в уравнение функции точку $(1;−2),$ через которую проходит график:

f(1)= − 2 a1− 5= −2 a = 3

Значит, теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

x f(x)= 3 − 5.

Тогда можем получить уравнение на $x:$

f(x) = 76 3x− 5= 76 x 3 = 81 3x = 34 x = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99974

Ha рисунке изображён график функции $f(x) =ax +b.$ Найдите $f(−4).$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

Найдем коэффициент $b,$ подставив в уравнение функции точку $(0;3),$ через которую проходит график:

f(0)= 3 0 a + b= 3 1+ b= 3 b= 2

Теперь найдем основание $a,$ подставив в уравнение функции точку $(−2;6),$ через которую проходит график:

f(−2)= 6 a−2+ 2= 6 1 a2 = 4 a= 1 2

Значит, теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

(1 )x f(x)= 2 + 2.

Тогда

( )−4 f(−4) = 1 +2 = 16 +2 = 18. 2

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#100206

На рисунке изображены графики двух функций вида $f(x)= kx +b,$ которые пересекаются в точке $A (x0;y0).$ Найдите $y0.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 5

Показать ответ и решение

Пусть $f(x) =k1x +b1$ — уравнение первой прямой, $g(x)= k2x +b2$ — уравнение второй прямой.

Заметим, что прямая $y = f(x)$ проходит через точки $(−3;−2)$ и $(2;5).$ Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение этой прямой в верное равенство. Тогда получаем систему из двух уравнений:

$pict$

Значит, уравнение первой прямой имеет вид

f(x)= 1,4x +2,2.

Вторая прямая проходит через точки $(1;−3)$ и $(6;1).$ Следовательно, получаем следующую систему:

$pict$

Значит, уравнение второй прямой имеет вид

g(x)= 0,8x − 3,8.

Обе прямые проходят через точку $A(x0;y0)$ по условию, тогда имеем систему:

$pict$

Тогда

y0 =0,8x0− 3,8= 0,8⋅(− 10)− 3,8= −8 − 3,8= −11,8.

Ответ: -11,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#100207

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 6

Показать ответ и решение

Пусть $f(x) =k1x +b1$ — уравнение первой прямой, $g(x)= k2x +b2$ — уравнение второй прямой.

Заметим, что прямая $y = f(x)$ проходит через точки $(−3;− 3)$ и $(−2;4).$ Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение этой прямой в верное равенство. Тогда получаем систему из двух уравнений:

$pict$

Значит, уравнение первой прямой имеет вид

f(x)= 7x+ 18.

Вторая прямая проходит через точки $(−3;3)$ и $(1;1).$ Следовательно, получаем следующую систему:

$pict$

Значит, уравнение второй прямой имеет вид

g(x)= − 0,5x+ 1,5.

Пусть $A (x0;y0)$ — общая точка прямых. Тогда имеем систему:

$pict$

Ответ: -2,2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#100208

На рисунке изображён график функции $f(x) =c +logax.$ Найдите $f (64).$

$210xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Сразу заметим, что $a⁄= 1,$ $a >0,$ иначе $logax$ не определён. По картинке видим, что целые точки $(1;−1)$ и $(4;−2)$ принадлежат графику функции $f(x),$ поэтому можем составить систему:

$pict$

Решим оставшееся уравнение:

loga4 =− 1 loga4 −1 a = a 1 4= a 1 a= 4

Значит, функция имеет вид

f(x)= − 1+ log14 x.

Осталось найти $f(64):$

f(64)= −1+ log 64= −1 +log 43 = 14 4−1 = − 1− log443 = −1 − 3 = −4

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#100209

На рисунке изображён график функции $f(x)= c+ loga x.$ Найдите значение $x,$ при котором $f(x)= 1.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 8

Показать ответ и решение

Сразу заметим, что $a⁄= 1,$ $a >0,$ иначе $logax$ не определён. По картинке видим, что целые точки $(1;−3)$ и $(4;−1)$ принадлежат графику функции $f(x),$ поэтому можем составить систему:

$pict$

Значит, функция имеет вид

f(x) =− 3+ log2x.

Тогда можем составить уравнение:

f(x)= 1 − 3+ log2x= 1 log2x= 4 log2x 4 2 = 2 x= 16

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#100210

На рисунке изображён график функции $f(x) = b+k√x.$ Найдите $f(9).$

$210xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 9

Показать ответ и решение

График функции $f(x)$ проходит через точки $(0;3)$ и $(1;−1).$ Значит, координаты этих точек обращают уравнение функции $f(x)$ в верное равенство. Имеем систему уравнений:

$pict$

Таким образом, мы полностью восстановили уравнение функции:

√- f(x)= 3− 4 x.

Тогда

√- f (9)= 3− 4 9 = 3− 4⋅3= − 9.

Ответ: -9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#100211

На рисунке изображён график функции $f(x)= b+ k√x.$ Найдите значение $x,$ при котором $f(x)= 0.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 10

Показать ответ и решение

График функции $f(x)$ проходит через точки $(0;−2)$ и $(4;−1).$ Значит, координаты этих точек обращают уравнение функции $f(x)$ в верное равенство. Имеем систему уравнений:

$pict$

Таким образом, мы полностью восстановили уравнение функции:

√- f (x)= − 2+ 0,5 x.

Тогда

f(x)=√-0 −2 +0√,5 x =0 0,5 x= 2 √x = 4 x= 16

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#100212

На рисунке изображён график функции $f(x) = ax + b.$ Найдите $f(11).$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

Найдём уравнение прямой. Коэффициент $a$ определим по формуле

y2−-y1 a = x2− x1,

где $(x1;y1),$ $(x2;y2)$ — любые две точки на прямой.

По рисунку видно, что прямая проходит через точки $(1;− 3)$ и $(5;2).$ Тогда

a= 2-− (−3) = 5. 5− 1 4

Таким образом, получим уравнение прямой

5 f(x)= 4 x+ b.

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек в наше уравнение, например, точку $(1;−3).$ Её координаты обратят уравнение функции в верное равенство:

f(1)= −3 5 4 ⋅1 +b =− 3 17 b= − 4-

Значит,

f(x) = 5x− 17. 4 4

Тогда имеем:

5 17 f(11)= 4 ⋅11− 4-= 55− 17 38 19 = ---4-- = 4-= -2 = 9,5.

Ответ: 9,5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#100213

На рисунке изображён график линейной функции. Найдите значение $x,$ при котором $f (x)= 8.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 12

Показать ответ и решение

Пусть $f(x) =ax + b$ — уравнение прямой. Коэффициент $a$ определим по формуле

y2−-y1 a = x2− x1,

где $(x1;y1),$ $(x2;y2)$ — любые две точки на прямой.

По рисунку видно, что прямая проходит через точки $(−3;3)$ и $(2;1).$ Тогда

a= --1−-3- = −2-=− 2. 2− (−3) 5 5

Таким образом, получим уравнение прямой

2 f(x) =− 5x +b.

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек в наше уравнение, например, точку $(2;1).$ Её координаты обратят уравнение функции в верное равенство:

f(2)= 1 2 −5 ⋅2+ b= 1 4 b = 1+ 5 9 b= 5

Значит,

f(x)= − 2x+ 9. 5 5

Тогда имеем:

f(x)= 8 2 9 − 5x+ 5 = 8 −2x +9 = 40 2x = −31 x = −15,5

Ответ: -15,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32196

На рисунке изображён график функции $f(x) =k√x-+-p.$ Найдите $f(0,25).$

$xy110$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

График функции $f(x)$ проходит через точки $(− 2;0)$ и $(2;3).$ Значит, координаты этих точек обращают уравнение функции $f(x)$ в верное равенство. Тогда

f(−2)= 0 ∘------ k − 2+ p= 0

Заметим, что $k ⁄= 0,$ поэтому

∘------ k∘−-2+ p= 0 p − 2= 0 p− 2= 0 p= 2

Также

f(2)= 3 ∘ ---- k√ 2+-p= 3 k 2+ 2= 3 k⋅2 =3 k = 1,5

Таким образом, мы полностью восстановили уравнение функции:

f(x)= 1,5√x-+-2.

Тогда

f(0,25) =1,5⋅∘0,25+-2= ∘ ---- = 1,5⋅ 2,25 = 1,5⋅1,5= 2,25.

Ответ: 2,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#99975

На рисунке изображён график функции $√ ----- f(x)= p x+ d.$ Найдите значение $x,$ при котором $f(x)= −6.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

График функции $f(x)$ проходит через точки $(1;0)$ и $(3;−2).$ Значит, координаты этих точек обращают уравнение функции $f(x)$ в верное равенство. Тогда

f(1)= 0 √ ---- p 1+ d= 0

Заметим, что $p ⁄= 0,$ поэтому

√ ---- p√-1+-d= 0 1 +d = 0 1+ d= 0 d = −1

Также

f(3)= −2 p√3+-d =− 2 √---- p 3−√-1= − 2 p⋅ 2 =− 2 p= −√2-

Таким образом, мы полностью восстановили уравнение функции:

f(x)= −√2x-−-2.

Тогда можем получить уравнение на $x:$

f(x)= −6 −√2x-−-2= −6 √ ----- 2x− 2= 6 2x− 2= 36 2x =38 x= 19

Ответ: 19

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#73810

На рисунке изображен график функции $f(x) =pax.$ Найдите $f(4).$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 15

Показать ответ и решение

График проходит через точки $A (1;1)$ и $B(2;5).$ Следовательно, эти точки удовлетворяет уравнению, задающему график. Тогда получаем следующую систему

{1= pa 5= pa2 { a =5 p= 0,2

Следовательно,

f(x)= 0,2⋅5x = 5x−1.

Тогда

4−1 f(4) = 5 = 125.

Ответ: 125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#73811

На рисунке изображен график функции $f(x)= pax.$ Найдите значение $x,$ при котором $f (x)= 32.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 16

Показать ответ и решение

График проходит через точки $A (0;4)$ и $B(2;1).$ Следовательно, эти точки удовлетворяет уравнению, задающему график. Тогда получаем следующую систему:

{4 = pa0 {a = 0,5 1 = pa2 ⇔ p= 4

Следовательно, $f(x)= 4⋅0,5x.$ Тогда

4 ⋅0,5x = 32 x 0,5 =8 x = −3

Ответ: -3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#100214

На рисунке изображены графики функций $f(x)= k x$ и $g(x)= ax +b,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$

$110Axy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

Найдём уравнение прямой. Коэффициент $a$ определим по формуле

y2−-y1 a = x2− x1,

где $(x1;y1),$ $(x2;y2)$ — любые две точки на прямой.

По рисунку видно, что прямая проходит через точки $(−1;3)$ и $(4;1).$ Тогда

a= --1−-3- = −2-=− 2. 4− (−1) 5 5

Таким образом, получим уравнение прямой

2 g(x) =− 5x +b.

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек в наше уравнение, например, точку $(4;1).$ Её координаты обратят уравнение функции в верное равенство:

g(4) =1 2 −5 ⋅4+ b= 1 8 b = 1+ 5 13 b= 5-

Значит,

g(x)= − 2x + 13. 5 5

Найдём уравнение гиперболы. Она проходит через точку $(−1;3),$ значит, её координаты обратят уравнение функции в верное равенство:

f(−1)= 3 -k-= 3 − 1 k = −3

Получили

f(x) =− 3. x

Чтобы найти координаты точки $B,$ решим уравнение $f(x)= g(x) :$

3 2 13 −x = −5x + 5 −15 =− 2x2+ 13x 2 2x − 13x − 15 = 0 (x+ 1)(2x − 15)= 0 [x= −1 x= 7,5

Значение $x= − 1$ — это абсцисса точки $A,$ тогда $x = 7,5$ — это абсцисса точки $B.$

Ответ: 7,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#100215

$110Axy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 18

Показать ответ и решение

Найдём уравнение прямой. Коэффициент $a$ определим по формуле

y2−-y1 a = x2− x1,

где $(x1;y1),$ $(x2;y2)$ — любые две точки на прямой.

По рисунку видно, что прямая проходит через точки $(− 3;− 3)$ и $(− 2;2).$ Тогда

a= -2−-(−-3)-= 5 =5. −2 − (− 3) 1

Таким образом, получим уравнение прямой

g(x)= 5x +b.

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек в наше уравнение, например, точку $(−2;2).$ Её координаты обратят уравнение функции в верное равенство:

g(−2)= 2 5⋅(−2)+ b= 2 b= 2 +10 b= 12

Значит,

g(x)= 5x+ 12.

Найдём уравнение гиперболы. Она проходит через точку $(−2;2),$ значит, её координаты обратят уравнение функции в верное равенство:

f(−2)= 2 -k-= 2 − 2 k = −4

Получили

f(x) =− 4. x

Чтобы найти координаты точки $B,$ решим уравнение $f(x)= g(x) :$

4 −x = 5x+ 12 2 −4 = 5x + 12x 5x2+ 12x+ 4= 0 (x + 2)(5x+ 2)= 0 [x= − 2 x= − 0,4

Значение $x= − 2$ — это абсцисса точки $A,$ тогда $x = −0,4$ — это абсцисса точки $B.$

Ответ: -0,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#100216

На рисунке изображены графики функций $f(x)= ax2+ bx+ c$ и $g(x)= −2x2+ 4x+ 3,$ которые пересекаются в точках $A(0;3)$ и $B (xB;yB ).$ Найдите $yB.$

$120Axy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

Коэффициент при $x2$ у функции $g(x)$ отрицателен. Значит, функции $g(x)$ соответствует парабола с ветвями вниз.

Найдём уравнение параболы с ветвями вверх. Она проходит через точки $(1;−1),$ $(2;1)$ и $(0;3),$ значит, их координаты обращают уравнение функции $f(x)$ в верное равенство. В частности,

f(0)= 3 a⋅02+ b⋅0+ c= 3 c= 3

Также

f(1)= −1 2 a⋅1 + b⋅1+ 3= − 1 a+ b= − 4

Аналогично

f(2)= 1 a⋅22+ b⋅2+ 3= 1 4a+ 2b= −2 2a +b = −1

Таким образом, имеем систему:

$pict$

Получим

f(x)= 3x2− 7x+ 3.

Чтобы найти координаты точки $B,$ решим уравнение $f(x)= g(x) :$

3x2 − 7x +3 = −2x2+ 4x+ 3 2 5x − 11x = 0 x(5x[− 11)= 0 x= 0 x= 2,2

Значение $x= 0$ — это абсцисса точки $A,$ тогда $xB = 2,2$ — это абсцисса точки $B.$

Ответ: 2,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#100217

На рисунке изображены графики функций $f(x)= ax2+ bx+ c$ и $g(x)= 2x2+ 7x+ 2,$ которые пересекаются в точках $A(0;2)$ и $B(xB;yB).$ Найдите $xB.$

$120Axy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 20

Показать ответ и решение

Поскольку $g(x)$ — квадратичная функция, абсцисса вершины её графика равна

−-7- 7 2⋅2 =− 4.

Значит, вершина параболы $g(x)$ расположена слева от оси ординат. Тогда график функции $g(x)$ — это левая парабола, а график функции $f(x)$ — правая.

Найдём уравнение параболы справа. Она проходит через точки $(0;2),$ $(2;−3)$ и $(3;− 4),$ значит, их координаты обращают уравнение функции $f(x)$ в верное равенство. В частности,