Тема №23. Геометрические задачи на вычисление

01 Задачи №23 из банка ФИПИ → 01.04 №23. Тип 4

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №23. геометрические задачи на вычисление

Разделы подтемы Задачи №23 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38484Максимум баллов за задание: 2

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ проведена высота $AH,$ а также $AB =18$ и $AC = 24.$

$ABCH123840$

По теореме Пифагора для треугольника $ABC :$

2 2 2 BC = AC +AB = = 182 +242 = 62⋅32+ 62⋅42 = = 62⋅(32+ 42)= 62⋅52.

Тогда

BC = 6⋅5= 30.

Покажем как найти высоту $AH$ тремя способами.

Способ 1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ и запишем синус его угла $B :$

sin ∠ABC = -AC = 24 = 4. BC 30 5

Рассмотрим прямоугольный треугольник $HBA$ и запишем синус его угла $B :$

AH AH sin ∠HBA = AB-= 18-.

Заметим, что $∠ABC = ∠HBA,$ так как это один и тот же угол. Тогда

sin ∠ABC = sin ∠HBA 4= AH- 5 18 AH = 18⋅4 = 14,4 5

Способ 2.

$ABCH123840$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $HBA.$ У них есть общий угол $∠ABC,$ а также равны прямые углы

∠BAC = ∠BHA.

Значит, $△ ABC ∼△HBA.$ Запишем отношение подобия:

AH CA AB- = CB- AH 24 -18 = 30 AH-= 4 18 5

Значит,

AH = 4⋅18= 14,4. 5

Способ 3.

$ABCH123840$

Посчитаем площадь прямоугольного треугольника $ABC$ двумя способами:

1 1 2 ⋅AB ⋅AC = 2 ⋅BC ⋅AH AB ⋅AC = BC ⋅AH

Таким образом,

AH = AB--⋅AC- = 18⋅24= 72 = 14,4. BC 30 5

Ответ: 14,4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95534Максимум баллов за задание: 2

Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 28. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ проведена высота $AH,$ а также $AB =21$ и $AC = 28.$

$ABCH223185$

По теореме Пифагора для треугольника $ABC :$

BC2 = AC2 +AB2 = 2 2 2 2 2 2 = 21 +28 = 7 ⋅3 + 7 ⋅4 = = 72⋅(32+ 42)= 72⋅52.

Тогда

BC = 7⋅5= 35.

Посчитаем площадь прямоугольного треугольника $ABC$ двумя способами:

1⋅AB ⋅AC = 1 ⋅BC ⋅AH 2 2 AB ⋅AC = BC ⋅AH

Таким образом,

AB-⋅AC- 21-⋅28- 21⋅4 84 AH = BC = 35 = 5 = 5 = 16,8.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95536Максимум баллов за задание: 2

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 36. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ проведена высота $AH,$ а также $AB =15$ и $AC = 36.$

$ABCH133569$

По теореме Пифагора для треугольника $ABC :$

BC2 = AC2 +AB2 = 2 2 2 2 2 2 = 15 + 36 = 3 ⋅5 + 3 ⋅12 = =32 ⋅(52+ 122)= 32⋅132.

Тогда

BC =3 ⋅13= 39.

Посчитаем площадь прямоугольного треугольника $ABC$ двумя способами:

1⋅AB ⋅AC = 1 ⋅BC ⋅AH 2 2 AB ⋅AC = BC ⋅AH

Таким образом,

AB-⋅AC- 15⋅36 5-⋅36 180 AH = BC = 39 = 13 = 13 .

Ответ:

$180 13$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32025Максимум баллов за задание: 2

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 15

Показать ответ и решение

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ проведена высота $AH,$ а также $AB =15$ и $AC = 20.$

$ABCH122505$

По теореме Пифагора для треугольника $ABC :$

BC2 = AC2 +AB2 = 2 2 2 2 2 2 = 15 +20 = 5 ⋅3 + 5 ⋅4 = = 52⋅(32+ 42)= 52⋅52.

Тогда

BC = 5⋅5= 25.

Посчитаем площадь прямоугольного треугольника $ABC$ двумя способами:

1⋅AB ⋅AC = 1 ⋅BC ⋅AH 2 2 AB ⋅AC = BC ⋅AH

Таким образом,

AB-⋅AC- 15-⋅20- 15⋅4 AH = BC = 25 = 5 = 12.

Ответ: 12

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95556Максимум баллов за задание: 2

Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 16

Показать ответ и решение

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ проведена высота $AH,$ а также $AB =10$ и $AC = 24.$

$ABCH122046$

По теореме Пифагора для треугольника $ABC :$

BC2 = AC2 +AB2 = 2 2 2 2 2 2 = 10 + 24 = 2 ⋅5 + 2 ⋅12 = =22 ⋅(52+ 122)= 22⋅132.

Тогда

BC =2 ⋅13= 26.

Посчитаем площадь прямоугольного треугольника $ABC$ двумя способами:

1⋅AB ⋅AC = 1 ⋅BC ⋅AH 2 2 AB ⋅AC = BC ⋅AH

Таким образом,

AB-⋅AC- 10-⋅24 10⋅12 120- AH = BC = 26 = 13 = 13 .

Ответ:

$120 13$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема