01 №23. Тип 13 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#48625Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD,$ если $AB = 20,$ $CD = 48,$ а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 24.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведём $OH ⊥ AB$ и $OM ⊥ CD.$ По условию $OH = 24.$ Также проведём радиусы $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD.$

$OABCDHM1122200444$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ В нём $OA = OB$ как радиусы окружности, поэтому $△ AOB$ — равнобедренный. По построению $OH$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

AH = HB = AB-= 20 =10. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO.$ По теореме Пифагора

2 2 2 2 2 OA = AH +OH (= 10 + 2)4 = = 22⋅52+ 22⋅122 = 22⋅ 52 +122 = 22⋅132.

Тогда

OB = OC = OD = OA = 2⋅13 =26.

Рассмотрим треугольник $COD.$ В нём $OC = OD$ как радиусы окружности, поэтому $△ COD$ — равнобедренный. По построению $OM$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

CM = MD = CD-= 48-= 24. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COM.$ По теореме Пифагора

OC2 = CM2 + OM2.

Значит,

OM2 = OC2 − CM2 = 262− 242 = = 22⋅132 − 22⋅122 = 22⋅(132− 122) =22⋅52.

Тогда

OM = 2⋅5 = 10.

Следовательно, расстояние от центра $O$ окружности до хорды $CD$ равно 10.

Ответ: 10

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#57412Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD,$ если $AB = 36,$ $CD = 48,$ а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 24.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведём $OH ⊥ AB$ и $OM ⊥ CD.$ По условию $OH = 24.$ Также проведём радиусы $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD.$

$OABCDHM1122288444$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ В нём $OA = OB$ как радиусы окружности, поэтому $△ AOB$ — равнобедренный. По построению $OH$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

AH = HB = AB-= 36 =18. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO.$ По теореме Пифагора

2 2 2 2 2 OA = AH +OH (= 18 +)24 = =62 ⋅32+ 62⋅42 = 62⋅ 32+ 42 = 62⋅52.

Тогда

OB = OC = OD = OA = 6⋅5= 30.

Рассмотрим треугольник $COD.$ В нём $OC = OD$ как радиусы окружности, поэтому $△ COD$ — равнобедренный. По построению $OM$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

CM = MD = CD-= 48-= 24. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COM.$ По теореме Пифагора

OC2 = CM2 + OM2.

Значит,

OM2 = OC2 − CM2 = 302− 242 = =62 ⋅52− 62⋅42 = 62⋅(52− 42) = 62⋅32.

Тогда

OM = 6⋅3 = 18.

Следовательно, расстояние от центра $O$ окружности до хорды $CD$ равно 18.

Ответ: 18

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95709Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD,$ если $AB = 30,$ $CD = 40,$ а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 20.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведём $OH ⊥ AB$ и $OM ⊥ CD.$ По условию $OH = 20.$ Также проведём радиусы $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD.$

$OABCDHM1122255000$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ В нём $OA = OB$ как радиусы окружности, поэтому $△ AOB$ — равнобедренный. По построению $OH$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

AH = HB = AB-= 30 =15. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO.$ По теореме Пифагора

2 2 2 2 2 OA = AH +OH (= 15 +)20 = =52 ⋅32+ 52⋅42 = 52⋅ 32+ 42 = 52⋅52.

Тогда

OB = OC = OD = OA = 5⋅5= 25.

Рассмотрим треугольник $COD.$ В нём $OC = OD$ как радиусы окружности, поэтому $△ COD$ — равнобедренный. По построению $OM$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

CM = MD = CD-= 40-= 20. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COM.$ По теореме Пифагора

OC2 = CM2 + OM2.

Значит,

OM2 = OC2 − CM2 = 252− 202 = =52 ⋅52− 52⋅42 = 52⋅(52− 42) = 52⋅32.

Тогда

OM = 5⋅3 = 15.

Следовательно, расстояние от центра $O$ окружности до хорды $CD$ равно 15.

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95710Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD,$ если $AB = 40,$ $CD = 42,$ а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 21.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведём $OH ⊥ AB$ и $OM ⊥ CD.$ По условию $OH = 21.$ Также проведём радиусы $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD.$

$OABCDHM2222200111$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ В нём $OA = OB$ как радиусы окружности, поэтому $△ AOB$ — равнобедренный. По построению $OH$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

AH = HB = AB-= 40 =20. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO.$ По теореме Пифагора

OA2 = AH2 + OH2 = 202+ 212 = 400 +441 =841

Тогда

√ --- OB = OC = OD = OA = 841 = 29.

Рассмотрим треугольник $COD.$ В нём $OC = OD$ как радиусы окружности, поэтому $△ COD$ — равнобедренный. По построению $OM$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

CM = MD = CD-= 42-= 21. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COM.$ По теореме Пифагора

OC2 = CM2 + OM2.

Значит,

OM2 = OC2 − CM2 =292− 212 = 841− 441= 400

Тогда

OM = √400= 20.

Следовательно, расстояние от центра $O$ окружности до хорды $CD$ равно 20.

Ответ: 20

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95711Максимум баллов за задание: 2

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD,$ если $AB = 14,$ $CD = 48,$ а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 24.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведём $OH ⊥ AB$ и $OM ⊥ CD.$ По условию $OH = 24.$ Также проведём радиусы $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD.$

$OABCDHM77222444$

Рассмотрим треугольник $AOB.$ В нём $OA = OB$ как радиусы окружности, поэтому $△ AOB$ — равнобедренный. По построению $OH$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

AH =HB = AB-= 14-= 7. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHO.$ По теореме Пифагора

OA2 = AH2 + OH2 = 72+ 242 = 49+ 576 = 625

Тогда

√ --- OB = OC = OD = OA = 625 = 25.

Рассмотрим треугольник $COD.$ В нём $OC = OD$ как радиусы окружности, поэтому $△ COD$ — равнобедренный. По построению $OM$ — его высота, а значит и медиана. Тогда

CM = MD = CD-= 48-= 24. 2 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COM.$ По теореме Пифагора

OC2 = CM2 + OM2.

Значит,

OM2 = OC2 − CM2 = 252− 242 =625 − 576= 49

Тогда

OM = √49= 7.

Следовательно, расстояние от центра $O$ окружности до хорды $CD$ равно 7.

Ответ: 7

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

01 Задачи №23 из банка ФИПИ → 01.13 №23. Тип 13