01 №23. Тип 11 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45344Максимум баллов за задание: 2

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45∘$ и $120∘,$ а $CD = 34.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 120∘− 90∘ = 30∘.

$AHCK45B303D∘∘4$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

√- √ - CK = CD ⋅cos30∘ = 34⋅-3-= 17 3. 2

Высоты трапеции равны, поэтому

√- AH = CK = 17 3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- AB = sin∠ABH.

Следовательно,

√- -AH--- 17-3- √- AB = sin 45∘ = √1- = 17 6. 2

Ответ:

$√- 17 6$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#57406Максимум баллов за задание: 2

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30∘$ и $135∘,$ а $CD = 29.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 135∘− 90∘ = 45∘.

$AHCK30B452D∘∘9$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

√ - √ - CK = CD ⋅cos45∘ = 29⋅-2= 29--2. 2 2

Высоты трапеции равны, поэтому

29√2 AH = CK = --2--.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- = sin∠ABH. AB

Следовательно,

√- -AH--- 29-2- √- AB = sin 30∘ = 2 ⋅2= 29 2.

Ответ:

$√- 29 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95694Максимум баллов за задание: 2

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30∘$ и $120∘,$ а $CD = 25.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 120∘− 90∘ = 30∘.

$AHCK30B302D∘∘5$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

√ - √ - CK = CD ⋅cos30∘ = 25⋅-3= 25--3. 2 2

Высоты трапеции равны, поэтому

25√3 AH = CK = --2--.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- = sin∠ABH. AB

Следовательно,

√- -AH--- 25-3- √- AB = sin 30∘ = 2 ⋅ 1 = 25 3. 2

Ответ:

$√- 25 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95695Максимум баллов за задание: 2

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $60∘$ и $135∘,$ а $CD = 36.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 135∘− 90∘ = 45∘.

$AHCK60B453D∘∘6$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

√- √ - CK = CD ⋅cos45∘ = 36⋅-2-= 18 2. 2

Высоты трапеции равны, поэтому

√- AH = CK = 18 2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- AB = sin∠ABH.

Следовательно,

√- -AH--- 18-2- √- AB = sin 60∘ = √3- = 12 6. 2

Ответ:

$√- 12 6$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95696Максимум баллов за задание: 2

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45∘$ и $150∘,$ а $CD = 32.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 150∘− 90∘ = 60∘.

$AHCK45B603D∘∘2$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

1 CK =CD ⋅cos60∘ = 32⋅2 = 16.

Высоты трапеции равны, поэтому

AH = CK = 16.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- = sin∠ABH. AB

Следовательно,

AB = -AH---= 1√6-= 16√2. sin45∘ -2- 2

Ответ:

$√- 16 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#95698Максимум баллов за задание: 2

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45∘$ и $120∘,$ а $CD = 40.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 120∘− 90∘ = 30∘.

$AHCK45B304D∘∘0$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

√- √ - CK = CD ⋅cos30∘ = 40⋅-3-= 20 3. 2

Высоты трапеции равны, поэтому

√- AH = CK = 20 3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- AB = sin∠ABH.

Следовательно,

√- -AH--- 20-3- √- AB = sin 45∘ = √1- = 20 6. 2

Ответ:

$√- 20 6$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95699Максимум баллов за задание: 2

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45∘$ и $150∘,$ а $CD = 26.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 150∘− 90∘ = 60∘.

$AHCK45B602D∘∘6$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

1 CK =CD ⋅cos60∘ = 26⋅2 = 13.

Высоты трапеции равны, поэтому

AH = CK = 13.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- = sin∠ABH. AB

Следовательно,

AB = -AH---= 13-= 13√2. sin45∘ √1- 2

Ответ:

$√- 13 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#95700Максимум баллов за задание: 2

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $60∘$ и $135∘,$ а $CD = 24.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 135∘− 90∘ = 45∘.

$AHCK60B452D∘∘4$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

√- √ - CK = CD ⋅cos45∘ = 24⋅-2-= 12 2. 2

Высоты трапеции равны, поэтому

√- AH = CK = 12 2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- AB = sin∠ABH.

Следовательно,

√ - -AH--- 12--2- √ - AB = sin60∘ = √3- = 8 6. 2

Ответ:

$√ - 8 6$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42343Максимум баллов за задание: 2

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30∘$ и $135∘,$ а $CD = 17.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 13

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 135∘− 90∘ = 45∘.

$AHCK30B451D∘∘7$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

√ - √ - CK = CD ⋅cos45∘ = 17⋅-2= 17--2. 2 2

Высоты трапеции равны, поэтому

17√2 AH = CK = --2--.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- = sin∠ABH. AB

Следовательно,

√- -AH--- 17-2- √- AB = sin 30∘ = 2 ⋅2= 17 2.

Ответ:

$√- 17 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#95701Максимум баллов за задание: 2

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD,$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $60∘$ и $150∘,$ а $CD = 33.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 14

Показать ответ и решение

Проведём высоты $AH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$ Тогда

∘ ∠AHB = 90 = ∠BCK.

Значит,

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 150∘− 90∘ = 60∘.

$AHCK60B603D∘∘3$

Рассмотрим треугольник $CKD.$ В нём $∠CKD = 90∘,$ тогда

CK- = cos∠KCD. CD

Значит,

1 33 CK = CD ⋅cos60∘ = 33⋅2 = 2-.

Высоты трапеции равны, поэтому

AH = CK = 33. 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$ В нём

AH- = sin∠ABH. AB

Следовательно,

AB = -AH---= -33√--= 11√3. sin60∘ 2⋅--3 2

Ответ:

$√- 11 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

01 Задачи №23 из банка ФИПИ → 01.11 №23. Тип 11