01 №23. Тип 9 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#37456Максимум баллов за задание: 2

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 72$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 18.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅72 = 36. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 18 1 AO- = 36 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311330∘0∘20866∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘, 120∘, 60∘, 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#57409Максимум баллов за задание: 2

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 11, а одна из диагоналей равна 44. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 44$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 11.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅44 = 22. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 11 1 AO- = 22 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311220∘0∘20122∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘; 120∘; 60∘; 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95639Максимум баллов за задание: 2

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 76$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 19.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅76 = 38. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 19 1 AO- = 38 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311330∘0∘20988∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘; 120∘; 60∘; 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95640Максимум баллов за задание: 2

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 56$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 14.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅56 = 28. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 14 1 AO- = 28 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311220∘0∘20488∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘; 120∘; 60∘; 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95642Максимум баллов за задание: 2

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 13, а одна из диагоналей ромба равна 52. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 52$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 13.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅52 = 26. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 13 1 AO- = 26 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311220∘0∘20366∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘; 120∘; 60∘; 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#95645Максимум баллов за задание: 2

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна из диагоналей ромба равна 68. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 68$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 17.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅68 = 34. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 17 1 AO- = 34 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311330∘0∘20744∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘; 120∘; 60∘; 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95646Максимум баллов за задание: 2

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 60$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 15.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅60 = 30. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 15 1 AO- = 30 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311330∘0∘20500∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘; 120∘; 60∘; 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#95647Максимум баллов за задание: 2

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 48$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 12.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅48 = 24. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 12 1 AO- = 24 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311220∘0∘20244∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘; 120∘; 60∘; 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42504Максимум баллов за задание: 2

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 16, а одна из диагоналей ромба равна 64. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 17

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 64$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 16.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅64 = 32. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 16 1 AO- = 32 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311330∘0∘20622∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘, 120∘, 60∘, 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#95644Максимум баллов за задание: 2

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 18

Показать ответ и решение

Пусть дан ромб $ABCD,$ а его диагонали $AC = 40$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB.$ По условию $OH = 10.$

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AO =OC = 1AC = 1 ⋅40 = 20. 2 2

Треугольник $AHO$ — прямоугольный, так как $OH ⊥ AB.$ Заметим, что в нём

OH 10 1 AO- = 20 = 2.

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в $∘ 30,$ следовательно, $∘ ∠HAO = 30 .$

$ABCDHO3311220∘0∘20000∘$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $AC$ — биссектриса $∠BAD,$ следовательно,

∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30∘ =60∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠BCD = ∠BAD =60∘.

$ABCD$ — ромб, следовательно, $AD ∥BC.$ Тогда сумма углов $BAD$ и $ABC$ равна $180∘$ как сумма односторонних углов, образованных параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB,$ поэтому

∠ABC = 180∘− ∠BAD =180∘− 60∘ = 120∘.

Противоположные углы ромба равны, поэтому

∠ADC = ∠ABC = 120∘.

Ответ:

$60∘; 120∘; 60∘; 120∘$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

01 Задачи №23 из банка ФИПИ → 01.09 №23. Тип 9