01 №23. Тип 10 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#95688Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 32,$ $BF =24.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно. Значит,

$pict$

Пусть $∠BAD = 2α,$ $∠ABC = 2β.$ Тогда $∠BAF = ∠FAD =α$ и $∠ABF = ∠F BC = β.$

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180$ как сумма односторонних углов, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB.$ Тогда

∘ ∠BAD +∠ABC = 180 2α +2β = 180∘ α+ β = 90∘

$ABCDFααββ2342$

Рассмотрим треугольник $ABF.$ По сумме углов треугольника

∠BAF + ∠ABF + ∠AF B = 180∘ α + β+ ∠AF B = 180∘ ∠AF B = 180∘− 90∘ ∘ ∠AF B = 90

Следовательно, $ABF$ — прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AF + BF .

Значит,

∘ --2----2 √ AB-=---32 +√ 24-= = 1024 +576 = 1600 = 40.

Ответ: 40

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95689Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 24,$ $BF =7.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно. Значит,

$pict$

Пусть $∠BAD = 2α,$ $∠ABC = 2β.$ Тогда $∠BAF = ∠FAD =α$ и $∠ABF = ∠F BC = β.$

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180$ как сумма односторонних углов, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB.$ Тогда

∘ ∠BAD +∠ABC = 180 2α +2β = 180∘ α+ β = 90∘

$ABCDFααββ724$

Рассмотрим треугольник $ABF.$ По сумме углов треугольника

∠BAF + ∠ABF + ∠AF B = 180∘ α + β+ ∠AF B = 180∘ ∠AF B = 180∘− 90∘ ∘ ∠AF B = 90

Следовательно, $ABF$ — прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AF + BF .

Значит,

∘--2---2 √AB-=--24 +√-7-= = 576+ 49= 625 =25.

Ответ: 25

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95690Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 12,$ $BF =5.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно. Значит,

$pict$

Пусть $∠BAD = 2α,$ $∠ABC = 2β.$ Тогда $∠BAF = ∠FAD =α$ и $∠ABF = ∠F BC = β.$

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180$ как сумма односторонних углов, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB.$ Тогда

∘ ∠BAD +∠ABC = 180 2α +2β = 180∘ α+ β = 90∘

$ABCDFααββ512$

Рассмотрим треугольник $ABF.$ По сумме углов треугольника

∠BAF + ∠ABF + ∠AF B = 180∘ α + β+ ∠AF B = 180∘ ∠AF B = 180∘− 90∘ ∘ ∠AF B = 90

Следовательно, $ABF$ — прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AF + BF .

Значит,

∘--2---2 √AB-=--12 +√-5-= = 144+ 25= 169 =13.

Ответ: 13

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95691Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 24,$ $BF =10.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно. Значит,

$pict$

Пусть $∠BAD = 2α,$ $∠ABC = 2β.$ Тогда $∠BAF = ∠FAD =α$ и $∠ABF = ∠F BC = β.$

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180$ как сумма односторонних углов, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB.$ Тогда

∘ ∠BAD +∠ABC = 180 2α +2β = 180∘ α+ β = 90∘

$ABCDFααββ1204$

Рассмотрим треугольник $ABF.$ По сумме углов треугольника

∠BAF + ∠ABF + ∠AF B = 180∘ α + β+ ∠AF B = 180∘ ∠AF B = 180∘− 90∘ ∘ ∠AF B = 90

Следовательно, $ABF$ — прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AF + BF .

Значит,

∘ --2----2 √AB-=---24 +√ 10-= = 576 +100 = 676= 26.

Ответ: 26

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95692Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 24,$ $BF =18.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно. Значит,

$pict$

Пусть $∠BAD = 2α,$ $∠ABC = 2β.$ Тогда $∠BAF = ∠FAD =α$ и $∠ABF = ∠F BC = β.$

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180$ как сумма односторонних углов, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB.$ Тогда

∘ ∠BAD +∠ABC = 180 2α +2β = 180∘ α+ β = 90∘

$ABCDFααββ1284$

Рассмотрим треугольник $ABF.$ По сумме углов треугольника

∠BAF + ∠ABF + ∠AF B = 180∘ α + β+ ∠AF B = 180∘ ∠AF B = 180∘− 90∘ ∘ ∠AF B = 90

Следовательно, $ABF$ — прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AF + BF .

Значит,

∘ --2----2 √AB-=---24 +√ 18-= = 576 +324 = 900= 30.

Ответ: 30

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#95793Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 16,$ $BF =12.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно. Значит,

$pict$

Пусть $∠BAD = 2α,$ $∠ABC = 2β.$ Тогда $∠BAF = ∠FAD =α$ и $∠ABF = ∠F BC = β.$

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180$ как сумма односторонних углов, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB.$ Тогда

∘ ∠BAD +∠ABC = 180 2α +2β = 180∘ α+ β = 90∘

$ABCDFααββ1126$

Рассмотрим треугольник $ABF.$ По сумме углов треугольника

∠BAF + ∠ABF + ∠AF B = 180∘ α + β+ ∠AF B = 180∘ ∠AF B = 180∘− 90∘ ∘ ∠AF B = 90

Следовательно, $ABF$ — прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AF + BF .

Значит,

∘ --2----2 √AB-=---16 +√ 12-= = 256 +144 = 400= 20.

Ответ: 20

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95858Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 20,$ $BF =15.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно. Значит,

$pict$

Пусть $∠BAD = 2α,$ $∠ABC = 2β.$ Тогда $∠BAF = ∠FAD =α$ и $∠ABF = ∠F BC = β.$

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180$ как сумма односторонних углов, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB.$ Тогда

∘ ∠BAD +∠ABC = 180 2α +2β = 180∘ α+ β = 90∘

$ABCDFααββ1250$

Рассмотрим треугольник $ABF.$ По сумме углов треугольника

∠BAF + ∠ABF + ∠AF B = 180∘ α + β+ ∠AF B = 180∘ ∠AF B = 180∘− 90∘ ∘ ∠AF B = 90

Следовательно, $ABF$ — прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AF + BF .

Значит,

∘ --2----2 √AB-=---20 +√ 15-= = 400 +225 = 625= 25.

Ответ: 25

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#57408Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 12,$ $BF =9.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно. Значит,

$pict$

Пусть $∠BAD = 2α,$ $∠ABC = 2β.$ Тогда $∠BAF = ∠FAD =α$ и $∠ABF = ∠F BC = β.$

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180$ как сумма односторонних углов, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB.$ Тогда

∘ ∠BAD +∠ABC = 180 2α +2β = 180∘ α+ β = 90∘

$ABCDFααββ912$

Рассмотрим треугольник $ABF.$ По сумме углов треугольника

∠BAF + ∠ABF + ∠AF B = 180∘ α + β+ ∠AF B = 180∘ ∠AF B = 180∘− 90∘ ∘ ∠AF B = 90

Следовательно, $ABF$ — прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AF + BF .

Значит,

∘--2---2 √AB-=--12 +√-9-= = 144+ 81= 225 =15.

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#43615Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 21,$ $BF =20.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 29

Показать ответ и решение

По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно. Значит,

$pict$

Пусть $∠BAD = 2α,$ $∠ABC = 2β.$ Тогда $∠BAF = ∠FAD =α$ и $∠ABF = ∠F BC = β.$

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180$ как сумма односторонних углов, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB.$ Тогда

∘ ∠BAD +∠ABC = 180 2α +2β = 180∘ α+ β = 90∘

$ABCDFααββ2201$

Рассмотрим треугольник $ABF.$ По сумме углов треугольника

∠BAF + ∠ABF + ∠AF B = 180∘ α + β+ ∠AF B = 180∘ ∠AF B = 180∘− 90∘ ∘ ∠AF B = 90

Следовательно, $ABF$ — прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AF + BF .

Значит,

∘ --2----2 √AB-=---21 +√ 20-= = 441 +400 = 841= 29.

Ответ: 29

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#27836Максимум баллов за задание: 2

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F.$ Найдите $AB,$ если $AF = 15,$ $BF =8.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 30

Показать ответ и решение

По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ соответственно. Значит,

$pict$

Пусть $∠BAD = 2α,$ $∠ABC = 2β.$ Тогда $∠BAF = ∠FAD =α$ и $∠ABF = ∠F BC = β.$

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому $∘ ∠BAD + ∠ABC = 180$ как сумма односторонних углов, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AB.$ Тогда

∘ ∠BAD +∠ABC = 180 2α +2β = 180∘ α+ β = 90∘

$ABCDFααββ815$

Рассмотрим треугольник $ABF.$ По сумме углов треугольника

∠BAF + ∠ABF + ∠AF B = 180∘ α + β+ ∠AF B = 180∘ ∠AF B = 180∘− 90∘ ∘ ∠AF B = 90

Следовательно, $ABF$ — прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора

2 2 2 AB = AF + BF .

Значит,

∘--2---2 √AB-=--15 +√-8-= = 225+ 64= 289 =17.

Ответ: 17

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

01 Задачи №23 из банка ФИПИ → 01.10 №23. Тип 10