Тема №22. Графики функций

02 Задачи №22 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#40762

Постройте график функции $y = (0,75x2−-1,5x)⋅|x|. x− 2$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 11

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x − 2 ⁄= 0 ⇒ x⁄= 2

Упростим выражение:

(0,75x2 − 1,5x)⋅|x| 0,75x(x − 2)⋅|x| y = -----x-− 2-----= -----x−-2---- = 0,75x⋅|x|

{x, если x≥ 0 |x|= −x, если x < 0

Раскроем модуль в выражении $y = 0,75x ⋅|x|:$

{ y = 0,75x⋅x, если x≥ 0 0,75x⋅(−x), если x < 0 { 2 y = 0,75x , если x≥ 0 −0,75x2, если x< 0

Найдем координаты выколотой точки:

x =2 2 y = 0,75⋅2 = 0,75⋅4 =3

График функции при $x ≥0$ — это парабола $y = 0,75x2$ с выколотой точкой $(2;3).$

Найдем вершину параболы:

b 0 xв. = − 2a = − 2⋅0,75-= 0 2 yв. = 0,75⋅0 = 0

Построим таблицу значений при $x≥ 0 :$


$x$	0	1	3

$y$	0	$0,75$	$6,75$

График функции при $x <0$ — это парабола $y =− 0,75x2.$

Найдем вершину параболы:

xв. = − b-= −---0----= 0 2a 2 ⋅(− 0,75) y = −0,75⋅02 = 0 в.

Построим таблицу значений при $x< 0 :$


$x$	0	$− 1$	$− 2$	$− 3$

$y$	0	$− 0,75$	$− 3$	$− 6,75$

Построим график функции:

$xyy110 = 3$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых.

Прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком функции ровно в одном случае:

прямая проходит через выколотую точку $(2;3).$ В этом случае $m = 3.$

Ответ:

$m ∈ {3}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#42342

Постройте график функции

(|x − 2,5 при x < 2, { y = |(− x+ 1,5 при 2≤ x ≤3, x − 5 при x> 3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 13

Показать ответ и решение

Изобразим график функции $y :$

$PIC$

Точка $(3;−2)$ выколота, так как $y = x − 5$ при $x > 3$ . Таким образом, все горизонтальные прямые, находящиеся между прямыми $y = − 2$ и $3 y = − 2$ , имеют с графиком две точки пересечения, а также прямая $1 y =− 2.$

Ответ:

$( ) { } m ∈ − 2;− 3 ∪ − 1 2 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#42246

Постройте график функции $y = 2−-x−-5-. x2− 5x$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 17

Показать ответ и решение

Найдем область определения функции:

{ x2− 5x⁄= 0 ⇔ x ⁄= 0 x ⁄= 5

На области определения уравнение функции равносильно

y =2 − -x−-5--= 2− 1 x(x − 5) x

График функции $y = 2− 1 x$ получается отражением графика $y = 1 x$ относительно оси $Oy,$ а затем поднятием полученного графика на 2 единицы вверх.

Таким образом, асимптотами этой гиперболы являются прямые $x= 0$ и $y = 2.$ Значит, чтобы получить график исходной функции, нужно выколоть точку, абсцисса которой равна $5.$

Найдем координаты этой точки:

1 y(5)= 2 − 5 = 2− 0,2= 1,8

Значит, нам нужно выколоть точку $(5;1,8).$ Получаем следующий график:

$xyyy110 = = 21,8$

Всего существуют две прямые вида $y = m,$ не имеющие с графиком общих точек — это асимптота $y = 2$ и прямая $y = 1,8,$ проходящая через выколотую точку $(5;1,8).$ Следовательно, ответ: $m ∈ {1,8;2}.$

Ответ:

$m ∈ {1,8;2}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#42122

Постройте график функции $y = x|x|+ 2|x|− 3x.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 19

Показать ответ и решение

{ |x|= x, если x ≥0 − x, если x < 0

Раскроем модуль в выражении $y = x|x|+ 2|x|− 3x :$

{ y = x⋅x +2 ⋅x− 3x, если x ≥ 0 x⋅(−x)+ 2⋅(−x)− 3x, если x< 0

{ x2 +2x − 3x, если x≥ 0 y = − x2− 2x− 3x, если x < 0 { x2 − x, если x ≥0 y = − x2− 5x, если x < 0

График функции при $x ≥0$ — это график параболы $y = x2 − x.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = 1 2a 2 (1)2 1 1 yв. = 2 − 2 = − 4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 0:$


$x$	$1 2$	0	1	2	3

$y$	$1 − 4$	0	0	2	6

График функции при $x <0$ — это график параболы $2 y =x − 5x.$

Найдем вершину параболы:

xв. = − b-= − 5 ( ) 2a ( 2) 5 2 5 25- yв. = −2 − 5 ⋅ − 2 = 4

Построим таблицу значений для параболы на $x≥ 0:$


$x$	$5 − 2$	0	$− 1$	$− 2$	$− 3$	$− 4$	$− 5$

$y$	$25 4$	0	4	6	6	4	0

Построим график функции:

$xy110$

Прямая $y = m$ имеет с графиком 2 точки пересечения в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $y = x2− x:$ $(1;− 1). 2 4$ В этом случае $m = − 1 =0,25. 4$
2.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $2 y = x − 5x:$ $( 5 25) −2; 4 .$ В этом случае $25 m = 4 =6,25.$

Получаем ответ:

m ∈ {−0,25;6,25}

Ответ:

$m ∈ {−0,25;6,25}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#40763

Постройте график функции $y = x|x|+ |x|− 5x.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 20

Показать ответ и решение

{ |x|= x, если x ≥0 − x, если x < 0

Раскроем модуль в выражении $y = x|x|+ |x|− 5x :$

{ y = x ⋅x + x− 5x, если x ≥ 0 x ⋅(−x) +(−x)− 5x, если x< 0 { 2 y = x − 4x, если x≥ 0 − x2− 6x, если x < 0

График функции при $x ≥0$ — это парабола $2 y =x − 4x.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-4= 2 2a 2 yв. = 22− 4 ⋅2= −4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 0:$


$x$	0	1	2	3	4	5

$y$	0	$− 3$	$− 4$	$− 3$	0	5

График функции при $x <0$ — это парабола $2 y =− x − 6x.$

Найдем вершину параболы:

xв. = − b-= − −6-= −3 2a −2 yв. = −(−3)2− 6⋅(−3)= 9

Построим таблицу значений для параболы при $x< 0 :$


$x$	0	$− 1$	$− 2$	$− 3$	$− 4$	$− 5$	$− 6$	$− 7$

$y$	0	5	8	9	8	5	0	$− 7$

Построим график функции:

$xyyy110 = = −9 4$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых.

Прямая $y = m$ имеет с графиком 2 точки пересечения в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $y = x2− 4x:$ $(2;−4).$ В этом случае $m = − 4.$
2.: Прямая $y =m$ проходит через вершину параболы $y = −x2− 6x:$ $(− 3;9).$ В этом случае $m = 9.$

Получаем ответ:

m ∈{−4;9}

Ответ:

$m ∈ {−4;9}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#42831

Постройте график функции

{ 2 y = x − 8x + 14 при x≥ 3, x− 2 при x< 3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 23

Показать ответ и решение

График функции при $x ≥ 3$ — это парабола $y = x2− 8x+ 14.$

Найдем вершину параболы:

b- 8 xв. = − 2a = 2 = 4 y = 42− 8⋅4+ 14= 16− 32+ 14= −2 в.

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 3:$


$x$	3	4	5	6	7

$y$	$− 1$	$− 2$	$− 1$	2	7

График функции при $x <3$ — это прямая $y = x− 2$

Построим таблицу значений для прямой при $x< 3 :$


$x$	2	3

$y$	0	1

Построим график функции:

$xyyyyyy110 = = = = = m−mmm,2,,, m−−121≤<<<−mmm2≤< −11$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < − 2,$ то прямая $y =m$ имеет ровно 1 точку пересечения с графиком.
Если $m = −2,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $− 2< m ≤ −1,$ то прямая то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $− 1 < m <1$ то прямая $y =m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $1≤ m,$ то то прямая $y =m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет две точки пересечения, когда $m ∈ (−1;1)∪{−2}.$

Ответ:

$m ∈ {−2}∪ (−1;1)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#40765

Постройте график функции ${ x2− 6x +6 при x ≥ 2 y = x − 3 при x< 2.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 24

Показать ответ и решение

График функции при $x ≥ 2$ — это парабола $y = x2− 6x+ 6.$

Найдем вершину параболы:

-b −-6 xв. = −2a = − 2 = 3 y = 32− 6⋅3+ 6 =− 3 в.

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 2:$


$x$	2	3	4	5

$y$	$− 2$	$− 3$	$− 2$	1

График функции при $x <2$ — это прямая $y = x− 3.$

Построим таблицу значений для линейной функции при $x < 2:$


$x$	2	0	1

$y$	$− 1$	$− 3$	$− 2$

Построим график функции:

$xyyyyyy110 = = = = = m−mmm,3,,, m−−m32<<<≥ −mm−31≤< −−21$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < − 3,$ то прямая $y =m$ имеет ровно 1 точку пересечения с графиком.
Если $m = −3,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $− 3< m ≤ −2,$ то прямая то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $− 2 <m < − 1$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $− 1 ≤m,$ то то прямая $y = m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.

Получаем ответ:

m ∈ {−3}∪ (− 2;− 1)

Ответ:

$m ∈ {−3}∪ (−2;−1)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#42863

Постройте график функции $y =-5x−-8-. 5x2− 8x$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 25

Показать ответ и решение

Область определения функции:

{ 5x2− 8x ⁄= 0 ⇔ x(5x − 8)⁄= 0 ⇔ x ⁄=08 x ⁄= 5

Упростим выражение $y = 5x−8-: 5x2−8x$

y = 5x2-− 8-= -5x−-8--= 1 5x − 8x x(5x− 8) x

Найдем координаты выколой точки:

8 x= 5 1 5 y = x = 8

Графиком функции $5x− 8 y = 5x2−8x$ является гипербола с выколотой точкой $( ) 85; 58 .$

Построим таблицу значений для гиперболы:


$x$	$12$	1	2	$− 12$	$− 1$	$− 2$	$85$

$y$	2	1	$12$	$− 2$	$− 1$	$− 12$	$58$

Построим график функции:

$xyy110 = 25x 16$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Прямая $y = kx$ имеет одну точку пересечения только в том случае, когда она проходит через выколотую точку $( 8 5) 5;8 .$ Найдем $k :$

5= k⋅ 8 ⇒ k = 5 : 8 = 25 8 5 8 5 64

Ответ:

${ } k ∈ 25 64$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42883

Постройте график функции $y = 4|x +2|− x2− 3x− 2.$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 27

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

{ 2 y = 4(x + 2)− x −2 3x − 2, если x+ 2≥ 0 ⇔ 4(− x{− 2)− x − 3x− 2, если x+ 2 <0 4x +8 − x2 − 3x − 2, если x≥ −2 ⇔ y = − 4x− 8− x2− 3x− 2, если x <− 2 ⇔ { 2 ⇔ y = − x2+ x+ 6, если x ≥− 2 − x − 7x− 10, если x< − 2

График функции при $x ≥− 2$ — это парабола $2 y = −x + x+ 6$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = −-1-= 1 2a − 2 2 1 1 1 yв. =− 4 + 2 + 6= 64

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ −2 :$


$x$	$1 2$	$− 2$	$− 1$	0	1	2

$y$	$61 4$	0	4	6	6	4

График функции при $x <− 2$ — это парабола $y = −x2− 7x− 10$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-7= − 7 2a − 2 2 ( )2 yв. = − − 7 + 7⋅ 7 − 10 =− 49+ 49 − 10 = 9 2 2 4 2 4

Построим таблицу значений для параболы при $x< − 2:$


$x$	$− 72$	$− 2$	$− 3$	$− 4$	$− 5$

$y$	$94$	0	2	2	0

Построим график функции:

$xyyy110 = = 02,25$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ имеет с графиком три точки пересечения в двух случаях:

1.: прямая $y = m$ проходит через точку стыка двух парабол $(−2;0).$ В этом случае $m = 0.$
2.: прямая $y =m$ проходит через вершину параболы $y = −x2− 7x− 10:$ $( ) − 7; 9 . 2 4$ В этом случае $m = 9 = 2,25. 4$

Таким образом, $m ∈ {0;2,25}.$

Ответ:

$m ∈ {0;2,25}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#40766

Постройте график функции $y = 2|x − 5|− x2+ 11x− 30.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 28

Показать ответ и решение

{ |x− 5|= x − 5, если x− 5≥ 0 − (x − 5), если x− 5< 0 {x − 5, если x ≥5 |x − 5|= − x+ 5, если x < 5

Раскроем модуль в выражении $y = 2|x − 5|− x2+ 11x− 30:$

{ 2 y = 2 ⋅(x− 5)− x + 11x− 30, если x ≥ 5 2 ⋅(−x + 5) − x2+ 11x− 30, если x< 5 { 2 y = 2x− 10− x +2 11x− 30, если x ≥ 5 −2x + 10 − x +11x − 30, если x< 5 { 2 y = −x2 +13x − 40, если x≥ 5 −x +9x − 20, если x< 5

График функции при $x ≥5$ — это парабола $y =− x2+ 13x − 40.$

Найдем вершину параболы:

xв. = − b-= − 13-= 13 2a −2 2 (13)2 13 9 yв. = − 2 + 13⋅2 − 40= 4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 5:$


$x$	5	6	$13 2$	7	8	9

$y$	0	2	$9 4$	2	0	$− 4$

График функции при $x <5$ — это парабола $2 y =− x + 9x− 20.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = −-9-= 9 ( 2)a − 2 2 9 2 9 1 yв. = − 2 + 9⋅2 − 20= 4

Построим таблицу значений для параболы при $x< 5 :$


$x$	$9 2$	3	4	5

$y$	$1 4$	$− 2$	0	0

Построим график функции:

$xyyy110 ==01 4$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых.

Прямая $y = m$ имеет с графиком 3 точки пересечения в двух случаях:

1.: прямая $y =m$ проходит через вершину параболы $y = −x2+ 9x− 20:$ $(9 1) 2;4 .$ В этом случае $1 m = 4.$
2.: прямая $y = m$ проходит через точку $(5;0)$ — точку стыка. В этом случае $m =0$

Получаем ответ:

{ } m ∈ 0; 1 4

Ответ:

$m ∈ {0;0,25}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#45467

Постройте график функции $y =-2|x|−-1. |x|− 2x2$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 33

Показать ответ и решение

Область определения функции:

|x|− 2x2 ⁄=0 ⇔ |x|− 2|x|2 ⁄= 0 ⇔ |x|(1 − 2|x|) ⁄=0 ⇔ ( {|x|⁄= 0 |{x ⁄= 0 ⇔ |x|⁄= 1 ⇔ |x ⁄= 12 2 (x ⁄= − 12

Упростим выражение:

--(2|x|−-1)- -1 y = − |x|(2|x|− 1) = −|x|

Раскроем модуль:

{ { −1x, если x≥ 0 − 1x, если x ≥0 y = --1-, если x< 0 ⇔ y = 1, если x< 0 −(−x) x

Построим таблицу значений для гиперболы при $x≥ 0:$


$x$	$12$	1	2

$y$	$− 2$	$− 1$	$− 12$

Построим таблицу значений для гиперболы при $x< 0:$


$x$	$1 − 2$	$− 1$	$− 2$

$y$	$− 2$	$− 1$	$− 1 2$

Построим график функции:

$xyyyy110 === 4−0x4x$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Прямая $y = kx$ не имеет точек пересечения в трёх случаях:

1.: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(1;−2). 2$ Найдём $k :$ $−2 = 1k ⇔ k = − 4 2$
2.: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $( 1 ) − 2;− 2 .$ Найдём $k :$ $1 −2 =− 2k ⇔ k = 4$
3.: Прямая $y = kx$ совпадает с осью $Ox.$ В этом случае $k = 0.$

Таким образом,

k ∈{− 4; 0; 4}

Ответ:

$− 4; 0; 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2