Тема №22. Графики функций

02 Задачи №22 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#40762

Постройте график функции $y = (0,75x2−-1,5x)⋅|x|. x− 2$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 11 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x − 2 ⁄= 0 ⇒ x⁄= 2

Упростим выражение:

(0,75x2 − 1,5x)⋅|x| 0,75x(x − 2)⋅|x| y = -----x-− 2-----= -----x−-2---- = 0,75x⋅|x|

{x, если x≥ 0 |x|= −x, если x < 0

Раскроем модуль в выражении $y = 0,75x ⋅|x|:$

{ y = 0,75x⋅x, если x≥ 0 0,75x⋅(−x), если x < 0 { 2 y = 0,75x , если x≥ 0 −0,75x2, если x< 0

Найдем координаты выколотой точки:

x =2 2 y = 0,75⋅2 = 0,75⋅4 =3

График функции при $x ≥0$ — это парабола $y = 0,75x2$ с выколотой точкой $(2;3).$

Найдем вершину параболы:

b 0 xв. = − 2a = − 2⋅0,75-= 0 2 yв. = 0,75⋅0 = 0

Построим таблицу значений при $x≥ 0 :$


$x$	0	1	3

$y$	0	$0,75$	$6,75$

График функции при $x <0$ — это парабола $y =− 0,75x2.$

Найдем вершину параболы:

xв. = − b-= −---0----= 0 2a 2 ⋅(− 0,75) y = −0,75⋅02 = 0 в.

Построим таблицу значений при $x< 0 :$


$x$	0	$− 1$	$− 2$	$− 3$

$y$	0	$− 0,75$	$− 3$	$− 6,75$

Построим график функции:

$xyy110 = 3$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых.

Прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком функции ровно в одном случае:

прямая проходит через выколотую точку $(2;3).$ В этом случае $m = 3.$

Ответ:

$m ∈ {3}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#42342

Постройте график функции

(| x− 2,5 при x < 2, { y = |( −x +1,5 при 2 ≤x ≤ 3, x− 5 при x > 3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 13

Показать ответ и решение

Графиком каждой из трех линейных функций $y = x− 2,5,$ $y = −x +1,5$ и $y = x− 5$ является прямая.

Составим таблицу для функции $y = x− 2,5 :$

-x---0-----2--- -y--−2,5--−0,5--

Составим таблицу для функции $y = −x +1,5:$

-x---2-----3--- -y--−0,5--−1,5--

Составим таблицу для функции $y = x− 5:$

|x-|-3--|4--| -y--−-2--−1-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 3$ график исходной функции терпит разрыв, $(3;−2)$ — выколотая точка, $(3;− 1,5)$ — закрашенная точка, $(2;− 0,5)$ — точка стыка.

$110xy−−−−−123421012,5,5,5$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки:

$110xy−−−−−123y(1y(2y(312012=)=)=),5,5,5−−−210,5,5$

Нам подходят все положения между 1 и 2, не включая 1 и 2, а также положение 3.

Положение 1: прямая $y =m$ проходит через выколотую точку $(3;−2),$ значит, $m = −2.$

Положение 2: прямая $y =m$ проходит через точку $(3;− 1,5),$ значит, $m = − 1,5.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(2;− 0,5),$ значит, $m = − 0,5.$

Следовательно,

m ∈ (−2;−1,5)∪ {−0,5} .

Ответ:

$m ∈ (−2;−1,5)∪ {−0,5}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#42246

Постройте график функции

-x−-5- y = 2− x2− 5x.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 17 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

x2− 5x ⁄= 0 x(x− 5)⁄= 0 x ⁄= 0; x⁄= 5

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

y = 2−--x−-5- =2 − 1. x(x − 5) x

Тогда график исходной функции — это гипербола с выколотой точкой.

Построим таблицу значений для гиперболы:

|x-|−-2|−-1-|− 1|1-|1-|-6-| |y-|2,5|-3--|42-|20-|1-|15-| ------------------------6--

Найдем координаты выколотой точки гиперболы:

x= 5 ⇒ y = 2 − 1= 1,8. 5

Тогда $(5;1,8)$ — выколотая точка.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$10134−−−156xy,8121$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она не имеет с графиком этой функции общих точек.

$xyyy((011521==1)2),8 21,8$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ совпадает с горизонтальной асимптотой $y = 2,$ значит $m = 2.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(5;1,8),$ значит $m = 1,8.$

Следовательно, ответ

m ∈ {1,8;2}.

Ответ:

$m ∈ {1,8;2}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#42122

Постройте график функции

y = x|x|+ 2|x|− 3x.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ | ященко 2024 г. вариатн 19

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2− x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(0,5;−0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|x-|0-|-0,5--|1-|2-| |y-|0-|−0,25|0-|2-| -------------------

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 5x$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−2,5;6,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|----|---|--| |x-|−5-|−-4-|−2,5-|−-1|0-| -y---0---4---6,25---4--0--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(0;0)$ — точка стыка.

$0124−−−12−0−6xy4152,50,2,5,255$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки.

$011−0,−6,xyyy(2(12502==)),5,2556,−205,25$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину $(0,5;−0,25)$ параболы $y = x2− x,$ следовательно, $m = − 0,25.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(−2,5;6,25)$ параболы $y = −x2− 5x,$ следовательно, $m = 6,25.$

Следовательно, ответ

m ∈ {− 0,25;6,25}.

Ответ:

$m ∈ {−0,25;6,25}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#40763

Постройте график функции

y = x|x|+ |x|− 5x.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 20 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2− 4x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(2;− 4)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|x-|0-|-2-|4-|5-| |y-|0-|−4-|0-|5-| ----------------

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 6x$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−3;9)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|---|----|--| |x-|−6-|−5-|−-3|−-1-|0-| -y--0----5---9---5---0-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(0;0)$ — точка стыка.

$0159−−−−12−4xy 45316$

$0189−−12xyyy((43==2)1) 9−4$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину $(2;−4)$ параболы $y = x2− 4x,$ следовательно, $m = − 4.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(− 3;9)$ параболы $y = −x2− 6x,$ следовательно, $m = 9.$

Следовательно, ответ

m ∈ {−4;9}.

Ответ:

$m ∈ {−4;9}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#42831

Постройте график функции

{ 2 y = x − 8x+ 14 при x ≥3, x− 2 при x <3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 23 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2− 8x+ 14$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(4;− 2)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|----|-| |x-|-3-|-4-|-5--|6| -y--−1--−2--−-1--2-

Графиком линейной функции $y = x − 2$ является прямая. Составим таблицу:

|--|--|-| |x-|3-|2| -y--1--0-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 3$ функция терпит разрыв, $(3;1)$ — выколотая точка, $(3;−1)$ — закрашенная точка.

$0xy21−−12345612$

$0xyy(3y(2y(1−1−134 =) =) =)12 1−−12$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(4;−2),$ значит, $m = −2.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(3;−1),$ значит, $m = −1.$

Положение 3 (одна общая точки): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(3;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈ {−2} ∪(−1;1).

Ответ:

$m ∈ {−2}∪ (−1;1)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#40765

Постройте график функции

{ 2 y = x − 6x +6 при x≥ 2, x − 3 при x< 2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 24 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2− 6x+ 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(3;− 3)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|----|-| |x-|-2-|-3-|-4--|5| -y--−2--−3--−-2--1-

Графиком линейной функции $y = x − 3$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|-2--|1--| -y--−-1--−2-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 2$ функция терпит разрыв, $(2;−1)$ — выколотая точка, $(2;−2)$ — закрашенная точка.

$0xy1−−−23451123$

$0xyy(3y(2y(1−1−−123 =) =) =)321 −−−123$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(3;−3),$ значит, $m = −3.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(2;−2),$ значит, $m = −2.$

Положение 3 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(2;−1),$ значит, $m = − 1.$

Следовательно,

m ∈{− 3}∪(−2;− 1).

Ответ:

$m ∈ {−3}∪ (−2;−1)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#42863

Постройте график функции

-5x−-8- y = 5x2− 8x.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 25 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

5x2− 8x⁄= 0 x(5x − 8)⁄= 0 x ⁄=0; x⁄= 8 5

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

5x− 8 5x− 8 1 y = 5x2−-8x = x(5x-− 8)-= x.

Тогда график исходной функции — это гипербола с выколотой точкой.

Построим таблицу значений для гиперболы:

|x-|-−2--|−1-|−0,5-|0,5-|1-|2--| -y--−-0,5--−1---−2---2---1--0,5-

Найдем координаты выколотой точки гиперболы:

x = 8 ⇒ y = 1= 5. 5 85 8

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$xy5885012−−21−−2121$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

$58 25 xy85012−21−y22 = 64x$

Нам подходит только одно положение прямой $y = kx,$ при котором она проходит через выколотую точку $( 8 5) 5;8 .$ Найдем, чему равно $k :$

5= k ⋅ 8 8 5 25 k = 64

Ответ:

${ } k ∈ 25 64$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42883

Постройте график функции

2 y = 4|x + 2|− x − 3x− 2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 27 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = −x2+ x+ 6$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(0,5;6,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|--|--| |x-|−2-|−1-|0-|1-| -y--0---4---6--6--

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 7x− 10$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−3,5;2,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|----|----|----|---| |-x|−-4-|−3,5-|−-3-|−2-| --y--2---2,25---2---0--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(−2;0)$ — точка стыка.

$xy2,6,02146−−1−−−0,2525214335,5$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно три общие точки.

$xy2,01−1−yy(2(1223==))5,52,025$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−2;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(−3,5;2,25)$ параболы $y = −x2− 7x− 10,$ следовательно, $m =2,25.$

Следовательно, ответ

m ∈{0;2,25}.

Ответ:

$m ∈ {0;2,25}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#40766

Постройте график функции

2 y = 2|x− 5|− x + 11x− 30.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 28 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = −x2+ 13x− 40$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(6,5;2,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|-|-----|-| |x-|5-|6|-6,5--|7| -y--0--2--2,25--2-

Графиком квадратичной функции $y = −x2+ 9x− 20$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(4,5;0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|--|----|--| |x-|-3-|4-|-4,5-|5-| -y--−2--0--0,25--0--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(5;0)$ — точка стыка.

$xy0,2,02−11345674,6,2525255$

$xy0,01154,yy(2(1255==))00,25$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(5;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(4,5;0,25)$ параболы $y = −x2+ 9x− 20,$ следовательно, $m =0,25.$

Следовательно, ответ

m ∈{0;0,25}.

Ответ:

$m ∈ {0;0,25}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#45467

Постройте график функции $y =-2|x|−-1. |x|− 2x2$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 33 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

При $x = 0$ знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

$pict$

Упростим условия на $x:$

1) 2x− 1 ⁄=0 2x ⁄= 1 1 x⁄= 2 2)− 2x− 1⁄= 0 −2x ⁄= 1 1 x ⁄=− 2

Таким образом, исходная функция теперь выглядит так:

( |{ − 1 при x> 0, x ⁄= 1 y = x 2 |( 1 при x< 0, x ⁄= − 1 x 2

Графиком функции $y = − 1 x$ является гипербола. Построим таблицу значений:

|--|---|---|-----| |x-|0,5-|-1-|-2---| -y--−2--−1--−0,5--

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

1 1 x = 2 ⇒ y = − 1-= −2. 2

Точка $(0,5;− 2)$ является выколотой точкой.

Графиком функции $y = 1 x$ также является гипербола. Построим таблицу значений:

|--|-----|---|----| |x-|−0,5-|−1-|−-2-| -y---−2---−1--−0,5-

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

x = − 1 ⇒ y = − 1= − 2. 2 12

Точка $(− 0,5;−2)$ является выколотой точкой.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$xy0−1234−1234−−−−(−(01243210,5,;5;−−22))$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она не имеет с графиком функции общих точек.

$xy011((y(y(y(−0, =3) =2)=1)0,5;5;−−40−2x2)4)x$

Нам подходят три положения 1, 2 и 3 прямой $y = kx.$

Положение 1: Прямая $y = kx$ совпадает с осью абсцисс и является асимптотой гиперболы, значит, $k = 0.$

Положение 2: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(−0,5;− 2).$ Найдем $k :$

1 −2 = −2 ⋅k ⇔ k = 4.

Положение 3: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(0,5;− 2).$ Найдем $k :$

−2 = 1⋅k ⇔ k = −4. 2

Следовательно, ответ

k ∈ {−4;0;4}.

Ответ:

$− 4; 0; 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2