12 Четность

Любое четное число можно представить в виде где — целое число. Тогда два наших четных числа можем представить в виде и Тогда Так как и — целые числа, то — целое число, следовательно — четное число.

Нечетное же число можно представить в виде Тогда возьмем три нечетных числа , , Сложим эти числа:

Как мы уже знаем это четное число, а — нечетное, а если сложить четное и нечетное число, то получим нечетное. Значит сумма трех нечетных чисел — нечетное число.

а) Заметим, что здесь мы складываем только четные числа, а сколько бы четных чисел мы не сложили из сумма будет четной.

б) Заметим такую закономерность: в каждом следующем числе на одну цифру больше, чем в предыдущем. Так как в первом числе одна цифра, а в последнем — семь, то чисел всего семь, при этом они все нечетные, а сумма нечетного количества нечетных чисел — нечетна.

в) Здесь можно заметить, что каждое число оканчивается на значит каждое из них — нечетное. А произведение любого количества нечетных чисел будет нечетным.

г) В этом произведении мы сразу видим, что есть четные числа, а это значит, что результат тоже будет четным.

а) Докажем, что сумма четного количества нечетных чисел четна. Разобьем все числа на пары. Сложим числа в каждой паре. Так как нечетное + нечетное = четное, то сумма в каждой паре будет четным числом. А сумма любого количества четных чисел — четна. Теперь докажем, что сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна. Так же разобьем все числа, кроме одного, на пары. В каждой паре получим четное число, соответственно сумма всех пар будет четным числом, но у нас осталось еще одно нечетное число, а четное + нечетное = нечетное, значит сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна.

б) Пусть у нас есть хотя бы один четный сомножитель. Тогда перемножим сначала все другие множители, вне зависимости от того какое по четности число мы получим, когда мы его умножим на наш четный сомножитель, мы получим четный результат. Следовательно, произведение может быть нечетным только в том случае, если все сомножители нечетны.

Так как пирожные стоят четное число рублей, то сколько бы пирожных не купил Вася за них он должен отдать четное количество рублей. Сколько бы ни стоила коробка конфет, ее стоимость умножается на так как Вася взял коробки конфет, значит за конфеты Вася тоже отдаст четное число рублей. Так как йогурт стоит четное число рублей, то сколько бы йогуртов не взял Вася, он отдаст за них четное число рублей. Итого за каждый вид товара Вася должен отдать четное число рублей, а сумма четных чисел — четное число, следовательно продавец ошибся, так как потребовал с Васи нечетное число рублей.

Доска содержит клеток, а доминошка — клетки. Значит, сколько бы ни взяли доминошек, суммарное количество их клеток будет четным, а нам нужно заполнить ровно клеток, следовательно, не получится заполнить доску доминошками

Посчитаем количество нечетных чисел в этом выражении. Так как каждое следующее число больше предыдущего на и первое число нечетное а последнее четное, то четных и нечетных одинаковое количество, значит нечетных чисел В сумме нечетное количество нечетных чисел будет давать нам нечетное число, а сумма всех четных чисел будет четным числом, значит сумма будет нечетной, так как сумма нечетного числа и четного будет нечетна.

Чтобы произведение четырех чисел было нечетным, нужно чтобы каждое из этих чисел было нечетным, но если сложить четыре нечетных числа, то мы получим четное число, следовательно, таких чисел нет.

Всего рук –– нечётное число. Если бы они взялись за руки, то руки разбились бы на пары (в каждую пару входят две пожимающие друг друга руки), а это невозможно.

Так как путь нарисован по линиям сетки, то можем разделить его на шаги по вертикали и шаги по горизонтали. заметим, что так как путь замкнутый, то если мы сдвинулись на какое количество шагов вверх, то на такое же количество шагов мы должны были спуститься, следовательно всего по вертикали мы сделали четное число шагов, аналогично с шагами по горизонтали. Итого у нас четное число шагов по вертикали и четное по горизонтали, значит сумма всех шагов четна.

Пусть всех оценок, не считая двоек, было четное число, тогда, если двоек на больше, чем других оценок, то двоек нечетное количество. Тогда всего оценок четное нечетное нечетное количество, но такого быть не может, так как контрольную писали два класса с одинаковым количеством учеников, значит количество учеников, писавших контрольную — четное. Теперь пусть всех оценок, не считая двоек, было нечетное число, тогда, если двоек на больше, чем других оценок, то двоек четное количество. Тогда всего оценок нечетное четное нечетное количество, чего опять же не может быть, как было сказано ранее.

Так как у каждого из семи Чебурашек по одному красному шарику, то всего красных шариков у них Если у какого-то количества Чебурашек оба шарика будут красными, то общее количество красных шариков должно быть четным, но оно нечетно, при этом если мы используем только (максимально возможное четное число красных шариков) шариков, то останется красный шарик, который точно не сможет быть в паре с красным шариком. Значит Чебурашки не могут поменяться друг с другом шариками, чтобы у каждого было по два шарика одного цвета.

Допустим, что такое быть может, тогда заметим, что произведение чисел нечетно тогда и только тогда, когда в произведении есть только нечетные числа, это значит, что числа на всех коробках — нечетные. Но если мы сложим нечетных чисел, то получим нечетное число, что будет являться общим количеством спичек, но по условию спичек у нас следовательно, такого быть не может.

Заметим, что сумма двух чисел нечетна, тогда и только тогда, когда одно из них нечетное, а другое — четное. Это значит, что если числа стоят по кругу, то чтобы сумма каждых соседних чисел была нечетной, то четные и нечетные числа должны чередоваться, следовательно, их должно быть поровну, а значит всего их четное количество. В нашей задаче чисел — нечетное количество, значит все суммы соседних чисел не могут быть нечетными числами, значит найдутся два соседних числа, сумма которых четна.

Так как число ягод, растущих на любых двух соседних кустах, отличается на то четность количества ягод на соседних кустах чередуется. Так как кустов всего то это значит, что у нас ровно куста с четным количеством ягод и ровно куста с нечетным количеством ягод. Если сложить нечетных числа, то получим четное число, теперь у нас четных чисел, их сумма тоже будет четной, следовательно количество всех ягод четно, значит их не может быть

Так как доступные достоинства купюр — нечетные числа, а использовать нам нужно ровно десять купюр, то при сложении десяти нечетных чисел мы получим четное число, а — нечетное число, следовательно ответ на задачу — нельзя.

Так как каждый богатырь меняет четность числа на листе, то четность поменяется нечетное количество раз, следовательно изменится, то есть если изначально было написано число то в конце будет нечетное число, следовательно, число не могло получиться.

Какие бы листы не вырывал Колька, на каждом листе две подряд идущие страницы, а значит номера на этих страницах четное и нечетное число, значит на одном листе в сумме нечетное + четное = нечетное число. А так как листов было вырвано то сумма всех номеров вырванных страниц должна быть нечетным числом(нечетное количество нечетных чисел), но Колька получил четное число , следовательно, он ошибся.

Нужно спросить четно ли число Если четно, то нечетных чисел четное число, а значит их сумма четна, следовательно сколько бы четных чисел мы ни прибавили, результат будет четным. Если нечетно, то нечетных чисел нечетное количество, а значит их сумма нечетна, следовательно сколько бы четных чисел ни прибавили, результат будет нечетным.

У Маши получилось нечетное число после того, как она перемножила произведение двух целых чисел на их сумму. Значит и их произведение, и их сумма это нечетные числа. Произведение двух чисел может быть нечетным числом только в том случае, если оба этих числа — нечетные. Но если оба числа нечетные, то их сумма нечетное + нечетное = четное число. Но такого быть не может, значит, Маша не права.

Если при умножении двух целых чисел получилось нечетное число, то это значит, что оба этих числа нечетные. Но при этом сумма двух нечетных чисел четна, а у Пети получилось нечетное число при сложении этих чисел. Значит такого быть не может.