Тема Текстовые задачи

05 Перебор

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126176

Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя только цифры $0,1$ и $2?$

Источники: РЭШ, Решение задач на перебор возможных вариантов. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

На первое место можно поставить только цифры $1$ или $2$ (цифра $0$ не может быть первой, иначе число не будет трехзначным). Рассмотрим оба варианта:

$1)$ Первая цифра $⇒$ $1 :$

В этом случае на второе место можно поставить любую из цифр $0,$ $1$ или $2.$ Для каждого из этих вариантов на третье место также можно поставить любую из цифр $0,$ $1$ или $2.$ Таким образом, получаем следующие варианты:

$100,$ $101,$ $102$ ( $3$ числа)
$110,$ $111,$ $112$ ( $3$ числа)
$120,$ $121,$ $122$ ( $3$ числа)

Всего $3+ 3+ 3= 9$ чисел.

$2)$ Первая цифра $⇒$ $2 :$

Аналогично предыдущему случаю, на второе место можно поставить любую из цифр $0,$ $1$ или $2,$ и на третье место тоже любую из этих цифр.

Получаем:

$200,$ $201,$ $202$ ( $3$ числа)
$210,$ $211,$ $212$ ( $3$ числа)
$220,$ $221,$ $222$ ( $3$ числа)

Всего $3+ 3+ 3= 9$ чисел.

Таким образом, общее количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр $0,$ $1$ и $2,$ равно $9+9 =18.$

Ответ:

$18$ чисел.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#126177

Какую цифру нужно приписать справа к шестерке, чтобы получить число, в $16$ раз большее исходной цифры?

Источники: РЭШ, Решение задач на перебор возможных вариантов. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

Нас просят найти цифру, которую нужно приписать к числу $6$ справа, чтобы получить число, которое в $16$ раз больше этой цифры. Цифр всего $10$ (от $0$ до $9$ ), поэтому можно просто перебрать все варианты и проверить каждый из них:

Цифра $0:$ Число $60.$ $60$ не равно $16⋅0= 0.$
Цифра $1:$ Число $61.$ $61$ не равно $16⋅1= 16.$
Цифра $2:$ Число $62.$ $62$ не равно $16⋅2= 32.$
Цифра $3:$ Число $63.$ $63$ не равно $16⋅3= 48.$
Цифра $4:$ Число $64.$ $64$ равно $16⋅4= 64.$
Цифра $5:$ Число $65.$ $65$ не равно $16⋅5= 80.$
Цифра $6:$ Число $66.$ $66$ не равно $16⋅6= 96.$
Цифра $7:$ Число $67.$ $67$ не равно $16⋅7= 112.$
Цифра $8:$ Число $68.$ $68$ не равно $16⋅8= 128.$
Цифра $9:$ Число $69.$ $69$ не равно $16⋅9= 144.$

Таким образом, только цифра $4$ удовлетворяет условию: $64 =16⋅4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#126178

В племени ЫУЫ в алфавите есть всего две буквы: У и Ы. Сколько различных слов из трёх букв существует в словаре племени?

Источники: РЭШ, Решение задач на перебор возможных вариантов. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

В племени ЫУЫ алфавит состоит из двух букв: У и Ы. Нужно найти количество различных слов из трех букв, которые можно составить из этих двух букв.

Для каждой позиции в слове есть $2$ варианта выбора буквы (либо У, либо Ы).

$PIC$

Так как в слове $3$ буквы, то общее количество вариантов равно:

$2$ варианта на первое место, $2$ варианта на второе место, $2$ варианта на третье место:

$2⋅2⋅2 =23 =8$ (если без перебора)

Перечислим все возможные слова перебором:

УУУ
УУЫ
УЫУ
УЫЫ
ЫУУ
ЫУЫ
ЫЫУ
ЫЫЫ

Таким образом, существует $8$ различных слов из трех букв.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#126179

Какую цифру надо вписать между $1$ и $9,$ чтобы получить число, на $133$ большее квадрата искомой цифры?

Источники: РЭШ, Решение задач на перебор возможных вариантов. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

Нам нужно найти цифру, которую, вписав между цифрами $1$ и $9,$ мы получим число, которое на $133$ больше квадрата этой цифры. Переберем все возможные цифры от $0$ до $9:$

Цифра $0:$ Число $109.$ Квадрат цифры $0$ равен $0.$ $109− 0= 109.$ Не равно $133.$
Цифра $1:$ Число $119.$ Квадрат цифры $1$ равен $1.$ $119− 1= 118.$ Не равно $133.$
Цифра $2:$ Число $129.$ Квадрат цифры $2$ равен $4.$ $129− 4= 125.$ Не равно $133.$
Цифра $3:$ Число $139.$ Квадрат цифры $3$ равен $9.$ $139− 9= 130.$ Не равно $133.$
Цифра $4:$ Число $149.$ Квадрат цифры $4$ равен $16.$ $149− 16 =133.$ Равно $133.$
Цифра $5:$ Число $159.$ Квадрат цифры $5$ равен $25.$ $159− 25 =134.$ Не равно $133.$
Цифра $6:$ Число $169.$ Квадрат цифры $6$ равен $36.$ $169− 36 =133.$ Равно $133.$
Цифра $7:$ Число $179.$ Квадрат цифры $7$ равен $49.$ $179− 49 =130.$ Не равно $133.$
Цифра $8:$ Число $189.$ Квадрат цифры $8$ равен $64.$ $189− 64 =125.$ Не равно $133.$
Цифра $9:$ Число $199.$ Квадрат цифры $9$ равен $81.$ $199− 81 =118.$ Не равно $133.$

Таким образом, цифры $4$ и $6$ удовлетворяют условию:

Для цифры $4:$ $149− 42 =149− 16 =133.$

Для цифры $6:$ $169− 62 =169− 36 =133.$

Ответ: 4 и 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#126180

В племени ХРЮ в алфавите есть всего три буквы: Х, Р и Ю. Сколько различных слов из двух букв существует в словаре племени?

Источники: РЭШ, Решение задач на перебор возможных вариантов. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

В племени ХРЮ алфавит состоит из трех букв: Х, Р и Ю. Нужно найти количество различных слов из двух букв, которые можно составить из этих букв.

Для каждой позиции в слове есть $3$ варианта выбора буквы (либо Х, либо Р, либо Ю). Так как в слове $2$ буквы, то общее количество вариантов равно:

$2 3⋅3=3 =9$

Перечислим все возможные слова:

ХХ
ХР
ХЮ
РХ
РР
РЮ
ЮХ
ЮР
ЮЮ

Таким образом, существует $9$ различных слов из двух букв.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#126181

Сколько можно составить трёхзначных чисел, для записи которых используются только цифры $5,$ $6,$ $7$ (цифры не могут повторяться)?

Источники: РЭШ, Решение задач на перебор возможных вариантов. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

Нам нужно составить трёхзначные числа, используя цифры $5,$ $6$ и $7,$ при этом цифры не должны повторяться.

На первое место (сотни) мы можем выбрать любую из трех цифр ( $5,$ $6$ или $7$ ). Значит, есть $3$ варианта.

После того, как мы выбрали первую цифру, на второе место (десятки) мы можем выбрать любую из оставшихся двух цифр. Значит, есть $2$ варианта.

На третье место (единицы) остается только одна цифра. Значит, есть $1$ вариант.

Чтобы найти общее количество вариантов, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

$3⋅2⋅1 =6$

Перечислим все возможные числа:

$567$
$576$
$657$
$675$
$756$
$765$

Таким образом, можно составить $6$ различных трёхзначных чисел.

Ответ: 6

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#126182

Сколько двузначных чисел можно составить из цифр $1,$ $3,$ $5$ и $7$ так, чтобы цифры числа были записаны в порядке убывания?

Источники: РЭШ, Решение задач на перебор возможных вариантов. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

Нам нужно составить двузначные числа из цифр $1,$ $3,$ $5$ и $7,$ при этом цифры должны быть расположены в порядке убывания. Это означает, что первая цифра должна быть больше второй. Переберем все возможные варианты, учитывая, что первая цифра больше второй:

Если первая цифра $7,$ то вторая цифра может быть $1,$ $3$ или $5.$ Получаем числа $71,$ $73,$ $75$ (3 числа).
Если первая цифра $5,$ то вторая цифра может быть $1$ или $3.$ Получаем числа $51,$ $53$ (2 числа).
Если первая цифра $3,$ то вторая цифра может быть только $1.$ Получаем число $31$ (1 число).
Если первая цифра $1,$ то нет цифр меньше $1$ в заданном наборе, поэтому нет вариантов.

Суммируем количество вариантов: $3+ 2+ 1= 6.$

Таким образом, можно составить $6$ двузначных чисел, удовлетворяющих условию.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#126202

Сколько двузначных чисел, сумма цифр которых равна чётному числу, можно составить из цифр $3,4,5,6$ (цифры могут повторяться)?

Источники: РЭШ, Решение задач на перебор возможных вариантов. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

Нам нужно составить двузначные числа из цифр $3,$ $4,$ $5$ и $6,$ при этом сумма цифр числа должна быть четной. Сумма двух чисел будет четной в двух случаях:

* Оба числа четные.

* Оба числа нечетные.

Рассмотрим эти случаи:

$1.$ Оба числа четные: Из предложенных цифр четными являются $4$ и $6.$ Тогда можно составить следующие числа: $44,$ $46,$ $64,$ $66$ ( $4$ числа).

$2.$ Оба числа нечетные: Из предложенных цифр нечетными являются $3$ и $5.$ Тогда можно составить следующие числа: $33,$ $35,$ $53,$ $55$ ( $4$ числа).

Суммируем количество вариантов: $4+ 4= 8.$

Таким образом, можно составить $8$ двузначных чисел, удовлетворяющих условию.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#126203

Запишите все двузначные числа в порядке возрастания, в записи которых используются только цифры $0,2,3$ и $4$ (цифры не могут повторяться).

Источники: РЭШ, Решение задач на перебор возможных вариантов. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

Нам нужно составить двузначные числа, используя цифры $0,2,3$ и $4,$ при этом цифры не должны повторяться. Поскольку числа нужно записать в порядке возрастания, будем рассматривать варианты, начиная с наименьшей первой цифры:

Числа, начинающиеся с $2:$ $20,23,24.$
Числа, начинающиеся с $3:$ $30,32,34.$
Числа, начинающиеся с $4:$ $40,42,43.$

Объединяем все полученные числа в порядке возрастания: $20,23,24,30,32,34,40,42,43.$

Ответ: 20, 23, 24, 30, 32, 34, 40, 42, 43

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#126204

Сколько у Тани есть вариантов выбрать наряд из двух юбок и четырёх блузок?

Источники: РЭШ, Решение задач на перебор возможных вариантов. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

У Тани есть $2$ юбки и $4$ блузки. Давайте рассмотрим все возможные варианты, используя метод перебора.

Предположим, у Тани есть одна красная юбка (К) и одна синяя юбка (С). У неё также есть четыре блузки, которые обозначим как Б1, Б2, Б3 и Б4.

1.

Если Таня выберет красную юбку (К), то она может надеть её с каждой из четырёх блузок:

К + Б1
К + Б2
К + Б3
К + Б4

Получаем $4$ варианта.

2.

Если Таня выберет синюю юбку (С), то она тоже может надеть её с каждой из четырёх блузок:

С + Б1
С + Б2
С + Б3
С + Б4

Получаем ещё $4$ варианта.

Всего у Тани $4+ 4= 8$ вариантов выбрать наряд.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#126205

От дома Коли до школы есть три дороги. Сколько существует маршрутов, которыми Коля может дойти от дома до школы и обратно?

Источники: РЭШ, Решение задач на перебор возможных вариантов. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

У Коли есть три дороги от дома до школы. Давайте обозначим эти дороги как Д1, Д2 и Д3. Нам нужно перебрать все возможные маршруты, которыми Коля может пойти в школу и обратно.

Если Коля идет в школу по дороге Д1: Обратно он может вернуться по любой из трех дорог:
- Д1 туда, Д1 обратно
- Д1 туда, Д2 обратно
- Д1 туда, Д3 обратно
Это $3$ варианта.
Если Коля идет в школу по дороге Д2: Обратно он может вернуться по любой из трех дорог:
- Д2 туда, Д1 обратно
- Д2 туда, Д2 обратно
- Д2 туда, Д3 обратно
Это ещё $3$ варианта.
Если Коля идет в школу по дороге Д3: Обратно он может вернуться по любой из трех дорог:
- Д3 туда, Д1 обратно
- Д3 туда, Д2 обратно
- Д3 туда, Д3 обратно
Это ещё $3$ варианта.

Всего получается $3+ 3+ 3= 9$ маршрутов.

Ответ: 9

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#126206

Сколько существует вариантов двузначного кода, составленного из цифр $5,6,7$ и $8$ (цифры могут повторяться)?

Источники: РЭШ, Решение задач на перебор возможных вариантов. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

Нам нужно составить все возможные двузначные коды, используя цифры $5,$ $6,$ $7$ и $8.$ Цифры могут повторяться. Давайте перечислим все варианты:

1.

Если первая цифра $5:$ Вторая цифра может быть любой из $5,6,7,8:$

$55$
$56$
$57$
$58$

Это $4$ варианта.

2.

Если первая цифра $6:$ Вторая цифра может быть любой из $5,6,7,8:$

$65$
$66$
$67$
$68$

Это еще $4$ варианта.

3.

Если первая цифра $7:$ Вторая цифра может быть любой из $5,6,7,8:$

$75$
$76$
$77$
$78$

Это еще $4$ варианта.

4.

Если первая цифра $8:$ Вторая цифра может быть любой из $5,6,7,8:$

$85$
$86$
$87$
$88$

Это еще $4$ варианта.

Всего получается $4+ 4+ 4+4 =16$ вариантов.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#126207

В финальном забеге на $100$ м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите возможные варианты распределения призовых мест.

Источники: Инфоурок, Задачи на перебор всех возможных вариантов (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

В финальном забеге участвуют $3$ спортсмена: Иванов, Громов и Орлов. Нам нужно найти все возможные варианты распределения трех призовых мест.

Вариант $1:$ $1)$ Иванов, $2)$ Громов, $3)$ Орлов.
Вариант $2:$ $1)$ Иванов, $2)$ Орлов, $3)$ Громов.
Вариант $3:$ $1)$ Орлов, $2)$ Иванов, $3)$ Громов.
Вариант $4:$ $1)$ Орлов, $2)$ Громов, $3)$ Иванов.
Вариант $5:$ $1)$ Громов, $2)$ Орлов, $3)$ Иванов.
Вариант $6:$ $1)$ Громов, $2)$ Иванов, $3)$ Орлов.

Всего существует $6$ возможных вариантов распределения призовых мест.

Ответ: 6 вариантов

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#126208

В кружок бального танца записались: Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа, Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться?

Источники: Инфоурок, Задачи на перебор всех возможных вариантов (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

В кружке бального танца $4$ мальчика (Петя, Коля, Витя, Олег) и $4$ девочки (Таня, Оля, Наташа, Света). Перечислим все возможные танцевальные пары:

1.: Таня - Петя
2.: Таня - Коля
3.: Таня - Витя
4.: Таня - Олег
5.: Оля - Петя
6.: Оля - Коля
7.: Оля - Витя
8.: Оля - Олег
9.: Наташа - Петя
10.: Наташа - Коля
11.: Наташа - Витя
12.: Наташа - Олег
13.: Света - Петя
14.: Света - Коля
15.: Света - Витя
16.: Света - Олег

Всего может образоваться $16$ танцевальных пар.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#126209

На завтрак в школьной столовой любой ученик может выбрать булочку, ватрушку, кекс или сочник, а запить их он может соком, чаем или компотом. Сколько вариантов завтрака предлагается в школьной столовой?

Источники: Инфоурок, Задачи на перебор всех возможных вариантов (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

В школьной столовой есть $4$ варианта выпечки (булочка, ватрушка, кекс, сочник) и $3$ варианта напитка (сок, чай, компот).

Чтобы выбрать завтрак, ученик должен выбрать один вид выпечки и один вид напитка. Поскольку выбор выпечки и напитка происходит независимо, общее количество вариантов завтрака равно произведению количества вариантов выпечки и количества вариантов напитка:

$4⋅3=12$

Таким образом, в школьной столовой предлагается $12$ вариантов завтрака.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#126210

Сколькими способами можно выложить в ряд два красных и два синих шарика? Шарики не отличаются ничем, кроме цвета.

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим красный шарик буквой К, а синий - буквой С. Нам нужно перечислить все возможные комбинации расположения двух красных и двух синих шариков в ряд:

ККСС
КСКС
КССК
ССКК
СКСК
СККС

Всего $6$ вариантов.

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#126211

В магазине продаётся белая, черная и зелёная ткань. Нужно купить ткань двух различных цветов. Из какого числа вариантов приходится выбирать?

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим цвета ткани: Б - белая, Ч - черная, З - зеленая. Перечислим возможные комбинации двух разных цветов:

БЧ
БЗ
ЧЗ

Всего $3$ варианта.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#126212

В вазе лежат яблоко, груша, персик и абрикос. Маше разрешили выбрать два каких-то фрукта. Сколько у Маши вариантов выбора?

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим фрукты: Я - яблоко, Г - груша, П - персик, А - абрикос. Перечислим все возможные комбинации двух фруктов:

ЯГ
ЯП
ЯА
ГП
ГА
ПА

Всего $6$ вариантов.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#126213

В турнире участвовали пять шахматистов, причем каждый шахматист сыграл с каждым из остальных по одной партии. Сколько партий было сыграно на турнире?

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим шахматистов: $1,2,3,4,5.$ Перечислим все возможные пары, которые сыграли друг с другом:

$1− 2$
$1− 3$
$1− 4$
$1− 5$
$2− 3$
$2− 4$
$2− 5$
$3− 4$
$3− 5$
$4− 5$

Всего $10$ партий.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#126214

Сколько существует чисел, больших, чем $3528,$ каждое из которых можно получить перестановкой цифр данного числа?

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Нам дано число $3528.$ Нужно найти количество перестановок его цифр, которые больше, чем $3528.$

$PIC$

Получается, для первой позиции $4$ варианта из предложенных цифр, для второй позиции $3$ варианта, для третьей - $2,$ для последней - $1.$

Представьте, вы хотите раздать $4$ карточки друзьям, на каждой карточке нарисована какая-то цифра. Подходите к первому человеку, на руках у вас $4$ карточки, отдаете ему одну. Идете к следующему другу, заметьте, теперь у вас на руках только $3$ карточки, из этих трех вы выбираете одну и даете второму другу. Подходит третий: он выбирает одну карточку из двух предложенных. А для четвертого друга остается только одна карточка. Здесь так же.