Тема 13. Решение уравнений

13.01 Задачи №13 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#112967

a) Решите уравнение $√ - √- √ - 2sin2x + 2sin(2π+ x)− 3sin2x= 6cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π;3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение, воспользовавшись формулами

$sin2x = 2sinx cosx,$
$sin(α+ 2π)= sin α.$

Тогда имеем:

$pict$

То есть выполнено одно из условий:

1.: $√- sinx − 3cosx= 0,$
2.: $√ - 2sinx + 2= 0.$

Решим оба случая. Первый:

$pict$

Данное преобразование возможно, так как, если $cosx= 0,$ то и $sin x= 0,$ а это противоречит ОТТ.

Тогда

x= π-+ πk, k ∈ ℤ. 3

Второй:

$pict$

Тогда

⌊ π- |x= − 4 + 2πk, k ∈ℤ ||x= − 3π+ 2πk, k ∈ ℤ |⌈ π 4 x= 3-+ πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 3π;3π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$33ππ 77ππ 2 43$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π- 2 ;3π$ лежат точки $7π 4 ;$ $7π 3 .$

Ответ:

а) $− π+ 2πk; 4$ $− 3π+ 2πk; 4$ $π+ πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $7π 7π 4 ; 3 .$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#112987

a) Решите уравнение $√- 3sin2x+ 3cos2x= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π; 5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

$pict$

Получили элементарное тригонометрическое уравнение, его решение:

2π 2x= 3-+ πk, k ∈ ℤ π πk x= 3-+ -2 , k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] π; 5π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$54ππ 117ππ- π23 63$

Следовательно, на отрезке $[ ] π; 5π 2$ лежат точки $4π ; 3$ $11π; 6$ $7π-. 3$

Ответ:

а) $π+ πk-, 3 2$ $k ∈ ℤ$

б) $4π; 11π; 7π 3 6 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#120317

a) Решите уравнение $log5(cosx+ sin2x +25)= 2.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 2π; 7π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Избавимся от логарифма и сведем уравнение к простейшим тригонометрическим:

log (cosx+ sin2x + 25)= 2 5 cosx+ sin2x +25 = 52 cosx+ 2sinx cosx +25 = 25 cosx(1+ 2sinx) =0 ⌊ ⌈cosx= 0 sin x= − 1 2 ⌊x= π-+ πk, k ∈ ℤ || 2 ||x= − π+ 2πk, k ∈ℤ |⌈ 6 x= − 5π+ 2πk, k ∈ ℤ 6

Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 2π; 7π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$7517ππ9ππ 2π2262$

Следовательно, на отрезке $[ 7π] 2π;-2$ лежат точки $5π -2 ;$ $19π -6-;$ $7π -2 .$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $− π+ 2πk; 6$ $− 5π+ 2πk, 6$ $k ∈ℤ$

б) $5π; 2$ $19π; 6$ $7π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#120318

a) Решите уравнение $log5(cosx− sin2x +25)= 2.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π;4π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Избавимся от логарифма и сведем уравнение к простейшим тригонометрическим:

log (cosx− sin2x + 25)= 2 5 cosx− sin2x +25 = 52 cosx− 2sinx cosx +25 = 25 cosx(1− 2sinx) =0 ⌊ ⌈cosx= 0 sinx = 1 2 ⌊x = π-+πk, k ∈ ℤ || 2 ||x = π-+2πk, k ∈ ℤ |⌈ 6 x = 5π +2πk, k ∈ℤ 6

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 5π;4π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$5517ππ7ππ 42π262$

Следовательно, на отрезке $[ 5π ] 2-;4π$ лежат точки $5π -2 ;$ $17π -6-;$ $7π -2 .$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $π+ 2πk; 6$ $5π + 2πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $5π; 17π; 7π 2 6 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#89712

a) Решите уравнение $sin 2x − sin(x − π)= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 7π ;5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а)

sin2x− sin(x− π)= 0 2 sinxcosx+ sin x= 0 sin x⌊(2 cosx +1) =0 sin x= 0 ⌈ 1 cosx= − 2 ⌊x= πk, k ∈ℤ ⌈ 2π x= ± 3-+ 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 7π;5π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$7415ππ4ππ 23$

Следовательно, на отрезке $[ ] 7π-;5π 2$ лежат точки $4π;$ $14π ; 3$ $5π.$

Ответ:

а) $πk;$ $± 2π +2πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $4π;$ $14π ; 3$ $5π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#89942

a) Решите уравнение $√- sin 2x − 3cos(π − x) = 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 4π;− 5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а)

sin2x − √3cos(π − x) =0 √- 2sin xc(osx+ 3cos)x =0 cosx 2sin x+ √3 =0 ⌊ √- sinx= − -3- ⌈ 2 cosx = 0 ⌊x= − π+ 2πk, k ∈ℤ | 3 |||x= − 2π+ 2πk, k ∈ ℤ ⌈ π 3 x= 2-+ πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] −4π;− 5π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$7π8π5π- −−−−4π232$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 4π;− 5π 2$ лежат точки $− 7π; 2$ $− 8π; 3$ $− 5π. 2$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $− π+ 2πk; 3$ $− 2π+ 2πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $− 7π ; 2$ $− 8π; 3$ $− 5π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#89944

a) Решите уравнение $√- sin 2x + 3sin (x − π)= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 7π;−2π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а)

sin 2x + √3sin(x− π)= 0 √- 2sin xc(osx− 3 sin)x= 0 sinx 2cosx− √3 =0 ⌊ √ - cosx= --3 ⌈ 2 sin x= 0 ⌊ π- ⌈x = ±6 + 2πk, k ∈ ℤ x = πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] − 7π;−2π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$71π3π −−−−322π6π$

Следовательно, на отрезке $[ 7π ] − -2 ;−2π$ лежат точки $− 3π;$ $13π − -6-;$ $− 2π.$

Ответ:

а) $πk;$ $± π-+ 2πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $− 3π;$ $− 13π; 6$ $− 2π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#89945

a) Решите уравнение $√- sin 2x + 2sin (x + π)= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 7π ;5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а)

sin 2x + √2sin(x+ π)= 0 √- 2sin xc(osx− 2 sin)x= 0 sinx 2cosx− √2 =0 ⌊ √ - cosx= --2 ⌈ 2 sin x= 0 ⌊ π- ⌈x = ±4 + 2πk, k ∈ ℤ x = πk, k ∈ ℤ

$71415π5π7πππ 244$

Следовательно, на отрезке $[7π ] 2-;5π$ лежат точки $15π -4- ;$ $4π;$ $17π -4-;$ $5π.$

Ответ:

а) $πk;$ $± π-+ 2πk, 4$ $k ∈ ℤ;$

б) $15π; 4$ $4π;$ $17π; 4$ $5π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#89946

a) Решите уравнение $sin 2x − cos(x− π)= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 7π ;5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

а)

sin2x− cos(x− π)= 0 2 sinxcosx+ cosx= 0 cosx⌊(2sinx +1) =0 sin x= − 1 ⌈ 2 cosx= 0 ⌊x= − π+ 2πk, k ∈ℤ | 6 |||x= − 5π+ 2πk, k ∈ ℤ ⌈ π 6 x= 2-+ πk, k ∈ ℤ

$729π3ππ 5π262-$

Следовательно, на отрезке $[ ] 7π-;5π 2$ лежат точки $7π; 2$ $23π; 6$ $9π . 2$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $− π+ 2πk; 6$ $− 5π+ 2πk, 6$ $k ∈ℤ$

б) $7π; 2$ $23π; 6$ $9π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#89947

a) Решите уравнение $√- cos2x+ 2sin(x − π) − 1 = 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π ;3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а)

cos2x+ √2-sin(x− π)− 1= 0 2 √ - 1− 2sin x −√ 2sinx − 1= 0 2sin2x + 2sinx = 0 ( √-) sin x⌊ 2sinx + 2 =0 sinx= 0 |⌈ √- sinx= − -2- ⌊ 2 x= πk, k ∈ℤ || π- ||⌈x= − 4 + 2πk, k ∈ℤ x= − 3π+ 2πk, k ∈ ℤ 4

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[3π ] 2 ;3π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$37ππ 2324ππ$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π- 2 ;3π$ лежат точки $7π 4 ;$ $2π;$ $3π.$

Ответ:

а) $πk;$ $− π-+ 2πk; 4$ $− 3π +2πk, 4$ $k ∈ ℤ$

б) $7π; 4$ $2π;$ $3π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#89948

a) Решите уравнение $√- cos2x+ 3sin(x +π) − 1 = 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 2π; 7π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $sin(x+ π)= − sinx.$ Тогда имеем

cos2x − √3-sinx − 1= 0 2 √ - 1− 2sin x −√ 3sinx − 1= 0 2sin2x + 3sinx = 0 ( √ ) sinx⋅⌊ 2 sinx+ 3 = 0 sinx= 0 |⌈ √- sinx= − -3- ⌊ 2 x= πk, k ∈ℤ |||x= − π+ 2πk, k ∈ℤ |⌈ 3 x= − 2π+ 2πk, k ∈ ℤ 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 2π; 7π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$71π0π 232ππ3-$

Следовательно, на отрезке $[ ] 7π 2π; 2$ лежат точки $2π;$ $3π;$ $10π- 3 .$

Ответ:

а) $πk;$ $− π-+ 2πk; 3$ $− 2π +2πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $2π;$ $3π;$ $10π- 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#89949

a) Решите уравнение $√- cos2x− 3sin(x − π) − 1 = 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π ;3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $sin(x− π)= − sinx.$ Тогда имеем

cos2x +√3-sinx − 1= 0 2 √ - 1− 2sin x +√ 3sinx − 1= 0 2sin2x − 3sinx = 0 ( √ ) sinx⋅⌊2 sinx− 3 = 0 sin x= 0 |⌈ √ - sin x= --3 ⌊ 2 x = πk, k ∈ ℤ |||x = π-+2πk, k ∈ ℤ |⌈ 3 x = 2π +2πk, k ∈ℤ 3

$378πππ 232π33π$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π 2 ;3π$ лежат точки $2π;$ $7π 3 ;$ $8π 3 ;$ $3π.$

Ответ:

а) $πk;$ $π-+2πk; 3$ $2π+ 2πk, 3$ $k ∈Z$

б) $2π;$ $7π ; 3$ $8π; 3$ $3π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#89950

a) Решите уравнение $cos2x− sin(x− π)− 1= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 7π;−2π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $sin(x− π)= − sinx.$ Тогда имеем

cos2x + sinx− 1 =0 2 1− 2sin x + sinx− 1 =0 2sin2x − sinx =0 sinx ⋅(2sin x− 1)= 0 ⌊sinx = 0 ⌈ sinx = 1 ⌊ 2 x = πk, k ∈ ℤ ||x = π-+2πk, k ∈ ℤ ||⌈ 6 x = 5π +2πk, k ∈ℤ 6

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 7π − 2 ;−2π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−− 7 132π9πππ 26$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 7π;−2π 2$ лежат точки $− 19π; 6$ $− 3π;$ $− 2π.$

Ответ:

а) $πk;$ $π-+2πk; 6$ $5π+ 2πk, 6$ $k ∈ℤ$

б) $− 19π ; 6$ $− 3π;$ $− 2π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#89951

a) Решите уравнение $√- cos2x− 2sin(x +π) − 1 = 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 7π;−2π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $sin(x+ π)= − sinx.$ Тогда имеем

cos2x +√2-sinx − 1= 0 2 √ - 1− 2sin x +√ 2sinx − 1= 0 2sin2x − 2sinx = 0 ( √ ) sinx⋅⌊2 sinx− 2 = 0 sin x= 0 |⌈ √ - sin x= --2 ⌊ 2 x = πk, k ∈ ℤ |||x = π-+2πk, k ∈ ℤ |⌈ 4 x = 3π +2πk, k ∈ℤ 4

$−−−− 7 132π3πππ 24$

Следовательно, на отрезке $[ ] 7π − 2 ;−2π$ лежат точки $13π − 4 ;$ $− 3π;$ $− 2π.$

Ответ:

а) $πk;$ $π-+2πk; 4$ $3π+ 2πk, 4$ $k ∈ℤ$

б) $− 13π ; 4$ $− 3π;$ $− 2π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#89952

a) Решите уравнение $2cos2x − sin(x − π)− 1 = 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 7π;−2π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $sin(x− π)= − sinx.$ Тогда имеем

2 cos2x+ sin x− 1= 0 ( 2 ) 2⋅ 1− sin x + sinx − 1= 0 2sin2x− sin x− 1= 0 (sinx− 1)(2sinx + 1) =0 ⌊ ⌈sin x= 1 1 sin x= − 2 ⌊ π x= 2-+ 2πk, k ∈ ℤ || π- ||⌈x= − 6 + 2πk, k ∈ℤ x= − 5π+ 2πk, k ∈ ℤ 6

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 7π ] − 2 ;−2π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−− 2711ππ37ππ 266$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 7π;−2π 2$ лежат точки $− 7π; 2$ $− 17π; 6$ $− 13π-. 6$

Ответ:

а) $π+ 2πk; 2$ $− π+ 2πk; 6$ $− 5π+ 2πk, 6$ $k ∈ℤ$

б) $− 7π ; 2$ $− 17π; 6$ $− 13π 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#89953

a) Решите уравнение $√- cos2 x+ 3sin(x − π)− 1 =0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 2π; 7π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $sin(x− π)= − sinx.$ Тогда имеем

cos2x − √3-sinx − 1= 0 2 √- 1 − sin x− √3sinx− 1= 0 sin2 x+ 3sinx= 0 ( √ ) sinx[sinx+ 3 = 0 sinx =0 sinx =− √3 x= πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 7π] 2π; 2 ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$7π 232ππ$

Следовательно, на отрезке $[ ] 2π; 7π 2$ лежат точки $2π;$ $3π.$

Ответ:

a) $πk,$ $k ∈ ℤ$

б) $2π;$ $3π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#89954

a) Решите уравнение $2cos2x + 3sin(x+ π)− 3= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 2π; 7π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $sin(x+ π)= − sinx.$ Тогда имеем

2cos2x − 3sinx − 3 = 0 ( 2 ) 2⋅ 1− sin x − 3sinx− 3= 0 2sin2x + 3sinx +1 = 0 (sinx+ 1)(2sinx + 1) =0 ⌊ ⌈sin x= −11 sin x= − 2 ⌊ π x= − 2 + 2πk, k ∈ℤ || π- ||⌈x= − 6 + 2πk, k ∈ℤ x= − 5π+ 2πk, k ∈ ℤ 6

$71π9π 2π26-$

Следовательно, на отрезке $[ ] 2π; 7π 2$ лежат точки $19π; 6$ $7π. 2$

Ответ:

а) $− π+ 2πk; 2$ $− π+ 2πk; 6$ $− 5π+ 2πk, 6$ $k ∈ℤ$

б) $19π; 6$ $7π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#100465

a) Решите уравнение $√- cos2x+ 3sin(x +π) − 1 = 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 2π; 7π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

а)

cos2x+ √3-sin(x+ π)− 1= 0 2 √ - 1− 2sin x −√ 3sinx − 1= 0 2sin2x + 3sinx = 0 ( √-) sin x⌊ 2sinx + 3 =0 sinx= 0 |⌈ √- sinx= − -3- ⌊ 2 x= πk, k ∈ℤ || π- ||⌈x= − 3 + 2πk, k ∈ℤ x= − 2π+ 2πk, k ∈ ℤ 3

Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 7π] 2π;2 ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$71π0π 223π2ππ3-$

Следовательно, на отрезке $[ ] 7π 2π; 2$ лежат точки $2π;$ $3π;$ $10π- 3 .$

Ответ:

а) $πk; − π-+ 2πk; − 2π+ 2πk, k ∈ℤ 3 3$

б) $2π; 3π; 10π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#83764

а) Решите уравнение $( ) cos2(π− x)− sin 3π+ x = 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π;− π-. 3 2$

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

По формулам приведения имеем:

( ) cos2(π− x)− sin 3π+ x = 0 2 2 cos⌊ x+ cosx= 0 cosx =0 ⌈ cosx =− 1 ⌊ π- | x= 2 + πn,n∈ ℤ ⌈ x= π + 2πm, m ∈ℤ

б) Отберем корни на отрезке $[ 5π π-] − 3 ;−2$ с помощью неравенства.

Для первой серии решений:

− 5π≤ π-+ πn≤ − π- 3 2 2 − 13≤ n ≤− 1 6 n = −2;−1 ⇒ x = − 3π;− π 2 2

Для второй серии решений:

− 5π ≤ π+ 2πm ≤ − π 3 2 4 3 − 3 ≤ m ≤− 4 m = −1 ⇒ x = −π

Следовательно, на отрезке $[ 5π π] − 3 ;− 2$ лежат корни $3π π- − 2 ;−π;− 2.$

Ответ:

а) $π+ πn,n ∈ℤ; 2$ $π+ 2πm,$ $m ∈ℤ$

б) $3π − -2 ;$ $− π;$ $π − 2-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#83766

а) Решите уравнение $2cosx+ sin2x= 2cos3x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 7π ] −-2 ;− 2π .$

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

2cosx + sin2x= 2cos3x 2cosx+ 1− cos2x = 2cos3x 3 2 2 cos x+ cos x− 2cosx− 1= 0 cos2x (2cosx +1)− (2cosx+ 1)= 0 (cos2x − 1)(2cosx +1)= 0 ⌊ cosx = 1 || |⌈cosx = −1 2cosx= −1 ⌊ x = 2πn,n ∈ ℤ || |||x = π+ 2πm,m ∈ ℤ |⌈ x = ±2π +2πk,k ∈ℤ 3 ⌊x = πn,n ∈ ℤ || ⌈ 2π x = ± 3 +2πk,k ∈ℤ

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 7π − 2 ;− 2π ,$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.