Тема 18. Задачи с параметром

18.01 Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#113009

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

4 2 x + (a − 3) = |x− a+ 3|+|x+ a− 3|

имеет ровно одно решение или не имеет решений вовсе.

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

Для начала заменим для удобства $a− 3$ на $b.$

Пусть левая часть уравнения — функция

f(x)= x4+ b2.

Пусть правая часть уравнения — функция

g(x)= |x − b|+ |x +b|.

Так как уравнение останется прежним, если $b$ заменить на $− b,$ то можем решать задачу для $b ≥0,$ а затем добавить в ответ все значения противоположного знака.

Нарисуем графики этих функций в осях $xOy.$

Функция $4 2 f(x) = x +b$ четная, убывает при $x< 0$ и возрастает при $x> 0.$ При $x = 0$ функция принимает значение $2 b.$

Рассмотрим функцию

g(x)= |x − b|+ |x +b|.

Ее модули обнуляются при $x= b$ и $x =− b.$ Так как мы рассматриваем $b≥ 0,$ то $b≥ −b$

Тогда, раскрыв модули, получаем:

( |{ −2x, x <− b g(x)= 2b, − b≤ x≤ b |( 2x, x >b

Это «корыто» с ветвями вверх, дно которого лежит на прямой $y = 2b≥ 0.$ Заметим, что $g(x)$ также четна:

g(− x)= |− x − b|+ |− x + b|= |x+ b|+ |x− b|=g(x)

При этом так как ветви корыта лежат на фиксированных прямых, то при изменении параметра его дно двигается вверх/вниз, а границы дна «скользят» по этим фиксированным прямым.

Итак, нарисуем оба графика и изобразим граничные положения. Так как обе функции четны, то рисунок будет симметричен относительно оси $Oy.$

При $b= 0$ вершина функции $f(x)$ находится в точке $(0;0),$ а корыто принимает вид

g(x)= |− x|+|x|= 2|x|,

то есть представляет собой галочку.

Получаем следующую картинку:

$PIC$

Заметим, что в таком случае получается 3 решения, то есть $b =0$ нам не подходит.

Далее вершина графика $f(x)$ находится в точке $(0;b2),$ а дно корыта $g(x)$ лежит на прямой $y = 2b.$ Поймем, когда вершина $f(x)$ будет ниже дна корыта, а когда выше:

2 b < 2b b(b− 2)< 0 b∈ (0;2)

Таким образом, при $b∈ (0;2)$ вершина $f(x)$ ниже дна $g(x),$ при $b =2$ лежит на дне, при $b> 2$ выше дна.

Когда вершина $f(x)$ находится ниже дна корыта $g(x),$ то очевидно при $x > 0$ будет пересечение $f(x)$ и $g(x),$ а так как рисунок симметричен относительно $Oy,$ то и при $x< 0$ будет пересечение. Тогда решений будет как минимум 2, то есть значения $b ∈(0;2)$ нам не подходят.

$PIC$

Нарисуем случай $b = 2.$ Как мы уже поняли, в этом случае вершина $f(x)$ лежит на дне корыта $g(x):$

$PIC$

Поймем, что в этом случае правая ветвь $f(x)$ не имеет пересечений с правой ветвью корыта $g(x).$ Действительно, во-первых, $f(2)= 20> 4= g(2),$ во-вторых, при $x >2$ функция $f(x)$ возрастает быстрее, чем правая ветвь $g(x):$

′ 3 3 f(x)= 4x > 4⋅2 = 32 g′(x)= 2 f′(x) >g′(x)

Таким образом, в данном случае при $x> 0$ графики не пересекаются и, в силу симметрии, не пересекаются и при $x <0.$ То есть при $b= 2$ одна точка пересечения $(0;4),$ значит, это значение параметра подходит.

При $b> 2$ вершина $f(x)$ выше дна корыта $g(x).$ Поймем, что в данном случае решений уже не будет. Так как вершина $f(x)$ выше дна корыта $g(x),$ то $f(x)$ не пересекает дно корыта $g(x).$ Покажем, что при $b> 2$ $f(x)$ не пересекает правую ветвь корыта $g(x).$

$PIC$

Действительно, во-первых, $4 2 3 f(b)= b +b >2b > 2b= g(b),$ во-вторых, при $x > b$ функция $f(x)$ возрастает быстрее, чем правая ветвь $g(x):$

f′(x)= 4x3 > 4⋅b3 > 4⋅23 = 32 g′(x)= 2 f′(x) >g′(x)

Таким образом, в данном случае при $x> 0$ графики не пересекаются и, в силу симметрии, не пересекаются и при $x< 0.$ То есть при $b > 2$ пересечений вовсе нет, значит, эти значения параметра подходят.

Объединяя подходящие значения, и добавив значения, противоположные по знаку, получаем:

b∈ (− ∞;− 2]∪ [2;+ ∞).

Так как $b= a− 3,$ получаем в итоге:

a ∈ (− ∞;1]∪[5;+∞ ).

Ответ:

$a ∈(−∞; 1]∪[5;+ ∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#113010

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

10 5 2 x + (a − 2|x|) + x + a− 2|x|= 0

имеет более трёх различных решений.

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна

Показать ответ и решение

Преобразуем обе части уравнения:

x10+x2 = − (a− 2|x|)5+ 2|x|− a ( 2)5 2 5 x + x = (2|x|− a) + 2|x|− a

Пусть $f(t)= t5 +t.$ Заметим, что это сумма двух монотонно возрастающих функций, а значит, $f(t)$ тоже является монотонно возрастающей.

Таким образом, мы получили

2 f (x )= f(2|x|− a).

В силу монотонности можем сделать вывод, что должно быть равенство аргументов. Тогда получаем уравнение:

2 x = 2|x|− a x2 − 2|x|= −a

Пусть $2 g(x)= x − 2|x|.$

Запишем $g(x)$ в следующем виде:

{ x2− 2x, x ≥0 g(x)= x2+ 2x, x <0

Это части парабол с ветвями вверх и вершинами $(1;−1)$ и $(−1;−1).$

Изобразим график:

$PIC$

Заметим, что граничными положениями прямой $y = − a$ являются положение 1 (горизонтальная прямая проходит через вершины парабол) и положение $y = 0$ (горизонтальная прямая проходит через точку $(0;0)$ «склейки» парабол).

Тогда в положении 1 у данного уравнения будет ровно два корня, а в положении $y = 0$ будет ровно три корня.

Тогда нам подходят все промежуточные значения. То есть

−1 < −a< 0 ⇒ 0 < a< 1.

Ответ:

$a ∈(0;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#120329

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ y2− xy− 7y+ 5x+ 10 ---√x-+-4⋅√6-− y-- = 0, ( 4a= ax− y

имеет единственное решение.

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

Преобразуем первое уравнение системы:

y2− xy− 7y+ 5x + 10 --√x-+-4⋅√6-−-y---= 0 y(y−-x√)− 5(y−√x)−-2(y−-5)-= 0 x+ 4⋅ 6− y (y− x)(y− 5)− 2(y − 5) ---√x-+-4⋅√6-−-y----= 0 ( |{(y− 5)(y − x− 2)= 0 |x > −4 (y < 6

Таким образом, исходная система равносильна следующей системе:

(||[y =5 |||| y =x + 2 { |||x >− 4 |||(y <6 y =a(x− 4)

Изобразим все, кроме пучка прямых $y = a(x − 4):$

$PIC$

Уравнение $y = a(x− 4)$ задает пучок прямых с фиксированной точкой $(4;0).$ Отметим интересующие нас положения:

$PIC$

Тогда исходная система имеет единственное решение при

a ∈{I}∪ [II;III]∪ [IV;+∞ ).

Рассмотрим положение I. В нем прямая $y = a(x− 4)$ проходит через точку $(3;5).$ Значит, координаты этой точки обращают уравнение функции в верное равенство, то есть

y = a(x − 4) 5 = a(3 − 4) 5 = −a a = −5

Рассмотрим положение II. В нем прямая $y = a(x− 4)$ проходит через точку $(−4;5).$ Значит, координаты этой точки обращают уравнение функции в верное равенство, то есть

y = a(x − 4) 5= a(−4− 4) 5= − 8a 5 a =− 8

Рассмотрим положение III. Это горизонатльная прямая, значит, $a= 0.$

Рассмотрим положение IV. В нем прямая $y = a(x − 4)$ проходит через точку $(−4;−2).$ Значит, координаты этой точки обращают уравнение функции в верное равенство, то есть

y = a(x − 4) −2 = a(− 4− 4) − 2= −8a 1 a= 4

Таким образом,

[ 5 ] [1 ) a ∈{− 5}∪ − 8;0 ∪ 4;+∞ .

Ответ:

$[ ] [ ) a ∈{− 5} ∪ − 5;0 ∪ 1;+∞ 8 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90052

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{2x + 2ay+ a− 3= 0 x|y|+ 2x− 3= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы:

x|y|+ 2x− 3= 0 x(|y|+ 2)= 3

Заметим, что $|y|+2 ≥ 2.$ Тогда

x(|y|+ 2)= 3 2x = --6-- |y|+ 2

Тогда система имеет вид

( |{ 2x= − a(2y+ 1)+ 3 | --6-- ( 2x= |y|+ 2

Решим задачу графически в системе координат $yOx,$ где $y$ — абсцисса, $x$ — ордината. Тогда первое уравнение задает пучок прямых, проходящих через точку $(−0,5;1,5).$ Второе уравнение при $y ≥ 0$ задает часть гиперболы $3 x= y-+2$ и при $y < 0$ задает эту же кривую, но отраженную относительно оси $Ox.$

$yxx121−0=1 ---3- |y|+ 2$

Нам подходит только одно положение прямой, когда она касается гиперболы $-3-- x = y+ 2,$ при этом $y >0.$ Тогда уравнение

--3- = −a(y+ 0,5)+ 1,5 y +2 --6- = −a(2y+ 1)+3 y +2 6= − a(2y +1)(y+ 2)+3y +6 ( 2 ) a 2y + 5y+ 2 − 3y = 0 2ay2+ y(5a − 3)+ 2a= 0

квадратное и имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D = 0 (5a− 3)2 − 16a2 = 0 2 2 25a − 30a + 9− 16a =0 3a2− 10a+ 3= 0 (3a − 1)(a− 3)= 0 ⌊ 1 ⌈a = 3 a =3

При $a= 3$ получаем, что

6y2+ 12y+ 6= 0 y2+ 2y+ 1= 0 2 (y+ 1) = 0 y = −1

Значит, такое значение параметра $a$ нам не подходит.

При $1 a= 3$ получаем, что

2y2 − 4y+ 2 =0 3 3 3 y2− 2y+ 1= 0 (y− 1)2 = 0 y =1

Тогда

3 3 x = y+-2 = 1+-2 = 1

Значит, касание происходит в точке $(1;1).$

Следовательно, нам подходит только ${ } a∈ 1 . 3$

Ответ:

${ } a ∈ 1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90055

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{x + ay+ a− 2= 0 x|y|+ x− 2= 0

имеет ровно одно решение.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы:

x|y|+ x− 2 =0 x(|y|+ 1)= 2

Заметим, что $|y|+1 ≥ 1.$ Тогда

x(|y|+ 1)= 2 x= --2-- |y|+1

Тогда система имеет вид

( |{ x= − a(y +1)+ 2 | --2-- ( x= |y|+ 1

Решим задачу графически в системе координат $yOx,$ где $y$ — абсцисса, $x$ — ордината. Тогда первое уравнение задает пучок прямых, проходящих через точку $(−1;2).$ Второе уравнение при $y ≥ 0$ задает часть гиперболы $2 x = y+-1$ и при $y < 0$ задает эту же кривую, но отраженную относительно оси $Ox.$

$yxx((121−0=1)2)1 ---2- |y|+ 1$

Пусть $a1$ и $a2$ — значения параметра $a,$ соответствующие положениям (1) и (2). Тогда нам подходят $a> a1$ или $a≤ a2.$

Положение (1): прямая $x = −a (y+ 1) +2 1$ касается гиперболы $x= --2-. y+ 1$ Тогда уравнение

--2- = −a1(y+ 1)+2 y +1 2 = −a1(y + 1)2+ 2y+ 2 2 a1y + 2a1y +a1− 2y =0 a1y2 +2y(a1− 1)+ a1 = 0

квадратное и имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D = 0 4(a1− 1)2− 4a21 = 0 −2a + 1 =0 1 a1 = 1 2

Положение (2): прямая $x= −a2(y+ 1)+ 2$ горизонтальна, то есть $a2 = 0.$

Следовательно, нам подходят значения параметра

( 1 ) a ∈(−∞; 0]∪ 2;+∞ .

Ответ:

$a ∈(−∞; 0]∪(0,5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90056

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{x +y = a ||2 || |y|= x − 2x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Система из условия равносильна следующей:

(| y = − x+ a { [ 2 |( y = x −22x y = − x + 2x

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением совокупности. Тогда необходимо найти такие $a,$ при которых прямая $y = −x+ a$ имеет 2 общие точки со множеством $S.$ Изобразим множество $S$ и ключевые положения прямой $y =− x+ a.$

$2 2 xyyy((1120 = =12))x− −x 2+x2x$

Нам подходят положения прямой $y = − x+ a$ ниже положения (1) или выше положения (2).

Положение (1): прямая $y = −x+ a1$ касается параболы $y = x2− 2x.$ Тогда уравнение

x2− 2x= − x+ a1 2 x − x− a1 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D1 = 0 1+ 4a1 = 0 1 a1 = −4

Положение (2): прямая $y = −x+ a2$ касается параболы $2 y = −x + 2x.$ Тогда уравнение

− x2+ 2x = −x +a2 x2− 3x+ a2 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D2 = 0 9− 4a2 = 0 a2 = 9 4

Следовательно, нам подходят значения параметра

( 1) ( 9 ) a∈ −∞; − 4 ∪ 4;+ ∞ .

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ −∞; − 1 ∪ 9;+∞ 4 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90058

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{x +y = a ||2 || |y|= x − 4x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Система из условия равносильна следующей:

(| y = − x+ a { [ 2 |( y = x −24x y = − x + 4x

$xyyy((1140 = =12))x−2−x24+x4x$

Нам подходят положения прямой $y = − x+ a$ ниже положения (1) или выше положения (2).

Положение (1): прямая $y = −x+ a1$ касается параболы $y = x2− 4x.$ Тогда уравнение

2 x −2 4x= − x+ a1 x − 3x− a1 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D1 = 0 9+ 4a1 = 0 a1 = − 9 4

Положение (2): прямая $y = −x+ a2$ касается параболы $y = −x2+ 4x.$ Тогда уравнение

− x2+ 4x = −x +a2 2 x − 5x+ a2 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D2 = 0 25− 4a2 = 0 25 a2 = 4

Следовательно, нам подходят значения параметра

( ) ( ) a ∈ −∞; − 9 ∪ 25;+∞ . 4 4

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ −∞; − 9 ∪ 25;+∞ 4 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90060

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{x +y = 2a ||2 || |y|= x + 2x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Система из условия равносильна следующей:

(| y = − x+ 2a { [ 2 |( y = x +22x y = − x − 2x

$22 xyyy((11012==)) x−x+−2x2x$

Нам подходят положения прямой $y = − x+ 2a$ ниже положения (1) или выше положения (2).

Положение (1): прямая $y = −x+ 2a1$ касается параболы $y = x2+ 2x.$ Тогда уравнение

x2+2x = −x+ 2a1 2 x + 3x− 2a1 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D1 = 0 9+ 8a1 = 0 9 a1 = −8

Положение (2): прямая $y = −x+ 2a2$ касается параболы $2 y = −x − 2x.$ Тогда уравнение

−x2− 2x =− x+ 2a2 x2− x+ 2a2 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D2 = 0 1− 8a2 = 0 a2 = 1 8

Следовательно, нам подходят значения параметра

( 9) ( 1 ) a∈ −∞; − 8 ∪ 8;+ ∞ .

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ −∞; − 9 ∪ 1;+∞ 8 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90063

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{y = |x− a|− 1 2 |y|+x − 2x = 0

имеет ровно четыре различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы:

$pict$

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением полученной системы. Графиком уравнения $y = |x− a|− 1$ является уголок, ветви которого направлены вверх, а вершина имеет координаты $(a;−1),$ то есть скользит по прямой $y = − 1.$ Нам нужно найти такие $a,$ при которых уголок имеет четыре общие точки со множеством $S.$

$xyyy1120((( = =123)))x−2−x22+x2x$

Если $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i)$ уголка, то нам подходят $a∈ (a1;a2)∪ (a2;a3).$

Положение (1): левая ветвь уголка, задаваемая уравнением $yl = −x+ a1− 1,$ где $x ≤ a1,$ касается параболы $2 y = x − 2x.$ Тогда уравнение

2 x − 2x = −x+ a1− 1 x2− x+ 1− a1 = 0

имеет одно решение, следовательно,

D = 0 1− 4(1− a1)= 0 4a1− 3 = 0 a1 = 3 4

Тогда решением уравнения является $x= 1. 2$ Значит, касание прямой и параболы происходит при $3 a1 = 4,$ причем точка касания имеет координаты $( ) 1 3 2;− 4 .$ Эта точка принадлежит одновременно множеству $S$ и левой ветви уголка.

Положение (2): вершина уголка совпадает с вершиной параболы $2 y = x − 2x:$

(a2;− 1)= (1;−1) a2 = 1

Положение (3): правая ветвь уголка, задаваемая уравнением $yr = x− a3− 1,$ где $x ≥ a3,$ касается параболы $2 y = x − 2x.$ Тогда уравнение

2 x − 2x= x − a3 − 1 x2− 3x+ 1+ a3 = 0

имеет одно решение, следовательно,

D = 0 9− 4(1+ a3)= 0 5− 4a3 = 0 a3 = 5 4

Тогда решением уравнение является $x = 3. 2$ Значит, касание прямой и параболы происходит при $5 a3 = 4,$ причем точка касания имеет координаты $( ) 1 3 2;− 4 .$ Эта точка принадлежит одновременно множеству $S$ и правой ветви уголка.

Следовательно, нам подходят значения параметра

( ) ( ) a∈ 3;1 ∪ 1; 5 . 4 4

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ 3;1 ∪ 1; 5 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90066

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{y = |x− a|− 4 2 4|y|+ x + 8x= 0

имеет ровно четыре различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы:

$pict$

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением полученной системы. Графиком уравнения $y = |x− a|− 4$ является уголок, ветви которого направлены вверх, а вершина имеет координаты $(a;−4),$ то есть скользит по прямой $y = − 4.$ Нам нужно найти такие $a,$ при которых уголок имеет четыре общие точки со множеством $S.$

$xx22 xyyy4−−0(((123==84))) −4-4+ −2 2xx$

Если $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i)$ уголка, то нам подходят $a∈ (a1;a2)∪ (a2;a3).$

Положение (1): левая ветвь уголка, задаваемая уравнением $yl = −x+ a1− 4,$ где $x ≤ a1,$ касается параболы $2 y = x-+ 2x. 4$ Тогда уравнение

2 x- + 2x = −x +a1− 4 4 x2 +3x +4 − a1 = 0 4

имеет одно решение, следовательно,

D = 0 1 9− 4⋅4 ⋅(4− a1)= 0 5+ a1 = 0 a1 = −5

Тогда решением уравнения является $x = −6.$ Значит, касание прямой и параболы происходит при $a1 = −5,$ причем точка касания имеет координаты $(− 6;− 3).$ Эта точка принадлежит одновременно множеству $S$ и левой ветви уголка.

Положение (2): вершина уголка совпадает с вершиной параболы $x2 y = 4 + 2x :$

(a2;−4)= (−4;−4) a2 = −4

Положение (3): правая ветвь уголка, задаваемая уравнением $yr = x− a3− 4,$ где $x ≥ a3,$ касается параболы $2 y = x-+ 2x. 4$ Тогда уравнение

x2 4 +2x = x− a3− 4 x2 4-+ x+ a3+ 4= 0

имеет одно решение, следовательно,

D = 0 1 1− 4⋅4 ⋅(a3+ 4)= 0 1− a3− 4= 0 a3 = −3

Тогда решением уравнения является $x = −2.$ Значит, касание прямой и параболы происходит при $a3 = −3,$ причем точка касания имеет координаты $(− 2;− 3).$ Эта точка принадлежит одновременно множеству $S$ и правой ветви уголка.

Следовательно, нам подходят значения параметра

a∈ (− 5;− 4)∪(−4;−3).

Ответ:

$a ∈(−5;−4)∪ (−4;−3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90067

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{y = −|x − a|+ 1 2 |y|+x +2x = 0

имеет ровно четыре различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы:

$pict$

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением полученной системы. Графиком уравнения $y = −|x − a|+ 1$ является уголок, ветви которого направлены вниз, а вершина имеет координаты $(a;1),$ то есть скользит по прямой $y = 1.$ Нам нужно найти такие $a,$ при которых уголок имеет четыре общие точки со множеством $S.$

$xyyy1120(1(2(3 = =))) x−2x+2 2−x 2x$

Если $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i)$ уголка, то нам подходят $a∈ (a1;a2)∪ (a2;a3).$

Положение (1): левая ветвь уголка, задаваемая уравнением $yl = x− a1+ 1,$ где $x ≤ a1,$ касается параболы $2 y = −x − 2x.$ Тогда уравнение

2 − x − 2x= x− a1+ 1 x2+ 3x+ 1− a1 = 0

имеет одно решение, следовательно,

D = 0 9− 4(1− a1)= 0 4a1+5 = 0 a1 = − 5 4

Тогда решением уравнения является $x = − 3 . 2$ Значит, касание прямой и параболы происходит при $5 a1 = − 4,$ причем точка касания имеет координаты $( ) 3 3 −2 ;4 .$ Эта точка принадлежит одновременно множеству $S$ и левой ветви уголка.

Положение (2): вершина уголка совпадает с вершиной параболы $2 y = −x − 2x :$

(a2;1)= (−1;1) a2 = −1

Положение (3): правая ветвь уголка, задаваемая уравнением $yr = −x +a3 +1,$ где $x ≥ a3,$ касается параболы $2 y = −x − 2x.$ Тогда уравнение

2 −x − 2x= − x+ a3+ 1 x2+ x+ 1+ a3 = 0

имеет одно решение, следовательно,

D = 0 1− 4(1+ a3)= 0 3+ 4a3 = 0 a3 = − 3 4

Тогда решением уравнение является $x = − 1. 2$ Значит, касание прямой и параболы происходит при $3 a3 = − 4,$ причем точка касания имеет координаты $( ) 1 3 −2 ;4 .$ Эта точка принадлежит одновременно множеству $S$ и правой ветви уголка.

Следовательно, нам подходят значения параметра

( ) ( ) a∈ − 5;−1 ∪ −1;− 3 . 4 4

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ − 5;−1 ∪ −1;− 3 4 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90068

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{y = 4x+ a 2 |y|= x − 2x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Преобразуем систему:

( y = 4x+ a |||{ 2 x[ − 2x2≥ 0 |||( y = x −22x y = − x + 2x

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением совокупности при условии $x2− 2x ≥0.$ Тогда необходимо найти такие $a,$ при которых прямая $y = 4x+ a$ имеет 2 общие точки со множеством $S.$ Изобразим множество $S$ и ключевые положения прямой $y = 4x + a$ (обозначим ее за $l$ ).

$xyyy((((11201234==))))x−2x−2 2+x2x$

Если $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i),$ то нам подходят

a∈ (− ∞;a1)∪ (a2;a3)∪(a4;+ ∞ ).

Положение (1): прямая $l$ касается параболы $2 y = x − 2x$ в точке с абсциссой больше 2. Тогда уравнение

x2− 2x =4x +a1 x2− 6x+ 9 =a1 +9 2 (x − 3) = a1+ 9

имеет единственное решение, если $a1+ 9 =0,$ то есть $a1 = −9.$ При этом значении параметра получаем, что точкой касания является точка $(3;3).$

Положение (2): точка $(2;0) ∈l,$ значит,

0= 4 ⋅2 + a2 a2 = −8

Положение (3): точка $(0;0) ∈l,$ значит,

0= 4 ⋅0 + a3 a3 = 0

Положение (4): прямая $l$ касается параболы $y = −x2+ 2x$ в точке с абсциссой меньше 0. Тогда уравнение

2 −x + 2x= 4x+ a4 x2 +2x +1 = −a4+ 1 (x +1)2 = 1− a4

имеет единственное решение, если $1 − a4 = 0,$ то есть $a4 = 1.$ При этом значении параметра получаем, что точкой касания является точка $(−1;−3).$

Следовательно, нам подходят значения параметра

a∈ (−∞; −9)∪ (− 8;0)∪ (1;+∞ ).

Ответ:

$a ∈(−∞; −9)∪ (−8;0) ∪(1;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90071

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{y = 4x+ a 2 2|y|= x − 4x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Преобразуем систему:

(|y =4x + a |||| 2 ||{x⌊ − 4x ≥0 | y = 1x2− 2x ||||||⌈ 2 |( y = − 1x2 +2x 2

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением совокупности при условии $x2− 4x ≥0.$ Тогда необходимо найти такие $a,$ при которых прямая $y = 4x+ a$ имеет 2 общие точки со множеством $S.$ Изобразим множество $S$ и ключевые положения прямой $y = 4x + a$ (обозначим ее за $l$ ).

$1122 xyyy((((11401234==)))) 2−x2x−+2x2x$

Если $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i),$ то нам подходят

a∈ (− ∞;a1)∪ (a2;a3)∪(a4;+ ∞ ).

Положение (1): прямая $l$ касается параболы $y = 0,5x2− 2x$ в точке с абсциссой больше 4. Тогда уравнение

2 0,5x − 2x = 4x + a1 x2 − 12x =2a1 x2 − 12x +36 =2a1+ 36 2 (x − 6) = 2a1+ 36

имеет единственное решение, если $2a1+ 36= 0,$ то есть $a1 = −18.$ При этом значении параметра получаем, что точкой касания является точка $(6;6).$

Положение (2): точка $(4;0) ∈l,$ значит,

0= 4 ⋅4 + a2 a2 = −16

Положение (3): точка $(0;0) ∈l,$ значит,

0= 4 ⋅0 + a3 a3 = 0

Положение (4): прямая $l$ касается параболы $y = −0,5x2+2x$ в точке с абсциссой меньше 0. Тогда уравнение

2 − 0,5x + 2x= 4x+ a4 x2− 4x= − 8x− 2a4 x2+ 4x= − 2a4 2 x + 4x+ 4= 4− 2a4 (x+ 2)2 = 4− 2a4

имеет единственное решение, если $4 − 2a4 =0,$ то есть $a4 = 2.$ При этом значении параметра получаем, что точкой касания является точка $(−2;−6).$

Следовательно, нам подходят значения параметра

a∈ (−∞; −18)∪ (− 16;0)∪ (2;+∞ ).

Ответ:

$a ∈(−∞; −18)∪ (− 16;0)∪ (2;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90073

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ |y|− 4x− a= 0 2 x − 2x− y = 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Исключив $y$ из системы, получим уравнение

$pict$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений совокупности. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x ;a) 0 0$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений совокупности. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно две из точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ℝ,$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

$xaaa12360== x−2−x26−x2x$

Видим, что нам подходят все положения горизонтальной прямой $a = a0$ выше положения, когда горизонтальная прямая проходит через вершину параболы $a = x2− 6x,$ то есть через точку $(3;− 9).$ Следовательно, нам подходят значения параметра $a > −9.$

Ответ:

$a ∈(−9;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90074

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{|y|+|x|= a √----- y = x+ 4

имеет два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

При $a ≤0$ первое уравнение системы имеет не более одного решения, значит, и вся система тоже имеет не более одного решения. Тогда решим задачу графически при $a > 0.$ Исследуем первое уравнение:

$pict$

Таким образом, графиком этого уравнения является квадрат $ABCD$ с вершинами в точках $A (− a;0),$ $B (0;a),$ $C(a;0),$ $D(0;− a).$

Действительно, все стороны четырехугольника равны, значит, это ромб. Сторона $AB$ лежит на прямой $y = x+ a,$ сторона $BC$ лежит на прямой $y = −x+ a,$ угол между этими прямыми равен $∘ 90,$ следовательно, $ABCD$ — квадрат.

Нужно найти такие $a,$ при которых квадрат имеет две общие точки с графиком корня $y =√x-+-4.$

$√----- xyy(1(2(3ABCD110 =))) x +4$

Пусть $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i).$ Тогда нам подходят

a∈ (a1;a2)∪ {a3}.

Положение (1): вершина $B (0;a1)$ находится в точке пересечения графика $y = √x+-4-$ с осью ординат. Значит,

√---- a1 = 0+ 4 a1 = 2

Положение (2): вершина $A (− a;0)$ находится в точке пересечения графика $√----- y = x+ 4$ с осью абсцисс. Значит,

√------- 0= − a2+ 4 a2 = 4

Положение (3): сторона $AB$ касается графика $√ ----- y = x+ 4.$ Сторона $AB$ задается уравнением $y = x+ a$ при $− a ≤ x≤ 0.$ Прямая касается графика корня, если система

( |{ √x+-4-=x + a3 1 |( 2√x-+4-= 1

имеет решения. Значит,

$pict$

Тогда

15 17 1 y = x +a3 = − 4-+-4 = 2.

Точка $( ) − 15; 1 4 2$ действительно лежит на отрезке $AB,$ так как её координаты обращают уравнение $y = x +a 3$ в верное равенство и $− a ≤x ≤ 0. 3$ Также она лежит на графике функции $y = √x-+-4,$ так как её координаты обращают это уравнение в верное равенство.

Следовательно, нам подходят значения параметра

{ } a ∈(2;4)∪ 17 4

Ответ:

${ } a ∈(2;4)∪ 17 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90075

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{|y|+|x|= a √----- y = x+ 9

имеет два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

$pict$

Нужно найти такие $a,$ при которых квадрат имеет две общие точки с графиком корня $y =√x-+-9.$

$√----- xyy(1(2(3ABCD12120 =))) x + 9$

Пусть $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i).$ Тогда нам подходят

a∈ (a1;a2)∪ {a3}.

Положение (1): вершина $B (0;a1)$ находится в точке пересечения графика $√----- y = x+ 9$ с осью ординат. Значит,

a1 = √0+-9 a1 = 3

Положение (2): вершина $A (− a2;0)$ находится в точке пересечения графика $y = √x+-9-$ с осью абсцисс. Значит,

0= √−-a-+-9 2 a2 = 9

Положение (3): сторона $AB$ касается графика $y =√x-+-9.$ Сторона $AB$ задается уравнением $y = x+ a$ при $− a ≤ x≤ 0.$ Прямая касается графика корня, если система

(| √----- { x+ 9 =x + a3 |( -√-1---= 1 2 x +9

имеет решения. Значит,

$pict$

Тогда

y = x +a3 = − 35+ 37 = 1. 4 4 2

Точка $( ) − 35; 1 4 2$ действительно лежит на отрезке $AB,$ так как её координаты обращают уравнение $y = x +a3$ в верное равенство и $− a3 ≤x ≤ 0.$ Также она лежит на графике функции $√ ----- y = x+ 9,$ так как её координаты обращают это уравнение в верное равенство.

Следовательно, нам подходят значения параметра

{ } a ∈(3;9)∪ 37 4

Ответ:

${ } a ∈(3;9)∪ 37 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#90215

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{x +y = a ||2 || |y|= x + 2x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Система из условия равносильна следующей:

(| y = − x+ a { [ 2 |( y = x +22x y = − x − 2x

$22 xyyy((11012==)) x−x+−2x2x$

Нам подходят положения прямой $y = − x+ a$ ниже положения (1) или выше положения (2).

Положение (1): прямая $y = −x+ a1$ касается параболы $y = x2+ 2x.$ Тогда уравнение

x2+ 2x= − x+ a1 2 x + 3x− a1 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D1 = 0 9+ 4a1 = 0 9 a1 = −4

Положение (2): прямая $y = −x+ a2$ касается параболы $2 y = −x − 2x.$ Тогда уравнение

− x2− 2x = −x +a2 x2+ x+ a2 = 0

имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю:

D2 = 0 1− 4a2 = 0 a2 = 1 4

Следовательно, нам подходят значения параметра

( 9) ( 1 ) a∈ −∞; − 4 ∪ 4;+ ∞ .

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ −∞; − 9 ∪ 1;+∞ 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#99450

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{2x − y+ a= 0 2 2|y|− x + 2x= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем систему:

(| y = 2x+ a |||| 2 ||{ x⌊ − 2x ≥ 0 | y = 1x2 − x ||||| |⌈ 2 |( y = − 1x2+ x 2

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением совокупности при условии $x2− 2x ≥0.$ Тогда необходимо найти такие $a,$ при которых прямая $y = 2x+ a$ имеет 2 общие точки со множеством $S.$ Изобразим множество $S$ и ключевые положения прямой $y = 2x + a$ (обозначим ее за $l$ ).

$xyyy((((1120 = =1234))))−1x12x−2+xx 22$

Если $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i),$ то нам подходят

a∈ (− ∞;a1)∪ (a2;a3)∪(a4;+ ∞ ).

Положение (1): прямая $l$ касается параболы $y = 0,5x2− x$ в точке с абсциссой больше 2. Тогда уравнение

2 0,5x − x= 2x+ a1 x2− 6x= 2a1 x2− 6x+ 9= 2a1+ 9 2 (x− 3) = 2a1 +9

имеет единственное решение, если $2a1+ 9= 0,$ то есть $a1 = −4,5.$ При этом значении параметра получаем, что точкой касания является точка $(3;1,5).$

Положение (2): точка $(2;0) ∈l,$ значит,

0= 2 ⋅2 + a2 a2 = −4

Положение (3): точка $(0;0) ∈l,$ значит,

0= 2 ⋅0 + a3 a3 = 0

Положение (4): прямая $l$ касается параболы $y = −0,5x2+ x$ в точке с абсциссой меньше 0. Тогда уравнение

2 −0,5x +x = 2x+ a4 x2− 2x= − 4x− 2a4 x2+ 2x= − 2a4 2 x + 2x+ 1= 1− 2a4 (x+ 1)2 = 1− 2a4

имеет единственное решение, если $1 − 2a4 = 0,$ то есть $a4 = 0,5.$ При этом значении параметра получаем, что точкой касания является точка $(−1;−1,5).$

Следовательно, нам подходят значения параметра

a∈ (− ∞;− 4,5)∪ (− 4;0)∪ (0,5;+ ∞ ).

Ответ:

$a ∈(−∞; −4,5)∪(−4;0)∪(0,5;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#88579

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

(x− a− 7)(x +a − 2) ---√10x−-x2−-a2-- = 0

имеет ровно один корень на отрезке $[4;8].$

Источники: ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны; ЕГЭ 2017

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение при всех $x∈ [4;8]$ :

([x − a − 7 = 0 ( [a= x− 7 |||{ |||{ x +a −2 2 =20 ⇔ a= −x2 + 22 2 |||(10x− x − a > 0 |||( (x − 5) + a < 5 4≤ x ≤ 8 4≤ x≤ 8

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈ ℝ$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S$ .

$PIC$

Итак, в системе координат $xOa$ совокупность задает объединение двух прямых, первое неравенство — внутренность круга (без границы) с центром в $(5;0)$ и радиусом $R = 5$ , а второе неравенство — вертикальную полосу-область (с границей) между прямыми $x= 4$ и $x = 8$ .

Решением системы является множество точек, принадлежащих прямым $a = x− 7$ и $a= − x+ 2,$ лежащих внутри области, являющейся пересечением внутренности круга и полосы. Таким образом, множество $S$ — это отрезки $AD$ (с выколотым концом $A$ ) и $BE$ .

Найдем координаты всех важных точек:

{ √ -- √-- a= − x+ 2 ( 7+---41- −3−--41) A: 10x− x2− a2 = 0 ⇔ A 2 ; 2 { B : a= x − 7 ⇔ B(4;−3) {x= 4 a= x − 7 C : a= − x+ 2 ⇔ C(4,5;−2,5) { D : a= − x+ 2 ⇔ D(4;−2) x =4 {a= x − 7 E : x= 8 ⇔ E(8;1)

Тогда ответ $aA < a< aB$ ; $a = aC$ ; $aD < a≤ aE$ , то есть

√ -- −3-−--41< a < −3;a= − 5 ;− 2< a≤ 1. 2 2

Ответ:

$( √ -- ) { } a ∈ −3-−--41;−3 ∪ − 5 ∪(−2;1] 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2137

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 (|x +2|+ |x − a|) − 5⋅(|x+ 2|+ |x− a|)+3a(5− 3a)= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2014, резерв

Показать ответ и решение

1) Сделаем замену $y = |x+ 2|+|x− a|$ . Тогда уравнение примет вид

2 y − 5y+ 3a(5− 3a)= 0.

Получили квадратное уравнение. Для того, чтобы изначальное уравнение относительно $x$ имело решения, полученное уравнение относительно $y$ должно иметь решения, то есть его дискриминант должен быть неотрицательным. Найдем дискриминант:

D =25 − 60a+ 36a2 = (6a− 5)2 ≥0.

Таким образом, дискриминант для любого $a$ будет неотрицательным. Имеем корни:

$pict$

2) Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности

[ |x +2|+ |x− a|=3a |x +2|+ |x− a|=5 − 3a

Оба уравнения в данной совокупности имеют вид

|x+ 2|+ |x − a|= t

Здесь $t$ — некоторое выражение, зависящее от $a.$ Исследуем такое уравнение.

График функции $f(x) =|x+ 2|+ |x− a|$ представляет собой корыто, ветви которого имеют наклон $± 2,$ а дно находится на высоте $|2 +a|:$

$xt−aattt2=== −2x|22+x+−a2|2−+aa$

(числа $− 2$ и $a$ могут поменяться местами)

Следовательно, при $t> |2+ a|$ уравнение $t= f(x)$ имеет два решения, при $t= |2+ a|$ имеет бесконечно много решений при $a⁄= − 2$ и одно решение при $a = −2,$ при $t< |2+ a|$ не имеет решений. Следовательно, если $t= 3a$ и $t= 5 − 3a$ — разные прямые, то необходимо