Тема 18. Задачи с параметром

18.01 Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125898

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

( 1)2 ( 1) a x + x + 5 x+ x − 9a+ 15 = 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Сделаем замену $y = x+-1. x$ Получим уравнение

2 ay + 5y− 9a+ 15= 0.

Проанализируем замену:

1 y = x+ x 2 2yx= x + 1 x − yx+ 1= 0 D = y2− 4

Таким образом, при $y = ±2$ будет ровно одно решение по $x,$ а при $|y|> 2$ будет два решения по $x.$ При этом решения будут отличны от 0, так как $2 0 − y⋅0 +1 ⁄= 0.$

Проанализируем уравнение, получившееся после замены.

Рассмотрим отдельно случай $a =0 :$

5y+ 15= 0 y = −3

Так как $|− 3|>2,$ то при $a = 0$ исходное уравнение имеет два корня. Следовательно, $a = 0$ нам подходит.

При $a⁄= 0$ рассмотрим дискриминант квадратного относительно $y$ уравнения $ay2+ 5y− 9a+ 15= 0.$

D = 25− 4⋅a⋅(−9a+ 15)= = 25+ 36a2− 60a = 2 2 = (6a)− 2 ⋅6a ⋅5 + 5 = = (6a− 5)2.

Если $D = 0,$ то есть $5 a = 6,$ то
$-5 --5- y = −2a = −2 ⋅ 56 = − 3.$
Так как $|− 3|> 2,$ то при $a= 5 6$ исходное уравнение имеет два корня. Следовательно, $5 a= 6$ нам подходит.
Если $D > 0,$ то уравнение будет иметь два корня:
$y = −-5+-6a−-5= 3a-−-5; 1 2a a −-5−-6a+-5 y2 = 2a = − 3.$
Таким образом, корень $y2 = −3$ обеспечит два решения по $x$ для уравнения $y = x+ 1 . x$ Значит, чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, корень $y 1$ по модулю должен быть меньше 2. Следовательно,
$|y1|< 2 ||3a− 5|| ||--a--||< 2 ( ) 3a-− 5 2 2 a < 2 ( )2 3a−-5 − 22 < 0 a ( 3a−-5 ) (3a−-5 ) a − 2 a +2 < 0 3a− 5− 2a 3a − 5 +2a ----a----⋅----a---- < 0 a-− 5 ⋅ 5a−-5 <0 a a (a−-5)(a-− 1) <0 a2$
По методу интервалов:

$a015+−++$

Таким образом,
$a ∈ (1;5).$

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

{ } a∈ 0; 5 ∪(1;5). 6

Ответ:

${ } a ∈ 0; 5 ∪ (1;5) 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125900

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

( 4)2 ( 4) a x+ x + 2 x + x − 25a+ 10= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Сделаем замену $y = x+-4. x$ Получим уравнение

2 ay +2y − 25a+ 10= 0.

Проанализируем замену:

4 y = x+ x 2 2yx= x + 4 x − yx+ 4= 0 D = y2− 16

Таким образом, при $y = ±4$ будет ровно одно решение по $x,$ а при $|y|> 4$ будет два решения по $x.$ При этом решения будут отличны от 0, так как $2 0 − y⋅0 +4 ⁄= 0.$

Проанализируем уравнение, получившееся после замены.

Рассмотрим отдельно случай $a =0 :$

2y+ 10= 0 y = −5

Так как $|− 5|>4,$ то при $a = 0$ исходное уравнение имеет два корня. Следовательно, $a = 0$ нам подходит.

При $a⁄= 0$ рассмотрим дискриминант квадратного относительно $y$ уравнения $ay2+ 2y− 25a+ 10= 0.$

D = 4− 4⋅a⋅(−25a+ 10)= = 4+ 100a2− 40a = 2 2 = (10a)− 2 ⋅10a⋅2 +2 = = (10a − 2)2.

Если $D = 0,$ то есть $1 a = 5,$ то
$-2 -1 y = −2a = −a = −5.$
Так как $|− 5|> 4,$ то при $1 a= 5$ исходное уравнение имеет два корня. Следовательно, $a= 1 5$ нам подходит.
Если $D > 0,$ то уравнение будет иметь два корня:
$y1 = −2-+10a-− 2-= 5a−-2; 2a a y2 = −2-− 10a-+2-= −5. 2a$
Таким образом, корень $y2 = −5$ обеспечит два решения по $x$ для уравнения $y = x+ 4 . x$ Значит, чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, корень $y 1$ по модулю должен быть меньше 4. Следовательно,
$|y1|< 4 || || ||5a−-2||< 4 a (5a-− 2)2 2 a < 4 ( )2 5a−-2 − 42 < 0 a ( 5a−-2 ) (5a−-2 ) a − 4 a +4 < 0 5a− 2− 4a 5a − 2 +4a ----a----⋅----a---- < 0 a-− 2 ⋅ 9a−-2 <0 a ( a ) (a− 2) a− 2 ----------9-- <0 a2$
По методу интервалов:

$2 a092+−++$

Таким образом,
$(2 ) a ∈ 9;2 .$

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

{ 1} ( 2 ) a∈ 0;5 ∪ 9;2 .

Ответ:

${ } ( ) a ∈ 0; 1 ∪ 2 ;2 5 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125903

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

( 4)2 ( 4) a x+ x + 2 x + x − 49a+ 14= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Сделаем замену $y = x+-4. x$ Получим уравнение

2 ay +2y − 49a+ 14= 0.

Проанализируем замену:

4 y = x+ x 2 2yx= x + 4 x − yx+ 4= 0 D = y2− 16

Проанализируем уравнение, получившееся после замены.

Рассмотрим отдельно случай $a =0 :$

2y+ 14= 0 y = −7

Так как $|− 7|>4,$ то при $a = 0$ исходное уравнение имеет два корня. Следовательно, $a = 0$ нам подходит.

При $a⁄= 0$ рассмотрим дискриминант квадратного относительно $y$ уравнения $ay2+ 2y− 49a+ 14= 0.$

D = 4− 4⋅a⋅(−49a+ 14)= =4 +4 ⋅49a2− 56a= 2 2 = (14a)− 2 ⋅14a⋅2 +2 = = (14a − 2)2.

Если $D = 0,$ то есть $1 a = 7,$ то
$-2 -1 y = −2a = −a = −7.$
Так как $|− 7|> 4,$ то при $1 a= 7$ исходное уравнение имеет два корня. Следовательно, $a= 1 7$ нам подходит.
Если $D > 0,$ то уравнение будет иметь два корня:
$y1 = −2-+14a-− 2-= 7a−-2; 2a a y2 = −2-− 14a-+2-= −7. 2a$
Таким образом, корень $y2 = −7$ обеспечит два решения по $x$ для уравнения $y = x+ 4 . x$ Значит, чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, корень $y 1$ по модулю должен быть меньше 4. Следовательно,
$|y1|< 4 || || ||7a−-2||< 4 a (7a-− 2)2 2 a < 4 ( )2 7a−-2 − 42 < 0 a ( 7a−-2 ) (7a−-2 ) a − 4 a +4 < 0 7a− 2− 4a 7a − 2 +4a ----a----⋅----a---- < 0 3a-− 2 ⋅ 11a−-2< 0 ( a )( a ) a − 2 a− 2- -----3------11--< 0 a2$
По методу интервалов:

$22 a013+−++1$

Таким образом,
$( 2 2) a∈ 11;3 .$

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

{ 1} (-2 2) a∈ 0;7 ∪ 11;3 .

Ответ:

${ } ( ) a ∈ 0; 1 ∪ -2; 2 7 11 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#125911

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

( 4)2 ( 4) a x + x + x+ x + 20a − 10 = 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= x+ 4. x$ Получим

2 at+ t+ 20a− 10= 0

Рассмотрим отдельно случай $a =0 :$

t− 10= 0 t= 10 x+ 4 = 10 2 x x − 10x + 4= 0

Так как дискриминант этого уравнения равен $(−10)2 − 4 ⋅4= 84> 0,$ то оно имеет ровно два корня. Тогда $a =0$ нам подходит.

При $a⁄= 0$ рассмотрим дискриминант получившегося квадратного уравнения относительно $t:$

2 D = 1− 4a⋅(20a− 10)= 1− 80a + 40a ≥ 0

Отсюда получаем:

[ ] a ∈ 1-(5 − √30-);-1(5+ √30) 20 20

Проанализируем замену $4 x + x = t.$ Тогда имеем:

x2− tx+ 4= 0 D = t2− 16

Тогда если $t =±4,$ то получим один корень исходного уравнения. Если же найдется корень $|t|> 4,$ то он даст сразу 2 корня исходного уравнения, иначе корней не будет. Тогда возможны случаи:

1.: $D = 0$ и ровно один корень $|t0|> 4.$
2.: $D > 0$ и $t1,t2$ такие, что: $|t1|< 4,$ $|t2|> 4,$ что равносильно тому, что $f(4)⋅f(− 4)< 0.$
3.: $t1 =− 4$ и $t2 = 4.$

Рассмотрим случай $D = 0$ , тогда имеем $1 √ -- a= 20-(5 ± 30)$ , тогда $||| -1||| |||--10--||| |t0|= |−2a|= |5± √30|$

Если $a= -1(5+ √30) 20$ , то $|t |= --10√---< 4 0 5+ 30$ , так как $√-- 5< 2⋅(5+ 30)$
Если $1 √ -- a= 20(5− 30)$ , то $10 t0 = √30-−-5 > 4$ , так как $5> 2⋅(√30− 5).$

$√-- 5> 2⋅(-30− 5) 5> 2√30− 10 √ -- 15> 2 30 225> 120$

Во втором случае решаем неравенство $f(− 4)⋅f(4)< 0,$ тогда имеем:

f(−4)⋅f(4) =(16a− 4+ 20a− 10)(16a+ 4+ 20a− 10)< 0 (36a − 14)(36a − 6) <0

Тогда получаем, что $( ) a ∈ 1;-7 , 6 18$ при этом $D > 0$ выполнено автоматически.

Рассмотрим третий случай. Найдем $a,$ при котором $t =− 4. 1$ Получим:

16a− 4+ 20a− 10= 0 36a= 14 7- a = 18

Найдем $a,$ при котором $t =4. 2$ Получим:

16a+ 4+ 20a− 10= 0 36a= 6 1 a= 6

Получили разные значения параметров, а значит не может быть такого, что одновременно и $t1 =− 4,$ и $t2 =4.$ Следовательно, третий случай не возможен.

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

( ) { -- } a ∈ 1; 7 ∪ 1-(5 − √ 30);0 6 18 20

Ответ:

$( ) { } a ∈ 1; 7 ∪ 1-(5 − √30-);0 6 18 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#125921

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

( 9)2 ( 9) a x− x − 2 x − x − 49a+ 18= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Сделаем замену $y = x−-9. x$ Получим уравнение

2 ay − 2y − 49a+ 18= 0.

Проанализируем замену:

9 y = x− x 2 yx= x − 9 x2− yx− 9= 0 D = y2+ 36 > 0

Тогда дискриминант всегда положительный, то есть при любом значении $y$ мы найдем два различных корня исходного уравнения, отличных от 0, так как $2 0 − y⋅0 − 9 ⁄= 0.$

Отсюда от уравнения $2 ay − 2y− 49a + 18 = 0,$ полученного после замены, мы требуем ровно один корень.

Это уравнение либо квадратное, если $a⁄= 0,$ либо линейное, если $a =0.$

Рассмотрим отдельно случай $a =0 :$

−2y +18 =0 y =9

Значит, при $a =0$ уравнение $ay2− 2y− 49a +18 = 0,$ полученное после замены, имеет один корень. Значит, $a= 0$ нам подходит.

При $a⁄= 0$ рассмотрим дискриминант квадратного относительно $y$ уравнения $ay2− 2y− 49a+ 18= 0.$ Чтобы это уравнение имело ровно один корень, его дискриминант должен равняться нулю:

D = 0 4− 4a⋅(−49a+ 18)= 0 1 − a ⋅(− 49a +18)= 0 2 1+ 49a − 18a = 0 49a2− 18a +1 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

Da = 182 − 4 ⋅49 ⋅1= 324− 196 = 128

Отсюда получаем:

√--- √- a = 18±--128-= 9±-4-2. 1,2 2⋅49 49

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

√ - {9-±4--2 } a∈ 49 ;0 .

Ответ:

${ √- } a ∈ 9±-4-2;0 49$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125925

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(5x+ ||x− a2||− 4|x+ 1|− a2)2+ (a +2)(5x+ ||x− a2||− 4|x+ 1|− a2)+ 1= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Пусть

|| 2|| 2 y = 5x + x − a − 4|x +1|− a .

Исследуем замену, то есть функцию $y = 5x+ ||x− a2||− 4|x+ 1|− a2.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x− a2 = 0 x + 1= 0 x = a2 x = −1

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a.$ Заметим, что $a2 ≥ 0,$ тогда при любом значении параметра $a$ верно, что $2 a > − 1.$

У выражения $|| 2|| 2 5x+ x − a − 4|x +1|− a$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−a−−−+++21$

Если $x ≤− 1,$ то
$2 2 y = 5x− x+ a + 4x+ 4− a = 8x+ 4.$
Если $− 1 < x< a2,$ то
$2 2 y = 5x − x + a − 4x − 4 − a = −4.$
Если $a2 ≤ x,$ то
$y = 5x+ x− a2− 4x− 4− a2 = 2x− 2a2− 4.$

Построим эскиз графика этой функции:

$xy−ayyy21===82−xx+−4 42a2− 4$

Таким образом,

если $y = −4,$ то у уравнения $y = 5x+ ||x− a2||− 4|x+ 1|− a2$ бесконечно много решений;
если $y ⁄=− 4,$ то у уравнения $| | y =5x +|x− a2|− 4|x+ 1|− a2$ ровно одно решение.

Тогда от уравнения $y2 +(a+ 2)y+ 1= 0,$ которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, ни одно из которых не равно $− 4.$

Пусть $f(y)= y2+ (a+ 2)y +1.$ Тогда получаем:

{ D > 0 f(−4)⁄= 0 { (a+ 2)2 − 4 > 0 16− 4(a+ 2) +1 ⁄= 0 { (a+ 2− 2)(a+ 2+ 2)> 0 4a⁄= 9 ( {a(a+ 4)> 0 (a ⁄= 9 ( 4 {a ∈(−∞; −4)∪ (0;+∞ ) ( 9 a ⁄= 4

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

( ) ( ) a∈ (−∞;− 4)∪ 0; 9 ∪ 9 ;+ ∞ . 4 4

Ответ:

$( ) ( ) a ∈(−∞; −4)∪ 0; 9 ∪ 9;+∞ 4 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#125929

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(7x +|x+ a− 1|− 6|x+ a+ 1|+ 7a)2− a(7x+|x+ a− 1|− 6|x+ a+ 1|+ 7a)+1 = 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Пусть

y = 7x+ |x + a− 1|− 6|x+ a+ 1|+7a.

Исследуем замену, то есть функцию $y = 7x+ |x+ a− 1|− 6|x+ a+ 1|+ 7a.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x+ a − 1 = 0 x+ a+ 1 =0 x= 1− a x= − 1− a

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a.$ Заметим, что при любом значении параметра $a$ верно, что $− 1 − a < 1− a.$

У выражения $7x + |x+ a − 1|− 6|x +a +1|+ 7a$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−1−−−+++−1−a a$

Если $x ≤− 1− a,$ то
$y = 7x− x− a+ 1 +6x +6a +6 +7a =12x +12a+ 7.$
Если $− 1 − a < x< 1− a,$ то
$y = 7x− x − a +1 − 6x − 6a − 6 + 7a = −5.$
Если $1− a ≤x,$ то
$y = 7x+ x+ a− 1− 6x− 6a− 6+ 7a =2x +2a − 7.$

Построим эскиз графика этой функции:

$xy−1yyy 1−===− a12− a2x5x++212aa−+ 7 7$

Таким образом,

если $y =− 5,$ то у уравнения $y = 7x+ |x +a − 1|− 6|x + a+ 1|+ 7a$ бесконечно много решений;
если $y ⁄=− 5,$ то у уравнения $y = 7x+ |x +a − 1|− 6|x + a+ 1|+ 7a$ ровно одно решение.

Тогда от уравнения $2 y − ay +1 = 0,$ которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, ни одно из которых не равно $− 5.$

Пусть $f(y)= y2− ay+ 1.$ Отсюда получаем:

{ D >0 f(− 5)⁄= 0 { a2− 4 > 0 25 +5a +1 ⁄= 0 { (a − 2)(a+ 2)> 0 5a ⁄= −26 ( { a∈ (−∞;− 2)∪(2;+∞ ) ( a⁄= − 26- 5

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

( 26) ( 26 ) a∈ −∞; −-5 ∪ − 5-;− 2 ∪ (2;+ ∞).

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ −∞; − 26 ∪ − 26;−2 ∪ (2;+∞ ) 5 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#125938

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(4x − 3||x +a2||+ |x − 1|+ 3a2)2− (a+1)(4x− 3||x+ a2||+|x− 1|+3a2)+4 = 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Пусть

|| 2|| 2 y = 4x− 3 x+ a +|x− 1|+ 3a .

Исследуем замену, то есть функцию $y = 4x− 3||x+ a2||+ |x− 1|+ 3a2.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x+ a2 = 0 x − 1= 0 x= −a2 x= 1

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a.$ Заметим, что $− a2 ≤ 0,$ поэтому при любом значении параметра $a$ верно, что $2 − a <1.$

У выражения $|| 2|| 2 4x − 3x + a + |x− 1|+ 3a$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−1−−+−++ a2$

Если $x ≤− a2,$ то
$2 2 2 y = 4x+ 3x+ 3a − x+ 1+ 3a = 6x+ 6a + 1.$
Если $− a2 <x < 1,$ то
$2 2 y = 4x− 3x− 3a − x+ 1+ 3a = 1.$
Если $1 ≤x,$ то
$y = 4x− 3x− 3a2+ x− 1+ 3a2 = 2x− 1.$

Построим эскиз графика этой функции:

$0xy−1yyya===2621xx+− 61a2+1$

Таким образом,

если $y = 1,$ то у уравнения $|| 2|| 2 y = 4x− 3 x+ a + |x− 1|+3a$ бесконечно много решений;
если $y ⁄=1,$ то у уравнения $y = 4x− 3||x+ a2||+ |x− 1|+ 3a2$ ровно одно решение.

Тогда от уравнения $2 y − (a+ 1)y+ 4= 0,$ которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, ни одно из которых не равно 1.

Пусть $f(y)= y2− (a+ 1)y +4.$ Тогда получаем:

{ D > 0 f(1)⁄= 0 { (a +1)2− 42 > 0 1− (a +1)⋅1 +4 ⁄= 0 { (a − 3)(a+ 5)> 0 −a+ 4⁄= 0 { a∈ (− ∞;− 5)∪(3;+∞ ) a⁄= 4

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

a ∈ (− ∞;− 5)∪ (3;4)∪ (4;+ ∞).

Ответ:

$a ∈(−∞; −5)∪ (3;4)∪ (4;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#125942

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

2 2 (|x − 8|− |x− a|) − 7a(|x− 8|− |x− a|)+10a + 6a− 4= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Сделаем замену

y =|x− 8|− |x− a|.

Тогда уравнение примет вид

y2− 7ay+ 10a2 +6a − 4 = 0 2 2 D = 49a − 40a − 24a +16 D = 9a2− 24a +16 =(3a− 4)2 ∘ ------2- y1,2 = 7a±--(3a−-4)-= 7a-±(3a−-4) 2 2 y1 = 5a− 2, y2 = 2a +2

Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности

[ |x − 8|− |x − a|= 5a− 2 |x − 8|− |x − a|= 2a+ 2

Исследуем функцию

y =|x− 8|− |x− a|.

Чтобы раскрыть модули, необходимо понять, как располагаются на числовой оси значения 8 и $a.$

1.

Рассмотрим сначала случай $a= 8 :$

[ 0= 5⋅8− 2 0= 2⋅8+ 2

Как видим, при $a= 8$ ни одно из уравнений совокупности не имеет решений, то есть $a= 8$ нам не подходит.

2.

При $a> 8$ модули раскрываются следующим образом:

$x8a+++−−−$

Если $x ≤8,$ то
$y = −x+ 8+ x − a = 8− a.$
Если $8< x < a,$ то
$y = x − 8 +x − a= 2x− 8− a.$
Если $a≤ x,$ то
$y = x − 8 − x + a= a− 8.$

Нарисуем эскиз графика этой функции. Обратим внимание, что $a > 8,$ то есть $8− a< 0,$ $a− 8> 0.$

$xy8ayyy ===a28−x−−8a8− a$

Таким образом, в данном случае имеем:

если $8− a< y < a − 8,$ то у уравнения $y = |x− 8|− |x − a|$ ровно одно решение;
если $y = 8− a$ или $y = a− 8,$ то у уравнения $y = |x − 8|− |x − a|$ бесконечно много решений;
если $y < 8− a$ или $y > a− 8,$ то у уравнения $y = |x − 8|− |x − a|$ нет решений.

Тогда полученная совокупность будет иметь ровно два решения только в случае, когда оба уравнения совокупности дают по одному решению.

Отсюда получаем систему:

( { ||| 8 − a < 5a − 2 |{ 5a− 2 <a − 8 || {8 − a < 2a + 2 ||( 2a+ 2 <a − 8 (| 6a> 10 ||{ 4a< −6 | 3a> 6 ||( a< −10 a∈ ∅

3.

При $a< 8$ модули раскрываются следующим образом:

$xa8++−+−−$

Если $x ≤a,$ то
$y = −x+ 8+ x − a = 8− a.$
Если $a< x < 8,$ то
$y = −x +8 − x + a= −2x +8 +a.$
Если $8≤ x,$ то
$y = x − 8 − x + a= a− 8.$

Нарисуем эскиз графика этой функции. Обратим внимание, что $a < 8,$ то есть $8− a> 0,$ $a− 8< 0.$

$xya8yyy ===a−8−2−x8+a 8+a$

Таким образом, в данном случае имеем:

если $a− 8< y < 8 − a,$ то у уравнения $y = |x− 8|− |x − a|$ ровно одно решение;
если $y = 8− a$ или $y = a− 8,$ то у уравнения $y = |x − 8|− |x − a|$ бесконечно много решений;
если $y < a− 8$ или $y > 8− a,$ то у уравнения $y = |x − 8|− |x − a|$ нет решений.

Отсюда получаем систему:

( { |||| a − 8 < 5a − 2 { {5a− 2 <8 − a ||| a − 8 < 2a + 2 |( 2a+ 2 <8 − a ( || 4a> −6 |{ 6a< 10 || a> −10 |( 3a< 6 ( ) a∈ − 3; 5 2 3

Полученный промежуток полностью удовлетворяет условию $a< 8,$ поэтому получаем из данного случая

( ) a∈ − 3; 5 . 2 3

Проверим теперь случай совпадения корней:

5a− 2= 2a +2 3a= 4 a= 4 3

То есть при $a = 4 3$ решения совпадут и этот случай нам не подходит.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

( 3 4) ( 4 5) a∈ −2 ;3 ∪ 3;3 .

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ − 3; 4 ∪ 4; 5 2 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#125946

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(|x− a− 2|+|x− a+ 2|)2− a(|x − a − 2|+ |x − a+ 2|)+ a− 64= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Пусть

y =|x− a− 2|+ |x − a +2|.

Исследуем замену, то есть функцию $y = |x− a− 2|+|x− a+ 2|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x− a − 2 = 0 x− a+ 2 =0 x= a+ 2 x = a− 2

У выражения $|x− a − 2|+ |x − a + 2|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$xaa−−−+++ −+ 22$

Если $x ≤a − 2,$ то
$y = − x+ a+ 2− x+ a− 2= − 2x+ 2a$
Если $a − 2 <x < a+ 2,$ то
$y = −x + a+ 2+ x− a+ 2= 4.$
Если $a +2 ≤x,$ то
$y = x − a − 2+ x− a+ 2= 2x− 2a.$

Построим эскиз графика этой функции:

$0xyaayyy−+=== 22−24x2x− +22aa$

Таким образом,

если $y > 4,$ то у уравнения $y = |x − a− 2|+ |x− a+ 2|$ ровно два решения;
если $y = 4,$ то у уравнения $y = |x− a − 2|+ |x − a+ 2|$ бесконечно много решений;
если $y < 4,$ то у уравнения $y = |x− a− 2|+ |x− a+ 2|$ нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решения, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение $2 y − ay+ a− 64= 0,$ которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее 4, и никакое решение уравнения не было бы равно 4.

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

уравнение имеет два корня $y1$ и $y2$ такие, что $y1 < 4< y2;$
уравнение имеет один корень $y0 > 4.$

Пусть $2 f(y)= y − ay+ a− 64.$

Рассмотрим первый случай. Так как коэффициент перед $2 y$ положителен, то функция $f$ задает параболу с ветвями вверх.

$yyy412$

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение 4 расположено между ними, равносильно условию $f (4) <0 :$

f(4)< 0 2 4 − 4a+ a− 64< 0 16− 3a− 64 < 0 −48< 3a a> − 16

Отсюда получаем $a∈ (−16;+∞ ),$ при этом условие $D > 0$ заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение $2 y − ay +a − 64 =0$ имело один корень, необходимо потребовать $D = 0.$ Найдем его дискриминант:

D = a2− 4(a− 64)= a2− 4a+ 256= (a− 2)2+ 252> 0.

Значит, полученное уравнение имеет два корня при любом значении $a.$

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

a ∈(−16;+∞ ).

Ответ:

$a ∈(−16;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#125956

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(|x− a− 2|+|x− a+ 2|)2− a⋅(|x − a− 2|+ |x− a+ 2|)+ a2− 64= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Пусть

y =|x− a− 2|+ |x − a +2|.

Исследуем замену, то есть функцию $y = |x− a− 2|+|x− a+ 2|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x− a − 2 = 0 x− a+ 2 =0 x= a+ 2 x = a− 2

У выражения $|x− a − 2|+ |x − a + 2|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$xaa−−−+++ −+ 22$

Если $x ≤a − 2,$ то
$y = − x+ a+ 2− x+ a− 2= − 2x+ 2a$
Если $a − 2 <x < a+ 2,$ то
$y = −x + a+ 2+ x− a+ 2= 4.$
Если $a +2 ≤x,$ то
$y = x − a − 2+ x− a+ 2= 2x− 2a.$

Построим эскиз графика этой функции:

$0xyaayyy−+=== 22−24x2x− +22aa$

Таким образом,

если $y > 4,$ то у уравнения $y = |x − a− 2|+ |x− a+ 2|$ ровно два решения;
если $y = 4,$ то у уравнения $y = |x− a − 2|+ |x − a+ 2|$ бесконечно много решений;
если $y < 4,$ то у уравнения $y = |x− a− 2|+ |x− a+ 2|$ нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решения, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение $2 2 y − ay+ a − 64= 0,$ которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее 4, и никакое решение уравнения не было бы равно 4.

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

уравнение имеет два корня $y1$ и $y2$ такие, что $y1 < 4< y2;$
уравнение имеет один корень $y0 > 4.$

Пусть $2 2 f(y)= y − ay+ a − 64.$

$yyy412$

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение 4 расположено между ними, равносильно условию $f (4) <0 :$

f(4)< 0 2 2 4 − 4a+ a − 64 < 0 16− 4a+ a2− 64 < 0 a2− 4a− 48 < 0 ( ( √ -)) ( ( √--)) a− 2− 2 13 a− 2+ 2 13 <0

Отсюда получаем $( √-- √--) a∈ 2− 2 13;2+ 2 13 ,$ при этом условие $D >0$ заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение имело один корень, необходимо потребовать $D =0 :$

2 ( 2 ) a − 4 a − 64 = 0 −3a2+ 4⋅64= 0 a2 = 4-⋅64 3√ - 16--3 a= ± 3 a y0 = 2

Если $16√3-- a = 3 ,$ тогда $a 8√3- y0 = 2 = 3 > 4,$ так как:
$8√3 -3--> 4 2√3 -3--> 1 2√3 > 3 4⋅3 >9 12> 9$
То есть $√- a = 16-3- 3$ подходит.
Если $√ - a = − 16-3, 3$ тогда $√- y0 = a= − 8-3-< 4, 2 3$ тогда $√- a =− 16-3- 3$ не подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

( ) { √-} a∈ 2− 2√13;2+ 2√13- ∪ 16-3- . 3

Ответ:

${ √ -} a ∈(2− 2√13;2+ 2√13)∪ 16--3- 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#125959

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(|| 2|| )2 (|| 2|| ) 2 x +a + |x − 1| − 8 x +a + |x − 1| − a + 17 = 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Пусть

|| 2|| y = x + a + |x− 1|.

Исследуем замену, то есть функцию $y = ||x+ a2||+|x− 1|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x+ a2 = 0 x − 1= 0 x= −a2 x= 1

У выражения $|| 2|| x + a + |x− 1|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−1−−+−++ a2$

Если $x ≤− a2,$ то
$2 2 y = −x − a − x + 1= −2x +1 − a .$
Если $− a2 <x < 1,$ то
$2 2 y =x + a − x+ 1= 1+ a .$
Если $1 ≤x,$ то
$y =x + a2+x − 1= 2x− 1+ a2.$

Построим эскиз графика этой функции:

$0xy−1yyya===2−21x+2x−a+121+−a2a2$

Таким образом,

если $y > 1+ a2,$ то у уравнения $y = ||x +a2||+ |x − 1|$ ровно два решения;
если $y = 1+ a2,$ то у уравнения $| | y = |x+ a2|+|x− 1|$ бесконечно много решений;
если $2 y < 1+ a ,$ то у уравнения $| 2| y = |x+ a |+|x− 1|$ нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решений, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение $y2− 8y− a2+ 17= 0,$ которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее $1 + a2,$ и никакое решение уравнения не было бы равно $1 +a2.$

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

уравнение имеет два корня $y1$ и $y2$ такие, что $y1 < 1+ a2 < y2$ ;
уравнение имеет один корень $y0 > 1+ a2.$

Пусть $f(y)= y2− 8y− a2+ 17.$

Рассмотрим первый случай. Так как коэффициент перед $y2$ положителен, то функция $f$ задает параболу с ветвями вверх.

$yyy112+ a2$

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение $1+ a2$ расположено между ними, равносильно условию $f (1+ a2) <0 :$

( 2) f 1+ a < 0 (1+ a2)2− 8(1+ a2)− a2+ 17< 0 a4+ 2a2+ 1− 8− 8a2− a2 +17 <0 4 2 (a − 7a)(+ 10<) 0 a2− 2 a2 − 5 <0 (a− √2-)(a+ √2) (a− √5) (a+ √5) <0

Отсюда получаем $a∈ (−√5;− √2)∪ (√2;√5),$ при этом условие $D > 0$ заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение $y2− 8y− a2+ 17= 0$ имело один корень, необходимо потребовать $D = 0:$

64− 4(− a2+ 17) =0 2 4a + 64− 4⋅17= 0 2 4⋅17−-64 4 a = 4 = 4 = 1 ⇒ a =±1 8 2 y0 = 2 =4 > 1+ a = 2

Тогда $a = ±1$ подходят, так как при данных значениях параметра единственный корень уравнения будет больше, чем $2 1+ a.$

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

( √- √ -) ( √- √-) a ∈ − 5;− 2 ∪ {−1;1}∪ 2; 5 .

Ответ:

$( √- √-) (√- √-) a ∈ − 5;− 2 ∪{−1;1}∪ 2; 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#125960

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(|x− a− 2|+|x− a+ 2|)2− a⋅(|x − a− 2|+ |x− a+ 2|)+ a2− 48= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Пусть

y =|x− a− 2|+ |x − a +2|.

Исследуем замену, то есть функцию $y = |x− a− 2|+|x− a+ 2|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x− a − 2 = 0 x− a+ 2 =0 x= a+ 2 x = a− 2

У выражения $|x− a − 2|+ |x − a + 2|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$xaa−−−+++ −+ 22$

Если $x ≤a − 2,$ то
$y = −x +a + 2− x+ a− 2= −2x +2a.$
Если $a − 2 <x < a+ 2,$ то
$y = −x + a+ 2+ x− a+ 2= 4.$
Если $a +2 ≤x,$ то
$y = x − a − 2+ x− a+ 2= 2x− 2a.$

Построим эскиз графика этой функции:

$0xyaayyy−+=== 22−24x2x− +22aa$

Таким образом,

если $y > 4,$ то у уравнения $y = |x − a− 2|+ |x− a+ 2|$ ровно два решения;
если $y = 4,$ то у уравнения $y = |x− a − 2|+ |x − a+ 2|$ бесконечно много решений;
если $y < 4,$ то у уравнения $y = |x− a− 2|+ |x− a+ 2|$ нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решения, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение $2 2 y − ay+ a − 48= 0,$ которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее 4, и при этом никакое решение уравнения не было бы равно 4.

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

уравнение имеет два корня $y1$ и $y2$ такие, что $y1 < 4< y2$ ;
уравнение имеет один корень $y0 > 4.$

Пусть $2 2 f(y)= y − ay+ a − 48.$

$yyy412$

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение 4 расположено между ними, равносильно условию $f (4) <0 :$

f(4)< 0 2 2 4 − 4a+ a − 48 < 0 16− 4a+ a2− 48 < 0 a2− 4a− 32 < 0 (a+ 4)(a − 8)< 0

Отсюда получаем $a∈ (−4;8),$ при этом условие $D > 0$ заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение имело один корень, необходимо потребовать $D =0 :$

2 ( 2 ) a − 4 a − 48 = 0 −3a2+ 4⋅48= 0 a2 = 4-⋅48 3 a2 = 64 a = ±8 y0 = a 2

Если $a = 8,$ то $y0 = 4,$ тогда условие $y0 > 4$ не выполняется, $a= 8$ не подходит.
Если $a= −8,$ то $y0 = −4,$ тогда условие $y0 >4$ не выполняется, $a= −8$ не подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

a∈ (− 4;8).

Ответ:

$a ∈(−4;8)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#125961

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(|| 2|| )2 (|| 2|| ) 2 x − a + |x +1| − 7 x − a + |x +1| + 4a +4 = 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Пусть

|| 2|| y = x − a + |x+ 1|.

Исследуем замену, то есть функцию $y = ||x− a2||+|x+ 1|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x− a2 = 0 x + 1= 0 x = a2 x = −1

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a.$ Заметим, что $a2 ≥ 0,$ поэтому при любом значении параметра $a$ верно, что $2 a > − 1:$

У выражения $|| 2|| x − a + |x+ 1|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−a−−−+++21$

Если $x ≤− 1,$ то
$2 2 y = −x + a − x − 1= −2x +a − 1.$
Если $− 1 < x< a2,$ то
$2 2 y =a − x + x+ 1= a + 1.$
Если $a2 ≤ x,$ то
$y =x − a2+x + 1= 2x− a2+ 1.$

Построим эскиз графика этой функции:

$0xy−a2yyy1===−2ax22x−+ +a1a22+−1 1$

Таким образом,

если $y > a2+ 1,$ то у уравнения $y = ||x − a2||+ |x + 1|$ ровно два решения;
если $y = a2+ 1,$ то у уравнения $| | y = |x− a2|+|x+ 1|$ бесконечно много решений;
если $2 y < a + 1,$ то у уравнения $| 2| y = |x− a |+|x+ 1|$ нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решения, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение $y2− 7y+ 4a2+ 4= 0,$ которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее $a2 +1,$ и никакое решение уравнения не было бы равно $2 a + 1.$

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

уравнение имеет два корня $y1$ и $y2$ такие, что $y1 < a2+1 < y2$ ;
уравнение имеет один корень $y0 > a2+ 1.$

Пусть $f(y)= y2− 7y+ 4a2+ 4.$

$yyya122+ 1$

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение $a2+ 1$ расположено между ними, равносильно условию $f (a2 +1) <0 :$

( 2 ) f a + 1 < 0 (a2+ 1)2− 7(a2 +1)+ 4a2+ 4< 0 a4+ 2a2+ 1− 7a2 − 7 +4a2+ 4 <0 4 2 ( a − a)(− 2<)0 a2− 2 a2 +1 <0

Так как $2 a + 1$ > 0 для всех $a,$ то

2 ( a)−(2< 0 ) a− √2 a+ √2 < 0

Отсюда получаем $- - a∈ (−√ 2;√ 2),$ при этом условие $D > 0$ заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение $y2− 7y+ 4a2+ 4= 0$ имело один корень, необходимо потребовать $D = 0:$

49 − 4(4a2+ 4)= 0 2 − 16a − 16+ 49= 0 2 33 a = 16 √-- a= ± -33- 4 y0 = 7 > a2 +1 = 33+ 1= 49 2 16 16

Убедимся, что $7 > 49 : 2 16$

7 49 2 ∨ 16 7 ⋅16 ∨49⋅2 112> 98

Тогда $√ -- --33 a = ± 4$ подходят, так как при данных значениях параметра единственный корень уравнения будет больше $2 a +1.$

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

√-- ( √ - √-) { -33} a∈ − 2; 2 ∪ ± 4 .

Ответ:

${ √--} a ∈(− √2;√2)∪ ± -33- 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#125962

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 2 2 2 (|x− a |+ |x+ 2|)− 11⋅(|x − a|+ |x + 2|)+ 2a + 24 = 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Пусть

2 y = |x− a|+ |x+ 2|.

Исследуем замену, то есть функцию $y = |x− a2|+ |x+ 2|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x− a2 = 0 x + 2= 0 x = a2 x = −2

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a.$ Заметим, что $2 a ≥ 0,$ поэтому при любом значении параметра $a$ верно, что $2 a > − 2.$

У выражения $2 |x− a |+ |x +2|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−a−−−+++22$

Если $x ≤− 2,$ то
$2 2 y = −x + a − x − 2= −2x +a − 2.$
Если $− 2 < x< a2,$ то
$2 2 y = −x +a + x +2 = a +2.$
Если $a2 ≤ x,$ то
$y =x − a2+x + 2= 2x− a2+ 2.$

Построим эскиз графика этой функции:

$0xy−a2yyy2===−2ax22x++ −22 2−+a2a2$

Таким образом,

если $y > a2+ 2,$ то у уравнения $y = |x − a2|+ |x + 2|$ ровно два решения;
если $y = a2+ 2,$ то у уравнения $y =|x− a2|+|x+ 2|$ бесконечно много решений;
если $2 y < a + 2,$ то у уравнения $2 y = |x− a|+ |x+ 2|$ нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решений, либо не дает вовсе, то необходимо, чтобы уравнение $y2− 11y+ 2a2+24 = 0,$ которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее $2 a + 2,$ и при этом никакое решение не равнялось $2 a + 2.$

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

уравнение имеет два корня $y1$ и $y2$ такие, что $y1 < a2+2 < y2$ ;
уравнение имеет один корень $y0 > a2+ 2.$

Пусть $f(y)= y2− 11y+ 2a2+ 24.$

$yyya122+ 2$

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение $a2+ 2$ расположено между ними, равносильно условию $f (a2 +2) <0 :$

(2 ) ( 2 )2 (2 ) 2 f a +2 = a + 2 − 11 a +2 +2a + 24< 0 a4+ 4a2 +4 − 11a2− 22+ 2a2+ 24< 0 a4− 5a2 +6 < 0 ( 2 )(2 ) ( )( a − 2) (a − 3 )<0( ) a− √2- a+ √2 a− √3 a+ √3 <0

Отсюда получаем $( √ - √-) (√- √-) a∈ − 3;− 2 ∪ 2; 3 ,$ при этом условие $D > 0$ заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение имело один корень, необходимо потребовать $D =0 :$

( ) 121 − 4 2a2+ 24 = 0 2 8a = 25 2 25 a = 8 11 2 25 y0 = 2-> a + 2 = 8-+ 2

Значит, $√ - a= ± 542-$ тоже подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

( √- √ -) (√- √-) { 5√2-} a ∈ − 3;− 2 ∪ 2; 3 ∪ ±-4-- .

Ответ:

${ √- } a ∈(− √3;−√2) ∪(√2;√3) ∪ ±5-2- 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#125963

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|)2+ a(4x +|x+ a|+ |3x− a +2|)+a2 − 64 =0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Пусть

y =4x +|x+ a|+ |3x− a +2|.

Исследуем полученную функцию. Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x+ a = 0 3x− a+ 2= 0 x= − a 3x = a− 2 a − 2 x= --3-

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a :$

−a≤ a-−-2 3 − 3a≤ a− 2 − 4a≤ −2 a ≥ 0,5

Рассмотрим три случая: $a > 0,5,$ $a= 0,5$ и $a< 0,5.$

При $a= 0,5$ получаем, что $− a= a−-2. 3$ Тогда имеем

$y = 4x+ |x +0,5|+|3x+ 1,5|= 4x+ 4|x + 0,5|.$

Раскроем модуль:

$x−−+0,5$
- Если $x ≥− 0,5,$ то получаем
  $y =4x +4x + 2= 8x+ 2.$
- Если $x <− 0,5,$ то получаем
  $y = 4x− 4x− 2= −2.$
Построим эскиз графика этой функции при $1 a= 2 :$

$xyy−y0=0=,58−x2+2$

Таким образом,
- если $y < − 2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x+ a|+|3x− a+ 2|$ нет решений;
- если $y = −2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ бесконечно много решений;
- если $y > −2,$ то у уравнения $y = 4x + |x+ a|+ |3x − a +2|$ ровно одно решение.
При $a< 0,5$ получаем, что $a-− 2 < −a. 3$ Тогда у выражения $4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−−−−+++a−a 2 3$
- Если $a− 2 x ≤ -3--,$ то
  $y = 4x− x − a − 3x +a − 2= −2.$
- Если $a-− 2 < x< − a, 3$ то
  $y = 4x− x− a+ 3x− a+ 2 =6x − 2a +2.$
- Если $− a ≤x,$ то
  $y = 4x+ x+ a+ 3x− a+ 2 =8x +2.$
Построим эскиз графика этой функции:

$a− 2 xyy−y0=a=3y8=−x62+x2− 2a+2$

Таким образом,
- если $y < − 2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x+ a|+|3x− a+ 2|$ нет решений;
- если $y = −2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ бесконечно много решений;
- если $y > −2,$ то у уравнения $y = 4x + |x+ a|+ |3x − a +2|$ ровно одно решение.
При $a> 0,5$ получаем, что $a− 2 − a < -3--.$ Тогда у выражения $4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$a− 2 x−−−+−++-a3--$
- Если $x ≤− a,$ то
  $y = 4x− x − a − 3x +a − 2= −2.$
- Если $a− 2 − a <x < --3-,$ то
  $y = 4x+ x+ a− 3x+ a− 2 =2x +2a − 2.$
- Если $a-− 2 ≤ x, 3$ то
  $y = 4x+ x+ a+ 3x− a+ 2 =8x +2.$
Построим эскиз графика этой функции:

$xyy−ay0=a−=y82=−x22+x2+ 2a− 2 3$

Таким образом,
- если $y < − 2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x+ a|+|3x− a+ 2|$ нет решений;
- если $y = −2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ бесконечно много решений;
- если $y > −2,$ то у уравнения $y = 4x + |x+ a|+ |3x − a +2|$ ровно одно решение.

Следовательно, можем сделать аналогичный вывод для любого значения параметра $a.$ Тогда от уравнения $2 2 y + ay+ a − 64= 0,$ которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, которые оба больше $− 2.$

$yyy−y1220$

Пусть $f(y)= y2+ ay+ a2− 64.$ Тогда получаем:

( |{ D > 0 f(−2)> 0 |( y0 > −2 ( ||{ a2− 4a2 +4 ⋅64 > 0 4− 2a+ a2− 64> 0 ||( −a-> −2 2 (|{ 3a2 < 162 a2− 2a− 60> 0 |( a< 4 ( √ - √ - || 16--3 16--3- |{ − 3( < a< √-3) ( √ -- ) || a∈ −∞; 1− 61 ∪ 1 + 61;+ ∞ |( a< 4

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

- ( 16√-3 √--) a ∈ − 3 ;1− 61 .

Ответ:

$( √- ) a ∈ − 16-3-;1 − √61 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#125966

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 (5x+ |2x − a|− |3x|) − (a +2)(5x+ |2x − a|− |3x|)+ 1= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Пусть

y = 5x+ |2x − a|− |3x|.

Исследуем полученную функцию. Для этого найдем нули подмодульных выражений:

2x− a= 0 3x = 0 a x = 2 x= 0

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений $a 2$ и 0 в зависимости от значений параметра.

1.

При $a= 0$ получаем

y =5x +|2x|− |3x|= 5x− |x|.

Раскроем модуль:

$x0−+$

Если $x ≥0,$ то получаем
$y = 5x− x= 4x.$
Если $x <0,$ то получаем
$y = 5x+ x= 6x.$

Построим эскиз графика этой функции:

$xyyy0== 46xx$

Таким образом, в данном случае у уравнения $y =5x + |2x− a|− |3x|$ ровно одно решение при любом $y.$ Тогда от уравнения $y2 − (a+ 2)y+ 1= 0,$ которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, то есть $D > 0:$

(a+ 2)2− 4 >0 2 2 − 4= 0

Следовательно, $a= 0$ не подходит.

2.

При $a> 0$ получаем, что $a> 0. 2$ Тогда у выражения $5x+ |2x − a|− |3x|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x0−−−+++a 2$

Если $x ≤0,$ то
$y =5x − 2x +a + 3x = 6x+ a.$
Если $a 0< x < 2,$ то
$y =5x − 2x +a − 3x = a.$
Если $a ≤ x, 2$ то
$y =5x +2x − a − 3x = 4x− a.$

Построим эскиз графика этой функции:

$a xyyyy02=== a64xx+−a a$

Таким образом, в данном случае имеем:

если $y = a,$ то у уравнения $y = 5x+ |2x − a|− |3x|$ бесконечно много решений;
если $y ⁄= a,$ то у уравнения $y = 5x+ |2x − a|− |3x|$ ровно одно решение.

Тогда от уравнения $2 y − (a+ 2)y+ 1= 0,$ которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, отличных от $a.$

Пусть $2 f(y)= y − (a +2)y+ 1.$ Тогда получаем:

{ D >0 f(a)⁄= 0 { (a +2)2− 4> 0 a2− (a+ 2)a+ 1⁄= 0 { a2+4a +4 − 4 > 0 a2− a2 − 2a +1 ⁄= 0 ( { a(a +4) >0 ( a⁄= 1 2 ( 1) (1 ) a ∈ (− ∞;− 4)∪ 0;2 ∪ 2;+∞

Так как мы рассматриваем случай $a> 0,$ получаем:

( ) ( ) a∈ 0; 1 ∪ 1;+∞ . 2 2

3.

При $a< 0$ получаем, что $a 2 < 0.$ Тогда у выражения $5x+ |2x − a|− |3x|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$a x0−−+−++2$

Если $x ≤ a, 2$ то
$y =5x − 2x +a + 3x = 6x+ a.$
Если $a < x< 0, 2$ то
$y = 5x+ 2x− a+ 3x= 10x− a.$
Если $0≤ x,$ то
$y =5x +2x − a − 3x = 4x− a.$

Построим эскиз графика этой функции:

$a xyyy0y2=== 614x0x+x−−a aa$

D > 0 2 (a+ 2)− 4 >0 a2+ 4a + 4− 4> 0 a2+ 4a > 0 a(a+ 4)> 0 a∈ (−∞;− 4)∪(0;+∞ )

Так как мы рассматриваем случай $a< 0,$ получаем:

a∈ (− ∞;− 4).

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

( ) ( ) 1 1 a∈ (−∞;− 4)∪ 0;2 ∪ 2 ;+ ∞ .

Ответ:

$( ) ( ) a ∈(−∞; −4)∪ 0; 1 ∪ 1;+∞ 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#125967

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 (7x +|x+ a|− |6x|)+ (a+ 1)(7x + |x+ a|− |6x|)− a − 1= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Пусть

y = 7x + |x+ a|− |6x|.

Исследуем полученную функцию. Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x +a = 0 6x= 0 x= − a x = 0

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений $− a$ и 0 в зависимости от значений параметра.

1.

При $a= 0$ получаем

y =7x +|x|− |6x|= 7x− |5x|.

Раскроем модуль:

$x0−+$

Если $x ≥0,$ то получаем
$y =7x − 5x = 2x.$
Если $x <0,$ то получаем
$y = 7x+ 5x= 12x.$

Построим эскиз графика этой функции:

$xyyy0== 21x2x$

Таким образом, в данном случае у уравнения $y = 7x + |x+ a|− |6x|$ ровно одно решение при любом $y.$ Тогда от уравнения $y2+ (a+ 1)y − a− 1= 0,$ которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, то есть $D > 0:$

2 (a+ 1)2+ 4(a+ 1)> 0 1 + 4> 0

Следовательно, $a= 0$ подходит.

2.

При $a> 0$ получаем, что $− a< 0.$ Тогда у выражения $7x + |x+ a|− |6x|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−0−−+−++ a$

Если $x ≤− a,$ то
$y =7x − x − a+ 6x= 12x− a.$
Если $− a <x < 0,$ то
$y =7x +x + a+ 6x= 14x+ a.$
Если $0≤ x,$ то
$y = 7x+ x+ a− 6x= 2x +a.$

Построим эскиз графика этой функции:

$xyyy0y−===a 11224xxx+−+ aaa$

Таким образом, в данном случае у уравнения $y = 7x+ |x +a|− |6x|$ также ровно одно решение при любом $y.$ Тогда от уравнения $y2+ (a +1)y− a− 1= 0,$ которое мы получили после замены, нужно также потребовать два различных решения:

2 (a+ 1) + 4(a+ 1)> 0 (a+ 1)(a +5)> 0 a ∈(−∞; −5)∪ (− 1;+ ∞ )

Так как мы рассматриваем случай $a> 0,$ получаем:

a ∈(0;+∞ ).

3.

При $a< 0$ получаем, что $0 < −a.$ Тогда у выражения $7x+ |x +a|− |6x|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x0−−−−+++ a$

Если $x ≤0,$ то
$y =7x − x − a+ 6x= 12x− a.$
Если $0< x < −a,$ то
$y = 7x− x − a − 6x = −a.$
Если $− a ≤x,$ то
$y = 7x+ x+ a− 6x= 2x +a.$

Построим эскиз графика этой функции:

$xyyyy0−===a −12a2xx+−a a$

Таким образом, в данном случае имеем:

если $y = − a,$ то у уравнения $y = 7x+ |x+ a|− |6x|$ бесконечно много решений;
если $y ⁄= − a,$ то у уравнения $y = 7x+ |x +a|− |6x|$ ровно одно решение.

Тогда от уравнения $2 y + (a+ 1)y − a− 1= 0,$ которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, отличных от $− a.$

Пусть $f(y)= y2+ (a +1)y− a− 1.$ Тогда получаем:

{ D >0 f(− a)⁄= 0 { 2 (a2 +1) + 4(a +1) >0 a − (a+ 1)a− a− 1⁄= 0 ({ (a +1)(a+ 5)> 0 ( a⁄= − 1 2 ( ) ( ) a ∈ (− ∞;−5)∪ − 1;− 1 ∪ − 1;+∞ 2 2

Так как мы рассматриваем случай $a< 0,$ получаем:

( 1) ( 1 ) a∈ (−∞; −5)∪ −1;−2 ∪ − 2;0 .

Таким образом, объединяя результаты всех трех случаев, получаем, что исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

( 1) ( 1 ) a∈ (−∞;− 5)∪ −1;−2 ∪ − 2;+ ∞ .

Ответ:

$( ) ( ) a ∈(−∞; −5)∪ −1;− 1 ∪ − 1;+∞ 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#125968

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(|x − 2a − 1|+ |x − 2a + 1|)2+ a(|x− 2a− 1|+ |x− 2a+ 1|)+a2− 48 =0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Пусть

y = |x− 2a− 1|+ |x − 2a+ 1|.

Исследуем замену, то есть функцию $y = |x− 2a− 1|+ |x− 2a+ 1|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x − 2a − 1 = 0 x− 2a+ 1= 0 x= 2a+ 1 x = 2a− 1

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a.$ Заметим, что $2a+ 1 >2a − 1$ при любом значении параметра $a.$

У выражения $|x− 2a− 1|+ |x − 2a +1|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x22−−−+++aa−+ 11$

Если $x ≤2a − 1,$ то
$y = −x + 2a + 1− x+ 2a− 1= −2x +4a.$
Если $2a− 1 <x < 2a+ 1,$ то
$y = − x+ 2a+ 1+ x− 2a+ 1= 2.$
Если $2a+ 1 ≤x,$ то
$y =x − 2a − 1+ x− 2a+ 1= 2x− 4a.$

Построим эскиз графика этой функции:

$0xy2a2ayyy−+===−2211x2x− +44aa$

Таким образом,

если $y > 2,$ то у уравнения $y = |x − 2a − 1|+ |x − 2a +1|$ ровно два решения;
если $y = 2,$ то у уравнения $y = |x− 2a− 1|+|x− 2a+ 1|$ бесконечно много решений;
если $y < 2,$ то у уравнения $y = |x − 2a − 1|+ |x − 2a + 1|$ нет решений.

По условию требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решений, либо не дает вовсе, то необходимо, чтобы уравнение $y2+ ay+ a2− 48= 0,$ которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее 2, и при этом никакое решение не равнялось 2.

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

уравнение имеет два корня $y 1$ и $y 2$ такие, что $y < 2< y 1 2$ ;
уравнение имеет один корень $y0 > 2.$

Пусть $2 2 f(y)= y + ay+ a − 48.$

$yyy212$

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение 2 расположено между ними, равносильно условию $f(2)< 0:$

f(2)= 4+ 2a+ a2− 48= a2+ 2a− 44< 0 ( √-) ( √-) a+ 1+ 3 5 a+ 1− 3 5 < 0

Отсюда получаем $( √ - √-) a∈ −1− 3 5;− 1+ 3 5 ,$ при этом условие $D > 0$ заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение имело один корень, необходимо потребовать $D =0 :$

( ) a2 − 4 a2− 48 = 0 2 3a = 4⋅48 a2 = 64 a = 8 a = −8 y0 = −-8= − 4< 2 y0 = 8= 4> 2 2 2

Значит, $a= −8$ тоже подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

( √- √-) a ∈ − 1− 3 5;−1+ 3 5 ∪{− 8}.

Ответ:

$( √ - √-) a ∈ − 1− 3 5;−1+ 3 5 ∪ {−8}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#125970

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

( 9)2 ( 9) a x+ x − 2 x + x − 49a+ 14= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Сделаем замену $y = x+-9. x$ Получим уравнение

2 ay − 2y − 49a+ 14= 0.

Проанализируем замену:

9 y = x+ x 2 2yx= x + 9 x − yx+ 9= 0 D = y2− 36

Таким образом, при $y = ±6$ будет ровно одно решение по $x,$ а при $|y|> 6$ будет два решения по $x.$ При этом решения будут отличны от 0, так как $2 0 − y⋅0 +9 ⁄= 0.$

Проанализируем уравнение, получившееся после замены.

Рассмотрим отдельно случай $a =0 :$

−2y +14 =0 y =7

Так как $|7|> 6,$ то при $a = 0$ исходное уравнение имеет два корня. Следовательно, $a = 0$ нам подходит.

При $a⁄= 0$ рассмотрим дискриминант квадратного относительно $y$ уравнения $ay2− 2y− 49a+ 14= 0.$

D = 4− 4⋅a⋅(−49a+ 14)= =4 +4 ⋅49a2− 56a= 2 2 = (14a)− 2 ⋅14a⋅2 +2 = = (14a − 2)2.

Если $D = 0,$ то есть $1 a = 7,$ то
$-2 1 y = 2a = a = 7.$
Так как $|7|> 6,$ то при $1 a= 7$ исходное уравнение имеет два корня. Следовательно, $a= 1 7$ нам подходит.
Если $D > 0,$ то уравнение будет иметь два корня:
$y1 = 2+-14a−-2= 7; 2a y2 = 2−-14a+-2= 2-− 7a. 2a a$
Таким образом, корень $y1 = 7$ обеспечит два решения по $x$ для уравнения $y = x+ 9. x$ Значит, чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, корень $y 2$ по модулю должен быть меньше 6. Следовательно,
$|y2|< 6 || || ||2−-7a||< 6 a (2-− 7a)2 2 a < 6 ( )2 2−-7a − 62 < 0 a ( 2−-7a ) (2−-7a ) a − 6 a +6 < 0 2− 7a− 6a 2 − 7a +6a ----a----⋅----a---- < 0 2−-13a⋅ 2-− a < 0 ( a ) a a− -2 (a− 2) ----13--------< 0 a2$
По методу интервалов:

$-2 a012+−++3$

Таким образом,
$( 2 ) a∈ 13-;2 .$

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

{ 1 } (-2 ) a ∈ 0;7 ∪ 13;2 .

Ответ:

${ } ( ) a ∈ 0; 1 ∪ -2;2 7 13$