Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.04 Треугольник: задачи на подобие

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#18478

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $AB = 4,$ $AC = 8,$ $A1C1 = 4$ и $B1C1 = 3.$ Найдите сумму периметров треугольников $ABC$ и $A1B1C1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

-AB-- -BC-- -AC-- 8 A1B1 = B1C1 = A1C1 = 4 =2

Отсюда получаем

BC = 2B1C1 = 6 A1B1 = 1AB = 2 2

Тогда сумма периметров треугольников $ABC$ и $A1B1C1$ равна

AB + AC + BC +A1B1 + A1C1+ B1C1 = =4 +8 +6 +2 + 4+ 3= 27

Ответ: 27

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#18479

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $A1B1 = 8,$ $B1C1 = 7,$ $C1A1 = 5$ и $AB = 12.$ Найдите периметр треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

-AC-- -BC-- -AB-- 12 3 A1C1 = B1C1 = A1B1 = 8 = 2

Отсюда получаем

3 BC = 2 B1C1 = 10,5 3 AC = 2A1C1 =7,5

Тогда периметр треугольника $ABC$ равен

P = AB + BC + AC = 12+ 10,5+ 7,5 =30

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#18480

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $AB = 10,$ $BC =9,$ $CA = 8$ и $PA1B1C1 = 54.$ Найдите наименьшую сторону треугольника $A1B1C1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

-AB-- AC--- BC--- A1B1 = A1C1 = B1C1 = P 10 +9 +8 1 = P-ABC--= ---54--- = 2 A1B1C1

Отсюда получаем

A1B1 = 2AB = 20 B1C1 = 2BC = 18 A1C1 = 2AC = 16

Тогда наименьшая сторона треугольника $A1B1C1$ равна 16.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#18481

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $a :b:c= 4:3 :5$ и $A1C1 =20.$ Найдите наименьшую сторону треугольника $A1B1C1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По условию имеем:

3 5 a:b:c =4 :3:5 ⇔ b= 4a; c= 4a

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

AB BC AC A--B-= B--C-= A--C- 1 1 1 1 1 1 --a--= -34a-= -54a A1B1 B1C1 20

Отсюда получаем систему

( 3 ||{ B1C1-= 45a-= 3 ({ A B = 16 20 4a 5 ⇔ 1 1 ||( A1B1-= a5--= 4 ( B1C1 = 12 20 4a 5

Тогда наименьшая сторона треугольника $A1B1C1$ равна 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#18482

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $y :x:z = 5 :6:7$ и $PA1B1C1 = 108.$ Найдите длину наибольшей стороны треугольника $A1B1C1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

-AB-- -BC-- -AC-- A1B1 = B1C1 = A1C1 B1C1 :A1B1 :A1C1 = y :x:z = 5:6:7 6 7 A1B1 = 5B1C1; A1C1 = 5B1C1

Приравняем сумму длин сторон к периметру:

6 7 B1C1 + 5B1C1 +5 B1C1 = 108 18B1C1 = 108 5 B1C1 = 5-⋅108 18

Отсюда получаем

B1C1 = 30; A1B1 = 36; A1C1 = 42

Тогда длина наибольшей стороны треугольника $A1B1C1$ равна 42.

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#18483

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $AB = 8,$ $BC = 9,$ $AC = 10,$ $PA1B1C1 = 9.$ Найдите среднюю по длине сторону треугольника $A1B1C1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

-AB-- -AC-- -BC-- A1B1 = A1C1 = B1C1 = PABC 10+ 9+ 8 = PA-B-C-= ----9--- = 3 1 1 1

Отсюда получаем

1 8 A1B1 = 3AB = 3 1 B1C1 = 3BC = 3 1 10 A1C1 = 3AC = 3-

Тогда средняя по длине сторона треугольника $A1B1C1$ равна 3.

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#18484

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $A1C1 = 11,$ $B1C1 :A1B1 = 2:3,$ $PABC = 39,$ $PA1B1C1 = 26.$ Найдите среднюю по длине сторону треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Для длин сторон треугольника $A1B1C1$ имеем систему

{ B1C1+ A1B1 = PA1B1C1 − A1C1 = 15 B1C1 :A1B1 = 2 :3

Отсюда получаем

B1C1 = 2⋅15= 6 5 A1B1 = 3⋅15 =9 5

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

-AB-- -AC-- -BC-- -PABC-- 39 3 A1B1 = A1C1 = B1C1 = PA1B1C1 = 26 = 2

Отсюда найдем длины сторон треугольника $ABC :$

AB- = BC-= AC-= 3 9 6 11 2 AB = 13,5; BC = 9; AC = 16,5

Тогда средняя по длине сторона треугольника $ABC$ равна 13,5.

Ответ: 13,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#18485

Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $E,$ как показано на рисунке. Известно, что $∠ABC = ∠DCB$ и $AD :ED = 5 :3.$ Найдите отношение $DC :AB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По условию имеем систему

({ AD 5 ED-= 3 (AD = AE + ED

Отсюда получаем

AD- = AE-+-ED-= -AE + 1= 5 ED ED ED 3 ED- 3 AE = 2

Треугольники $△ ABE ∼ △CDE$ по двум углам, так как углы при вершине $E$ равны как вертикальные и $∠ABE =∠DCE.$ Тогда выполняется отношение подобия:

DC- = CE-= ED-= 3 ⇒ DC-= 3= 1,5 AB BE AE 2 AB 2

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#22836

Площадь треугольника $ABC$ равна 8, $DE$ — средняя линия. Найдите площадь треугольника $CDE.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $CDE$ и $CAB$ подобны по двум углам, так как угол $C$ общий и $∠CDE = ∠CAB$ как соответственные при прямых $DE ∥ AB$ и секущей $AC.$ Коэффициент подобия равен

CD- 1 k = AC = 2

Тогда отношение площадей этих треугольников равно

k2 = 1 4

Значит, площадь треугольника $CDE$ равна

8:4 = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#18489

Точки $D$ и $E$ на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно таковы, что $∠CAB = ∠EDB.$ Найдите отношение $AC :DE,$ если известно, что $BE :EC = 4:1.$ Ответ дайте в виде десятичной дроби.

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим $EC = x,$ $BE = 4x,$ тогда имеем:

BC = BE + EC = 5x

Далее, $△ ABC ∼ △DBE$ по двум углам, поскольку $∠B$ — общий и $∠CAB = ∠EDB.$

Отсюда можем записать отношение подобия:

AC- BC- 5x 5 DE = BE = 4x = 4 =1,25

Ответ: 1,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#18492

К гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ проведена высота $CD.$ Найдите $CD,$ если известно, что $AD =4, DB = 9.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим $∠ACD = α.$ Тогда имеем:

∘ ∘ ∠DCB = 90 − ∠ACD = 90 − α

По сумме углов прямоугольного треугольника $ACD :$

∘ ∘ ∠DAC = 90 − ∠ACD = 90 − α

Отсюда получаем

∘ ∠DAC = 90 − α = ∠DCB

$PIC$

Тогда $△ ACD ∼ △CBD$ по двум углам, так как

∠DAC = ∠DCB, ∠CDA = 90∘ =∠BDC

Следовательно, можем записать отношение подобия:

AD CD CD-= DB- ⇒ CD2 = AD ⋅DB

Тогда искомый отрезок равен

CD = √AD--⋅DB-= 6

Ответ: 6

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#18490

Из точки $D$ катета $CB$ прямоугольного треугольника $ABC$ опустили перпендикуляр $DE$ на гипотенузу $AB.$ Найдите длину $AB,$ если известно, что $CB =12, DE =2,5, EB = 6.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $△ ACB ∼ △DEB$ по двум углам, так как $∠B$ — общий и $∠ACB = ∠BED =90∘.$ Следовательно, можем записать отношение подобия:

AC- CB- DE-⋅CB- 2,5-⋅12- DE = EB ⇒ AC = EB = 6 = 5

По теореме Пифагора для треугольника $ACB$ искомый отрезок равен

∘ ---------- √ ------- √ --- AB = AC2+ CB2 = 25 +144 = 169= 13

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#920

Миша решает задачу по геометрии. У него получилось, что треугольник $T1$ подобен треугольнику $T2,$ причём коэффициент подобия этих треугольников $k1,2 = 4.$ Кроме того, треугольник $T1$ оказался подобен треугольнику $T3,$ причём коэффициент подобия этих треугольников $k1,3 = 8.$ Известно, что периметр треугольника $T1$ больше, чем периметр любого из треугольников $T2$ и $T3.$ Во сколько раз площадь треугольника $T1$ больше, чем сумма площадей треугольников $T2$ и $T3?$

Показать ответ и решение

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту их подобия, тогда

PT1= 4 PT2 PT1= 8 PT3

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия, тогда

ST1 = 42 = 16 ST2 ST1 = 82 = 64 ST3

Тогда

ST2 = ST1 16 ST = ST1 3 64

Следовательно,

( ) --ST1---= ST1 : ST1+ ST1 = 64 = 12,8 ST2 + ST3 16 64 5

Ответ: 12,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1244

Точка $E$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC,$ причём $EC- AE = 2.$ Точка $D$ лежит на $BC,$ причём $ED ∥AB.$ Найдите $AB,$ если $ED = 4. 3$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $ED ∥AB,$ то $∠CED = ∠CAB,$ $∠CDE = ∠CBA$ как соответственные при параллельных прямых и секущей. Тогда треугольники $CED$ и $CAB$ подобны.

Так как $EC = 2⋅AE,$ то $AC = 3⋅AE,$ следовательно,

AC 3 ⋅AE 3 EC-= 2-⋅AE = 2

Так как стороны $EC$ и $AC$ лежат против равных углов (в треугольниках $CED$ и $CAB$ соответственно), то

AB-= -AC = 3 ED EC 2

Тогда

3 3 4 AB = 2 ⋅ED = 2 ⋅ 3 = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1245

Отрезок $BK$ соединяет вершину $B$ треугольника $ABC$ с точкой на противоположной стороне, причем $∠AKB = ∠B.$ При этом известно, что $BK = 10,$ $AB = 12,$ $AC = 18.$ Найдите $BC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $ACB :$ $∠AKB = ∠B,$ $∠A$ — общий. Тогда треугольники $ABK$ и $ACB$ подобны по двум углам.

В подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны, тогда

BK AB BC-= AC- 10 12 BC-= 18 ⇒ BC = 15

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1246

Точка $E$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC,$ причём $EC- AE = 3.$ Точка $D$ лежит на $BC,$ причём $CD- CB = 0,75.$ Найдите $∠CED − ∠CAB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

CA-= AE--+CE- = AE-+ 1= 1+ 1= 4 = CB- CE CE CE 3 3 CD

Рассмотрим треугольники $CAB$ и $CED :$ $∠C$ — общий, $CCAE-= CCBD-.$ Тогда треугольники $CAB$ и $CED$ подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда $∠CED = ∠CAB,$ откуда

∠CED − ∠CAB = 0∘

Ответ: 0

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1247

Отрезок $BK$ соединяет вершину $B$ треугольника $ABC$ с точкой на противоположной стороне. При этом известно, что $∠AKB = 105∘,$ $AB = 12,$ $AC = 24,$ $AK = 6.$ Найдите $∠ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $ACB :$ $∠A$ — общий, $AB- AK- AC = AB ,$ тогда треугольники $ABK$ и $ACB$ подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда

∘ ∠ABC = ∠AKB = 105

Ответ: 105

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1248

Точка $D$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC,$ причём $CD- DB = 0,2.$ Точка $E$ лежит на стороне $AC,$ причём $CE- 1 CA = 6.$ Найдите $SABF-, SEFD$ если $F$ — точка пересечения $AD$ и $BE.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $CD- DB = 0,2,$ то $DB = 5CD.$ Значит, $CD- 1 CB = 6.$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $EDC :$ $∠C$ — общий, $CE- = 1= CD-. CA 6 CB$

Треугольники $ABC$ и $EDC$ подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними, следовательно,

ED 1 AB-= 6 ∠CED = ∠CAB

Из равенства соответственных углов при параллельных прямых и секущей ( $∠CED = ∠CAB$ ) следует, что $ED ∥ AB.$ Тогда $∠DEF = ∠ABF$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей.

$∠EF D = ∠AF B$ как вертикальные, тогда треугольники $ABF$ и $DEF$ подобны по двум углам.

Так как $ED- = 1, AB 6$ то $AB-= 6, ED$ то есть коэффициент подобия треугольников $ABF$ и $DEF$ равен $6.$ Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, тогда

SABF-= 62 = 36 SEFD

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2583

На сторонах $AB,$ $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ лежат точки $D,$ $E$ и $F$ соответственно. Известно, что $DF- BC = 0,5,$ $AC = 2 ⋅DE,$ $AB − EF = EF,$ $∘ ∠DEF = 61 ,$ $∘ ∠EF D = 55 .$ Найдите $∠C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $∠DEF = 61∘,$ $∠EF D = 55∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∠EDF = 180 − 61 − 55 = 64

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $EF D.$ По условию

DF DE EF BC- = 0,5 = AC- = AB-

Тогда треугольники $ABC$ и $EF D$ подобны по пропорциональности трех сторон.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда

∠C = ∠EDF = 64∘

Ответ: 64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2584

Отрезок $BK$ соединяет вершину $B$ треугольника $ABC$ с точкой на противоположной стороне. При этом известно, что $AB =12,$ $AC = 24,$ $AK = 6,$ $BK = 10,$ $BC = 20.$ Найдите $∠AKB − ∠B.$ Ответ дайте в градусах.