Рациональные неравенства и метод интервалов —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#834

Решите неравенство

2 x+ 10< 3x .

Показать ответ и решение

Перенесем слагаемые в левую часть:

2 −3x + x+ 10< 0

Разложим на множители выражение $− 3x2+ x+ 10.$

2 −3x + x+ 10= 0 x1 = 2, x2 =− 5 3

Следовательно,

( 5) −3x2+ x+ 10= − 3(x− 2) x + 3 = = − (x − 2)(3x+ 5)

Тогда неравенство примет вид

−(x− 2)(3x+ 5)< 0 (x− 2)(3x + 5) >0

Решим его методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, подходят

( ) x∈ −∞; − 5 ∪ (2;+ ∞) 3

Ответ:

$( 5) −∞; −3 ∪ (2;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#835

Решите неравенство

x2 + 34x + 289 > 0

Показать ответ и решение

Заметим, что по формуле квадрата суммы $x2 + 34x + 289 = (x + 17)2$ , следовательно, неравенство принимает вид:

(x + 17 )2 > 0

Решим его методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, нам подходят $x ∈ (− ∞; − 17) ∪ (− 17;+ ∞ )$ .

Ответ:

$(− ∞; − 17) ∪ (− 17; +∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#836

Решите неравенство

2 x − 4x + 4≤ 0.

Показать ответ и решение

Заметим, что по формуле квадрата разности

2 2 x − 4x+ 4 =(x− 2)

Следовательно, неравенство принимает вид

(x− 2)2 ≤ 0

Решим его методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, нам подходят

x∈ {2}

Ответ: 2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#837

Решите неравенство

x2 + 3x + 3 ≥ 0

Показать ответ и решение

Разложим на множители выражение $x2 + 3x + 3$ , для этого решим уравнение $x2 + 3x + 3 = 0$ . Оно имеет отрицательный дискриминант, следовательно, не разлагается на множители и принимает значения одного знака: либо положительно, либо отрицательно при всех $x$ . Проверить его знак можно, подставив вместо $x$ любое число, например, $x = 0$ : получим $3$ , следовательно, выражение всегда $> 0$ .

$PIC$

Таким образом, нам подходят $x ∈ ℝ$ .

Ответ:

$ℝ$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2092

Решите неравенство:

(x-−-1)(x-+-2) (x − 3)(x + 4) ≤ 0

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(x − 3)(x + 4) ⁄= 0

Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

(x − 1)(x + 2) = 0

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя:

x = 1 x = − 2

2) Найдём нули знаменателя:

[ x = 3 (x − 3)(x + 4) = 0 ⇔ x = − 4

По методу интервалов:

$PIC$

откуда

x ∈ (− 4;− 2] ∪ [1;3)

В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

$(− 4;− 2] ∪ [1;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#485

Решите неравенство

3x4-+-6x2-+-2- 2x4 + 5x2 + 1 ≥ 0

Показать ответ и решение

ОДЗ:

2x4 + 5x2 + 1 ⁄= 0

Сделаем замену $2 x = t ≥ 0$ :

2 3t--+-6t +-2-≥ 0 2t2 + 5t + 1

Найдём нули числителя:

√ -- 2 --3- 3t + 6t + 2 = 0 ⇔ t = − 1 ± 3

– оба корня отрицательные, следовательно, $2 3t + 6t + 2 > 0$ – при любом $t ≥ 0$ .

Найдём нули знаменателя:

√ --- √ --- 2 25 17 2t + 5t + 1 = 0 ⇔ t = − --4--± --4--

– оба корня отрицательные, следовательно, $2t2 + 5t + 1 > 0$ – при любом $t ≥ 0$ .

Таким образом, и числитель и знаменатель дроби в левой части исходного неравенства положительны при любых $x ∈ ℝ$ , следовательно, ответ:

x ∈ (− ∞; + ∞ ).

Ответ:

$(− ∞; + ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#486

Решите неравенство

(x −-2)(x −-22) ⋅ ...-⋅ (x −-22016) (x − 4)(x − 42) ⋅ ... ⋅ (x − 41008) ≤ 0

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( || x − 4 ⁄= 0 |{ 2 x − 4 ⁄= 0 ||| ... ( x − 41008 ⁄= 0

Так как $22k = 4k$ , то на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

3 5 2015 (x − 2)(x − 2 )(x − 2 ) ⋅ ... ⋅ (x − 2 ) ≤ 0

Заметим, что количество скобок, участвующих в произведении – чётно (в произведении участвуют скобки вида $(x − 22n−1)$ , где $n$ пробегает всевозможные натуральные значения от $1$ до $1008$ , то есть, скобок $1008$ ).

Решим последнее неравенство на ОДЗ методом интервалов. Для этого найдём нули левой части.

(x − 2)(x − 23) ⋅ ... ⋅ (x − 22015) = 0

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули левой части:

x = 2, x = 23, .., x = 22015.

По методу интервалов:

$PIC$

Здесь знаки чередуются.

При $x > 22016$ выражение положительно, тогда при учёте чётности количества скобок и того, что кратность каждого корня в произведении равна $1$ , получаем, что при $x < 2$ выражение также положительно, откуда

x ∈ [2;22) ∪ (22;23] ∪ [25;26) ∪ (26;27] ∪ ...∪ [22013;22014) ∪ (22014;22015].

В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

$[2;22) ∪ (22;23] ∪ [25;26) ∪ (26;27 ] ∪ ...∪ [22013;22014) ∪ (22014;22015]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#487

Решите неравенство

-----1---- 2 √ -- √ -- √-- 2 (x − √2-)2 + 3x − 2 2x + 2 + 2(− 2x( 2 + 1) + ( 2 + 1) ) ≤ 2.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

√ -- x ⁄= 2.

Преобразуем исходное неравенство:

√ -- √ -- √ -- -----1√---- + 3x2 − 2 2x + 2 + 2(− 2x( 2 + 1) + ( 2 + 1 )2) ≤ 2 ⇔ (x − 2)2 1 √ -- √ -- √ -- ⇔ -----√---- + (x2 − 2 2x + 2) + 2(x2 − 2x( 2 + 1) + ( 2 + 1)2) ≤ 2 ⇔ (x − 2)2 -----1---- √ --2 √-- 2 ⇔ √ --2 + (x − 2) + 2(x − ( 2 + 1)) ≤ 2. (x − 2)

Покажем, что при любом $√ -- x ⁄= 2$ выполнено

1 √ -- -----√---- + (x − 2)2 ≥ 2, (x − 2)2

причём равенство достигается только при $√ -- x = ±1 + 2$ :

при $√ -- x ⁄= 2$ :

----1√---- + (x − √2-)2 ≥ 2 ⇔ 1 + (x − √2-)4 − 2(x − √2-)2 ≥ 0 ⇔ (x − 2)2 √ --22 √ --2 √ --2 2 ⇔ ((x − 2) ) − 2 ⋅ (x − 2) + 1 ≥ 0 ⇔ ((x − 2) − 1) ≥ 0,

что верно при всех допустимых $x$ . Равенство имеет место только при $√ -- (x − 2)2 = 1$ (это легко проверить аналогичным способом).

Таким образом, при всех $√ -- x ⁄= 2$ выполнено

1 √ -- -----√---- + (x − 2)2 ≥ 2, (x − 2)2

причём равенство достигается только при $√ --2 (x − 2) = 1$ , то есть при $√ -- x = ±1 + 2$ .

Так как при любом $x$ выполнено $√ -- 2 2(x − ( 2 + 1 )) ≥ 0$ , то с учётом доказанного утверждения неравенство

-----1---- √ --2 √ -- 2 √ --2 + (x − 2) + 2 (x − ( 2 + 1)) ≤ 2 (x − 2)

может выполняться только при $√ -- x = ±1 + 2$ .
При $x = 1$ имеем:

1-+ 1 + 0 ≤ 2 1

– верно.
При $x = − 1$ имеем:

1 --+ 1 + 8 ≤ 2 1

– неверно.

В итоге, ответ:

√ -- x = 1 + 2.

Ответ:

$√ -- 1 + 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#514

Решите неравенство

(x− 1)(x2 − 4)(2x− 8) (x-− 7)(x+-2)(−-x2−-16)-≥ 0.

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( |{ x− 7⁄= 0 {x ⁄= 7 | x+ 2⁄= 0 ⇔ x⁄= − 2 ( −x2− 16⁄= 0

Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

(x− 1)(x2 − 4)(2x − 8)= 0

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Тогда найдем нули числителя:

x = 1, x =±2, x = 4

2) Нули знаменателя находятся из уравнения

(x − 7)(x+ 2)(−x2 − 16)= 0

Так как при любом $x$ выполнено $2 x ≥0,$ то при любом $x$ выполнено

2 −x − 16 ≤− 16< 0

Тогда найдем нули знаменателя:

x= 7, x = −2

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству

(x− 1)(x − 2)(x+ 2)(2x− 8) --(x-− 7)(x+-2)(−-x2− 16)-≥ 0 (x−-1)(x-− 2)(x+-22)(2x−-8)≤ 0 (x− 7)(x + 2)(x + 16)

По методу интервалов имеем:

$PIC$

Отсюда получаем

x∈ [1;2]∪[4;7)

Ответ:

$[1;2]∪ [4;7)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#515

Придумайте определённые на $ℝ$ функции $f1(x),g1(x),f2(x),g2(x)$ такие, что решением неравенства

f1(x)- f2(x)- g (x) ≥ g (x) 1 2

будет множество $(− 1;1) ∪ {2 }$ .

Показать ответ и решение

В качестве ответа подходит неравенство

2 −-(x-−--2)- x2 − 1 ≥ 0.

Оно равносильно неравенству

(x −-2)2 x2 − 1 ≤ 0.

Убедиться в том, что последнее неравенство подходит, можно при помощи метода интервалов:

$PIC$

тогда $x ∈ (− 1;1 ) ∪ {2}$ .

Ответ:

Например, $f1(x) = − (x − 2)2, g1(x) = x2 − 1, f2(x ) = 0, g2(x) = 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#799

Решите неравенство

(x-+-1)(x-−-2)- (x + 3 )(x2 + 4) ≤ 0

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(x + 3 )(x2 + 4) ⁄= 0

Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

(x + 1)(x − 2) = 0

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя:

x = − 1, x = 2

2) Найдём нули знаменателя:

(x + 3 )(x2 + 4) = 0

так как $x2 ≥ 0$ , то $x2 + 4 ≥ 4$ , следовательно, нули знаменателя:

x = − 3

По методу интервалов:

$PIC$

откуда

x ∈ (− ∞; − 3) ∪ [− 1;2].

В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

$(− ∞; − 3) ∪ [− 1;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#800

Решите неравенство

(−x+-1)(x-−-5)-≥ 0. (x − 1)(x+ 5)

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ: $(x − 1)(x+ 5)⁄= 0.$

Умножая исходное неравенство на -1, получим равносильное неравенство:

((xx−−-11)()(xx−+-55)) ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

(x− 1)(x− 5)= 0

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и оба они не теряют смысл. Тогда найдем нули числителя:

x = 1, x =5

2) Найдём нули знаменателя:

[ x = 1 (x− 1)(x + 5) =0 ⇔ x= −5

По методу интервалов имеем:

$PIC$

Отсюда окончательно получаем

x∈ (−5;1)∪(1;5]

Ответ:

$(−5;1)∪(1;5]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#830

Решите неравенство

2 2 x-−26−-x + 2x−-3+ x- ≤ 0. x − 4 2− x x

Показать ответ и решение

По формуле сокращенного умножения $x2− 4 =(x − 2)(x+ 2).$ Тогда неравенство примет вид

2 2 -x--− 6-− x-− 2x-− 3 + x-≤ 0 (x− 2)(x+ 2) x− 2 x

Заметим, что дробь $x2 x$ при всех значениях $x,$ кроме $x = 0,$ равна $x.$

Решим неравенство при $x∈ (−∞; 0) ∪(0;+ ∞ ).$ Тогда имеем:

-x2−-6−-x--− 2x−-3+ x ≤ 0 (x − 2)(x+ 2) x − 2 x2− 6− x− (2x − 3)(x+ 2)+ x(x2 − 4) ----------(x+-2)(x−-2)-----------≤0 x3-− x2-− 6x-≤ 0 (x+ 2)(x− 2) x(x2− x− 6) (x+-2)(x−-2) ≤ 0

Разложим на множители выражение $x2− x − 6$ . Для этого решим квадратное уравнение $x2− x− 6= 0$ . По теореме Виета корнями являются: $x1 = −2$ и $x2 =3$ . Значит, выражение можно записать как $(x+ 2)(x− 3)$ .
Тогда неравенство перепишется в виде:

x(x+-2)(x-−-3) ≤ 0 (x+ 2)(x− 2)

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Заметим, что число -2 выколото, так как несмотря на то, что оно находится в числителе, оно находится еще и в знаменателе.

Таким образом, нам подходят

x ∈(−∞; −2)∪ (− 2;0]∪ (2;3]

Вспомним, что изначально мы решали неравенство для всех $x∈ (−∞;0)∪ (0;+ ∞),$ то есть $x⁄= 0.$

Следовательно, окончательный ответ:

x ∈(−∞; −2)∪ (− 2;0)∪ (2;3]

Ответ:

$(−∞; −2)∪ (− 2;0)∪ (2;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#831

Решите неравенство

-1--− --1--≥ --1--− -1--. x− 1 x − 2 x+ 1 x+ 2

Показать ответ и решение

Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем:

( 1 1 ) ( 1 1 ) x-− 1-− x+-1 − x-− 2-− x+-2 ≥ 0 x+-1−-(x−-1)− x+-2−-(x−-2)≥ 0 (x− 1)(x +1) (x− 2)(x + 2) -----2----- -----4----- (x − 1)(x+ 1) − (x− 2)(x+ 2) ≥ 0 1 2 (x-− 1)(x+-1) − (x−-2)(x+-2) ≥ 0

По формулам сокращенного умножения имеем:

(x− 1)(x +1)= x2 − 1 (x− 2)(x +2)= x2 − 4

Тогда получим

--------x2−-4---------− -------2(x2−-1)-------≥ 0 (x − 1)(x+ 1)(x − 2)(x+ 2) (x− 2)(x+ 2)(x − 1)(x+ 1) x2+ 2 ⇒ (x-−-1)(x+-1)(x-− 2)(x+-2) ≤ 0

Заметим, что выражение $x2+ 2$ всегда $≥2,$ то есть положительно, значит, можно разделить неравенство на это выражение и получить

----------1----------- (x − 1)(x+ 1)(x − 2)(x+ 2) ≤ 0

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, подходят

x ∈(− 2;− 1) ∪(1;2)

Ответ:

$(−2;−1)∪ (1;2)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#832

Решите неравенство

-2--3-----≤ 25x−-47− --3-- 6x − x − 12 10x− 15 3x +4

Показать ответ и решение

Разложим на множители выражение $6x2− x− 12.$

Для этого решим уравнение

4 3 6x2− x− 12= 0 ⇒ x1 = − 3 и x2 = 2

Значит, выражение можно записать в виде

( 4 )( 3) 6 x+ 3 x − 2 = (3x +4)(2x − 3)

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

------3------ − 25x−-47+ --3-- ≤ 0 (3x+ 4)(2x − 3) 5(2x− 3) 3x +4 15−-(25x-−-47)(3x+-4)+15(2x−-3) 5(3x+ 4)(2x − 3) ≤ 0 2 −75x-+-71x+-158≤ 0 5(3x+ 4)(2x − 3)

Разложим на множители выражение $− 75x2 +71x +158.$

Для этого решим уравнение

2 79 − 75x + 71x+ 158= 0 ⇒ x1 =− 75 и x2 = 2

Следовательно, выражение можно переписать в виде

( 79) −75 x + 75 (x − 2)= − (75x+ 79)(x − 2)

Тогда неравенство примет вид

−-(75x+-79)(x-− 2) (75x-+-79)(x−-2) 5(3x +4)(2x− 3) ≤ 0 ⇒ (3x+ 4)(2x − 3) ≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, решением неравенства являются

( ) [ ) x∈ − ∞;− 4 ∪ − 79; 3 ∪ [2;+ ∞) 3 75 2

Ответ:

$( 4) [ 79 3) −∞; −3 ∪ −75;2 ∪ [2;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#833

Решите неравенство

2 x-+-30- -----1------ 2x-−--22x-+-2- ---24---- x − x2 + x2 − 3x + 2 ≥ x3 − 3x2 + 2x + x3 − 2x2

Показать ответ и решение

Разложим на множители $x2 − 3x + 2$ , для этого решив уравнение

x2 − 3x + 2 = 0 ⇒ x1 = 2 и x2 = 1.

Следовательно, $x2 − 3x + 2 = (x − 1 )(x − 2)$ . Тогда неравенство примет вид: $2 -x-+-30--+ ------1------- ≥ -2x--−-22x-+-2--+ ---24----- ⇒ x (1 − x) (x − 1)(x − 2) x (x − 1 )(x − 2) x2(x − 2)$ $(x + 30) ⋅ (− x )(x − 2) 1 ⋅ x2 (2x2 − 22x + 2) ⋅ x 24(x − 1) ⇒ ----2-----------------+ -2---------------− --2----------------− --2--------------≥ 0 ⇒ x (x − 1)(x − 2) x (x − 1)(x − 2) x (x − 1)(x − 2) x (x − 1)(x − 2 )$ $3 2 3 2 ⇒ −-3x--−-5x--+-34x-+-24- ≥ 0 ⇒ 3x--+-5x--−-34x--−-24 ≤ 0 x2 (x − 1)(x − 2) x2(x − 1)(x − 2)$

Разложим на множители $3x3 + 5x2 − 34x − 24$ . Для этого найдем корни уравнения $3x3 + 5x2 − 34x − 24 = 0$ . Если уравнение имеет рациональный корень $x = p q$ , то число $p$ является делителем $24$ , а $q$ – делителем $3$ . Таким образом, возможные варианты корней:

±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24; ± 1; ± 2-; ± 4-; ± 8-. 3 3 3 3

Перебором находим, что $x = 3$ является корнем уравнения. Выполним деление в столбик:

3 2 | 3x3 + 5x2 − 34x − 24 |-----x2-−-3----- 3x--−-9x--2 | 3x + 14x + 8 14x − 34x | 14x2-−--42x | 8x − 24 | 8x-−-24- | 0 |

Таким образом, $3x3 + 5x2 − 34x − 24 = (x − 3)(3x2 + 14x + 8 )$ . Решив квадратное уравнение $2 3x + 14x + 8 = 0$ , находим еще два корня $2 x = − 3$ и $x = − 4$ .

Значит, $( ) 3x3 + 5x2 − 34x − 24 = (x − 3) ⋅ 3 x + 23 (x + 4) = (x − 3 )(3x + 2)(x + 4 )$ .

Таким образом, неравенство примет вид:

(x − 3)(3x + 2)(x + 4) ----2----------------- ≤ 0 x (x − 1)(x − 2)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, решением будут $[ 2 ) x ∈ (− ∞; − 4] ∪ − 3;0 ∪ (0;1) ∪ (2;3]$ .

Ответ:

$[ ) (− ∞; − 4] ∪ − 23;0 ∪ (0;1) ∪ (2;3 ]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#933

Решите неравенство

3x3+-5+ -22x-+-1- + 3−2-2x> 0. x − 1 x + x+ 1 x − 1

Показать ответ и решение

По формуле разности кубов имеем:

3 2 x − 1= (x− 1)(x + x +1)

По формуле разности квадратов имеем:

x2− 1= (x− 1)(x +1)

Преобразуем неравенство:

-----3x+2-5-----+ -22x+-1- + ---3−-2x---> 0 (x− 1)(x + x+ 1) x + x +1 (x− 1)(x+ 1) (3x-+-5)(x+-1)+-(2x-+1)(x−-1)(x-+1)+-(3−-2x)(x2+-x+-1) (x− 1)(x2+ x +1)(x+ 1) > 0 2 3 2 2 3 2 (3x-+-8x+-5)+-(2x--+x--− 2x2− 1)+-(3x-+-3x-+-3−-2x-−-2x-− 2x)->0 (x− 1)(x + x +1)(x+ 1) -----5x2+-7x+-7------ (x− 1)(x2+ x +1)(x+ 1) > 0

Попробуем разложить на множители выражения $2 5x +7x +7$ и $2 x +x + 1.$ Для этого решим уравнения $2 5x + 7x+ 7= 0$ и $2 x + x +1 = 0.$ Дискриминанты обоих уравнений отрицательны, следовательно, корней эти уравнения не имеют. Значит, каждый из данных квадратичных трехчленов принимает значения одного знака: либо всегда положителен, либо всегда отрицателен.

Подставив любое число вместо $x,$ например, $x= 0,$ в каждый трехчлен, видим, что они оба положительны. Значит, обе части неравенства можем разделить на первое выражение и умножить на второе выражение:

-----1-----> 0 (x− 1)(x+ 1)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, нам подходят

x ∈ (− ∞;− 1) ∪(1;+ ∞ )

Ответ:

$(−∞; −1)∪ (1;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1083

Решите неравенство

2 2 2 2 x-−-4x-+--4- x--+-6x-+-9- (2x-+--x +-5)- (x + 1)2 + (x − 1)2 ≤ 2(x2 − 1)2

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

Неравенство можно переписать в виде:

2 2 2 2 (x-−-2)- (x-+-3)- (2x--+-x-+-5)- (x + 1)2 + (x − 1)2 ≤ 2(x2 − 1)2

Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю:

2 2 2 2 ((x-−--2)(x-−-1-))--+ ((x-+-3)(x-+-1))- ≤ (2x--+-x-+-5)- ⇔ (x + 1)2(x − 1)2 (x + 1)2(x − 1)2 2 (x2 − 1)2 (x2 − 3x + 2 )2 (x2 + 4x + 3)2 (2x2 + x + 5)2 ⇔ ------2-------2-+ -------2-------2 ≤ --------2------2- (x + 1 )(x − 1) (x + 1) (x − 1) 2(x + 1)(x − 1)

Заметим, что

(x2 − 3x + 2) + (x2 + 4x + 3) = 2x2 + x + 5

Сделаем замену (для удобства): $2 a = x − 3x + 2$ , $2 b = x + 4x + 3$ , $c = (x + 1)(x − 1)$ . Тогда неравенство можно переписать в виде:

2 2 2 2 2 2 2 a--+ b- ≤ (a +-b)-- ⇔ a--+ b- ≤ -a- + 2ab-+ -b- ⇔ c2 c2 2c2 c2 c2 2c2 2c2 2c2 ( ) a2- 2ab- b2- (a-−-b)2 a-−-b 2 ⇔ 2c2 − 2c2 + 2c2 ≤ 0 ⇔ 2c2 ≤ 0 | ⋅ 2 ⇔ c ≤ 0

Так как $f2 ≥ 0$ при любых $f$ , то данное неравенство равносильно

a-−-b = 0 c

Сделаем обратную замену:

x2 − 3x + 2 − x2 − 4x − 3 1 ------(x-−-1)(x-+-1)------ = 0 ⇔ x = − 7-

Ответ:

${ } x ∈ − 17$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1188

Решить неравенство

√ -- ----6---- x--3 −-6- x√3--− 3 + x√3-− 9 ≥ 2

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

Пусть $√ -- x 3 − 3 = t$ . Тогда

2 6- t −-3 t-−--15t +-36 (t-−-3)(t −-12-) t + t − 6 ≥ 2 ⇔ t(t − 6) ≤ 0 ⇔ t(t − 6) ≤ 0

Решая данное неравенство методом интервалов, получим $0 < t ≤ 3$ или $6 < t ≤ 12$ . Следовательно,

[ √-- [√ -- √ -- 0 < x √3-− 3 ≤ 3 ⇔ √3-< x ≤ 2 √3-- 6 < x 3 − 3 ≤ 12 3 3 < x ≤ 5 3

Ответ:

$√ -- √ -- √ -- √-- ( 3;2 3] ∪ (3 3;5 3 ]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1300

Решите неравенство

( 2 ) ( 2 ) x-- 3x- 3- 1- (x-−--2)(1-−-x)- 8 + 4 + 2 + x ⋅ 1 − x − (x + 2)2 ≥ 0

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.

Показать ответ и решение

Приведем в каждой скобке дроби к общему знаменателю: $3 2 2 2 x-+--6x--+-12x-+-8-⋅ (1-−-x)(x-+-2)-−-(x −-2)-(1-−-x-)≥ 0 ⇒ 8x (x + 2)2$ $(x-+-2)3(1 −-x)((x +-2)2 −-(x-−-2)2) ⇒ 8x(x + 2)2 ≥ 0$

По формуле разности квадратов можно преобразовать выражение $2 2 (x + 2) − (x − 2) = (x + 2 − (x − 2 ))(x + 2 + x − 2) = 4 ⋅ 2x = 8x$ .
Тогда неравенство примет вид:

(x-+-2)3(1-−-x) ⋅-8x (x +-2)3(x-−-1)x- 8x(x + 2)2 ≥ 0 ⇒ x(x + 2)2 ≤ 0

Решим данное неравенство методом интервалов (заметим, что в точке $0$ знак меняться не будет, т.к. эта точка имеет четную кратность):

$PIC$

Таким образом, подходит $x ∈ (− 2;0) ∪ (0;1]$ .

Ответ:

$(− 2;0) ∪ (0; 1]$

15.03 Рациональные неравенства и метод интервалов