Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.03 Банковский кредит: аннуитетный платеж

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#377

Для покупки квартиры Алексею не хватало 1 209 600 рублей, поэтому в январе 2015 года он решил взять в банке кредит под 10% годовых на 2 года. Условия пользования кредитом таковы:

– раз в год 15 декабря банк начисляет на оставшуюся сумму долга проценты, то есть долг увеличивается на 10%;

– в период с 16 по 31 декабря Алексей обязан перевести в банк некоторый платеж в $x$ рублей.

Чему должен быть равен $x,$ чтобы Алексей выплатил долг равными платежами?

Показать ответ и решение

Так как процентная ставка в банке равна 10%, то 15 декабря 2015 года долг Алексея составит 110% от первоначальной суммы (1 209 600 рублей), то есть будет равен $1,1⋅1209600$ рублей. После этого Алексей переводит банку $x$ рублей, то есть его долг уменьшается на $x$ и будет равен $(1,1 ⋅1209600− x)$ рублей.

До 15 декабря 2016 года долг Алексея остается неизменным, то есть равен $(1,1⋅1209600− x)$ рублей. 15 декабря 2016 банк снова увеличивает долг на 10%, то есть долг Алексея уже будет равен $1,1⋅(1,1⋅1209600− x)$ рублей.

После этого Алексей снова переводит банку $x$ рублей, следовательно, долг равен

1,1⋅(1,1 ⋅1 209 600 − x)− x

Так как в конце 2-ого года кредит должен быть выплачен, то

1,1⋅(1,1⋅1209600− x)− x= 0 ⇒ ⇒ 1,12⋅1209600− 1,1x− x= 0 ⇒ 1,12⋅1209600 ⇒ x= ---1,1+-1---= 696960

Удобно следить за меняющейся суммой долга, составив таблицу:


Год	Сумма долга до начисления %	После начисления %	После платежа
	(до 15 декабря)	(15 декабря)	(с 16 по 31 декабря)

1	1 209 600	$1,1⋅1209600$	$1,1⋅1209600− x$

2	$1,1 ⋅1209600− x$	$1,1 ⋅(1,1⋅1209600− x)$	$1,1⋅(1,1⋅1209600− x)− x$

Ответ: 696 960 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#378

Екатерина взяла кредит в банке на сумму 680000 рублей, которой ей не хватало для покупки квартиры. Кредит она решила взять 1 марта на 2 месяца на следующих условиях:

– 17-ого числа каждого месяца, начиная с марта, долг увеличивается на 12,5% по сравнению с долгом на начало текущего месяца;

– в период с 18-ого по 30-ое числа Екатерина должна выплатить часть долга одним платежом, причем ежемесячные платежи одинаковы.

Сколько рублей составила переплата Екатерины по данному кредиту?

Показать ответ и решение

Если долг увеличивается на 12,5%, то это значит, что он умножается на число, равное

12,5- 112,5- 9 1 + 100 = 100 = 8

Составим таблицу (считать будем в тыс. рублей), где $x$ — ежемесячный платеж:


Месяц	Сумма долга до %	Сумма долга %	Платеж	После платежа

1	680	$98 ⋅680$	$x$	$98 ⋅680 − x$

2	$98 ⋅680− x$	$( ) 98 ⋅ 98 ⋅680− x$	$x$	$( ) 98 98 ⋅680− x − x$

Кредит был полностью выплачен, следовательно,

( ) 9 ⋅ 9 ⋅680 − x − x= 0 8 8 92- 2 x= 6809-⋅82 = 680⋅ 92 ⋅-8 = 405 8 + 1 8 17

Таким образом, переплата по кредиту в тыс. рублей составила

2x − 680 =810− 680= 130

Ответ: 130 000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#379

Бизнесмен Олег в январе 2016 года взял кредит в банке под 20 % годовых, причем выплачивать кредит он должен равными суммами в течение трех лет. Сколько рублей в итоге выплатил Олег банку, если известно, что его переплата по кредиту составила 675 500 рублей?

Показать ответ и решение

Пусть $A$ рублей – сумма кредита, $x$ рублей – ежегодный платеж. Тогда составим таблицу:


Год	Сумма долга до начисления %	Сумма долга после начисления % и платежа

1	$A$	$1,2A − x$

2	$1,2A− x$	$1,2(1,2A − x)− x$

3	$1,2(1,2A − x)− x$	$1,2(1,2(1,2A − x)− x)− x$

Следовательно,

1,2(1,2(1,2A − x) − x)− x =0 (∗)

Всего за три года Олег выплатил банку $3x$ рублей, а его переплата составила $3x − A = 675500$ рублей. Отсюда $A= 3x − 675500.$ Подставим это значение в $(∗):$

3 2 1,2 ⋅(3x− 675500)− x(1,2 + 1,2 +1) =0 ⇒

---1,23⋅675500--- 123⋅675500 x = 3⋅1,23− 1,22− 2,2 = 1544 =756000 ⇒ 3x= 2268000 рублей

Ответ: 2 268 000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1698

Банк «Дрынькофф» предлагает кредит на 3 года на покупку машины стоимостью 546 000 рублей на следующих условиях:

– раз в год банк начисляет на остаток долга 20%;

– после начисления процентов клиент обязан внести некоторую сумму в счет погашения части долга;

– выплачивать кредит необходимо равными ежегодными платежами.

Сколько рублей составит переплата по такому кредиту?

Показать ответ и решение

Составим таблицу, делая вычисления в тыс.рублей и обозначив ежегодный платеж по кредиту за $x :$

|----|-------------------|----------------------|-------------------------| Год Долг до начисления % Долг после начисления % Долг после плат&#x043 |1---|--------546---------|-------1,2⋅546--------|-------1,2⋅546−-x--------| |2---|----1,2⋅546−-x-----|----1,2(1,2⋅546−-x)----|---1,2(1,2-⋅546-− x)−-x----| -3-----1,2(1,2⋅546-− x)-− x-1,2(1,2(1,2-⋅546-− x)−-x)-1,2(1,2(1,2⋅546−-x)−-x)−-x-

Так как в конце 3-его года кредит должен быть выплачен полностью, то долг на конец 3-его года составит 0 рублей, то есть

1,2⋅(1,2 ⋅(1,2⋅546− x)− x)− x = 0 1,23 ⋅546− x(1,22 +1,2+ 1)= 0 (∗)

Переплата — это та сумма, которую заплатит клиент банку сверх кредита. Так как каждый год клиент переводил в банк $x$ рублей, то за 3 года он заплатил банку $3x$ рублей, значит, его переплата составит $3x − 546$ рублей. Следовательно, необходимо найти $x$ из уравнения $(∗):$

x = --1,23-⋅546---= 1,23-⋅546- 1,22+1,2+ 1 3,64

Домножим числитель и знаменатель дроби на 1000, чтобы избавиться от десятичных дробей:

3 x= 12-⋅546 3640

Выполняя сокращения, получим $x= 259,2$ тыс.рублей.

Значит, переплата в тыс. рублей равна

3x− 546= 231,6

Ответ: 231 600 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2712

Руслан взял кредит в банке под $y$ % годовых. Выплачивать кредит он должен в течение двух лет равными ежегодными платежами, переводимыми в банк после начисления процентов. Под какой процент $y$ был взят кредит, если ежегодный платеж составил $-81 136$ от суммы кредита?

Показать ответ и решение

Пусть Руслан взял в банке $A$ рублей, а его ежегодный платеж составил $x$ рублей. Тогда из условия следует, что $81- x = 136A$ .

Если процентная ставка в банке составляет $y%$ , то это значит, что после начисления процентов долг увеличивается в $100+-y 100$ раз (это процент, переведенный в десятичную дробь, например $120%$ – это $1,2$ ). Следовательно, например, в конце первого года долг будет равен $100+ y -100--A$ рублей.

Обозначим за $100+ y t= -100--$ и составим таблицу:

|Год-|Сум-ма долга до-начисления %|После начисления %|После платеж- |1---|------------A-------------|-------t⋅A--------|---t⋅A−-x----| -2-------------t⋅A-−-x--------------t⋅(t⋅A-− x)-----t⋅(t⋅A-−-x)− x-

Т.к. в конце $2$ -ого года кредит должен быть выплачен полностью, то

$t⋅(t⋅A − x)− x= 0⇔ t2A = x(t +1)⇒ t2A = 81-A⋅(t+ 1) 136$ .

Т.к. $A> 0$ , то можно разделить обе части уравнения на $A ⇒$

$136t2− 81t− 81= 0⇒ t = 9= 100+-y ⇒ y = 12,5% 8 100$

Заметим, что в данной задаче сумма кредита не играет роли (мы ее приняли за $A$ и потом разделили на нее обе части уравнения).

Ответ:

12,5%

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#603

Определите, где выгоднее взять кредит: в банке А на 4 года под $12, 5%$ годовых или в банке Б на 2 года под $2847%$ годовых, если в обоих банках погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов равными ежегодными платежами.
Сколько процентов от суммы кредита составляет переплата по выгодному кредиту? Результат округлите до целого числа.

Показать ответ и решение

а) Пусть необходимо взять кредит на сумму $A$ рублей.

1) Составим таблицу для банка А, приняв за $x$ ежегодный платеж. Заметим, что каждый год после начисления процентов долг будет составлять $112,5%$ от предыдущего долга, то есть будет увеличиваться в $1,125$ раз. Также заметим, что $9 1,125 = 8$ .

|------------|----------------------------|---------------------------------| |Ном-ер-года-|Д-олг-посл-е н-ачислен-ия-%-|------До-лг-после-плат-ежа-------| |1 | 9A | 9A − x | |2-----------|--------9-(98A-−--x)---------|--------9(9A-8−-x)-−-x-=---------| | | 8 8 | (89 8)2 9 | |------------|------(--(-------)----)-----|-----(--(8--A-−-)x(8-+)-1)--------| |3 | 98 98 98A − x − x | 98 98 98A − x( − x − x = ) | | | | (9-)3 (9)2 9 | |------------|----------------------------|--=---8--A-−(--x---8--+--8 +-1--)-| |4 | 9(9 (9(9-A − x) − x ) − x )|(9)4A − x (9)3 + (9)2 + 9 + 1 | ---------------8-8--8--8--------------------8-----------8------8-----8-------

В конце 4-ого года (после платежа) долг выплачен полностью, то есть это значит, что

( ) ( 9 )4 ( 9 )3 ( 9)2 9 -- A − x -- + -- + --+ 1 = 0, 8 8 8 8

откуда

( ) x 9 4 --= (9)3---(98)2---9----- A 8 + 8 + 8 + 1

Знаменатель представляет собой сумму первых 4 членов геометрической прогрессии, где $a1 = 1$ , а $q = 9 8$ . Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получим:

(9)4 (9 ) 4 x-= -8(-)-8-−-1- = ----9----- A 9 4 − 1 8 (94 − 84) 8

Тогда величина $4x- A$ показывает, какую часть составляет общая сумма выплат $4x$ по кредиту от самого кредита $A$ :

4x 4 ⋅ 94 ---= ---4----4- A 8(9 − 8 )

2) Аналогично составим таблицу для банка Б (пусть $y$ – ежегодный платеж), заметив, что $4 900 100 + 28 7% = -7-%$ , а $900 9 0,01 ⋅-7- = 7$ :

|-------------|----------------------------|---------------------| |Н-ом-ер-года-|Д-олг-посл-е н-ачислен-ия-%-|До-лг-после-плат-ежа-| |1------------|------------97A--------------|-------97A-−-y--------| |2 | 9 (9A − y) | (9)2A − y(9+ 1) | -----------------------7--7--------------------7---------7--------

Поступая аналогично первому пункту, найдем

2 2y- = --2-⋅ 9--- A 7 ⋅ (9 + 7)

Тот банк, в котором общая сумма выплат составляет меньшую часть от кредита, и является наиболее выгодным банком. Таким образом, нам необходимо сравнить два числа:

4 ⋅ 94 2 ⋅ 92 ---------- и ------ 8(94 − 84) 7 ⋅ 16

Выполним сравнение, не вычисляя данные выражения:

4 2 ---------4 ⋅-9---------- ∨ 2-⋅ 9- 8(9 − 8 )(9 + 8)(92 + 82) 7 ⋅ 16 4 ⋅ 92 1 -------- ∨ -- 17 ⋅ 145 7 4 ⋅ 81 ⋅ 7 ∨ 17 ⋅ 145 (4 ⋅ 7) ⋅ 81 ∨ (17 ⋅ 5) ⋅ 29

Заметим, что $4 ⋅ 7 = 28 < 29, 81 < 17 ⋅ 5 = 85$ . Значит, правая дробь больше левой. Таким образом, кредит в банке А выгоднее кредита в банке Б.

б) Переплата по выгодному кредиту равна $4x − A$ . Значит, необходимо найти

4x − A ( 4x ) ( 4 ⋅ 94 ) 1631 -------⋅ 100% = --- − 1 ⋅ 100% = ----4---4- − 1 ⋅ 100% = -----⋅ 100% = 33,0...% A A 8 (9 − 8 ) 4930

После округления до целого числа получим $33%$ .

Ответ:

$33%$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#604

Фермер взял кредит в банке на $2$ года под $y%$ годовых, причем выплачивать кредит он должен равными ежегодными платежами. Под какое наибольшее целое число $y$ процентов годовых он должен был взять кредит, чтобы его переплата по кредиту в конце второго года не превысила ежегодный платеж?

Показать ответ и решение

Введем обозначение: $100 + y --------= t,A 100$ – сумма кредита, $x$ – ежегодный платеж. Составим таблицу:

|-----|-------------------------------|-----------------------------------------------| |Год |сумм а долга до нач ислени я % |су мм а д олга после на числени я % и |1----|--------------A----------------|-------------------t ⋅-A-−-x-------------------| -2----------------t ⋅ A-−-x---------------------------t ⋅ (t-⋅ A-−-x)-−-x-------------|

Т.к. в конце второго года он выплатил кредит, то $t ⋅ (t ⋅ A − x) − x = 0 (∗)$ .

Заметим, что за два года он заплатил банку $2x$ рублей, значит, его переплата по кредиту составила $2x − A$ рублей. Т.к. переплата не должна превышать ежегодный платеж, то имеем следующее неравенство:
$2x − A ≤ x ⇒ x − A ≤ 0$ .
Выразим из $(∗)$ ежегодный платеж: $2 x = -tA-- t + 1$ и подставим в неравенство:

$2 2 A ⋅ t-−-t-−-1-≤ 0 ⇒ t-−--t −-1-≤ 0 t + 1 t + 1$ , т.к. $A > 0$ .

Решив данное неравенство методом интервалов, получим: $1 + √5-- 0 ≤ t ≤ ------- 2$ (т.к. $t$ не может быть отрицательным).

Сделав обратную замену $100-+-y-= t 100$ , получим: $√ -- y ≤ 50 ⋅ ( 5 − 1)$ .

Для того, чтобы найти наибольшее целое $y$ , необходимо оценить $√ -- 50 ⋅ ( 5 − 1)$ .

$√ ------ √ -- √ -- √ -- 223 < 50000 < 224 ⇒ 223 < 100 5 < 224 ⇒ 2,23 < 5 < 2,24 ⇒ 61,5 < 50 ⋅ ( 5 − 1) < 62$ .
Таким образом, наибольшее целое $y = 61$ .

Ответ:

$61%$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#606

Кредит выдан на 3 года под целое кратное десяти число $y$ процентов годовых. Известно, что погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов равными платежами. Под какой процент $y$ взят кредит, если известно, что ежегодный платеж относится к сумме кредита как $27 : 38$ ?

Показать ответ и решение

Пусть $A$ и $x$ — суммы кредита и ежегодного платежа соответственно, а $100+y t = -100-$ . Составим таблицу:

------------------------------------------------------------------ |Н ом ер года |Д олг посл е н ачислен ия % |До лг после плат ежа | |-------------|----------------------------|---------------------| |1------------|------------tA--------------|-------tA-−-x--------| |2------------|---------t(tA--−-x)----------|----t(tA-−-x-) −-x----| -3-------------------t(t(tA-−-x-) −-x)-------t(t(tA--−-x)-−-x) −-x--

Таким образом,

x t3 27 t(t(tA − x ) − x ) − x = 0 ⇔ -- = ----------= --- A t2 + t + 1 38

Откуда получается уравнение $3 2 38t − 27t − 27t − 27 = 0$ .

Известно, что $y$ — целое кратное десяти число, то есть $10; 20; 30; ...$ .

Тогда $t = 1,1; 1,2; 1,3;...$ или в рациональном виде

11 6 13 7 3 8 17 9 19 t = --; --; --; -; --; -; --; --; ---и т.д. 10 5 10 5 2 5 10 5 10

Если уравнение имеет рациональный корень, то числитель этого корня является делителем свободного члена, то есть $− 27$ , а знаменатель — делителем старшего коэффициента, то есть $38$ . Таким образом, первый подходящий корень из нашего списка — это $32$ . Проверим:

( )3 ( ( )2 ) 38 ⋅ 3- − 27 3- + 3-+ 1 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 2

Таким образом, $t = 3- 2$ и $y = 50%$ .

Ответ:

$50%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#607

Для покупки квартиры в элитном здании Артур скопил всего $5280000$ рублей, поэтому недостающую сумму он был вынужден взять в кредит на 4 года под $12,5%$ годовых. Выплачивать кредит он должен аннуитетными платежами. Сколько процентов от стоимости квартиры ему не хватало, если известно, что переплатил по кредиту он $6524000$ рублей?

Показать ответ и решение

Пусть Артур взял в кредит $A$ тыс.рублей и $x$ тыс.рублей — его ежегодный платеж. Составим таблицу, заметив, что $1,125 = 98$ :

-------------------------------------------------------------------------------- |Н омер год а | Д олг после на числени я % | Д олг после пл атеж а | |-------------|-------------9----------------|-------------9--------------------| |1------------|--------(--)28A---------------|---------(-)28A-−--x--------------| |2------------|----------98--A-−--98x----------|----------98--A-−--98x-−-x----------| |3 | (9)3 A − (9-)2x − 9x | (9)3 A − (9-)2x − 9x − x | |-------------|(9)4-8---(9)3--8--(9)28----9--|(9)4-8---(9)3--8--(9)28----9------| -4--------------8--A--−--8---x −--8--x-−--8x---8--A--−--8---x −--8--x-−--8x −-x-|

Таким образом, имеем следующее уравнение

( ) ( 9 )4 ( 9)3 ( 9 )2 9 ( 9)4 ( 9)3 ( 9)2 9 -- A − -- x − -- x − -x − x = 0 ⇔ -- A = x -- + -- + -+ 1 8 8 8 8 8 8 8 8

Т.к. всего банку он заплатил $4x$ рублей, то переплата равна $4x − A = 6524$ , откуда $1 x = 4 (A + 6524 )$ . Подставим это в уравнение:

( ) ( 9)4 1 ( 9)3 ( 9)2 9 -- A = --(A + 6524 ) -- + -- + --+ 1 8 4 8 8 8

откуда выражаем, что

( ) 94- 2 ⋅ 6524 ⋅ 84 − 1 2 ⋅ 6524 ⋅ (94 − 84) A = -----------4-------= -------4----4----- 2 − 9-- 2 ⋅ 8 − 9 84

Найдем $94 − 84$ :

$94 − 84 = (9 − 8)(9 + 8)(92 + 82) = 17 ⋅ 145$ .

Тогда, учитывая известное $10 2 = 1024$ , имеем: $4 4 4 4 4 12 2 ⋅ 8 − 9 = 8 − (9 − 8 ) = 2 − 17 ⋅ 145 = 4096 − 2465 = 1631$ .

Значит,

2 ⋅ 1631 ⋅ 4 ⋅ 2465 A = -----------------= 19720 тыс.руб лей 1631

Значит, вся квартира стоила $19720 + 5280 = 25000$ тыс.рублей. Тогда процент денег, которых ему не хватало (то есть которые он взял в кредит), от стоимости квартиры составляет

19720 1972 ⋅ 4 7888 ------⋅ 100% = --------⋅ 100% = -----% = 78,88% 25000 2500 ⋅ 4 100

Ответ:

$78,88%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#895

Банк выдает кредиты только под $10%$ годовых. В январе 2014 года Олег взял кредит в банке на $4641000$ рублей на открытие своего бизнеса. Кредит он должен выплатить за $4$ года равными ежегодными платежами, вносимыми в конце года. В январе третьего года пользования кредитом Олег понял, что на расширение бизнеса ему не хватает некоторой суммы, поэтому он взял в этом же банке четверть от первоначального кредита, договорившись выплатить оба кредита одновременно.
Оказалось, что после взятия второго кредита его последующие ежегодные платежи увеличились на одну и ту же сумму.
Найдите, сколько рублей сверх кредита выплатил Олег банку.

Показать ответ и решение

Заметим, что так как ежегодные выплаты увеличились на одну и ту же сумму, то второй кредит он также выплачивал равными суммами. Следовательно, оба кредита выплачивались аннуитетными платежами. Заметим также, что так как второй кредит он взял в начале третьего года, а выплатить должен одновременно с первым, то второй кредит он выплачивал в третий и четвертый годы, то есть в течение двух лет. Составим отдельно таблицы для первого и для второго кредитов (пусть $A$ рублей – сумма первого кредита).

П ервы й к редит:

|----|------------------------------|-----------------------------------|---------------------------------------| |Год | Д олг на нач ало года | П осле на числени я % | П осле плат еж а | |1---|--------------A---------------|--------------1,1 ⋅-A--------------|-------------1,1-⋅ A-−-x---------------| |----|------------------------------|-----------------------------------|---------------------------------------| |2---|---------1,-1 ⋅ A-−-x---------|---------1,1(1,1-⋅ A-−-x)----------|---------1,1(1,1-⋅ A-−-x-) −-x---------| |3---|-----1,1(1,1-⋅ A-−-x-) −-x----|-----1,1(1,1(1,1-⋅ A-−-x)-−-x)-----|----1,1-(1,-1(1,1 ⋅ A-−-x)-−-x) −-x-----| |4 |1, 1(1,1(1,1 ⋅ A − x) − x) − x|1,1(1,1(1,1 (1, 1 ⋅ A − x) − x) − x)|1,1(1,1(1,1(1,1 ⋅ A − x ) − x ) − x ) − x ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

где $x$ – ежегодный платеж по первому кредиту.

В торой кр едит:

|-----|----------------------|----------------------|---------------------| |Г-од-|Д-олг-на-начал-о-года-|П-осле-начи-сления-%--|--П-осле-пла-тежа----| |1 | A- | 1,1 ⋅ A | 1,1 ⋅ A-− y | |-----|----------4A-----------|------------A4--------|---------A4----------| -2----------1,1-⋅-4 −-y----------1,1(1,1-⋅4-−-y)-----1,1(1,1-⋅-4 −-y) −-y-|

где $y$ – ежегодный платеж по второму кредиту.

Общая сумма выплат по обоим кредитам – это $4x + 2y$ . Следовательно, необходимо найти $A 4x + 2y − A − -- 4$ .

Из первой таблицы получаем:

1, 14 ⋅ A 1,14 1,1(1,1(1,1(1,1 ⋅A − x )− x) − x) − x = 0 ⇔ x = ---3------2----------= -------------2-----⋅A 1,1 + 1,1 + 1, 1 + 1 (1,1 + 1)(1,1 + 1)

Из второй аналогично:

( A ) 1,12 A 1,1 1, 1 ⋅--− y − y = 0 ⇔ y = --------⋅-- 4 1,1 + 1 4

Таким образом,

( ) A- 1,12-⋅ A 4-⋅ 1,12- 1- 5A- -112-⋅ 1189- 4641000-⋅ 5 4x + 2y − A − 4 = 1, 1 + 1 ⋅ 1,12 + 1 + 2 − 4 = 21 ⋅ 20 ⋅ 221 ⋅ 4641000 − 4

Заметим, что $21 ⋅ 221 = 4641$ , следовательно:

2 5A- 11--⋅ 1189-⋅ 1000 4641000-⋅ 5 4x + 2y − 4 = 20 − 4 = 1392200.

Ответ: 1392200

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#950

Андрей Викторович хочет взять кредит на покупку квартиры. Он выбирает между двумя вариантами:

$∙$ взять кредит на всю сумму в банке А под $25%$ годовых на 3 года;
$∙$ взять $75%$ от стоимости квартиры в банке Б под $30%$ годовых на 3 года и оставшиеся $25%$ от стоимости квартиры в банке В под целое число $y%$ годовых на год.

Какой наибольший процент $y$ годовых должен предложить ему банк В, чтобы второй вариант был выгодней? Погашение кредита во всех трех банках происходит раз в год равными платежами.

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — стоимость квартиры. Составим таблицу для обоих вариантов.

Пусть $a,b,c$ — ежегодные платежи в банках А, Б и В соответственно.

|-------------|---------------------------|-------------------------------| |Н-ом-ер-года-|Д-олг-после-нач-ислени-я-%-|-----Д-олг-после-пл-атеж-а-----| Банк А: |1------------|----------1,25S------------|-----------1,25S-−-a-----------| |2------------|-----1,25-(1,25S-−-a)------|------1,25(1,25S-−-a-) −-a-----| |3 |1,25 (1, 25(1,25S − a ) − a)|1, 25(1,25(1,25S − a) − a ) − a ---------------------------------------------------------------------------

Таким образом, имеем следующее уравнение:

3 2 1, 25(1,25(1,25S − a) − a ) − a = 0 ⇔ 1,25 S = a (1, 25 + 1, 25 + 1)

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж $a$ от стоимости квартиры $S$ , равна

3 -a ------1,25------- S = 1,252 + 1, 25 + 1

Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке А от стоимости квартиры, равна

3a 375 --- = ---- S 244

2) Пусть $S1 = 0,75S$ – сумма кредита в банке Б.

|-------------|---------------------------|----------------------------| |Н омер года |Дол г п осле начи сления % | Д олг после пл атеж а | |-------------|---------------------------|----------------------------| Б анк Б: |1------------|----------1,3S1------------|---------1,3S1-−-b----------| |2------------|------1,3(1,3S1-−-b)-------|----1,-3(1,3S1-−-b) −-b-----| -3--------------1,3-(1,-3(1,3S1-−-b) −-b)---1,3(1,3(1,3S1-−--b) −-b)-−-b|

Таким образом, имеем следующее уравнение:

1, 3(1,3(1,3S1 − b) − b) − b = 0 ⇔ 1,33S1 = b(1,32 + 1,3 + 1)

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж $b$ от кредита $S1$ , равна

-b- -----1,33------ -133- S1 = 1,32 + 1,3 + 1 = 3990

Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от кредита, равна

3 3 3b-= 3-⋅ 13 = -13-- S1 3990 1330

Т.к. $S1 = 0,75S$ , то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от $стои мости к варти ры S$ , равна

3b 3 ⋅ 133 ---= -------- S 4 ⋅ 1330

3) Пусть $S2 = 0,25S$ – сумма кредита в банке В. Пусть также $100+y- 100 = t$ — коэффициент, на который умножается долг после начисления процентов.

|------------|----------------------------|----------------------| |Н-омер-года-|-Дол-г п-осле-начисл-ения-%-|Д-олг-после-пл-атеж-а-| Б анк В: |1 | tS2 | tS2 − c | ------------------------------------------------------------------

Таким образом, имеем следующее уравнение:

tS2 − c = 0

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж $c$ от кредита $S2$ , равна

-c- S2 = t

Т.к. $S2 = 0,25S$ , то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке В от $стои мости к варти ры S$ , равна

c- t- S = 4

4) Второй вариант будет выгоднее первого, если часть, которую составляет сумма общих выплат по обоим кредитам (в банках Б и В) от стоимости квартиры, будет меньше, чем часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту (в банке А) от стоимости квартиры. То есть должно быть выполнено:

t- -3 ⋅-133 375- 96699- 4 + 4 ⋅ 1330 < 244 ⇔ t < 81130

Т.к. $t = y+100 100$ , то

155690- 1543- y < 8113 = 198113

Следовательно, наибольшее целое $y$ равно $19$ .

Ответ:

$19%$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1237

Банк “Европа” предлагает потребительский кредит на сумму $664200$ рублей под $25%$ годовых при условии, что кредит нужно выплачивать в течение четырех лет равными ежегодными платежами. Сколько рублей должен вносить клиент каждый год в счет погашения кредита, если согласится на условия банка?

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за $x$ рублей ежегодный платеж, $A = 664200$ рублей.

---------------------------------------------------------------------------------------- |Г од |С умм а долга до нач ислени я % |С ум ма дол га п осле начи сления % и � |-----|--------------------------------|-----------------------------------------------| |1----|---------------A----------------|------------------1,-25A-−-x-------------------| |2----|-----------1,25A-−-x------------|-------------1,25-(1,25A-−-x-) −-x-------------| |3----|------1,25(1,25A-−--x) −-x------|--------1,25-(1,-25(1,25A-−--x) −-x-) −-x-------| |4 |1, 25(1,25(1,25A − x) − x) − x | 1,25 (1, 25(1,25(1,25A − x) − x) − x) − x | ----------------------------------------------------------------------------------------

Таким образом, $1,25(1,25(1,25(1,25A − x) − x) − x) − x = 0$ .

Отсюда $-------1,254 ⋅ A----- x = (1,252 + 1)(1,25 + 1)$ .

Заметим, что $5- 1,25 = 4 ⇒$

$4 x = 5-⋅ 664200- 4 ⋅ 9 ⋅ 41$ .

Выполнив сокращения, получим, что $x = 281250$ рублей.

Ответ:

$281250$ рублей.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1239

В банке был взял кредит на некоторую сумму денег на 3 года. Кредит необходимо выплачивать равными платежами раз в год, причем известно, что каждый год перед выплатой текущая сумма долга увеличивается на четверть.
Найдите, сколько процентов от тела кредита составит переплата по такому кредиту. В случае необходимости ответ округлите до целого числа.

Показать ответ и решение

Так как кредит нужно выплачивать равными ежегодными платежами, то платежи аннуитетные. Пусть $x$ рублей — этот ежегодный платеж, $A$ рублей – сумма кредита.
Сумма долга каждый год увеличивается на четверть, то есть на $1 4$ . Составим таблицу:

----------------------------------------------------------------------------- |Год |Д олг на на чало года |П осл е на числен ия % | П осле пла тежа | | | | | | |1---|----------A-----------|----A--+-1A-=--5A------|--------5A-−-x---------| | | | 4 4 | 4 | |----|--------5-------------|------5(5------)-------|----5(5------)---------| |2 | 4A − x | 4 4A − x | 4 4A − x − x | |----|----5(5------)--------|--5(5-(5------)----)---|5(5-(5------)----)-----| |3 | 4 4A − x − x | 4 4 4A − x − x |4 4 4A − x − x − x | -----------------------------------------------------------------------------

Таким образом, имеем:

( ( ) ) ( ) 5 5 5 5 3 -- -- --A − x − x − x = 0 ⇔ x = (5)2-4-5----⋅ A 4 4 4 4 + 4 + 1

Переплата по кредиту равна $3x − A$ , следовательно, необходимо найти:

( ( ) ) ( ) 3x − A 3 ⋅ 54 3 3 ⋅ 53 131 ------- ⋅100% = (5)2---5-----− 1 ⋅100% = -2---------2----3-− 1 ⋅100% = ----⋅100% ∼ 54%. A 4 + 4 + 1 5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 4 + 4 244

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1261

Банк выдает кредит сроком на 4 года под 25% годовых. Вычислите, на сколько процентов переплата по такому кредиту превышает платеж, если гасить кредит нужно равными ежегодными выплатами.

Показать ответ и решение

Пусть кредит взят на сумму $A$ , пусть $x$ — ежегодный платеж. Составим таблицу.

|----|---------------------|------------------------|--------------------------| |Год-|--Долг на-начало-года--|---После начисления %---|-------После платежа------| |1---|---------A-----------|--------1,25⋅A----------|--------1,25⋅A-− x--------| |2---|-----1,25⋅A-−-x------|----1,25(1,25⋅A-−-x)-----|----1,25(1,25⋅A-− x)-− x---| |34---|11,,2255(1(1,,2255(1⋅,A25−⋅Ax)−−xx)−--|11,,2255((11,,2255((11,,2255(1⋅A,2−5⋅xA)−−xx))−-|1,12,525(1(,12,52(15(,12,52⋅5A(1,−25x⋅)A− x−) x)−& x | | −x)− x | −x)− x) | −x)− x)− x | -------------------------------------------------------------------------------

Тогда имеем уравнение:

1,25(1,25(1,25(1,25⋅A− x)− x)− x)− x= 0 A-= 1,253+-1,252+-1,25+-1 x 1,254

Переплата по кредиту равна $4x− A.$ Следовательно, число процентов, которое составляет переплата от платежа, равно

( ) 4x−-A-⋅100% = 4− A- ⋅100% x x

Заметим, что $1,25= 5. 4$ Тогда имеем:

( ) 53-⋅4+-52-⋅42-+5-⋅43-+44- 4 − 54 ⋅100% = ( 500+ 400+ 320+ 256) = 4− -------625-------- ⋅100% = = 1024⋅4% = 1024⋅42% = 163,84% 25 100

Значит, переплата превышает платеж на 63,84%.

Ответ: 63,84

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1699

Василий взял кредит в банке на некоторую сумму под $12,5%$ годовых. Кредит он должен выплачивать в течение четырех лет одинаковыми ежегодными платежами. Сколько рублей составлял ежегодный платеж Василия, если в итоге его переплата составила $65240$ рублей.

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за $A$ руб. сумму кредита, а за $x$ руб. ежегодный платеж.

----------------------------------------------------------------------------------------------- |Год | Д олг в ру б. | Дол г в р уб. | Д олг в руб. | | | | | | | | до нач ислени я | после начи сления | п осле внесения | |----|------пр-оцентов--------|--------п-роцент-ов---------|-------------платеж-а-------------| |1---|----------A-------------|----------1,125A------------|-----------1,125A--−-x------------| |2 | 1,125A − x | 1,125 (1,125A − x) | 1,125(1,125A − x) − x | |3---|1,125-(1,-125A-−-x-) −-x-|---1,125(1,125-(1,-125A-−----|------1,125-(1,125(1,125A-−-------| | | | | | |----|------------------------|---------−-x)-−-x)----------|-----------− x-) −-x)-−-x---------| |4 | 1,125(1,125(1,125A − |1,125(1,125(1,125 (1,125A − | 1,125(1,125(1,125 (1,125A − x)− | | | − x) − x) − x | − x ) − x ) − x ) | − x ) − x) − x | -----------------------------------------------------------------------------------------------

Т.к. в конце четвертого года Василий погасил кредит, то

1, 125(1,125(1,125 (1, 125A − x ) − x ) − x ) − x = 0

Это уравнение преобразуется в уравнение вида:

1,1254A − x(1,1253 + 1,1252 + 1,125 + 1) = 0 (∗)

Заметим, что за четыре года Василий заплатил банку $4x$ рублей, а, значит, его переплата составила $4x − A$ рублей. Т.к. $4x − A = 65240$ , то $A = 4x − 65240$ . Значит:

1,1254(4x − 65240 ) − x (1,1253 + 1,1252 + 1,125 + 1) = 0

Заметим также, что $9- 1,125 = 8 ⇒$

--------94 ⋅ 23-⋅ 5-⋅ 7 ⋅-233---- x = 94 ⋅ 4 − 8(93 + 92 ⋅ 8 + 9 ⋅ 82 + 83) = 65610

Значит, ежегодный платеж составил $65610$ рублей.

Ответ:

$65610$ рублей.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1899

Леонид брал кредит в банке сроком на 6 лет под $50%$ годовых. После того, как кредит был выплачен, оказалось, что переплата по кредиту составила $3044000$ рублей. Сколько тысяч рублей каждый год вносил Леонид в счет погашения кредита, если известно, что кредит был выплачен аннуитетными платежами?

Показать ответ и решение

Пусть ежегодный платеж был равен $x$ тыс. рублей. Тогда за 6 лет Леонид выплатил банку $6x$ тыс. рублей. Следовательно, если $A$ тыс. рублей — сумма кредита, то $6x − A = 3044$ тыс. рублей — и есть переплата по кредиту. Составим таблицу:

|-------------|---------------------------------------------|-----------------------------------------------| |Н-омер-год-а-|---------Дол-г п-осле-начи-сления-%----------|-------------Д-олг-после-пла-теж-а-------------| |1------------|-------------------1,-5A---------------------|-------------------1,5A-−-x--------------------| |2------------|---------------1,5(1,5A-−--x)----------------|---1,5-(1,-5A-−-x)-−-x-=-1,52A--−-x(1,5-+-1)----| |... | ... | ... | |-------------|----------4----------3------2----------------|-------5---------4------3------2---------------| |5------------|---1,5(15,5-A--−-x(14,5--+-13,5--+-12,5-+-1))----|---16,-5-A-−-x(15,5--+-14,5--+-13,5--+-12,5-+-1)----| -6-------------1,5(1,5-A-−-x-(1,-5-+-1,-5-+-1,5--+-1,5-+-1))--1,5-A-−--x(1,5-+--1,5-+--1,5-+--1,5-+-1,-5 +-1-)

Таким образом, т.к. в конце 6-ого года долг банку стал равен нулю, то

5 4 3 2 1,56A − x(1,55 + 1,54 + 1,53 + 1,52 + 1,5 + 1) = 0 ⇔ A = 1,5-+--1,5-+-1,-5-+-1,5--+-1,5-+-1-x 1,56

Числитель представляет собой сумму первых 6-ти членов геометрической прогрессии, где $a1 = 1, q = 1,5$ .

Эта сумма равна $6 1,5-−--1- 1,5 − 1$ . Значит,

---1,56 −-1--- A = 1,56(1,5 − 1)x

Заметим, что $1,5 = 3 2$ , следовательно,

6 6 2 2 2 2 A = 2(3--−-2-)x = 2(3 −-2)(3 +-2-)(3-−-3-⋅ 2 +-2-)(3-+-3-⋅ 2-+-2-)x = 2 ⋅ 5-⋅ 7-⋅ 19x 36(3 − 2) 36 36

Тогда, т.к. переплата $3044 = 6x − A$ , имеем следующее равенство, из которого можно найти $x$ :

( ) 6 − 2 ⋅-5 ⋅ 7-⋅ 19 x = 3044 ⇔ 1522x = 1522 ⇔ x = 729 тыс. рубл ей 36 729

Ответ:

$729$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2257

Под какое наименьшее целое кратное пяти число $y$ процентов годовых банку необходимо предоставить кредит на 2 года, выплачиваемый равными ежегодными платежами, чтобы переплата по такому кредиту превысила $50%$ от ежегодного платежа?

Показать ответ и решение

Пусть в банке взят кредит на сумму $A$ . Если $y$ — процентная ставка в банке, то каждый год после начисления процентов долг увеличивается в $t = 1001+00y-$ раз. Обозначим за $x$ ежегодный платеж и составим таблицу:

|-------------|----------------------------|---------------------| |Н-ом-ер-года-|Д-олг-посл-е н-ачислен-ия-%-|До-лг-после-плат-ежа-| |1------------|------------tA--------------|-------tA-−-x--------| -2----------------------t(tA--−-x)---------------t(tA-−-x-) −-x-----

Получаем уравнение

t2 t(tA − x) − x = 0 ⇔ x = -----A t + 1

Общая сумма выплат по кредиту равна $2x$ , тогда переплата по кредиту составила $2x − A$ . Значит, необходимо, чтобы $2x − A > 0,5x ⇔ 3x − 2A > 0$ , следовательно, т.к. $A > 0$ , получаем:

√ -- 1 + 7 3t2 − 2t − 2 > 0 ⇒ t > ------- 3

т.к. $t > 0$ .

Т.к. $2,62 = 6, 76$ , то $√7-> 2,6$ , следовательно, $1+√37-> 1,2$ . Следовательно, наименьшее подходящее $t = 1,25$ . Проверим, заметив, что $1,25 = 54$ :

( ) 5 2 5 3 3 ⋅ -- − 2 ⋅--− 2 > 0 ⇔ ---> 0 4 4 16

Получили верное неравенство, значит, $t = 1,25$ , откуда $y = 25%$ .

Ответ:

$25%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#75434

Виктор взял кредит на 100000 рублей. Условия кредита таковы:

— каждый год сумма долга увеличивается на целое число $x$ процентов;

— после начисления процентов Виктор вносит платёж в 10 тысяч рублей.

Определите, при какой наименьшей процентной ставке $x$ сумма долга через два года кредитования превысит сумму кредита, увеличенную на $x$ процентов.

Показать ответ и решение

Обозначим $K = 1+ 1x00.$

Все вычисления будем проводить в тысячах рублей.

Составим таблицу выплат:

|----|---------|---------------|-------|----------------| |Год-|Д-олг-нач.|---Проценты----|Платеж--|----Долг кон.---| |-1--|---100---|----100-⋅ x100-x--|--10---|---100K-−-10----| --2---100K-− 10-(100K-− 10)⋅100---10----(100K-−-10)K-−-10-

По условию сумма долга в конце второго года кредитования должна быть больше суммы кредита на $x$ процентов, то есть больше в $-x- 1+ 100 = K$ раз:

(100K − 10)K − 10 > 100K,

10K2 − 11K − 1> 0.

Найдём нули квадратичной функции по формуле дискриминанта:

10K2 − 11K − 1= 0,

D =121+ 40= 161= √1612,

--- 11±-√161- K1,2 = 20 .

Используя метод интервалов, получаем решение неравенства:

$PIC$

Очевидно, что отрицательных значений переменная $K =1 + x100-$ принимать не может, значит, остаётся только правый интервал:

√--- 11+--161-< K, 20

11+ √161 x ---20---< 1 + 100,

55 +5√161-< 100 +x,

−45 +5√161-< x.

Заметим, что в силу монотонности функции арифметического корня $√ --- √--- √ --- 144 < 161< 169,$ следовательно, справедливо следующее неравенство:

− 45 +5√144-< −45+ 5√161 <− 45+ 5√169,

15< −45+ 5√161 <20.

Коэффициент $x$ по условию принимает только положительные значения, следовательно, теперь в рамках метода подбора нам следует проверить следующие значения $x :$

$x= 16 :$

√--- −45+ 5 161< 16,

√ --- 5 161 < 61,

4025< 3721,

Н евер но.

$x= 17$ :

−45+ 5√161< 17,

5√161-< 62,

4025< 3844,

Н евер но.

$x= 18$ :

−45+ 5√161< 18,

5√161-< 63,

4025< 3969,

Н евер но.

$x= 19$ :

−45+ 5√161< 19,

5√161-< 64,

4025< 4096,

В ер но.

Ответ:

$x = 19$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел