Тема №22. Графики функций

05 Кусочно-заданные функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#39454

Постройте график функции

(|2,5x− 3,5 при x< 2, { y = |(− 3x+ 7,5 при 2≤ x≤ 3, x − 6 при x> 3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком каждой из трех линейных функций $y = 2,5x − 3,5,$ $y = −3x +7,5$ и $y = x− 6$ является прямая.

Составим таблицу для функции $y = 2,5x − 3,5:$

-x---0----2--| -y--−3,5--1,5-|

Составим таблицу для функции $y = −3x +7,5:$

-x--2----3---| -y--1,5--−1,5-|

Составим таблицу для функции $y = x− 6:$

|x-|-3--|4--| -y--−-3--−2-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 3$ график исходной функции терпит разрыв, $(3;−3)$ — выколотая точка, $(3;− 1,5)$ — закрашенная точка, $(2;1,5)$ — точка стыка.

$110xy1−−234−−−,513123,5,5$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки:

$110xy1−23−y(y(y(,513=1)=2)=3),5−−1,315,5$

Нам подходят все положения между 1 и 2, не включая 1 и 2, а также положение 3.

Положение 1: прямая $y =m$ проходит через выколотую точку $(3;−3),$ значит, $m = −3.$

Положение 2: прямая $y =m$ проходит через точку $(3;− 1,5),$ значит, $m = − 1,5.$

Положение 3: прямая $y =m$ проходит через точку $(2;1,5),$ значит, $m = 1,5.$

Следовательно,

m ∈ (− 3;− 1,5)∪ {1,5}.

Ответ:

$m ∈ (−3;−1,5)∪ {1,5}.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#40213

Постройте график функции

(| 2x− 2 при x < 3, { y = |( −3x+ 13 при 3 ≤ x≤ 4, 1,5x− 7 при x > 4.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком каждой из трех линейных функций $y = 2x− 2,$ $y =− 3x+ 13$ и $y = 1,5x− 7$ является прямая.

Составим таблицу для функции $y = 2x− 2:$

-x---0--3-- -y--−2--4--

Составим таблицу для функции $y = −3x +13 :$

-x--3--4- -y--4--1-

Составим таблицу для функции $y = 1,5x − 7 :$

|x-|-4--|5--| -y--−-1--0,5-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 4$ график исходной функции терпит разрыв, $(4;−1)$ — выколотая точка, $(4;1)$ — закрашенная точка, $(3;4)$ — точка стыка.

$110xy−−143450,215$

$10xy−1434y(1y(2y(31=)=)=)−14 1$

Нам подходят все положения между 1 и 2, не включая 1 и 2, а также положение 3.

Положение 1: прямая $y =m$ проходит через выколотую точку $(4;−1),$ значит, $m = −1.$

Положение 2: прямая $y =m$ проходит через точку $(4;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(3;4),$ значит, $m = 4.$

Следовательно,

m ∈ (− 1;1)∪ {4}.

Ответ:

$m ∈ (−1;1)∪{4}.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#124452

Постройте график функции

{ 2 y = x + 6x+ 7 при x ≥− 4, x+ 10 при x <− 4.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 6x+ 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−3;−2)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|---|---| |x-|−-4|−-3-|−2-|−1-| -y--−-1-−-2--−1---2-

Графиком линейной функции $y = x$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−5-| -y---6---5--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = −4$ функция терпит разрыв, $(− 4;6)$ — выколотая точка, $(−4;−1)$ — закрашенная точка.

$0xy6521−−−−−−−11254321$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки.

$0xyy(y(y(−16−−−1 =3) =2) =1)1243 6−− 12$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(−3;−2),$ значит, $m = −2.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(−4;−1),$ значит, $m =− 1.$

Положение 3 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(− 4;6),$ значит, $m = 6.$

Следовательно,

m ∈ {−2} ∪(−1;6).

Ответ:

$m ∈ {−2}∪ (−1;6)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#124454

Постройте график функции

{ 2 y = x − 4x +5 при x≥ 1, x + 3 при x< 1.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2− 4x+ 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(2;1)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|--|-|--| |x-|1-|2-|3|-4| -y--2--1--2--5-

Графиком линейной функции $y = x +3$ является прямая. Составим таблицу:

|--|--|-| |x-|1-|0| -y--4--3-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 1$ функция терпит разрыв, $(1;4)$ — выколотая точка, $(1;2)$ — закрашенная точка.

$0xy123452341$

$0xyy(3y(2y(124112 =) =) =) 421$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(2;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(1;2),$ значит, $m = 2.$

Положение 3 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(1;4),$ значит, $m = 4.$

Следовательно,

m ∈ {1} ∪(2;4).

Ответ:

$m ∈ {1}∪ (2;4)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#124465

Постройте график функции

{ 2 y = −x − 2x − 3 при x≥ −2, −x − 7 при x< −2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 − 2x − 3$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;−2)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|---|---| |x-|−-2|−-1-|0--|-1-| -y--−-3-−-2--−3--−6-

Графиком линейной функции $y = −x − 7$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-3-|−2-| -y--−-4--−5-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = −2$ функция терпит разрыв, $(−2;− 5)$ — выколотая точка, $(−2;−3)$ — закрашенная точка.

$10xy1−−−−−−−−1 23456321$

$10xyy(y(y(−−−1−−132135221=)=)=)−−− 235$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 1 и 2, не включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(− 2;− 5),$ значит, $m = −5.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(−2;−3),$ значит, $m =− 3.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(−1;−2),$ значит, $m = −2.$

Следовательно,

m ∈(−5;−3)∪ {−2}.

Ответ:

$m ∈ (−5;−3)∪ {− 2}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#124466

Постройте график функции

{ 2 y = −x − 4x +1 при x≥ −3, −x − 2 при x< −3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 − 4x +1$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−2;5)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|----|-| |x-|−3-|−2-|−-1-|0| -y---4---5---4---1-

Графиком линейной функции $y = −x − 2$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−3-| -y---2---1--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = −3$ функция терпит разрыв, $(− 3;1)$ — выколотая точка, $(−3;4)$ — закрашенная точка.

$10xy1245−−−−14321$

$10xyy(y(y(145−−1321=)=)=)32 541$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 1 и 2, не включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(− 3;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(−3;4),$ значит, $m = 4.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 2;5),$ значит, $m = 5.$

Следовательно,

m ∈(1;4)∪{5}.

Ответ:

$m ∈ (1;4)∪ {5}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#48624

Постройте график функции

({x2 +2 при x ≥ −2, y = 6 (− x при x < −2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(0;2)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|--|--|--| |x-|−-2|0-|1-|2-| -y---6--2--3--6-

Графиком функции обратной пропорциональности $6 y = − x$ является гипербола. Составим таблицу:

|--|----|---|---| |x-|−-6-|−3-|−2-| -y---1---2---3--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = −2$ функция терпит разрыв, $(− 2;3)$ — выколотая точка, $(−2;6)$ — не выколотая точка.

$10xy213612−−−632$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно одну общую точку.

$10xyy(y(y(62131−321=)=)=)2 620$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y = m$ между 1 и 2, не включая эти положения, а также выше 3 положения, не включая его.

Положение 1 (нет общих точек): прямая $y = m$ совпадает с осью абсцисс, являющейся асимптотой гиперболы, значит, $m = 0.$

Положение 2 (две общие точки): прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(0;2),$ значит, $m = 2.$

Положение 3 (две общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(−2;6),$ значит, $m = 6.$

Следовательно,

m ∈ (0;2)∪ (6;+∞ ).

Ответ:

$m ∈ (0;2)∪ (6;+ ∞)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#124474

Постройте график функции

({x2 +2x +1 при x≥ −4, y = 36 (− x- при x< −4.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 2x+ 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;0)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|--|--| |x-|−4-|−1-|0-|1-| -y--9---0---1--4--

Графиком функции обратной пропорциональности $36 y = − x$ является гипербола. Составим таблицу:

|--|----|---|---| |x-|−-9-|−6-|−4-| -y---4---6---9--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. $(− 4;9)$ — точка стыка.

$01469−−−−1xy9641$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции одну или две общие точки.

$019−−1xyy(y412(=)=1) 90$

Нам подходит положение 1 горизонтальной прямой $y = m,$ а также положение 2 включительно и выше.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 1;0),$ значит, $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−4;9),$ значит, $m = 9.$

Следовательно,

m ∈{0} ∪[9;+ ∞).

Ответ:

$m ∈ {0}∪ [9;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#124476

Постройте график функции

({x2 +4x +4 при x≥ −3, y = 3 (− x при x< −3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 4x+ 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−2;0)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|--| |x-|−3-|−-2|0-| -y---1---0--4--

Графиком функции обратной пропорциональности $3 y = − x$ является гипербола. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-6-|−3-| -y--0,5--1--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. $(− 3;1)$ — точка стыка.

$0140,−−−11xy5632$

$01−−1xyy(y32 =2) =(1)10$

Нам подходит положение 1 горизонтальной прямой $y = m,$ а также положение 2 включительно и выше.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 2;0),$ значит, $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−3;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈{0} ∪[1;+ ∞).

Ответ:

$m ∈ {0}∪ [1;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#27289

Постройте график функции

({ 2 y = x − 2x +4 при x ≥− 1, (− 9 при x <− 1. x

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

График функции при $x ≥ −1$ — это парабола $y = x2− 2x + 4.$

Найдем вершину параболы:

-b −-2 xв. = −2a = − 2 = 1 2 yв. = 1 − 2⋅1+ 4 =1 − 2 +4 = 3

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ −1 :$

|--|---|--|--|--|-| |x-|−1-|0-|1-|2-|3| -y--7---4--3--4--7-

График функции при $x <− 1$ — это гипербола $9 y = − x.$

Построим таблицу значений для гиперболы при $x< −1 :$

|--|----|---|---|-----| |-x|−-1-|−2-|−3-|−-4,5-| --y--9---4,5---3----2--

Построим график функции, учитывая, что при $x= − 1$ происходит разрыв функции и $(− 1;9)$ — выколотая точка.

$xyyyy110 === 3mm,, 0 m <≥ m9 < 3$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Найдём, когда прямая $y =m$ имеет с графиком одну общую точку.

$y = 0$ — горизонтальная асимптота для гиперболы, поэтому при $m = 0$ прямая $y =m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $0< m < 3,$ то прямая $y = m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $m = 3$ то прямая то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m ≥ 9$ то прямая $y = m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет одну точку пересечения, когда

m ∈ (0;3)∪ [9;+∞ ).

Ответ:

$0 <m <3;m ≥ 9$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#38793

Постройте график функции $y = f(x),$ где

(| x+-6- ||{− 2 , если x≤ −2 f(x)= |− 2, если − 2< x < 2 ||(− x+-2, если x≥ 2 2

Найдите значение функции при $x = −20.$

Показать ответ и решение

Будем строить прямые, найдя по две точки, принадлежащие этим прямым.

Для $x+6 y1 = − 2$ , $x ≤ −2$ имеем $y1(−6)= 0$ , $y1(− 2)= −2$ .

Для $y2 = −2$ , $− 2< x< 2$ имеем отрезок с концами в $A (− 2;− 2)$ и $B (2;−2)$ .

Для $y3 = − x+22$ , $x ≥ 2$ имеем $y3(2)= − 2$ , $y3(4)= −3$ .

Тогда график функции $y = f(x)$ выглядит следующим образом:

$PIC$

$f(−20)= y1(− 20)= 7$ .

Ответ: 7

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#39448

Постройте график функции

(| 2,5x− 1, если x< 2, { y = |( −3,5x + 11, если 2≤ x≤ 3, x− 2,5, если x> 3,

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Показать ответ и решение

Построим график функции.

$xy110yyyyy = = = = = m0m4m,,,,5m0m,<5><04,m5< 4$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $m = 0,5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $0,5< m < 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $m = 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m > 4,$ то прямая $y =m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.

По условию на нужно найти такие значения $m,$ при которых прямая $y = m$ пересекает график ровно в двух точках. Тогда нам подходят $m = 0,5$ и $m = 4.$

Ответ:

$m ∈ {0,5; 4}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#39450

Постройте график функции

{ 1 y = 2x− 1, если x ≥ 4, −x+ 5, если x< 4,

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

Построим график функции.

$xy110yyy = = = m1m,, mm <> 11$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 1,$ то прямая $y = m$ не имеет точек пересечения с графиком.
Если $m = 1,$ то прямая $y =m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $m > 1,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.

По условию на нужно найти такие значения $m,$ при которых прямая $y = m$ пересекает график ровно одной точке. Тогда нам подходит $m = 1.$

Ответ:

$m = 1$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#39452

Найдите все положительные значения $k,$ при которых прямая $y = kx$ пересекает в двух точках ломаную, заданную условиями:

(| −2x− 5, если x < −3, y = { 1, если − 3 ≤x ≤ 3, |( 2x− 5, если x >3.

Показать ответ и решение

Построим график функции.

$xy110$

$y = kx, k > 0$ — множество прямых, проходящих через точку $(0,0),$ при этом их графики лежать только в 1 и 3 четвертях. Начнем перебирать значения $k$ с $0.$

Если $0< k < 1, 3$ то прямая $y = kx$ не имеет точек пересечения с графиком.
Если $k = 13,$ то прямая $y = kx$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $1 3 < k < 2,$ то прямая $y = kx$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m ≥ 2,$ то прямая $y = kx$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.

По условию на нужно найти такие значения $k,$ при которых прямая $y = kx$ пересекает график ровно в двух точках. Тогда нам подходит $(1 ) k ∈ 3;2 .$

Ответ:

$( ) k ∈ 1;2 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#39455

График функции состоит из двух лучей и отрезка (см. рисунок). Задайте функцию формулами.

$xy110−5−−423$

Показать ответ и решение

На интервале $(− ∞;− 2]$ график является частью прямой, проходящей через точки $(− 4;0)$ и $(−2;−3).$ Подставим эти точки в общее уравнение прямой $y = kx+ b$ , чтобы записать уравнение интересующей нас:

{0 = −4k+ b, − 3= −2k+ b.

Вычтем из первого уравнения второе, получим:

3 3= −2k ⇔ k = −2.

Подставим найденное значение $k$ в первое уравнение и найдем $b:$

( ) 0= −4 ⋅ − 3 + b ⇔ b= −6. 2

Таким образом, при $x≤ − 2$ график функции описывается уравнением $y = −1,5x − 6.$

На отрезке $(−2; 0]$ график является частью прямой, проходящей через точки $(− 2;− 3)$ и $(0;0).$ Последнее значит, что коэффициент $b$ равен 0. Подставим точку $(− 2;− 3)$ в общее уравнение прямой $y = kx+ 0= kx,$ чтобы записать уравнение интересующей нас:

−3 = −2k ⇔ k = 1,5.

Таким образом, при $− 2< x ≤0$ график функции описывается уравнением $y = 1,5x.$

Наконец на положительном направлении оси абсцисс $x> 0$ график является частью прямой, проходящей через точки $(0;0)$ и $(5;− 2).$ Прямая проходит через начало координат, значит, коэффициент $b= 0.$ Подставим точку $(5;−2)$ в общее уравнение прямой $y = kx+ 0= kx,$ чтобы записать уравнение интересующей нас:

−2 = 5k ⇔ k = −0,4.

Таким образом, при $x> 0$ график функции описывается уравнением $y = −0,4x.$

Ответ:

$( |{−1,5x− 6, если x≤ −2, y = 1,5x, если − 2 < x≤ 0, |(−0,4x, если x > 0.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#41483

Постройте график функции

{ 2 y = x +2x +1, если x≥ −2, x +3, если x< − 2,

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Показать ответ и решение

График функции при $x ≥ −2$ — это парабола $y = x2+ 2x+ 1.$

Найдем вершину параболы:

-b 2 xв. = −2a = −2 = −1 y =(−1)2+ 2⋅(−1)+ 1= 1− 2+ 1 =0 в.

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ −2 :$


$x$	$− 2$	$− 1$	0	1	2

$y$	1	0	1	4	9

График функции при $x <− 2$ — это прямая $y =x + 3.$

Построим таблицу значений для прямой при $x< − 2:$


$x$	-2	-3

$y$	1	0

Построим график функции:

$xyyy110 = = 10$

Прямая $y = m$ имеет с графиком 2 точки пересечения в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $2 y = x + 2x+ 1:$ $(− 1;0).$ В этом случае $m = 0.$
2.: Прямая $y =m$ проходит через точку стыка прямой и параболы: $(− 2;1).$ В этом случае $m = 1.$

Получаем ответ:

m ∈ {0;1}

Ответ: 0; 1

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#46940

Постройте график функции

{ 2 y = −x − 2x +1,если x ≥− 3, −x − 5, если x< − 3,

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Показать ответ и решение

График функции при $x ≥ −3$ — это парабола $y = −x2 − 2x +1.$

Найдем вершину параболы:

b- −2- xв. = − 2a = − −2 = −1 yв. =− (− 1)2 − 2 ⋅(− 1)+ 1 =2

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ −3 :$


$x$	$− 1$	$− 2$	$− 3$	0	1	2

$y$	2	1	$− 2$	1	$− 2$	$− 7$

График функции при $x <− 3$ — это прямая $y =− x− 5.$

Построим таблицу значений для прямой при $x< − 3:$


$x$	$− 3$	$− 4$

$y$	$− 2$	$− 1$

Построим график функции:

$xyyy110 = = −22$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ имеет 2 общие точки с графиком в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через стык прямой и параболы — точку $(− 3;− 2).$ В этом случае $m = −2.$
2.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы — точку $(−1;2).$ В этом случае $m = 2.$

Таким образом, прямая $y = m$ имеет 2 точки пересечения с графиком, если $m ∈ {−2;2}.$

Ответ:

$m ∈ {−2;2}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2