Тема 22. Функции и их свойства. Графики функций

22.05 Кусочно-заданные функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела функции и их свойства. графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#27289

Постройте график функции

({ 2 y = x − 2x+ 4 при x≥ −1,. ( − 9 при x< −1. x

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

1. Исследуем функцию на инервале $(−∞; −1).$ На этом интервале график функции совпадает с графиком функции $y = − 9x.$

График функции $y = − 9x$ — гипербола, проходящая через точки $(−3;−3),$ $(−1;9),$ $(−9;1).$

2. Исследуем функцию на полуинервале $[−1;+∞ ).$ На этом полуинтервале график функции совпадает с графиком функции $y = x2− 2x + 4.$

График функции $2 y = x − 2x+ 4$ — парабола. Вершина параболы — точка координатами $−2 x= − 2 = 1,$ $2 y = 1 − 2 ⋅1+ 4= 3.$ Тогда эта парабола получена сдвигом параболы $2 y = x$ на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и на 3 единицы вверх по оси $Oy.$

Теперь мы можем построить график исходной функции:

$PIC$

Опираясь на построенный график, посмотрим теперь на различные положения прямой $y = m$ относительно этого графика.

При $m ≤0$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.
При $0< m < 3$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
При $m =3$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
При $3< m ≤ 7$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
При $7< m < 9$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
При $m ≥9$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Таким образом, подходит только $m ≥9$ и $0< m < 3.$

Ответ: $m ≥ 9, 0< m < 3.$

Ответ:

$0 <m <3;m ≥ 9$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#38793

Постройте график функции $y = f(x),$ где

(| x+-6- ||{− 2 , если x≤ −2 f(x)= |− 2, если − 2< x < 2 ||(− x+-2, если x≥ 2 2

Найдите значение функции при $x = −20.$

Показать ответ и решение

Будем строить прямые, найдя по две точки, принадлежащие этим прямым.

Для $x+6 y1 = − 2$ , $x ≤ −2$ имеем $y1(−6)= 0$ , $y1(− 2)= −2$ .

Для $y2 = −2$ , $− 2< x< 2$ имеем отрезок с концами в $A (− 2;− 2)$ и $B (2;−2)$ .

Для $y3 = − x+22$ , $x ≥ 2$ имеем $y3(2)= − 2$ , $y3(4)= −3$ .

Тогда график функции $y = f(x)$ выглядит следующим образом:

$PIC$

$f(−20)= y1(− 20)= 7$ .

Ответ: 7

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#39448

Постройте график функции

(| 2,5x− 1, если x< 2, { y = |( −3,5x + 11, если 2≤ x≤ 3, x− 2,5, если x> 3,

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Показать ответ и решение

Построим график функции.

$xy110yyyyy = = = = = m0m4m,,,,5m0m,<5><04,m5< 4$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $m = 0,5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $0,5< m < 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $m = 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m > 4,$ то прямая $y =m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.

По условию на нужно найти такие значения $m,$ при которых прямая $y = m$ пересекает график ровно в двух точках. Тогда нам подходят $m = 0,5$ и $m = 4.$

Ответ:

$m ∈ {0,5; 4}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#39450

Постройте график функции

{ 1 y = 2x− 1, если x ≥ 4, −x+ 5, если x< 4,

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

Построим график функции.

$xy110yyy = = = m1m,, mm <> 11$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 1,$ то прямая $y = m$ не имеет точек пересечения с графиком.
Если $m = 1,$ то прямая $y =m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $m > 1,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.

По условию на нужно найти такие значения $m,$ при которых прямая $y = m$ пересекает график ровно одной точке. Тогда нам подходит $m = 1.$

Ответ:

$m = 1$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#39452

Найдите все положительные значения $k,$ при которых прямая $y = kx$ пересекает в двух точках ломаную, заданную условиями:

(| −2x− 5, если x < −3, y = { 1, если − 3 ≤x ≤ 3, |( 2x− 5, если x >3.

Показать ответ и решение

Построим график функции.

$xy110$

$y = kx, k > 0$ — множество прямых, проходящих через точку $(0,0),$ при этом их графики лежать только в 1 и 3 четвертях. Начнем перебирать значения $k$ с $0.$

Если $0< k < 1, 3$ то прямая $y = kx$ не имеет точек пересечения с графиком.
Если $k = 13,$ то прямая $y = kx$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $1 3 < k < 2,$ то прямая $y = kx$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m ≥ 2,$ то прямая $y = kx$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.

По условию на нужно найти такие значения $k,$ при которых прямая $y = kx$ пересекает график ровно в двух точках. Тогда нам подходит $(1 ) k ∈ 3;2 .$

Ответ:

$( ) k ∈ 1;2 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#39455

График функции состоит из двух лучей и отрезка (см. рисунок). Задайте функцию формулами.

$xy110−5−−423$

Показать ответ и решение

На интервале $(− ∞;− 2]$ график является частью прямой, проходящей через точки $(− 4;0)$ и $(−2;−3).$ Подставим эти точки в общее уравнение прямой $y = kx+ b$ , чтобы записать уравнение интересующей нас:

{0 = −4k+ b, − 3= −2k+ b.

Вычтем из первого уравнения второе, получим:

3 3= −2k ⇔ k = −2.

Подставим найденное значение $k$ в первое уравнение и найдем $b:$

( ) 0= −4 ⋅ − 3 + b ⇔ b= −6. 2

Таким образом, при $x≤ − 2$ график функции описывается уравнением $y = −1,5x − 6.$

На отрезке $(−2; 0]$ график является частью прямой, проходящей через точки $(− 2;− 3)$ и $(0;0).$ Последнее значит, что коэффициент $b$ равен 0. Подставим точку $(− 2;− 3)$ в общее уравнение прямой $y = kx+ 0= kx,$ чтобы записать уравнение интересующей нас:

−3 = −2k ⇔ k = 1,5.

Таким образом, при $− 2< x ≤0$ график функции описывается уравнением $y = 1,5x.$

Наконец на положительном направлении оси абсцисс $x> 0$ график является частью прямой, проходящей через точки $(0;0)$ и $(5;− 2).$ Прямая проходит через начало координат, значит, коэффициент $b= 0.$ Подставим точку $(5;−2)$ в общее уравнение прямой $y = kx+ 0= kx,$ чтобы записать уравнение интересующей нас:

−2 = 5k ⇔ k = −0,4.

Таким образом, при $x> 0$ график функции описывается уравнением $y = −0,4x.$

Ответ:

$( |{−1,5x− 6, если x≤ −2, y = 1,5x, если − 2 < x≤ 0, |(−0,4x, если x > 0.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#40213

Постройте график функции

(| 2x − 2, если x< 3 { y = |( −3x+ 13, если 3 ≤x ≤ 4 1,5x − 5, если x> 4

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Показать ответ и решение

Построим график кусочно-заданной функции:

$xyyyyyy110 = = = = = m1m4m,,, m1m <<>m14 <4$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m <1,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 1 точку пересечения с графиком.
Если $m = 1,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $1 <m <4,$ то прямая то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $m = 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $4< m,$ то то прямая $y =m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.

По условию на нужно найти такие значения $m,$ при которых прямая $y = m$ пересекает график в двух точках. Тогда нам подходит $m = 1$ и $m = 4.$

Ответ: 1, 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#41483

Постройте график функции

{ 2 y = x +2x +1, если x≥ −2, x +3, если x< − 2,

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Показать ответ и решение

График функции при $x ≥ −2$ — это парабола $y = x2+ 2x+ 1.$

Найдем вершину параболы:

-b 2 xв. = −2a = −2 = −1 y =(−1)2+ 2⋅(−1)+ 1= 1− 2+ 1 =0 в.

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ −2 :$


$x$	$− 2$	$− 1$	0	1	2

$y$	1	0	1	4	9

График функции при $x <− 2$ — это прямая $y =x + 3.$

Построим таблицу значений для прямой при $x< − 2:$


$x$	-2	-3

$y$	1	0

Построим график функции:

$xyyy110 = = 10$

Прямая $y = m$ имеет с графиком 2 точки пересечения в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $2 y = x + 2x+ 1:$ $(− 1;0).$ В этом случае $m = 0.$
2.: Прямая $y =m$ проходит через точку стыка прямой и параболы: $(− 2;1).$ В этом случае $m = 1.$

Получаем ответ:

m ∈ {0;1}

Ответ: 0; 1

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#46940

Постройте график функции

{ 2 y = −x − 2x +1,если x ≥− 3, −x − 5, если x< − 3,

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Показать ответ и решение

График функции при $x ≥ −3$ — это парабола $y = −x2 − 2x +1.$

Найдем вершину параболы:

b- −2- xв. = − 2a = − −2 = −1 yв. =− (− 1)2 − 2 ⋅(− 1)+ 1 =2

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ −3 :$


$x$	$− 1$	$− 2$	$− 3$	0	1	2

$y$	2	1	$− 2$	1	$− 2$	$− 7$

График функции при $x <− 3$ — это прямая $y =− x− 5.$

Построим таблицу значений для прямой при $x< − 3:$


$x$	$− 3$	$− 4$

$y$	$− 2$	$− 1$

Построим график функции:

$xyyy110 = = −22$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ имеет 2 общие точки с графиком в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через стык прямой и параболы — точку $(− 3;− 2).$ В этом случае $m = −2.$
2.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы — точку $(−1;2).$ В этом случае $m = 2.$

Таким образом, прямая $y = m$ имеет 2 точки пересечения с графиком, если $m ∈ {−2;2}.$

Ответ:

$m ∈ {−2;2}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел