Окружности → .02 Касание с окружностью и касание окружностей

Отрезок, который отсекается от вершины точкой касания окружности, равен радиусу этой окружности. Диагональ квадрата равна Если провести радиусы окружности в точки касания, то получится квадрат, со стороной Тогда

В результате получаем

откуда

Первое решение. Совершим гомотетию с центром и коэффициентом При этой гомотетии точки и переходят в и соответственно; пусть точки и переходят соответственно в и Тогда достаточно доказать, что четырёхугольник описан. Мы докажем, что он описан около вписанной окружности треугольника Три стороны четырёхугольника уже касаются поэтому достаточно доказать, что её касается

Пусть — центр Тогда поэтому и симметричны относительно Далее заметим, что

Но — медиана в прямоугольном треугольнике поэтому Значит, Значит, и прямые и также симметричны относительно поскольку одна из них касается то и другая тоже. Это и требовалось доказать.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. У решения выше есть несколько вариантов. Например, похожими рассуждениями можно показать, что в четырёхугольнике биссектрисы трёх углов и проходят через одну точку — середину отрезка Отсюда следует, что эта середина — центр искомой вписанной окружности.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Пусть прямая пересекает прямую в точке Как и в решении выше, получаем, что

откуда

Мы докажем, что окружности, вписанные в треугольники и совпадают (тогда это и будет вписанная окружность четырёхугольника ). Поскольку обе окружности вписаны в угол для этого достаточно показать, что они касаются прямой в одной и той же точке. Как известно, расстояния от до точек касания этих окружностей с равны соответственно

Значит, нам надо доказать, что

или что

Обозначим полупериметр треугольника через и пусть Имеем

С другой стороны,

откуда и следует искомое равенство.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Во втором абзаце решения по сути доказан следующий известный признак: четырёхугольник описан тогда и только тогда, когда (где и — точки пересечения продолжений боковых сторон, расположенные как на рисунке).

Пусть

По теореме об отрезках секущих

Далее , откуда . Далее найдём по теореме косинусов

Из подобия сразу же получаем , теперь используем теорему синусов для

Поскольку , то .

Заметим, что и так как касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны. Поэтому . Пусть и — центры окружностей и , , , По теореме о касательной и секущей

T. e. или откуда , т. e.

Из подобия треугольников и следует, что , откуда

Для получения еще одного уравнения, связывающего и воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике где основание перпендикуляра, опушенного из точки на прямую Получим откуда где Следовательно,

Замечание. Можно показать, что точки лежат на одной прямой и вместо теоремы о касательной и секущей применить теорему Пифагора к треугольнику

Поскольку равные хорды окружности равноудалены от её центра, то

Опустим перпендикуляр на Заметим, что

поэтому Это означает, что точка лежит на отрезке , поскольку , то есть лежит на биссектрисе меньшего угла между хордами, откуда — острый и высота из точки не попадёт на продолжение стороны.

Тогда

Значит,

Итак, угол между хордами равен углу между перпендикулярами к этим хордам и равен

Обозначим через описанную окружность треугольника а через — окружность, проходящую через точку и касающуюся прямой в точке Хорды и этих окружностей отсекают от них дуги одинаковой угловой величины. В самом деле, половины этих дуг в обоих случаях равны : для окружности это вписанный угол, а для — угол между касательной и хордой.

Заметим также, что угол между прямыми и равен углу между прямыми и эти вписанные углы опираются на одну дугу в окружности с диаметром

Точку пересечения прямой с окружностью обозначим через и выделим на картинке два фрагмента: в окружности проведена секущая и на ней выбрана точка в окружности проведена секущая и на ней выбрана точка В каждом из этих двух фрагментов из точек на секущих проведены прямые под одинаковыми углами к секущим: и Первая из них касается и нам нужно доказать, что вторая касается Для доказательства нужно установить, что две описанные конфигурации подобны. Мы проверим это двумя способами. Углы треугольника, как обычно, будем обозначать греческими буквами, соответствующими названиям вершин.

Способ 1.(подсчёт отношения отрезков)

Угловые величины отсекаемых секущими дуг равны, поэтому остаётся проверить, что Отношение хорд и (стягивающих равные дуги) равно отношению диаметров окружностей. Диаметр окружности равен диаметр окружности равен Таким образом, С другой стороны, отношение высот равно отношению сторон которое по теореме синусов тоже равно

Способ 2.(Поворотная гомотетия)

Рассмотрим поворотную гомотетию с центром в точке переводящую точку в и в Она существует, ибо треугольники и подобны(и подобны треугольнику ). Окружность перейдёт в ибо друг в друга переходят хорды и отсекающие равные дуги. При этом секущая окружности переходит в секущую окружности и, следовательно, точка переходит в точку Значит, первый фрагмент переходит во второй.

Обозначим , а радиусы и через и соответственно. Пусть и — центры окружностей и соответственно; — точка пересечения и , отличная от

Отметим, что (касательная перпендикулярна радиусу ) и (угол вписан в окружность и опирается на её диаметр). Значит, треугольники и подобны (по двум углам). Отсюда

По теореме о касательной и секущей

Следовательно,

Далее находим углы и дуги: Следовательно, Угол известен, так как Значит,

Перейдём к нахождению площади. Треугольник прямоугольный как вписанный угол, опирающийся на диаметр), поэтому

По теореме Декарта если четыре окружности касаются друг друга в шести различных точках и окружности имеют радиусы , то

Если пытаться отыскать радиус четвёртой окружности, касающейся трёх касающихся друг друга окружностей, уравнение лучше записать в виде

По условию три окружности касаются четвёртой внешним образом, поэтому надо взять перед корнем знак плюс. После подстановки радиусов из условия:

Пусть общая внутренняя касательная к этим окружностям из точки пересекает в точке

Заметим, что как отрезки касательных, поэтому треугольник прямоугольный. Тогда

Известно, что касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому

а значит, четырёхугольник — вписанный.

Осталось понять, что равнобедренные треугольники и подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними , а коэффициент подобия равен . Итак,

Пусть и Пусть — вписанная окружность треугольника — вписанная окружность треугольника

По условию — описанный четырехугольник, значит, суммы длин его противоположных сторон равны, то есть

Нам нужно доказать, что окружности касаются и диагональ является их общей касательной. Мы знаем, что прямая является касательной каждой из окружностей, значит, нам достаточно доказать, что точки касания окружностей с прямой совпадают.

Пусть касается в точке а касается в точке Тогда нужно доказать, что точки и совпадают, то есть, что отрезки и равны.

 

Докажем лемму.

Длина касательной из вершины треугольника к его вписанной окружности равна разности полупериметра и противоположной стороны. В частности,

Рассмотрим произвольный треугольник Пусть его вписанная окружность касается сторон и в точках и соответственно. Тогда найдем длину отрезка касательной к вписанной окружности. Мы знаем, что отрезки касательных с окружности, проведенных из одной точки, равны. Поэтому и

Тогда можем составить систему:

 

Вернемся к исходной задаче. Применим доказанную лемму к треугольнику и вписанной окружности Получим, что

Применим лемму к треугольнику и вписанной окружности

Вспомним, что так как — описанный четырехугольник. Тогда

Значит, то есть совпадает с Следовательно, окружности и касаются, а диагональ является их общей касательной.

Пусть Если это не так, что переобозначим точки и Обозначим за угол за — угол Так как это углы между касательной и хордами и соответственно, то каждый из них равен половине дуги, заключенной между касательной и соответствующей хордой:

Заметим, что — вписанный, опирающийся на следовательно, Аналогично Таким образом,

Тогда из имеем:

— угол между касательной и хордой, поэтому так как он опирается на диаметр в меньшей окружности. Значит, Из равенства

находим

Затем из треугольника получаем

Искомая площадь равна удвоенной сумме площадей треугольника и сектора , где , то есть

Пусть и — центры окружностей и — точка пересечения прямых и

Применяя теорему Менелая к треугольнику и точкам и получаем

а значит, где и — радиусы окружностей и Следовательно, — точка пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям и Действительно, точка пересечения внутренних касательных лежит на прямой и из подобия треугольников где  — точки касания общей касательной и окружностей, удовлетворяет свойству

Точка пересечения общих внешних касательных также лежит на прямой и, согласно аналогичному рассуждению, тоже удовлетворяет свойству Нетрудно убедиться, что на прямой существует ровно точки, которые удовлетворяют такому свойству, и это в точности точки пересечения внутренних и общих касательных, значит, совпадает с одной из них.

Пусть — диаметр большей из трёх окружностей, — её центр, центр окружности радиуса у касающейся окружности с диаметром в точке центр окружности радиуса , касающейся окружности с диаметром в точке , окружности с центром — в точке , отрезка — в точке

Точки и лежат на одной прямой, поэтому Аналогично и Следовательно, периметр треугольника равен

Пусть точки и симметричны относительно точкам и соответственно. Тогда окружность вписана в треугольник и касается в точке Медиана является средней линией в треугольниках и так что Поскольку — середина утверждение задачи равносильно тому, что прямая содержит среднюю линию треугольника (параллельную ), то есть утверждение равносильно параллельности

Пусть касается и в точках и соответственно, а касается отрезков и в точках и соответственно. Заметим, что

Аналогично, если вписанная окружность треугольника касается в точке то

Однако

так что и потому

Из доказанного следует, что вневписанные окружности треугольников и также касаются отрезка в одной и той же точке симметричной относительно (поскольку ). Гомотетия с центром переводящая прямую в прямую переводит вневписанную окружность треугольника в окружность то есть точку — в Значит, лежит на прямой но, поскольку имеем то есть что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание 1. После первого абзаца решение также можно завершить применением теоремы Брианшона к описанному (около ) шестиугольнику Теорема утверждает, что три главных диагонали этого шестиугольника пересекаются в одной точке или попарно параллельны; в нашей задаче реализуется второй случай, то есть

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание 2. Из утверждения задачи следует, что центр вписанной окружности треугольника лежит на Существуют способы решить задачу, доказав этот факт.

Первое решение. Обозначим точку касания окружности с отрезком через Пусть прямая, проходящая через и параллельная пересекает отрезок в точке (см. первый рисунок). Тогда

(из упомянутых выше касания и параллельности). Значит, четырёхугольник вписанный. Имеем

Следовательно, четырёхугольник вписанный. Тогда

откуда Значит, прямые и ограничивают параллелограмм, откуда Так как

то точка лежит на окружности Раз то окружность касается отрезка в точке что и требовалось.

Второе решение. Обозначим через центр окружности пусть — её радиус и — расстояние от точки до прямой Обозначим через центр окружности пусть — её радиус и — расстояние от точки до прямой Мы докажем более общий факт:

В частности, если то и первое равносильно касанию прямой и окружности второе — касанию прямой и окружности

Если то точки и а также и симметричны относительно центра параллелограмма, и в силу этой центральной симметрии и откуда следует

Иначе без ограничения общности будем считать, что луч пересекает луч обозначим их точку пересечения через (см. второй рисунок).

Обозначим через углы при вершинах и параллелограмма Разберём случай в других случаях рассуждение аналогично. Тогда

поэтому равнобедренные треугольники и подобны, откуда и

(последнее равенство следует из теоремы Фалеса). Следовательно, треугольники и подобны по углу и отношению заключающих сторон. Значит,

и Тогда следовательно,

что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Соотношение () равносильно тому, что угол между окружностью и прямой равен углу между окружностью и прямой

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Пусть окружность касается отрезка в точке и вторично пересекает прямую в точке Обозначим вторую точку пересечения окружности с прямой через (см. третий рисунок). Тогда отрезки и симметричны относительно серединного перпендикуляра к а отрезки и — относительно серединного перпендикуляра к поэтому Поскольку окружность касается отрезка то точка лежит на луче Значит, точка лежит на луче причём

Поскольку окружность касается отрезка в точке и Значит,

Мы позднее докажем, что отсюда следует равенство

сначала завершим решение задачи с его помощью: отметим на отрезке точку так, что

и

Если точка отлична от концов отрезка полученные равенства означают, что окружности и касаются прямой в точке Если эти окружности не совпадают, то они обе не совпадают и с окружностью но в таком случае и — радикальные оси этих трех окружностей. Однако, прямые и пересекаются в точке не лежащей на прямой противоречие. Значит, на самом деле окружности и совпадают, а тогда это и есть окружность и она касается в точке Если точки и совпадают, нужно, как обычно, под окружностью понимать окружность, проходящую через и касающуюся в точке

В случае, когда совпадает с одним из концов отрезка возможна лишь ситуация и тогда то есть а также Итого, окружность касается в точке

Остаётся доказать соотношение Положим Из сказанного выше, векторы равны по длине, обозначим её а также равны их проекции на ось, сонаправленную вектору обозначим такую проекцию Положим Тогда и По теореме Птолемея для четырёхугольников и мы получаем, что

и

Отметим, что эти равенства будут выполняться вне зависимости от взаимного расположения точек и и Итого, соотношение имеет вид

После возведения в квадрат и сокращения общих слагаемых, получается симметричное по и равенство:

Следовательно,

а это в точности соотношение что и требовалось.

Из условия следует, что окружности и касаются , а значит, и Тогда

значит, вписанный. Тогда

Аналогично

Заметим, что и — средние линии треугольников и поэтому и Тогда

По свойству касательной и секущей к окружности имеем откуда

Аналогично получаем

Деля одно на другое и пользуясь тем, что находим

Получаем, что треугольники и подобны по углу и отношению прилежащих сторон.

Тогда Получается, что в описанной окружности треугольника угол, опирающийся на хорду равен углу между хордой и прямой Это значит, что прямая касается окружности, описанной вокруг треугольника Следовательно, рассматриваемые окружности касаются.

Будем обозначать окружность, описанную около треугольника

Из касания окружности и прямой имеем а из параллельности имеем Таким образом, следовательно, четырехугольник вписанный. Аналогично вписанный.

Отсюда, с использованием параллельности получаем: Но из равенства следует касание окружности и прямой Аналогично доказываем касание окружности и прямой

Поскольку описанная окружность треугольника касается прямой Кроме того, поскольку — центр описанной окружности треугольника откуда Значит, откуда Аналогично,

По условию, то есть Из предыдущего абзаца мы знаем, что тогда т.е. точки и лежат на одной прямой.

Осталось посчитать уголки. Например, это можно сделать так: