Термодинамика цикла —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31640

Вычислите КПД циклов, изображённых на рисунках. Рабочим телом служит идеальный одноатомный газ.

Показать ответ и решение

1. Работа газа в процессе равна площади треугольника.

A = p0V0

Положительное количество теплоты газ получает только в процессе 1–2, тогда

3- 19p0V0- Q1 −2 = ΔU1 −2 + A1− 2 = 2(6p0V0 − p0V0) + 2p0v0 = 2

Откуда КПД

A 2 η = -- = --- Q 19

2. Работа газа за цикл равно площади прямоугольника

A = 2p0V0

Количество теплоты положительно в процессах 1-2 и 2-3, тогда

3 3 Q1 −2 = ΔU1 −2 = -(2p0V0 − p0V0) = --p0V0 2 2

Q2 −3 = ΔU2 − 3 + A2 −3 = 3(6p0V0 − 2p0V0 ) + 4p0V0 = 20p0V0 2 2

Откуда КПД

η = -----A-------= 4-- Q1 −2 + Q2−3 23

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31641

На диаграмме зависимости температуры $T$ газа от объема $V$ для гелия в количестве $ν =1 моль$ показано, что сначала газ переводится из состояния с температурой $T1 = 100 К$ в процессе 1 – 2 прямо пропорциональной зависимости температуры от объема, при этом объем газа увеличивается в 2 раза. Затем газ охлаждается до температуры $T3 = T1$ в изохорическом процессе 2–3. Далее в изотермическом процессе 3–1 газ переходит в начальное состояние, при этом внешнее давление совершает над газом работу $A31 =576 Дж$ .
1. Найти максимальную температуру газа в этом цикле.
2. Найти работу, совершенную газом в процессе 1 – 2.
3. Найти КПД цикла.
(«Физтех», 2019, 11)

Источники: Физтех, 2019, 11

Показать ответ и решение

1) По уравнению Менделеева-Клапейрона:

pV = νRT,

где $ν$ – количество вещества, $p$ – давление газа.
Тогда

pV-= νR =const. T

Так как по условию $T =αV$ , где $α$ – некоторый постоянный коэффициент.
Тогда для процесса 1-2:

p2V2- p1V1- αV2 = αV1 ⇒ p2 = p1.

То есть давление постоянно. Тогда по закону Гей-Люссака:

V2 = V1 ⇒ T2 = T1V2 = T12V1-= 2T1 = 200 К T2 T1 V1 V1

$T2 = 2V1,Tmax = T2 = 2T1 = 200 К T1 V1$
2) Так как 1-2 – изобара, то работа газа равна:

A12 = p1(V2− V1)= p1V1 = νRT1 ≈ 831 Д ж

3) Работа газа за цикл равна:

A = A12+ A23+ A31,

так как в процессе 2-3 объём постоянен, то работа равна нулю, при этом $A = −A 31 1$ . При этом газ получает количество теплоты в процессе 1-2, значит, КПД равно:

A η = Q12.

Количество теплоты в процессе 1-2 можно найти по первому началу термодинамики:

Q12 = ΔU12+ A12,

где $ΔU12$ – изменение внутренней энергии.
Изменение внутренней энергии равно:

ΔU12 = 3νR(T2− T1)= 3νRT1. 2 2

Откуда:

Q = 3 νRT + νRT = 5νRT ≈ 2077,5 Дж 12 2 1 1 2 1

КПД

A12− A31 831 Дж − 576 Д ж η =---Q12-- = ---2077,5 Д-ж---≈ 0,12

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Уравнение Менделеева-Клапейрона	2

Первый закон термодинамики, формула работы и изменения внутренней энергии газа	2

Найдена максимальная температура в цикле	2

Найдена работа в процессе 1-2	2

Найден КПД цикла	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31642

Газообразный гелий совершает цикл, состоящий из изобарического расширения 1-2, адиабатического процесса 2-3 и изотермического сжатия 3-1 (см. рисунок). КПД цикла равен $η$ .
1) Найти отношение работы газа за цикл к работе газа в процессе 2-3.
2) Найти отношение работы газа в процессе 2-3 к работе над газом при его сжатии.
(«Физтех», 2016, 10-11)

Источники: Физтех, 2016, 10-11

Показать ответ и решение

Так как процесс 1–2 является изобарой, разность внутренних энергий газа в точках 1 и 2 и тепло, полученное газом на этом участке можно выразить как:

ΔU12 = U2 − U1 = 3-p12ΔV12 = 3A12, Q12 = ΔU12 + A12 = 5A12 2 2 2

Участок 3–1 - изотермическое сжатие, поэтому изменение внутренней энергии газа происходит только на участках 1–2 и 2–3. На участке 2–3 процесс адиабатический, тогда по первому началу термодинамики (внутренняя энергия в точке 3 соответствует энергии в точке 1, т.к. 3–1 – изотерма):

0 = U1 − U2 + A23 ⇒ U2 − U1 = A23 = ΔU12 = 3A12 ⇒ A12 = 2A23 2 3

Работа газа за цикл равна сумме работ на каждом из участков цикла:

A = A12 + A23 + A31

Тогда КПД цикла выражается (количество теплоты нагревателя определяется только участком 1-2):

-A-- -A--- ---A---- η = Q = 5A = 5 ⋅ 2A 12 2 12 2 3 23

⇒ x = -A-- = 5-η 1 A23 3

Отношение работы газа в процессе 2–3 к работе над газом при его сжатии (также учтём, что $A31 < 0$ ):

x = -A23-- 2 − A31

Выразим работу газа за цикл иначе:

5 2 A = ηQ12 = --⋅-A23 η 2 3

A = A + A + A = 2-A + A + A = 5A + A 12 23 31 3 23 23 31 3 23 31

5- 5- 5- ⇒ 3A23 η = 3A23 + A31 ⇒ − A31 = 3A23 (1 − η )

Тогда:

x = -A23--= ---3---- 2 − A31 5(1 − η)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31644

Идеальный одноатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изобар и двух адиабат. Найдите КПД цикла, если работа, совершённая над газом при изобарическом сжатии, в три раза меньше работы, совершённой газом при изобарическом расширении.
(«Физтех», 2012)

Источники: Физтех, 2012

Показать ответ и решение

Так как процесс 1–2 и 3–4 изобарные, то из первого начала термодинамики

5- Q12 = 2A12

5 Q34 = -A34 2

КПД цикла равно

η = Q12-−-Q34- Q12

Так как по условию $A = 3A , 12 34$ то КПД цикла равно

3A − A 2 η = --------= -. 3A 3

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31645

Определите коэффициент полезного действия теплового двигателя, работающего по циклу, приведённому на графике. Процессы 1-2 и 3-4 — изохорические. В процессах 2-3 и 3-4 давление прямо пропорционально объёму. Рабочее тело — одноатомный идеальный газ. Известно, что $p2∕p1 = V4 ∕V2 = 6$ . Ответ дайте в процентах, округлив до десятых.
(«Физтех», 2014, 11 )

Источники: Физтех, 2014, 11

Показать ответ и решение

Ввиду того, что процессы 2-3 и 3-4 являются прямой пропорциональностей давения от объема, можно заключить, что

p1 = aV2

p2 = bV2

тогда

p4 = aV4 = 6V2

p3 = 6bV3

имеем

p2 = bV2 = 6p1 = 6aV2 ⇒ b = 6a ⇒ p3 = 12aV1

Работа газа на процессах 1-2-3, где подводилась теплота

1- 1- 2 A1− 2− 3 = 2(p2 + p3)(V4 − V2) = 2(6aV1 + 12aV1 )(5V1) = 45aV 1

Работа газа на процессах 3-4-1, где отводилась теплота

A = − 1(aV + 6aV )(5V ) = − 17,5V 2 3− 4− 1 2 1 z 1 1

Теперь расчитаем изменения внутренней энергии

3- 2 2 15- 2 U1− 2 = 2(6aV 2 − aV1 ) = 2 aV 1

U2 −3 = 99aV12

U3 −4 = − 54aV12

U4 −1 = − 52,5aV12

Посчитаем теплоту, которая была получена на каждом из процессов

15 Q1 −2 = A1 −2 + U1−2 = ---aV12 2

Q2−3 = 111aV 12

Q = − 54aV 2 3−4 1

Q4 −1 = − 70

Искомый КПД цикла

Q − Q η = --1−2−3----3−4−-1= 0,205 = 20,5% Q3− 4− 1

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записана зависимость давления от объема	2

Формула работы газа	2

Формула изменения внутренней энергии газа	2

Первый закон термодинамики и формула КПД	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31646

На рисунке представлена $pV$ -диаграмма процесса над идеальным одноатомным газом, некоторое количество которого является рабочим телом тепловой машины. В этом цикле расширение газа происходит адиабатически. Давление газа в точке 2 на $n%$ больше его давления в точке 1, а объём в точке 3 — на $k%$ больше объёма в точке 1. Известно, что $n$ и $k$ связаны соотношением $n∕k = 8∕3$ . Найти КПД цикла.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2015, 10-11)

Источники: Покори Воробьёвы горы, 2015, 10-11

Показать ответ и решение

Поскольку процесс 2-3 адиабатический, газ получает тепло только в процессе 1-2, а отдает – только в процессе 3-1. По условию:

p2 = (n + 1)p1,V3 = (k + 1)V1

Работа газа в изохорическом процессе равна нулю, распишем по первому началу термодинамики подведенное и отведенное от газа за цикл тепло:

Q н = Q1− 2 = ΔU1 −2

Qх = Q3−1 = ΔU3− 1 + A3−1

Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, для процессов 1-2 и 3-1 получим:

νR ΔT = V (p − p) = np V 1−2 1 2 1 1 1

νR ΔT3− 1 = p1(V1 − V3) = − kp1V1

Работа в процессе 3-1:

A3 −1 = p1(V1 − V3) = − kp1V1

Тогда:

Q н = 3 νRΔT1 −2 = 3 np1V1 2 2

Q = 3νR ΔT + p (V − V ) = − 5kp V х 2 3−1 1 1 3 2 1 1

КПД цикла:

|Qх| 5k- 5 3 η = 1− Qн = 1− 3n = 1− 8 = 8 = 0,375 = 37,5%

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записана связь $p 2$ и $p, 1$ $V 3$ и $V 1$	2

Записано первое начало термодинамики для системы	2

Для процессов $1 − 2$ и $3− 1$ верно записаны ур-ния Клапейрона-Менделеева	2

Записано верное выржаение для работы газа в процессе $3− 1$	2

Получено верное выражение для КПД цикла, получен верный численный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31647

Рассмотрите два цикла, совершаемых над идеальным газом (рис.). В первом из них газ адиабатически сжимают из состояния 1 до состояния 2, затем изотермически расширяют до состояния 3 и наконец изохорически возвращают в исходное состояние 1. КПД такого цикла обозначим $η V$ . Во втором цикле газ адиабатически сжимают из состояния 1 до состояния 2, затем изотермически расширяют до состояния 4 и наконец изобарически возвращают в исходное состояние 1. КПД такого цикла обозначим $ηp$ . Сравните $ηV$ и $ηp$ .
Примечание. В адиабатическом процессе $pVγ = const$ , где $γ = Cp∕CV$ . При изотермическом расширении идеального газа от объёма $Va$ до объёма $Vb$ им совершается работа

A = νRT ln-Vb ab Va

(Всеросс., 2006, финал, 10 )

Источники: Всеросс., 2006, финал, 10

Показать ответ и решение

Будем обозначать физические величины, соответствующие определённым состояниям, подстрочными индексами. По определению,

Q Q ηV = 1− --31, ηp = 1− --41, Q23 Q24

где $Q31$ - теплота, выделившаяся на участке $3− 1,Q23$ - теплота, выделившаяся на участке 2-3, $Q41$ - теплота, выделившаяся на участке 4-1, $Q24−$ теплота, выделившаяся на участке 2-4. Здесь

( ) V3 Q31 = νCV (T2 − T1), Q23 = A23 + U23 = νRT2 ln V2

где $A23$ - работа газа на участке $2 − 3,U23−$ изменение внутренней энергии газа на участке $2− 3$ , причём $U23 = 0$ , так как $2− 3−$ изотерма. С учётом равенства $V3 = V1$ запишем

( ) Q = νRT ln V1 23 2 V2

Теперь воспользуемся уравнением адиабаты: $p1V1γ= p2Vγ2$ , откуда

V1 (p2)1∕γ V2 = p1

После подстановки этого соотношения в выражение для $Q 23$ получим:

( ) ( ) Q23 = νRT2 1-ln p2 = νRT2 CV-ln p2 γ p1 Cp p1

Коэффициент полезного действия

Cp(T2 − T1) ηV = 1− RT2-ln-(p2∕p1)

Аналогичным образом находим

( ) Q41 = νCp (T2 − T1), Q24 = νRT ln V4 V2

Точки (2) и (4) лежат на одной изотерме, следовательно $νRT2 = p2V2 = p4V4$ : откуда

V4 p2 V2 = p4

C учётом равенства $p4 = p1$ для $ηp$ окончательно запишем:

C (T − T ) ηp = 1 −--p--2---1-- RT2 ln (p2∕p1)

Из (5) и (6) видно, что $ηp = ηV$ .
(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31648

На графике в координатах «давление — температура» показан цикл постоянного количества одноатомного идеального газа, являющегося рабочим телом тепловой машины. Диаграмма процесса 1 – 2 – участок параболы, проходящей через начало координат, процесса 2 – 3 – участок прямой, проходящей через начало координат, а процесс 3 – 1 – адиабатический. Модуль работы в адиабатическом процессе составляет $60%$ от работы газа в процессе 1 – 2. Найти КПД цикла.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2019, 10–11 )

Источники: Покори Воробьёвы горы, 2019, 10–11

Показать ответ и решение

Идентифицируем процессы в нашем цикле: в процессе 1-2 $T = const⋅p2$ . В соответствии с уравнением Менделеева-Клапейрона $T = pvVR-$ , и поэтому в этом процессе $p = α ⋅V$ , то есть давление газа растет пропорционально объему. Работа газа равна площади под диаграммой процесса в координатах $p− V$ (площади трапеции), то есть

p-(V1)-+-p(V2) α- α( 2 2) A12 = 2 (V2 − V1) = 2 (V2 + V1)(V2 − V1) = 2 V2 − V1 .

При этом изменение температуры:

1 α ( 2 2) ΔT = vR-(p2V2 − p1V1) = vR- V2 − V1 ,

поэтому $A12 = vR-ΔT 2$ .

К газу подводится количество теплоты

3 Q12 = A12 + ΔU12 = A12 + 2vR ΔT = 4A12.

Процесс 2-3 $(T = const⋅p)$ очевидно является изохорным охлаждением (работа не совершается, теплота отводится от газа). В процессе 3-1 теплообмена нет, а работа отрицательна и, согласно условию, $A = − 0,6A 31 12$ . Таким образом, теплота нагревателя $QH = Q12 = 4A12$ , а работа в цикле $A = A12 + A31 = 0,4A12$ . Следовательно, КПД цикла:

A-- η = QH = 0,1

.
(Официальное решение ПВГ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано верное выражение для работы газа на участке $1 − 2$	2

Получена связь работы $A12$ и изменения температуры газа на участке $1− 2$	2

Получено верное выражение для подводимого на участке $1 − 2$ кол-ва теплоты	2

Верно проанализирован участок $2− 3,$ записано верное выражение для работы на участке $3− 1$	2

Получено верное выражение для КПД цикла	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31694

Одноатомный идеальный газ нагревается в изохорическом процессе 1–2, затем расширяется в адиабатическом процессе 2–3 и сжимается в изобарическом процессе 3–1 (см. рис.). Отношение работы газа $A 23$ в процессе 2–3 к работе над газом $A 31$ ( $A > 0 31$ ) в процессе 3–1

A23 36 ---- = --- A31 7

В процессе сжатия объём газа уменьшается в 8 раз.
1) Найти отношение температур $T ∕T 2 3$ в состояниях 2 и 3.
2) Найти КПД цикла.
(«Физтех», 2018, 10)

Источники: Физтех, 2018, 10

Показать ответ и решение

1) Первое начало термодинамики в процессе 2-3:

0 = νCV (T3 − T2) + A23

A31 = P1(V3 − V1 ) = νR (T3 − T1)

T3-= V3-= 8 T1 V1

A 36 --23 = --- A31 7

Откуда

T2- T3 = 4

2) Тогда КПД цикла

Q12 + Q23 + Q31 Q31 νCp (T3 − T1) 58 η = ----------------= 1 + ----= 1 − --------------= --- Q12 Q12 νCV (T2 − T1) 93

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#33989

Постоянное количество гелия является рабочим телом тепловой машины, цикл которой в координатах «давление-плотность» показан на рисунке. Найти максимальный КПД этой тепловой машины (т. е. в пренебрежении всеми потерями, кроме передачи тепла холодильнику). Криволинейный участок диаграммы — гипербола $pρ$ = const.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2016, 10–11)

Источники: Покори Воробьёвы горы, 2016, 10–11

Показать ответ и решение

Удобно перейти к координатам давление-объем: в рассматриваемом цикле один из процессов – изохорное охлаждение, другой – изобарное сжатие, а третий процесс соответствует в координатах $p − V$ диаграмме в виде $-p = const V$ (см. рисунок, на котором введено обозначение $m V0 = 2ρ0$ , $m$ – масса гелия).

В таком процессе удобно вычислять работу $A = p0V0. 2$ и теплоту, отданную холодильнику (это сумма количеств теплоты, отведенной от газа в изохорном и изобарном процессах)

Q Х = 3p0 ⋅2V0 + 5 p0V0 = 11p0V0. 2 2 2

Значит

--A---- -1 η = A +Q Х = 12.

(Официальное решение ПВГ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Осуществлен переход к координатам «давление - объем»	2

Записано верное выражение для работы газа за цикл	2

Определено количество теплоты, отданное холодильнику за цикл	2

Записано выражение для КПД	2

Получен верный численный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#33990

С одним молем одноатомного идеального газа происходит циклический процесс, график которого в координатах «давление-объём» приведён на рисунке. Найти КПД процесса. Все необходимые величины даны на рисунке.
(«Росатом», 2015, 10 )

Источники: Росатом, 2015, 10

Показать ответ и решение

Работа газа за цикл равна площади цикла

7pV- A = 2

Газ получает тепло от нагревателя в процессе расширения от $V$ до $2V$ и от $2V$ до $3V$ . Применяя ко всему этому процессу первый закон термодинамики, получаем

Q = A+ ΔU = 11pV-+ 33pV-= 44pV- 2 2 2

Отсюда

η = A-= -7 = 15,9% Q 44

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Правильно найдена работа газа за цикл	2

Верно и обоснованно определены участки цикла, на которых газ получает тепло	2

Правильно найдено количество теплоты на указанных выше участках	4

Получен правильный ответ для КПД	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#33992

С одноатомным идеальным газом проводят циклы 1–2–3–4–1 и 1–2–4–1, показанные на рисунке. Найдите КПД обоих циклов. КПД какого из циклов больше и на сколько? Молярная теплоёмкость одноатомного идеального газа при постоянном объёме $C = 3R∕2 V$ .
(«Курчатов», 2015, 11)

Источники: Курчатов, 2015, 11

Показать ответ и решение

Пусть $ν$ – количество газа, участвующего в циклах, $p0V0 = νRT0$ .Рассмотрим цикл 1-2- 3-4-1.Работа, совершаемая газом за цикл, равна площади, ограниченной графиком цикла:

A1 = 2p0 ⋅2V0 = 4p0V0.

Теплота подводится к газу на участках 1-2 и 2-3. На участке 1-2 к газу подводится количество теплоты

3 Q12 = CV ν(T2 − T1) = 2(3p0V0 − p0V0) = 3p0V0.

а на участке 2-3

5 Q23 = Cpν (T3 − T2) =-(9p0V0 − 3p0V0) = 15p0V0. 2

КПД рассматриваемого цикла:

η = ---A1----= 2. 1 Q12 + Q23 9

Теперь рассмотрим цикл 1-2-4-1.Работа, совершаемая газом за этот цикл,равна

1 A2 = 22p0 ⋅2V0 = 2p0V0

Теплота к газу подводится на участке 1-2 ( $Q12 = 3p0V0$ ) и, возможно, на участке 2-4. Запишем уравнение участка 2-4:

p-= 4 − V-. p0 V0

Запишем первое начало термодинамики для малого участка процесса 2-4

3 3 ΔQ = ΔU + ΔA = CVνΔT + pΔV = 2νRΔT + pΔV = 2 Δ(pV) +pΔV.

Считая, что $Δp$ и $ΔV$ малы, получим $Δ (pV) = pΔV + VΔp$ и

5 3 ΔQ = 2pΔV + 2V Δp.

Для процесса 2-4, где $( V ) p = p0 4− -- , V0$ получаем $p Δp = − -0ΔV V0$ и

(5 ( V ) 3V ) ( 2V ) ΔQ = p0 2 4− V- − 2V- ΔV = 2 5− -V- p0ΔV. 0 0 0

Видно, что при(обозначим это состояние цифрой 5), теплота перестает подводиться к газу.В состоянии 5 давление равно $p = 3∕2p0$ . Поэтому на участке 2-4 к газу подводится теплота на участке 2-5,а на участке 5-4 теплота от газа отводится. Количество теплоты, подводимое на участке 2-5, равно:

3 1 Q24 = 2(1,5p) ⋅2,5V0 − 3p0V0)+ 2(3p0 + 1,5p0)(2,5V0 − V0) = 4,5p0V0.

КПД цикла 1-2-4-1

η = ---A2----= -4. Q12 + Q24 15

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Верно записаны выражения для работы и кол-ва теплоты, подводимого к газу за
цикл 1-2-3-4-1, получено верное численное значение КПД	2

Рассмотрен цикл 1-2-4-1: верно указано выражение для работы газа, записано уравнение процесса на участке 2-4	2

Рассмотрен малый участок процесса 2-4, сделан верный вывод о связи малых изменений объема и давления	2

Сказано и обосновано, на каких участках цикла теплота подводится, а на каких - отводится	2

Получено верное выражение для кол-ва теплоты, подводимого на участке 2-5, получено верное численное значение КПД цикла 1-2-4-1	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#33994

Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс $A$ , состоящий из двух изохор и двух изобар. Затем тот же газ совершает аналогичный процесс $B$ (рис.). КПД какого процесса больше? Полагая КПД процесса $A$ заданным и равным $η A$ , вычислите $η B$ . В обоих процессах $Δp = Δp = Δp 21 32$ и $ΔV = ΔV = ΔV 21 32$ , но их числовые значения неизвестны.
(Всеросс., 2008, РЭ, 10 )

Источники: Всеросс., 2008, ОЭ, 10

Показать ответ и решение

Пусть за цикл газ совершает работу $A0 = ΔpΔV$ . Тогда $ηA = A0∕Q425$ , где подведённое к газу количество теплоты $Q425 = U54 + A25$ . Аналогично $ηB = A0∕Q798$ , где $Q798 = U87 + A98$ . Заметим, что $A98 = A25 + A0$ . Сравним изменения внутренних энергий $U 54$ и $U 87$ . Выражение для $U 87$ :

U87 = CV (T8 − T7) = CV-(p3V2 − p2V1) = R = CV-(p2V2 − p1V1 + ΔpΔV ) = CV-(p2V2 − p1V1 + A0 ). R R

Аналогичным образом получим, что

U = CV- (p V − p V ) = CV-(p V − p V + ΔpΔV ) = CV-(p V − p V + A ), 54 R 2 3 1 2 R 2 2 1 1 R 2 2 1 1 0

то есть $U54 = U87$ . Отсюда

A A A A η ηA = ---0 = -----0---, ηB = ---0 = -------0----- = ---A--. Q425 U54 +A25 Q798 U54 + A25 + A0 1 + ηA

Откуда $ηB < ηA$ .

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#33995

Известно, что КПД двигателя, работающего по циклическому процессу 1–2–3–4–1, график которого в координатах $p − V$ представляет собой параллелограмм, равен $η$ . Найти КПД двигателя, работающего по циклическому процессу 1–3–4–1. Рабочее тело двигателя — одноатомный идеальный газ.
(«Росатом», 2012, 11 )

Источники: Росатом, 2012, 11

Показать ответ и решение

КПД циклического процесса определяется как отношение работы, совершённой газом в течение цикла, к количеству теплоты, полученной газом от нагревателя за цикл. В применении к процессам 1-2-3-4-1 и 1-3-4-1 это определение даёт:

-A--- η = Q ; (1 ) 123 η = (A∕2)-, (2) 1 Q13

где $A$ - работа, совершённая газом в процессе 1-2-3-4-1. В этих формулах учтено:

1) поскольку работа, совершённая газом в циклическом процессе, равна площади цикла в координатах $p − V$ , то работа газа в процессе 1-3-4-1 вдвое меньше работы в процессе 1-2-3-4-1;

2) в процессе 1-2-3-4-1 газ получал тепло на участке 1-2-3, а в процессе 1-3-4-1 - на участке 1-3. Свяжем количества теплоты $Q123$ и $Q13$ для чего применим к этим процессам первый закон термодинамики:

Q123 = ΔU13 + A123, Q13 = ΔU13 + A13

где $ΔU13$ - изменение внутренней энергии газа, $A123$ и $A13$ - работы газа в процессах 1-2-3 и 1-3 соответственно. Объединяя две последние формулы и учитывая, что работа газа в любом процессе равна площади трапеции под графиком процесса в координатах $p − V$ (и потому разность $A123$ и $A13$ равна площади треугольника 123, т.е. $A ∕2$ ), получим

Q123 − Q13 = A ∕2 (3)

Выражая $Q13$ из формулы (3), подставляя это выражение в (2) и учитывая (1), получим

A ∕2 (A∕Q123 ) η η1 = -------------= ------------- = ------ Q123 − (A∕2 ) 2 − (A∕Q123 ) 2 − η

(Официальное решение Росатома)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#40902

Определите КПД $η$ циклического процесса 11’231, который совершается с одним молем одноатомного идеального газа. $pV$ -диаграмма цикла изображена на рисунке. Кривая 11’2 на диаграмме – четверть дуги окружности (при соответствующем выборе масштабов). Объём газа в цикле меняется в диапазоне от $V0$ до $2V0$ , давление меняется в диапазоне от $p0$ до $2p0$ .

(Всеросс., 2021, МЭ-Пермь, 11)

Источники: Всеросс., 2021, МЭ, 11

Показать ответ и решение

Площадь прямоугольника, в который вписан данный цикл, соответствует работе $p0V0$ (при данном выборе масштабов этот прямоугольник выглядит как квадрат). Работа, которую совершил газ за цикл 11’231 равна площади четверти круга:

π A = -p0V0 4

Газ получает тепло от нагревателя только на участке 11’2:

( π ) 3 (π 11 ) Q12 = A12 + ΔU12 = -p0V0 + p0V0 + -(4p0V0 − p0V0 ) = -- + --- p0V0 4 2 4 2

Тогда КПД цикла:

-A-- --π---- η = Q = π + 22 ≈ 0,1249 ≈ 0,125 = 12, 5% 12

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#40903

Двумя молями гелия совершили циклический процесс 1-2-3-1 (см. рисунок), в котором участок 2-3 – процесс с постоянной молярной теплоемкостью $C = R ∕2$ , участок 3-1 – изотерма. Определите работу, совершенную газом в этом цикле, если количество теплоты, отданное на участке 3-1, равно $Q$ , а разность максимальной и минимальной температур цикла $ΔT$ .

(Всеросс., 2020, МЭ, 11)

Источники: Всеросс., 2020, МЭ, 11

Показать ответ и решение

Работу цикла можно вычислить геометрически как площадь, ограниченную контуром в координатах $pV$ . Вычислим работу в процессе 1-2 как площадь под графиком:

A12 = 1-(p1 + p2) ⋅ (V2 − V1) = 1-(p1V2 + p2V2 − p1V1 − p2V1) 2 2

Учтем, что на данном участке давление пропорционально объему: $p = kV$ , тогда:

1- 1- A12 = 2 (kV1V2 + p2V2 − p1V1 − kV2V1 ) = 2νR ΔT

На участке 2-3 процесс происходит при постоянной теплоемкости $C$ , значит, первое начало термодинамики можно записать в виде:

− C νΔT = ΔU + A = − 3νR ΔT + A 23 23 2 23

Здесь учтено, что изменение температуры газа в процессе 2-3 равно ( $− ΔT$ ). Отсюда получаем:

3 ( 1 3) A23 = − C νΔT + -νR ΔT = − --+ -- νR ΔT = νR ΔT 2 2 2

В результате, работа в процессе 1-2-3 определяется суммой:

3- A123 = 2νR ΔT

Для определения работы цикла вычтем работу на возвратной изотерме 3-1. Она как раз равна отданной в этом процессе теплоте. Окончательно получаем:

3- A1231 = 2νR ΔT − Q

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#49350

Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изохоры 1–2, участка 2–3 линейной зависимости давления от объёма и изобары 3–1 (см. рисунок; координаты точек 1, 2 и 3 указаны). Рабочим веществом служит одноатомный идеальный газ. Вычислите КПД этого двигателя.

Показать ответ и решение

Работа газа за цикл равна площади треугольника

A = 2p0V0

Найдем количество теплоты, полученное газом, в каждом процессе

3- Q1 −2 = ΔU1 − 2 = 2(3p0V0 − p0V0) = 3p0V0

Найдем критическую точку, до которой еще подводится тепло, для этого введем уравнение прямой

p(V-) −-3p0 = V--−-V-−-0-⇒ p(V ) = − p0V + 4p p0 − 3p0 3V0 − V0 V0 0

Тогда $pV = − p0-V 2 + 4p V V0 0$ или в приращениях $Δ (pV ) = − 2p0V ΔV + 4p ΔV V0 0$
Тогда количество теплоты

3 3p p ΔQ = -Δ (pV ) + p(V)ΔV = − --0V ΔV + 6p0ΔV − --0V ΔV + 4p0ΔV 2 V0 V0

Чтобы $ΔQ$ было положительным, должно быть выполнено условие $10 Vk < --V0 = 2,5V0 4$ . Тогда давление равно $pk = 1,5p0$ . Тогда количество теплоты получено на участке $2 − k$

3 3p + 1,5p 9 Q2− k = ΔU2 −k + A2− k = -(3,75p0V0 − 3p0V0 ) + --0-------0(2,5V0 − V0) = -p0V0 2 2 2

Q = ΔU + A = 3(p V − 3p V ) − 2p V < 0 3− 1 3−1 3−1 2 0 0 0 0 0 0

Откуда КПД

η = -----A-------= 4-- Q1 −2 + Q2−k 15

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#49569

Тепловая машина работает по циклу, состоящему из изохоры, изобары и участка прямо пропорциональной зависимости давления $P$ от объема $V$ (см. рис.). Рабочее вещество — одноатомный идеальный газ.
1. Найти отношение молярных теплоемкостей на тех участках цикла, где происходило повышение температуры газа.
2. Найти в изобарном процессе отношение количества теплоты, полученной газом, к работе газа.
3. Найти предельно возможное максимальное значение КПД такого цикла.
(«Физтех», 2020, 11)

Источники: Физтех, 2020, 11

Показать ответ и решение

1) Увеличение температуры происходит на участках 1–2 и 2–3. Так как участок 1–2 – изохорный процесс, 2–3 – изобарный:

C12-= CV-= 3- C23 CP 5

2) Выразим тепло, полученное газом и работу газа через разность температур в точках 1 и 2:

Q23-= νCP-(T3-−-T2)-= νCP-(T3-−-T2)-= CP- = 5- A23 P2(V3 − V2) νR (T3 − T2) R 2

3) Работа газа за цикл, с учётом прямой пропорциональности на участке 1–3: $P(V ) = αV$ , также пусть $V3 = kV1$ :

A = 1-(P − P )(V − V ) = 1αV 2(k − 1)2 2 3 1 3 1 2 1

Тепло, полученное газом за цикл:

3 1 Q123 = -νR (T3 − T1 ) + P3 (V3 − V1) =--αV12(k − 1)(5k + 3) 2 2

Тогда КПД цикла:

A k − 1 1 ( 8 ) η = -----= -------= -- 1 − ------- Q123 5k + 3 5 5k + 3

КПД будет максимальным, при $k → ∞$ :

1- ηmax = 5(1 − 0) = 0,2

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Формула количества теплоты	2

Формула работы газа	2

Первый закон термодинамики	2

Формула КПД	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#49570

С идеальным одноатомным газом проводят циклический процесс, состоящий из двух изохор и двух адиабат. В процессе адиабатического расширения газ совершает работу $A$ , а процессе изохорического нагревания к газу подводят количество теплоты $Q$ . КПД цикла равен $η$ . Найдите отношение изменений температуры в процессах адиабатического расширения и сжатия.
(«Физтех», 2012)

Источники: Физтех, 2012

Показать ответ и решение

Найдем работу газа $A ′$ в процессе адиабатического сжатия

A-+-A-′ ′ η = Q ⇒ A = ηQ − A

Так как процессы адиабатические, то $Q = 0$ , откуда

ΔU = A ⇒ 3νR ΔT = A 2

Тогда отношение температур

ΔT1-- A-- ---A---- ΔT2 = A ′ = ηQ − A

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#49571

Тепловая машина работает по замкнутому циклу (см. рисунок). Процесс 1-2 – изобарический; 2-3 – адиабатический; 3-1 – изотермический. Рабочее вещество – $ν$ молей одноатомного идеального газа. В процессе 1-2 объём газа увеличивается в $β = 5$ раз. В процессе изотермического сжатия от газа отводится количество теплоты $Q$ ( $Q > 0$ ). Во всём цикле 1-2-3-1 машина совершает работу $A$ . Найти максимальную температуру газа в цикле.
(«Физтех», 2007)