tmp (работа над текущими задачами)

Докажите, что при выполнено неравенство

Попарно различные действительные числа и удовлетворяют условию

Чему может быть равно

Упростить выражение

и найти его значение при

Имеется два сплава меди и олова. Первый весит 5 кг и содержит меди, второй весит 3 кг и содержит меди. Какого веса надо взять куски этих сплавов, чтобы после их совместной переплавки получить 4 кг сплава, содержащего меди?

Решите неравенство

О треугольнике известно, что длины сторон и диаметр вписанной окружности являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите периметр треугольника, если диаметр вписанной окружности равен 6.

Решите систему уравнений

если .

Какое наибольшее количество квадратиков можно поместить, располагая стороны квадратиков по линиям сетки, в клеточный прямоугольник если любым двум квадратикам можно иметь либо одну общую клеточку, либо ни одной?

Даны многочлены и оба степени со старшими коэффициентами У каждого из них ровно различных целых корней. Известно, что все корни многочлена четны, а все корни многочлена нечетны. Докажите, что у многочлена не может быть целых корней.

Дана двусторонняя линейка без делений. Этот инструмент позволяет делать две операции:

1) провести прямую через две данные точки;

2) провести прямую, параллельную данной, на расстоянии 1 от нее.

Постройте с ее помощью (и не используя никакие другие инструменты) правильный треугольник.

На плоскости отмечено 8 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Между каждыми двумя проведен либо красный, либо синий отрезок. Красные отрезки не имеют общих точек, кроме, возможно, отмеченных точек. Обязательно ли найдется треугольник с вершинами в отмеченных точках, все стороны которого синие?

Разрежьте фигуру, составленную из одинаковых равносторонних треугольников (см. рисунок), на три (не обязательно равные) части и сложите из них равносторонний треугольник.

По кругу стоит несколько коробок. В одной из них 2025 камней, а остальные пусты. Разрешается взять два камня (возможно, из разных коробок) и переложить один в соседнюю коробку по часовой стрелке, а другой — в соседнюю против часовой стрелки. Через некоторое время все камни оказались в одной и той же коробке, соседней с начальной. Докажите, что один из камней побывал во всех коробках.

Существует ли функция определенная на всей числовой прямой, такая, что для любого выполнено равенство

Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, год — замечательный, поскольку делится на Сколько ещё замечательных годов в XXI веке (с по год включительно)?

При каких положительных значениях и достигается наибольшее значение выражения?

Квадрат со стороной и квадрат со стороной имеют общую вершину при этом точка лежит на отрезке Найдите наибольшее и наименьшее возможные значения площади параллелограмма если точка лежит на отрезке и делит его в отношении

На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске.

На окружности длиной 1 метр отмечена точка. Из неё в одну и ту же сторону одновременно побежали два таракана с различными постоянными скоростями. Каждый раз, когда быстрый таракан догонял медленного, медленный мгновенно разворачивался, не меняя скорости. Каждый раз, когда они встречались лицом к лицу, быстрый мгновенно разворачивался, не меняя скорости. На каком расстоянии от отмеченной точки могла произойти их сотая встреча?

На стороне остроугольного треугольника выбраны точки и так, что Точки и выбраны соответственно на отрезках и так, что и Докажите, что точка пересечения медиан треугольника равноудалена от прямых и