Тема 2. Задачи на векторы

2.06 Скалярное произведение векторов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#244

Найдите скалярное произведение $−−→ MN (0;4)$ и $−−→ PQ(3;5).$

Показать ответ и решение

$PIC$

Скалярное произведение векторов с координатами $(x1;y1)$ и $(x2;y2)$ равно

x1⋅x2+ y1⋅y2.

В данной задаче

( ) −M−→N, −P−→Q =0 ⋅3+ 4⋅5= 20.

Ответ: 20

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1568

Найдите скалярное произведение векторов $−−→ MN (−1;−1)$ и $−−→ PQ (3;8).$

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов с координатами $(x1;y1)$ и $(x2;y2)$ равно

x1⋅x2+ y1⋅y2

Тогда искомое скалярное произведение равно

( ) −M−N→, −−P→Q = −1 ⋅3 + (− 1) ⋅8 = −11

Ответ: -11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67842

Даны векторы $⃗a(− 1;4)$ и $⃗b(2;5).$ Найдите скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗ b.$

Показать ответ и решение

Скалярное произведение двух векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x x + y y 1 2 1 2

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b= −1 ⋅2 + 4⋅5= 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#67947

Даны векторы $⃗a(7;−3)$ и $⃗b(5;12).$ Найдите скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b.$

Показать ответ и решение

Скалярное произведение двух векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно, скалярное произведение наших векторов равно

⃗ ⃗a⋅b= 7 ⋅5 + (− 3) ⋅12 = 35 − 36 = −1.

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#67841

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите скалярное произведение этих векторов.

$xy110⃗a⃗b$

Показать ответ и решение

Как известно, если $A(x1;y1)$ и $B (x2;y2)$ — точки на координатной плоскости, то вектор $−→ AB$ имеет координаты $(x2− x1;y2− y1).$ Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b:$

⃗a =(5− 2;9− 3)= (3;6) ⃗b= (1− 7;1− 3)= (− 6;− 2)

Скалярное произведение двух векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b= 3 ⋅(−6)+ 6⋅(−2)= − 30

Ответ: -30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#67945

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

$xy110⃗a⃗b$

Источники: СтатГрад 24.04.2024

Показать ответ и решение

Если $A(x1;y1)$ и $B(x2;y2)$ — точки на координатной плоскости, то вектор $−A→B$ имеет координаты

(x2− x1;y2− y1)

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b:$

⃗a = (5 − 1;8− 2)= (4;6) ⃗b =(11− 5;3− 5)= (6;−2)

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b= 4 ⋅6 +6 ⋅(− 2)= 24 − 12 = 12

Ответ: 12

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#67946

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

$xy110⃗a⃗b$

Показать ответ и решение

Если $A(x1;y1)$ и $B(x2;y2)$ — точки на координатной плоскости, то вектор $−A→B$ имеет координаты

(x2− x1;y2− y1)

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b:$

⃗a =(8− 2;9− 5)= (6;4) ⃗b= (4− 7;2− 6)= (− 3;− 4)

Скалярное произведение двух векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a ⋅⃗b = 6⋅(− 3)+4 ⋅(− 4)= −18− 16= −34

Ответ: -34

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#67843

Даны векторы $( ) ⃗a 5;5 3$ и $⃗b(4;2).$ Найдите угол между векторами $⃗a$ и $⃗b.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Скалярное произведение двух векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b= |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosα

Здесь $|⃗a|$ — длина вектора $⃗a,$ $α$ — угол между векторами $⃗a$ и $⃗b.$

Найдем длины векторов $⃗a$ и $⃗ b :$

∘ 25----- 5√ -- |⃗a|= 9-+ 25= 3 10 ∘------ √ -- |⃗b|= 42 +22 = 20

С другой стороны, скалярное произведение двух векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2

То есть в нашем случае

⃗ 5 50 ⃗a⋅b= 3 ⋅4+ 5⋅2= 3

Таким образом, получаем уравнение

50 5√ -- √-- √2 -3 = 3 10 ⋅ 20⋅cosα ⇔ cosα= 2--

Так как $α ∈[0∘;180∘],$ то $α = 45∘.$

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#879

$ABCD$ – трапеция с основаниями $AB$ и $CD$ , причём $∠ABC = 90∘$ , $BC = 1$ , $(A⃗C, BD⃗ ) = 0,5$ . Найдите $(A⃗B, C⃗D )$ .

Показать ответ и решение

$A⃗C = A⃗B + B⃗C$ , $BD⃗ = B⃗C + CD⃗$

$PIC$

тогда

0,5 = (A⃗C, BD⃗ ) = (A⃗B + B⃗C, B⃗C + C⃗D ) = (AB⃗ + B⃗C, B⃗C ) + (A ⃗B + B⃗C, C⃗D ) = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = (AB, BC ) + (BC, BC ) + (AB, CD ) + (BC, CD )

Так как $ABCD$ – трапеция, а $∠ABC = 90∘$ , то и $∠DCB = 90 ∘$ , следовательно, $(A⃗B, B⃗C ) = (B⃗C, C⃗D ) = 0$ , тогда

0,5 = (A⃗B, CD⃗ ) + (B⃗C, B⃗C ) = (A⃗B, C⃗D ) + 1,

откуда получаем, что $(A⃗B, C⃗D ) = − 0,5$ .

Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#68047

Дан треугольник $ABC.$ Точка $N$ делит медиану $CM$ этого треугольника пополам, а точка $K$ лежит на стороне $BC,$ причем $CK :KB = 3:1.$ Найдите скалярное произведение $−−→ −−→ KN ⋅BP ,$ если $BP = 1$ — медиана треугольника $ABC.$

$CABMNPK$

Показать ответ и решение

Примем $−C−→P =⃗b,$ $−C−K→ = 3⃗a. 2$ Тогда $−C→A = 2⃗b,$ $−−C→B = 2⃗a.$ Рассмотрим рисунок:

$3 CABMN⃗bPK2⃗a$

Заметим, что существует следующий факт:

( ) −A−A→1 = 1 ⋅ −A→B + −A→C , где A1 — середина BC 2

Тогда

−−→ ⃗ CM = ⃗a+ b −−→ 1−−→ 1 1⃗ CN = 2CM = 2⃗a+ 2b −−→ 3 KC = −2⃗a −−→ BP =⃗b − 2⃗a −K−N→ = −−K→C + −C−→N = 1⃗b− ⃗a= 1−B−→P 2 2

Отсюда следует, что

( ) | | −−→ −−→ 1 −−→ −−→ 1 ||−−→ ||2 1 2 KN ⋅BP = 2 ⋅ BP ⋅BP = 2 |BP | = 2 ⋅1 = 0,5

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#68050

Даны ненулевые векторы $⃗a$ и $⃗b,$ причем известно, что вектор $⃗b$ в два раза длиннее вектора $⃗a.$ Найдите угол между векторами $⃗a$ и $⃗ b,$ если скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗a− ⃗b$ равно нулю. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Если принять $−C→A = ⃗b,$ $−C−→B = ⃗a,$ то $−A→B = ⃗a− ⃗b= ⃗c.$ Тогда мы получаем треугольник $ABC.$

$CAB⃗a⃗c⃗b$

Так как скалярное произведение $0= ⃗a ⋅⃗c = |⃗a|⋅|⃗c|⋅cos∠ (⃗a,⃗c),$ то $cos∠(⃗a,⃗c) =0,$ откуда следует, что $∠(⃗a,⃗c)= 90∘.$ Следовательно, $△ABC$ — прямоугольный с $∠B = 90∘.$

Из условия следует, что $AC = 2BC,$ значит, $∘ ∠A = 30 .$ Но тогда $∘ ∘ ∘ ∠(⃗a,⃗b)= ∠C = 90 − 30 = 60 .$

Ответ: 60

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#68051

Даны два единичных неколлинеарных вектора $⃗i$ и $⃗j,$ а также вектор $⃗a= −⃗i+ ⃗j$ длиной $√- 2.$ Найдите скалярное произведение $⃗⃗ i⋅j.$

Показать ответ и решение

Так как $⃗a = −⃗i+ ⃗j,$ то получим следующую картинку:

$IJA⃗j⃗i⃗a$

Получили $△AIJ.$ Из условия следует, что $AI = AJ = 1,$ $√ - IJ = 2.$ Но тогда стороны $△AIJ$ удовлетворяют равенству $IJ2 = AI2+ AJ2.$ Значит, по обратной теореме Пифагора $∠IAJ = 90∘.$ Следовательно, $⃗i⊥ ⃗j,$ а значит, скалярное произведение $⃗ ⃗ i⋅j = 0$ (так как $⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ i⋅j = |i|⋅|j|⋅cos∠ (i,j),$ а мы получили, что $∘ cos∠(⃗i,⃗j)= cos90 = 0$ ).

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#68054

Для ненулевых векторов $⃗a$ и $⃗b$ выполнено равенство $∘---- |⃗a|= (⃗a,⃗b),$ где знак $| |$ означает длину, а $( , )$ означает скалярное произведение. Найдите угол между векторами $⃗a$ и $⃗a− ⃗b.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Так как $(⃗a,⃗a)= |⃗a|2,$ то мы имеем $(⃗a,⃗a)= (⃗a,⃗b).$ Отсюда следует, что $⃗ ⃗ 0 =(⃗a,⃗a)− (⃗a,b)= (⃗a,⃗a −b).$ Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗a− ⃗b$ равно нулю, откуда следует, что $⃗a ⊥ ⃗a− ⃗b,$ то есть угол между $⃗a$ и $⃗a − ⃗b$ равен $90∘.$

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#68056

Даны три радиус-вектора $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c,$ концы которых лежат на единичной окружности. Известно, что угол между векторами $⃗a$ и $⃗ b$ — тупой. Найдите $2 2 (⃗a,⃗b) + (⃗b,⃗c) ,$ если известно, что $(⃗a,⃗c) =0.$

$⃗a⃗c⃗b$

Показать ответ и решение

Рассмотрим рисунок:

$xy110⃗a⃗c⃗b$

Из условия следует, что длины всех векторов равны $1.$ Из $(⃗a,⃗c)= 0$ также следует, что $∠(⃗a,⃗c)= 90∘.$

Назовем $∠(⃗b,⃗c) = β.$ Тогда

(⃗a,⃗b)= cos(90∘+β )= − sin β ⃗ (b,⃗c)= cosβ

Так как по основному тригонометрическому тождеству

2 2 ⃗ 2 ⃗ 2 (cosβ) + (− sinβ) = 1 ⇒ (b,⃗c) + (⃗a,b) = 1

Следовательно, ответ: 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#68057

Даны взаимно перпендикулярные векторы $⃗a(3;−2)$ и $⃗b$ равной длины. Найдите ординату вектора $⃗ b,$ если его абсцисса положительна.

Показать ответ и решение

Пусть $⃗b(x;y).$ Так как $⃗a⊥ ⃗b,$ то $(⃗a,⃗b)= 3x− 2y = 0.$ Следовательно,

x = 2 y 3

Примем $x= 2k,$ $y = 3k.$ Тогда $k > 0,$ так как абсцисса вектора $⃗b$ положительна. Также, так как $|⃗a|= |⃗b|,$ то имеем

|⃗a|2 =32+ (−2)2 = |⃗b|2 = (32+22)k2

Отсюда следует, что $k =1.$ Значит, ордината вектора $⃗b$ равна 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#68058

Даны три неколлинеарных вектора $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗x= ⃗a+ ⃗b.$ Известно, что длины векторов $⃗a$ и $⃗ b$ равны. Найдите отношение $⃗ (⃗a,⃗x):(b,⃗x).$

Показать ответ и решение

Рассмотрим это отношение:

(⃗a,⃗x)- (⃗a,⃗a+-⃗b) |⃗a|2+-(⃗a,⃗b) (⃗b,⃗x) = (⃗b,⃗a+ ⃗b) = |⃗b|2+ (⃗a,⃗b)

Но $|⃗a|= |⃗b|$ по условию, следовательно, числитель полученной дроби равен знаменателю. Следовательно, дробь равна $1.$

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#68092

На координатных осях от начала координат отложены векторы $⃗a$ и $⃗b$ и на них, как на катетах, построен прямоугольный треугольник, в котором $⃗ h(1;3)$ — вектор высоты этого треугольника к гипотенузе. Найдите длину вектора $⃗a.$

$⃗⃗ xy⃗abh$

Показать ответ и решение

Пусть $⃗a= (a;0),$ $⃗b= (0;b),$ то есть длины векторов $⃗a$ и $⃗b$ равны $a > 0$ и $b> 0$ соответственно. Тогда нужно найти $a.$

Рассмотрим рисунок:

$⃗⃗⃗xyabh⃗c= ⃗b− ⃗a$

Получаем такой прямоугольный треугольник, построенный на векторах $⃗a,$ $⃗ b$ и $⃗c.$ По условию $⃗h ⊥⃗c.$

Вспомним, что дает перпендикулярность векторов для их скалярного произведения. Два вектора $⃗m(x1;y1)$ и $⃗n(x2;y2)$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

(⃗m,⃗n)= x1x2+ y1y2 =0 ⇔ ⃗m ⊥⃗n

Так как $⃗c= ⃗b− ⃗a =(−a;b),$ то имеем

a ⃗h ⊥⃗c ⇒ −a⋅1+ b⋅3 =0 ⇔ b= 3

Следовательно, $( a ) ⃗c − a;3 .$

Из планиметрии известна формула (произведение катетов равно произведению гипотенузы на проведенную к ней высоту)

a⋅b =2S△ = h ⋅c

Воспользуемся ей:

∘ ------∘ -------(-)- 2 √-- a⋅ a = 12+ 32 ⋅ (−a)2+ a 2 ⇔ a-= √10 ⋅ a-10 ⇔ a = 10 3 3 3 3

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#68451

На координатной плоскости изображен прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC,$ причем точки $A$ и $B$ лежат на осях координат. Найдите косинус острого угла между медианами, проведенными к катетам этого прямоугольного треугольника.

$xyBAC$

Показать ответ и решение

Пусть $A$ и $B$ лежат на осях $Oy$ и $Ox$ соответственно, а $C$ — начало координат. Рассмотрим векторы $−−→ CB1 = ⃗a,$ $−−→ ⃗ CA1 = b,$ где $AA1$ и $BB1$ — медианы, проведенные к катетам. Тогда $−→ CA = 2⃗a,$ $−−→ CB = 2⃗b.$ Причем $|⃗a|= |⃗b|.$ Тогда $−−→ AA1 =− 2⃗a+ ⃗b= (b;−2a)$ $−−→ BB1 = ⃗a− 2⃗b= (− 2b;a).$

$xyC⃗bA⃗aBBA11$

Обозначим $AA1 = BB1 = m.$ Тогда скалярное произведение векторов $−A−A→1$ и $−B−B→ 1$ можно записать двумя способами:

2 2 m2⋅cos(180∘−α )= −2b⋅b+a⋅(− 2a) ⇔ 2(b2+a2)= 4a2 = m2cosα ⇔ cosα = AB--= -8a--= 0,8 2m2 10a2

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#69655

$ABCD$ — четырехугольник со стороной $AB = 2.$ $O$ — такая точка внутри этого четырехугольника, что $−→ −−→ AO = OC,$ $−−→ −−→ BO = OD.$ Найдите скалярное произведение векторов $−→ AB$ и $−−→ CD.$

$ACBDO$

Показать ответ и решение

Рассмотрим чертеж

$ACBDO$

Из равенства векторов $−A→O = −−O→C,$ $−−B→O = −O−→D$ следует, что 1) отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O;$ 2) $O$ — середина этих отрезков. Из этого следует, что $ABCD$ — параллелограмм. Следовательно, $−→ −−→ AB = −CD.$ Следовательно,

−→ −−→ AB ⋅CD = 2 ⋅2 ⋅cos180∘ = −4

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#69772

Дан четырехугольник $ABCD.$ На сторонах $AD$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM :MD = BN :NC = 3:4.$ Точки $K1,$ $K2$ и $K3$ — середины отрезков $AB,$ $MN$ и $CD$ соответственно. Длина отрезка $K1K3 = 7.$ Найдите скалярное произведение $−−−→ −−−→ K1K2 ⋅K2K3.$

$DABCMNKKK123$

Показать ответ и решение

Рассмотрим чертеж

$DABCMNKKK123$

Заметим, что $−−→ −−→ K1A = − K1B,$ $−−−→ −−−→ K2M = −K2N,$ $−−−→ −−→ K3D = −K3C.$

Пусть $−A−→D = 7⃗a,$ $−−B→C = 7⃗b.$ Тогда $−A−M→ = 3⃗a,$ $−M−→D =4⃗a,$ $−−B→N = 3⃗b,$ $−N−→C = 4⃗b.$ Следовательно,

( ) ( ) −K−1−K→2 = 1 −K−1→A + −K−1→B + −A−→M +−B−N→ +−M−K−2→ + −−N−K→2 = 1 3⃗a+ 3⃗b 2 2 −−−→ 1(−−−→ −−−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ ) 1( ) K2K3 = 2 K2M + K2N + MD + NC +DK3 + CK3 = 2 4⃗a+ 4⃗b −−−→ 1(−−→ −−→ −−→ −−→ −−−→ −−→) 1 ( ) K1K3 = 2 K1A + K1B + AD + BC + DK3 + CK3 = 2 7⃗a+ 7⃗b

Таким образом, векторы $−K−1−K→2,$ $−K−2−K→3$ и $−K−1−K→3$ коллинеарны, то есть точки $K1,$ $K2$ и $K3$ лежат на одной прямой. Следовательно, из разложений этих векторов по векторам $⃗a$ и $⃗b$ следует, что $3 K1K2 = 7K1K3 =3,$ $K2K3 = 4 K1K3 =4. 7$ Следовательно,

−−−→ −−−→ ∘ K1K2 ⋅K2K3 =K1K2 ⋅K2K3 ⋅cos0 = 12

Ответ: 12

Предыдущий раздел

Следующий раздел