Тема №20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

02 Задачи №20 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №20. алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104041Максимум баллов за задание: 2

Решите систему уравнений $( { (x − 10)(y− 8)= 0, ( --y−-3-- =5. x+ y− 13$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 1

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение системы:

[ (x− 10)(y − 8)= 0 ⇔ x = 10 y = 8

Преобразуем исходную систему уравнений:

$pict$

Значит, $(6;8)$ — единственное решение исходной системы.

Ответ: (6; 8)

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#104043Максимум баллов за задание: 2

Решите систему уравнений $( { (x − 6)(y− 5)= 0, ( -y-− 2--= 3. x+ y− 8$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение системы:

[ (x− 6)(y − 5)= 0 ⇔ x = 6 y = 5

Преобразуем исходную систему уравнений:

$pict$

Значит, $(4;5)$ — единственное решение исходной системы.

Ответ: (4; 5)

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#104045Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $x6 = (8 − 7x)3.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть как $( ) x6 = x2 3.$ Получим следующее уравнение:

( 2)3 3 x = (8 − 7x) .

Это уравнение равносильно уравнению

2 x = 8− 7x,

так как мы всегда можем извлекать корень нечетной степени из обеих частей уравнения.

Решим полученное уравнение через дискриминант:

x2 = 8− 7x 2 x + 7x− 8= 0 D = 72 +4 ⋅8= 49+ 32= 81 √ -- x = −7-±--81= −-7±-9 ⌊ 2 2 x= −-7+-9= 2 = 1 || 2 2 ⌈x= −-7−-9= −-16= −8 2 2

Получили два корня: $− 8$ и 1.

Ответ:

$− 8; 1$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#104046Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $x6 = −(4x+ 3)3.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 8

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть как $( ) x6 = x2 3$ и в правой часть внесем минус под степень. Получим следующее уравнение:

(x2)3 = (−(4x+ 3))3.

Это уравнение равносильно уравнению

2 x = − (4x+ 3),

так как мы всегда можем извлекать корень нечетной степени из обеих частей уравнения.

Решим полученное уравнение через дискриминант:

x2 =− (4x + 3) 2 x + 4x+ 3= 0 D = 42− 4⋅3= 16− 12= 4 √- x= −-4±--4 = −4-±2- ⌊ 2 2 x= −-4+-2= −1 || 2 ⌈ x= −-4−-2= −3 2

Получили два корня: $− 3$ и $− 1.$

Ответ:

$− 3; −1$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99077Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство $√ - 81− 18x+ x2 < 2(x − 9).$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 15

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

x2− 18x+ 81< √2(x− 9) 2 2 √- x − 2⋅9⋅x+ 9√< 2(x− 9) (x− 9)2 < 2(x− 9) (x − 9)2− √2(x− 9)< 0 ( √ -) (x− 9) x − 9 − 2 < 0

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего в левой части неравенства:

( ) (x− 9) x− 9− √ 2 = 0.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно совокупности:

[x − 9 = 0 [x= 9 √ - ⇔ √ - x − 9 − 2= 0 x= 9+ 2

Рисуем ось, отмечаем на ней нули, выколов их, потому что знак неравенства строгий. Расставляем знаки на промежутках:

$√ - x99+−++ 2$

Таким образом, $( √-) x ∈ 9;9+ 2 .$

Ответ:

$( √ ) 9;9+ 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#104047Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство $√ -- 36− 12x+ x2 < 10(x− 6).$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 16

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

x2 − 12x+ 36< √10-(x − 6) 2 2 √-- x − 2⋅6 ⋅x + 6√ <- 10(x − 6) (x − 6)2 < 10(x− 6) (x− 6)2 − √10-(x − 6) <0 ( √--) (x− 6) x− 6− 10 < 0

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего в левой части неравенства:

( --) (x − 6) x − 6− √10 = 0.

[x − 6= 0 [x= 6 √-- ⇔ √ -- x − 6− 10= 0 x= 6+ 10

$√ -- x66+−++ 10$

Таким образом, $( √--) x ∈ 6;6+ 10 .$

Ответ:

$( √ -) 6;6+ 10$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#42340Максимум баллов за задание: 2

Сократите дробь $n ---80----. 42n−1 ⋅5n−2$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 23

Показать ответ и решение

80n (5⋅16)n 42n−1⋅5n−2-= 42n−1⋅5n−2-= ( 2)n n 2n = -2n5−⋅14-n−2 = 25n−1⋅4-n−2-= 4 ⋅5 4 ⋅5 = 42n−(2n−1)⋅5n−(n−2) = = 41⋅52 = 4⋅25= 100.

Ответ: 100

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#104048Максимум баллов за задание: 2

Сократите дробь $n ---48----. 42n−1 ⋅3n−3$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 24

Показать ответ и решение

48n (16⋅3)n 42n−1⋅3n−3-= 42n−1⋅3n−3-= ( 2 )n 2n n = -2n4−1⋅3n−3 = 24n−1⋅3n−3-= 4 ⋅3 4 ⋅3 = 42n−(2n−1)⋅3n−(n−3) = = 41⋅33 = 4⋅27= 108.

Ответ: 108

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42808Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство $(4x− 7)2 ≥ (7x − 4)2.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 33

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

(4x− 7)2 ≥(7x− 4)2 2 2 (4x− 7) − (7x − 4) ≥ 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

((4x− 7)− (7x− 4))((4x− 7)+ (7x − 4))≥ 0 (4x− 7− 7x+ 4)(4x − 7 +7x − 4)≥ 0 (− 3x− 3)(11x− 11)≥ 0

Домножим на $− 1:$

(3x+ 3)(11x − 11)≤ 0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем нули:

$pict$

Рисуем ось, отмечаем на ней нули и расставляем знаки на промежутках:

$x−1+−+ 1$

Тогда решением неравенства будет $x ∈[−1;1].$

Ответ:

$[−1;1]$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#104072Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство $(2x− 5)2 ≤ (5x − 2)2.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 34

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

(2x− 5)2 ≤(5x− 2)2 2 2 (2x− 5) − (5x − 2) ≤ 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

((2x− 5)− (5x− 2))((2x− 5)+ (5x − 2))≤ 0 (2x− 5− 5x+ 2)(2x − 5 +5x − 2)≤ 0 (− 3x− 3)(7x− 7)≤ 0

Домножим на $− 1:$

(3x+ 3)(7x − 7)≥ 0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем нули:

$pict$

Рисуем ось, отмечаем на ней нули и расставляем знаки на промежутках:

$x−1+−+ 1$

Тогда решением неравенства будет $x ∈(−∞; −1]∪ [1;+∞ ).$

Ответ:

$(−∞; −1]∪ [1;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#42861Максимум баллов за задание: 2

Решите систему уравнений ${ x2 +y2 =25, xy = 12.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

{ 2 2 { 2 2 x + y = 25 ⇔ x + y = 65 xy =12 2xy = 24

Вычтем из первого уравнения второе:

2 2 x + y − 2xy = 25− 24 (x − y)2 = 1 (x− y)2 = 12 2 2 (x − y) − 1 = 0 (x− y− 1)(x − y +1) =0

Тогда

[ x− y = 1 x− y = −1

Прибавим к первому уравнению второе:

x2+ y2+ 2xy = 25+ 24 (x+ y)2 = 49 2 2 (x+ y) = 7 (x +y)2− 72 = 0 (x+ y− 7)(x +y +7) =0

Тогда

[ x+ y = 7 x+ y = −7

Рассмотрим случаи, когда $x+ y = 7$ и когда $x+ y = −7.$

1) Если $x+ y = 7,$ то $x− y$ либо 1, либо $− 1.$ Пусть $x− y = 1.$ Тогда

{x +y = 7 {x = 4 x − y = 1 ⇔ y = 3

Пусть $x − y = −1.$ Тогда

{ { x + y = 7 ⇔ x =3 x − y = −1 y = 4

2) Если $x+ y = −7,$ то $x− y$ либо 1, либо $− 1.$ Пусть $x − y = 1.$ Тогда

{ { x+ y = − 7 x = −3 x− y = 1 ⇔ y = −4

Пусть $x − y = −1.$ Тогда

{x + y = − 7 {x = −4 x− y = − 1 ⇔ y = −3

Мы рассмотрели все случаи и получили четыре решения: $(4;3);$ $(3;4);$ $(−3;−4);$ $(−4;−3).$

Ответ:

$(4;3); (3;4); (−3;−4); (−4;−3)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#22830Максимум баллов за задание: 2

Решите систему уравнений ${ x2 +y2 =65, xy = 8.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

{ 2 2 { 2 2 x + y = 65 ⇔ x + y = 65 xy =8 2xy = 16

Вычтем из первого уравнения второе:

2 2 x + y − 2xy = 65− 16 (x− y)2 = 49 (x− y)2 = 72 2 2 (x − y) − 7 = 0 (x− y− 7)(x − y +7) =0

Тогда

[ x− y = 7 x− y = −7

Прибавим к первому уравнению второе:

x2+ y2+ 2xy = 65+ 16 (x+ y)2 = 81 2 2 (x+ y) = 9 (x +y)2− 92 = 0 (x+ y− 9)(x +y +9) =0

Тогда

[ x+ y = 9 x+ y = −9

Рассмотрим случаи, когда $x+ y = 9$ и когда $x+ y = −9.$

1) Если $x+ y = 9,$ то $x− y$ либо 7, либо $− 7.$ Пусть $x− y = 7.$ Тогда

{x +y = 9 {x = 8 x − y = 7 ⇔ y = 1

Пусть $x − y = −7.$ Тогда

{ { x + y = 9 ⇔ x =1 x − y = −7 y = 8

2) Если $x+ y = −9,$ то $x− y$ либо 7, либо $− 7.$ Пусть $x − y = 7.$ Тогда

{ { x+ y = − 9 x = −1 x− y = 7 ⇔ y = −8

Пусть $x − y = −7.$ Тогда

{x + y = − 9 {x = −8 x− y = − 7 ⇔ y = −1

Мы рассмотрели все случаи и получили четыре решения: $(8;1);$ $(1;8);$ $(−1;−8);$ $(−8;−1).$

Ответ:

$(8;1); (1;8); (−1;−8); (−8;−1)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2