Тема 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

20.02 Задачи №20 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90575

Решите уравнение $x3+ 4x2 = 9x + 36.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 1

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

x3+ 4x2 = 9x+ 36 3 2 x + 4x − 9x− 36= 0 x2(x +4)− 9(x+ 4)= 0 ( 2 ) (x +4) x − 9 = 0

Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

(x +4)(x− 3)(x+ 3)= 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно совокупности:

⌊ ⌊ |x+ 4 =0 |x = −4 ⌈x− 3 =0 ⇔ ⌈x = 3 x+ 3 =0 x = −3

Ответ:

$− 4; −3; 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90568

Решите уравнение $x3+ 5x2 − 4x − 20 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 2

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

x3+ 5x2− 4x− 20= 0 2 x (x +5)− 4(x+ 5)= 0 (x +5)(x2− 4)= 0

Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

(x +5)(x− 2)(x+ 2)= 0

⌊x+ 5 =0 ⌊x = −5 |⌈x− 2 =0 ⇔ |⌈x = 2 x+ 2 =0 x = −2

Ответ:

$− 5; −2; 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90661

Решите систему уравнений ${ 5x2 − 11x =y, 5x − 11 = y.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 3

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение полученной системы:

2 5x − 11x= 5x − 11 5x2− 11x − 5x + 11 = 0 5x2− 16x + 11 = 0 2 2 D =(−16) − 4⋅5⋅11= 256− 220= 36= 6 x= 16-±6 ⌊ 2 ⋅5 x= 1 ⌈x= 11 5

Вернемся к системе:

⌊{ (| ⌊x = 1 | x = 1 |{ ⌈ 11 ||(5x− 11= y || x = 5- ⇔ ||{x = 11 ( 5x− 11= y ⌈( 5 5x − 11 =y

Решим первую систему полученной совокупности:

{ { { x= 1 x= 1 x= 1 5x − 11 = y ⇔ y = 5⋅1− 11 ⇔ y = −6

Решим вторую систему полученной совокупности:

( 11 (| 11 ( 11 { x= -5 ⇔ { x= 5- ⇔ { x= -5 ( 5x− 11= y |( y = 5⋅ 11-− 11 ( y = 0 5

Следовательно, $(1;− 6);$ $( ) 11 5 ;0$ — решения системы уравнений.

Ответ:

$( ) (1;−6); 11;0 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49732

Решите систему уравнений ${ 4x2 − 5x = y, 8x − 10 = y.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 4

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение полученной системы:

2 4x − 5x = 8x− 10 4x2− 5x− 8x+ 10= 0 4x2− 13x + 10 = 0 2 2 D = (− 13) − 4 ⋅4 ⋅10 = 169 − 160 =9 = 3 x= 13-±3 ⌊ 2 ⋅4 x =2 ⌈x = 5 4

Вернемся к системе:

⌊{ (| ⌊x = 2 | x = 2 |{ ⌈ 5 ||(8x− 10= y || x = 4 ⇔ ||{x = 5 ( 8x− 10= y ⌈( 4 8x − 10 =y

Решим первую систему полученной совокупности:

{ { { x = 2 x = 2 x = 2 8x− 10= y ⇔ y =8 ⋅2− 10 ⇔ y = 6

Решим вторую систему полученной совокупности:

( 5 (| 5 ( 5 { x= 4 ⇔ { x= 4 ⇔ { x= 4 ( 8x− 10= y |( y = 8⋅ 5 − 10 ( y = 0 4

Следовательно, $(2;6);$ $( ) 5 4;0$ — решения системы уравнений.

Ответ:

$(2;6),$ $( ) 5;0 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90610

Решите уравнение $x4 = (4x − 5)2.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 7

Показать ответ и решение

Заметим, что $( ) x4 = x22.$ Тогда

x4 = (4x − 5)2 ( )2 x2 = (4x − 5)2 ( 2)2 2 x − (4x− 5) = 0

Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

(x2 − (4x− 5))(x2+(4x− 5))= 0 ( )( ) x2− 4x+ 5 x2+4x − 5 = 0

[ x2 − 4x +5 = 0 x2 +4x − 5 = 0

Решим первое уравнение совокупности:

x2− 4x+ 5= 0 2 D = (−4) − 4⋅1⋅5 =16 − 20 =− 4< 0

Следовательно, первое уравнение совокупности не имеет решений.

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ 4x− 5= 0 D = 42− 4⋅1⋅(−5)= 16+ 20= 36 =62 −-4±-6 x= 2 [x= 1 x= −5

Таким образом,

[ 2 [ x − 4x + 5= 0 ⇔ x= 2 x2+ 4x − 5= 0 x= −5

Ответ:

$− 5; 1$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90608

Решите уравнение $x4 = (3x − 10)2.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 8

Показать ответ и решение

Заметим, что $( ) x4 = x22.$ Тогда

x4 = (3x− 10)2 ( )2 x2 =(3x− 10)2 ( 2)2 2 x − (3x − 10) = 0

Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

(x2 − (3x− 10))(x2+(3x− 10))= 0 ( )( ) x2 − 3x +10 x2+ 3x− 10

[ x2− 3x+ 10= 0 x2+ 3x− 10= 0

Решим первое уравнение совокупности:

x2− 3x+ 10= 0 2 D = (−3) − 4 ⋅1⋅10= 9− 40= −31 <0

Следовательно, первое уравнение совокупности не имеет решений.

Решим второе уравнение совокупности:

x2+ 3x− 10= 0 D = 32− 4⋅1⋅(−10)= 9+ 40= 49 =72 −-3±-7 x= 2 [x= 2 x= −5

Таким образом,

[ 2 [ x − 3x+ 10= 0 ⇔ x =2 x2+ 3x− 10= 0 x =− 5

Ответ:

$− 5; 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90701

Решите систему уравнений ${ 2x2 +y2 = 36, 8x2 +4y2 = 36x.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 9

Показать ответ и решение

Домножим первое уравнение системы на 4:

{ 2 2 8x2+ 4y2= 36⋅4 8x + 4y = 36x

Левые части равны, следовательно, равны и правые части. Тогда

$pict$

Ответ:

$(4;−2); (4;2)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90698

Решите систему уравнений ${ 3x2 +2y2 = 50, 12x2+ 8y2 = 50x.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 10

Показать ответ и решение

Домножим первое уравнение системы на 4:

{ 2 2 12x2 +8y2= 50⋅4 12x +8y = 50x

Левые части равны, следовательно, равны и правые части. Тогда

$pict$

Ответ:

$(4;−1); (4;1)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#55282

Решите уравнение $(x − 3)4− 3(x− 3)2− 10= 0.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 11

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x − 3)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x − 3)4 = (x− 3)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2− 3t− 10 =0 2 2 D = (−3) − 4 ⋅(− 10) =9 +40 = 49 = 7 t = 3±-7 [ 2 t= 5 t= −2

Сделаем обратную замену:

[(x− 3)2 = 5 2 (x− 3) = −2

Так как для любого $x$ верно, что $(x − 3)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x − 3)2 = 5 (x− 3)2 − 5 = 0 2 (√ -)2 (x − 3) − 5 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x − 3) − 5 = 0 ( √-) ( √-) x− 3− 5 x− 3+ 5 = 0

[ √ - [ √ - x − 3 −√ 5= 0 ⇔ x= 3+ √ 5 x − 3 + 5= 0 x= 3− 5

Ответ:

$√ - √ - 3 − 5; 3+ 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90645

Решите уравнение $(x +2)4+ (x+ 2)2 − 12 =0.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 12

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= (x + 2)2 ≥ 0.$ Тогда $( ) (x + 2)4 = (x+ 2)2 2 = t2.$ Решим новое уравнение:

t2+ t− 12= 0 2 2 D = 1 − 4⋅(−12)= 1+ 48= 49= 7 t= −1-±7- [ 2 t= 3 t= −4

Сделаем обратную замену:

[(x+ 2)2 = 3 2 (x+ 2) = −4

Так как для любого $x$ верно, что $(x + 2)2 ≥ 0,$ то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.

Решим первое уравнение:

(x +2)2 = 3 (x+ 2)2 − 3 = 0 2 (√ -)2 (x + 2) − 3 = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 (√ -)2 (x + 2) − 3 = 0 ( √-) ( √-) x+ 2− 3 x+ 2+ 3 = 0

[ √- [ √- x+ 2− √3 =0 ⇔ x = −2+ √3 x+ 2+ 3 =0 x = −2− 3

Ответ:

$√ - √- − 2 − 3; − 2+ 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#42340

Сократите дробь $n ---80----. 42n−1 ⋅5n−2$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 13

Показать ответ и решение

80n (5⋅16)n 42n−1⋅5n−2-= 42n−1⋅5n−2-= ( 2)n n 2n = -2n5−⋅14-n−2 = 25n−1⋅4-n−2-= 4 ⋅5 4 ⋅5 = 42n−(2n−1)⋅5n−(n−2) = = 41⋅52 = 4⋅25 =100

Ответ: 100

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#42458

Решите систему уравнений ${ x2 +y = 7 2x2 − y = 5$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 15

Показать ответ и решение

Преобразуем систему уравнений:

$pict$

Если $x2 = 4,$ то $x =±2.$ Тогда

⌊{ | x = 2 ||{y = 3 |⌈ x = −2 y = 3

Ответ:

$(2;3),$ $(−2;3)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90651

Решите систему уравнений ${ 2x2 +y = 9, 3x2 − y = 11.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 16

Показать ответ и решение

Преобразуем систему уравнений:

$pict$

Если $x2 = 4,$ то $x =±2.$ Тогда

⌊{ | x = 2 ||{y = 1 |⌈ x = −2 y = 1

Ответ:

$(2;1), (−2;1)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#42502

Решите неравенство $− ----17-----≤ 0. x2− 2x − 24$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 17

Показать ответ и решение

----17---- −x2 − 2x − 24 ≤ 0 1 x2−-2x−-24 ≥ 0

Посчитаем дискриминант знаменателя, чтобы разложить его на множители:

D = (−2)2+ 4⋅24= 4⋅25= 100 x = 2+-10 =6 или x= 2-− 10 = −4 2 2

Перепишем наше неравенство:

-----1------ (x− 6)(x + 4) ≥ 0

Воспользуемся методом интервалов, для этого найдем знак неравенства, например при $x =7 :$

-----1----- > 0 (7− 6)(7 +4)

Точки $x= −4$ и $x= 6$ выколотые, так как это нули знаменателя.

$PICT$

Таким образом, ответ $(−∞; − 4)∪(6;+∞ ).$

Ответ:

$(−∞; − 4)∪(6;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#42120

Решите уравнения $(x2 − 25)2+ (x2+2x − 15)2 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 19

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

( 2 )2 (2 )2 x − 25 + x +2x − 15 = 0

Для этого решим уравнение $x2+ 2x− 15 =0.$ По теореме Виета

{ [ x1+ x2 = −2 ⇒ x= 3 x1x2 = −15 x= −5

Тогда

x2+ 2x− 15= (x − 3)(x+ 5)

Следовательно,

( )2 ( )2 x2− 25 + x2 +2x − 15 = 0 ((x− 5)(x +5))2+ ((x− 3)(x + 5))2 = 0 2 2 2 2 (x− 5)(x+ 5) + (x − 3) (x+ 5) =0 (x+ 5)2((x − 5)2+ (x− 3)2)= 0 2( 2 2 ) (x + 5) x − 10x+ 25+ x − 6x+ 9 = 0 (x + 5)2(2x2− 16x+ 34)= 0

[ (x+ 5)2 = 0 2x2− 16x+ 34= 0

Решим первое уравнение совокупности:

(x +5)2 = 0 x+ 5= 0 x = −5

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x − 16x + 34 = 0 D = (−16)2 − 4 ⋅2 ⋅34 = 256 − 272 <0

Следовательно, второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда

[ (x+ 5)2 = 0 2x2− 16x+ 34= 0 ⇔ x= −5

Ответ: -5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90617

Решите уравнение $( ) ( ) x2− 92 + x2+ x− 6 2 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 20

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

(2 )2 ( 2 )2 x − 9 + x + x− 6 = 0

Для этого решим уравнение $x2+ x − 6 = 0.$ По теореме Виета

{ [ x1+ x2 = −1 ⇒ x= 2 x1x2 = −6 x= −3

Тогда

x2+ x− 6= (x− 2)(x+ 3)

Следовательно,

( )2 ( )2 x2 − 9 + x2+ x− 6 = 0 ((x − 3)(x+ 3))2+ ((x − 2)(x+ 3)2 = 0 2 2 2 2 (x− 3)(x+ 3) + (x − 2) (x+ 3) =0 (x+ 3)2((x − 3)2+ (x− 2)2)= 0 2( 2 2 ) (x +3) x − 6x+ 9+ x − 4x+ 4 = 0 (x + 3)2(2x2− 10x+ 13)= 0

[ (x+ 3)2 = 0 2x2− 10x+ 13= 0

Решим первое уравнение совокупности:

(x +3)2 = 0 x+ 3= 0 x = −3

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x − 10x + 13 = 0 D = (−10)2 − 4 ⋅2 ⋅13 = 100 − 104 <0

Следовательно, второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда

[ (x+ 3)2 = 0 2x2− 10x+ 13= 0 ⇔ x= −3

Ответ:

$− 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#57252

Решите уравнение $√----- √ ----- x2− 2x + 6− x = 6− x+ 35.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 21

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ. Подкоренное выражение неотрицательно, поэтому

6− x≥ 0 x ≤6

Решим уравнение на ОДЗ:

2 √----- √ ----- x − 2x +2 6− x = 6− x+ 35 x − 2x− 35= 0 D = (− 2)2− 4⋅(−35)= 4+ 140= 144= 122 2 ±12 x= --2-- [ x= 7 x= −5

Из ОДЗ $x ≤6,$ значит, $x= − 5$ — единственный корень.

Ответ:

$− 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#22829

Решите уравнение $2 √----- √ ----- x − 3x + 5− x = 5− x+ 18.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 22

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ. Подкоренное выражение неотрицательно, поэтому

5− x≥ 0 x ≤5

Решим уравнение на ОДЗ:

2 √----- √ ----- x − 3x +2 5− x = 5− x+ 18 x − 3x− 18= 0 D = (−3)2 − 4 ⋅(− 18) =9 +72 = 81 = 92 3± 9 x = -2-- [ x= 6 x= −3

Из ОДЗ $x ≤5,$ значит, $x= − 3$ — единственный корень.

Ответ:

$− 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#42808

Решите неравенство $(4x− 7)2 ≥ (7x − 4)2.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 23

Показать ответ и решение

2 2 2 2 (4x− 7) ≥(7x− 4) ⇔ (4x − 7) − (7x− 4) ≥0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

((4x− 7)− (7x − 4))((4x− 7)+ (7x − 4))≥ 0 (4x− 7− 7x+ 4)(4x − 7 +7x − 4)≥ 0 (− 3x− 3)(11x− 11)≥ 0

Домножим на $− 1:$

(3x+ 3)(11x − 11)≤ 0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем нули:

1.: $3x+ 3= 0 ⇔ 3x= − 3 ⇔ x= − 1$
2.: $11x − 11 = 0 ⇔ 11x= 11 ⇔ x= 1$

$PICT$

Тогда решением неравенства будет $x ∈[−1;1].$

Ответ:

$[−1;1]$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#42861

Решите систему уравнений ${ x2 +y2 =25, xy = 12.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 25

Показать ответ и решение

Если $y = 0,$ то $xy = 0.$ Значит, $y ⁄= 0.$

Так как $y ⁄= 0,$ то

{x2+ y2 = 25 {x2 + y2 = 25 ⇔ 12 xy = 12 x= y

Подставим $x = 12 y$ в первое уравнение:

(( )2 { { 12y- +y2− 25= 0 ⇔ 1y424+ y2− 25 = 0 (x = 1y2 x= 12y

Решим первое уравнение системы. Так как $y2 ⁄= 0,$ домножим уравнение на $y2 :$

144+ y4− 25y2 = 0 ⇔ (y2)2 − 25y2+ 144= 0

Сделаем замену $t =y2,$ $t ≥0 :$

2 t − 25t+144= 0 D =252− 4⋅144= 625− 576= 49= 72 t1,2 = 25±-7 2 t1 = 16 t2 = 9

Вернёмся к системе:

( 12- ( 12 |{x[ =2 y |{x[ =2 y |( y = 9 ⇔ |( y − 9 =0 y2 = 16 y2− 16 =0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

⌊{ | x= 4 (|x = 12 ||{ y = 3 ( 12- ||||⌊ y || x= −4 |{x[ = y |{| y = 3 ||| y = −3 |( (y− 3)(y +3)= 0 ⇔ |||| y = −3 ⇔ ||{x = 3 (y− 4)(y +4)= 0 ||||⌈ y = 4 || y = 4 ( y = −4 ||{ ⌈ x= −3 y = −4

Получаем ответ: $(3;4);(− 3;− 4);(4;3);(− 4;− 3).$

Ответ:

$(3;4);(−3;−4);(4;3);(−4;−3)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел