01 №25. Тип 4 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#44724Максимум баллов за задание: 2

Углы при одном из оснований трапеции равны $53∘$ и $37∘,$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $53∘,$ а $∠CDA = 37∘.$

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD,$ точка $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

$ANDKLBMCP$

По замечательному свойству трапеции точки $P,$ $M,$ $N$ лежат на одной прямой.

Пусть $AD = b,$ $BC = a.$ Тогда Тогда

$pict$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠AP D +∠P DA + ∠DAP = 180∘.

Значит,

∠AP D = 180∘ − ∠P DA − ∠DAP = = 180∘− 37∘ − 53∘ = 90∘.

Тогда треугольник $AP D$ — прямоугольный. Тогда треугольник $BP C$ тоже прямоугольный.

В треугольнике $BP C$ отрезок $PM$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

PM =BM = MC = a. 2

В треугольнике $AP D$ отрезок $PN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

-b P N = AN = ND = 2 .

Значит,

MN = PN − PM = b− a = b−-a. 2 2 2

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

1 a-+-b 2(AD +BC )= 2 .

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2, поэтому

$pict$

Способ 2.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $53∘,$ а $∠CDA = 37∘.$

Пусть $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ тогда

$pict$

$ANDBMCCEKa2a2a2a2bbb−2−2−2aaa$

Проведем $ME ∥AB,$ тогда $ABME$ — параллелограмм, так как $BM ∥AE$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a BM = AE = 2.

Проведем $MK ∥ CD,$ тогда $KMCD$ — параллелограмм, так как $MC ∥ KD$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a KD = MC = 2.

Значит,

$pict$

$∘ ∠MEK =∠BAN = 53$ как соответственные углы при $AB ∥ ME$ и секущей $AE.$

$∘ ∠MKE =∠CDN =37$ как соответственные углы при $CD ∥ MK$ и секущей $KD.$

Рассмотрим треугольник $EMK.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠MEK + ∠MKE + ∠EMK = 180∘.

Значит,

∘ ∠EMK =180∘ − ∠∘MEK ∘ − ∠MK∘E = = 180 − 53 − 37 = 90 .

Тогда треугольник $EMK$ — прямоугольный.

В треугольнике $EMK$ $MN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

MN = EN = NK = b-− a. 2

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна

BC + AD a+ b ----2--- = -2--= 6.

Значит,

$pict$

Ответ: 8; 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#56379Максимум баллов за задание: 2

Углы при одном из оснований трапеции равны $50∘$ и $40∘,$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13. Найдите основания трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $50∘,$ а $∠CDA = 40∘.$

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD,$ точка $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

$ANDKLBMCP$

По замечательному свойству трапеции точки $P,$ $M,$ $N$ лежат на одной прямой.

Пусть $AD = b,$ $BC = a.$ Тогда

$pict$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠AP D +∠P DA + ∠DAP = 180∘.

Значит,

∠AP D = 180∘ − ∠P DA − ∠DAP = = 180∘− 40∘ − 50∘ = 90∘.

Тогда треугольник $AP D$ — прямоугольный. Тогда треугольник $BP C$ тоже прямоугольный.

В треугольнике $BP C$ отрезок $PM$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

PM =BM = MC = a. 2

В треугольнике $AP D$ отрезок $PN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

-b P N = AN = ND = 2 .

Значит,

MN = PN − PM = b− a = b−-a. 2 2 2

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

1 a-+-b 2(AD +BC )= 2 .

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13, поэтому

$pict$

Способ 2.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $50∘,$ а $∠CDA = 40∘.$

Пусть $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ тогда

$pict$

$aaaabbb−−−aaa ANDBMCCEK2222222$

Проведем $ME ∥AB,$ тогда $ABME$ — параллелограмм, так как $BM ∥AE$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a BM = AE = 2.

Проведем $MK ∥ CD,$ тогда $KMCD$ — параллелограмм, так как $MC ∥ KD$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a KD = MC = 2.

Значит,

$pict$

$∘ ∠MEK =∠BAN = 50$ как соответственные углы при $AB ∥ ME$ и секущей $AE.$

$∘ ∠MKE =∠CDN =40$ как соответственные углы при $CD ∥ MK$ и секущей $KD.$

Рассмотрим треугольник $EMK.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠MEK + ∠MKE + ∠EMK = 180∘.

Значит,

∘ ∠EMK =180∘ − ∠∘MEK ∘ − ∠MK∘E = = 180 − 50 − 40 = 90 .

Тогда треугольник $EMK$ — прямоугольный.

В треугольнике $EMK$ $MN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

MN = EN = NK = b-− a. 2

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна

BC + AD a +b ---2----= --2- = 15.

Значит,

$pict$

Ответ: 28; 2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#58611Максимум баллов за задание: 2

Углы при одном из оснований трапеции равны $80∘$ и $10∘,$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $80∘,$ а $∠CDA = 10∘.$

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD,$ точка $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

$ANDKLBMCP$

По замечательному свойству трапеции точки $P,$ $M,$ $N$ лежат на одной прямой.

Пусть $AD = b,$ $BC = a.$ Тогда

$pict$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠AP D +∠P DA + ∠DAP = 180∘.

Значит,

∠AP D = 180∘ − ∠P DA − ∠DAP = = 180∘− 10∘ − 80∘ = 90∘.

Тогда треугольник $AP D$ — прямоугольный. Тогда треугольник $BP C$ тоже прямоугольный.

В треугольнике $BP C$ отрезок $PM$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

PM =BM = MC = a. 2

В треугольнике $AP D$ отрезок $PN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

-b P N = AN = ND = 2 .

Значит,

MN = PN − PM = b− a = b−-a. 2 2 2

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

1 a-+-b 2(AD +BC )= 2 .

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17, поэтому

$pict$

Способ 2.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $80∘,$ а $∠CDA = 10∘.$

Пусть $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ тогда

$pict$

$aaaabbb−−−aaa ANDBMCCEK2222222$

Проведем $ME ∥AB,$ тогда $ABME$ — параллелограмм, так как $BM ∥AE$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a BM = AE = 2.

Проведем $MK ∥ CD,$ тогда $KMCD$ — параллелограмм, так как $MC ∥ KD$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a KD = MC = 2.

Значит,

$pict$

$∘ ∠MEK =∠BAN = 80$ как соответственные углы при $AB ∥ ME$ и секущей $AE.$

$∘ ∠MKE =∠CDN =10$ как соответственные углы при $CD ∥ MK$ и секущей $KD.$

Рассмотрим треугольник $EMK.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠MEK + ∠MKE + ∠EMK = 180∘.

Значит,

∘ ∠EMK =180∘ − ∠∘MEK ∘ − ∠MK∘E = = 180 − 80 − 10 = 90 .

Тогда треугольник $EMK$ — прямоугольный.

В треугольнике $EMK$ $MN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

MN = EN = NK = b-− a. 2

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна

BC + AD a +b ---2----= --2- = 20.

Значит,

$pict$

Ответ: 37; 3

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#105312Максимум баллов за задание: 2

Углы при одном из оснований трапеции равны $47∘$ и $43∘,$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 14. Найдите основания трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $47∘,$ а угол $CDA$ равен $43∘.$

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD,$ точка $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

$ANDKLBMCP$

По замечательному свойству трапеции точки $P,$ $M,$ $N$ лежат на одной прямой.

Пусть $AD = b,$ $BC = a.$ Тогда

$pict$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠AP D +∠P DA + ∠DAP = 180∘.

Значит,

∠AP D = 180∘ − ∠P DA − ∠DAP = = 180∘− 43∘ − 47∘ = 90∘.

Тогда треугольник $AP D$ — прямоугольный. Тогда треугольник $BP C$ тоже прямоугольный.

В треугольнике $BP C$ отрезок $PM$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

PM =BM = MC = a. 2

В треугольнике $AP D$ отрезок $PN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

-b P N = AN = ND = 2 .

Значит,

MN = PN − PM = b− a = b−-a. 2 2 2

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

1 a-+-b 2(BC +AD )= 2 .

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 14, поэтому

$pict$

Способ 2.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $47∘,$ а угол $CDA$ равен $43∘.$

Пусть $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ тогда

$pict$

$bbb−−−aaa ANDBMCCEKa2a2a2a2222-$

Проведем $ME ∥AB,$ тогда $ABME$ — параллелограмм, так как $BM ∥AE$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

BM = AE = a. 2

Проведем $MK ∥ CD,$ тогда $KMCD$ — параллелограмм, так как $MC ∥ KD$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

KD = MC = a. 2

Значит,

$pict$

$∠MEK =∠BAN = 47∘$ как соответственные углы при $AB ∥ ME$ и секущей $AE.$

$∠MKE =∠CDN =43∘$ как соответственные углы при $CD ∥ MK$ и секущей $KD.$

Рассмотрим треугольник $EMK.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠MEK + ∠MKE + ∠EMK = 180∘.

Значит,

∠EMK =180∘− ∠MEK − ∠MKE = = 180∘− 47∘ − 43∘ = 90∘.

Тогда треугольник $EMK$ — прямоугольный.

В треугольнике $EMK$ отрезок $MN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

MN = EN = NK = b-− a. 2

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон $AB$ и $CD$ — средняя линия, она равна

BC + AD a +b ---2----= --2- = 16.

Таким образом,

$pict$

Ответ: 30; 2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105313Максимум баллов за задание: 2

Углы при одном из оснований трапеции равны $77∘$ и $13∘,$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $77∘,$ а $∠CDA = 13∘.$

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD,$ точка $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

$ANDKLBMCP$

По замечательному свойству трапеции точки $P,$ $M,$ $N$ лежат на одной прямой.

Пусть $AD = b,$ $BC = a.$ Тогда

$pict$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠AP D +∠P DA + ∠DAP = 180∘.

Значит,

∠AP D = 180∘ − ∠P DA − ∠DAP = = 180∘− 13∘ − 77∘ = 90∘.

Тогда треугольник $AP D$ — прямоугольный. Тогда треугольник $BP C$ тоже прямоугольный.

В треугольнике $BP C$ отрезок $PM$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

PM =BM = MC = a. 2

В треугольнике $AP D$ отрезок $PN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

-b P N = AN = ND = 2 .

Значит,

MN = PN − PM = b− a = b−-a. 2 2 2

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

1 a-+-b 2(BC +AD )= 2 .

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10, поэтому

$pict$

Способ 2.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $77∘,$ а $∠CDA = 13∘.$

Пусть $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ тогда

$pict$

$aaaabbb−−−aaa ANDBMCCEK2222222$

Проведем $ME ∥AB,$ тогда $ABME$ — параллелограмм, так как $BM ∥AE$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a BM = AE = 2.

Проведем $MK ∥ CD,$ тогда $KMCD$ — параллелограмм, так как $MC ∥ KD$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a KD = MC = 2.

Значит,

$pict$

$∘ ∠MEK =∠BAN = 77$ как соответственные углы при $AB ∥ ME$ и секущей $AE.$

$∘ ∠MKE =∠CDN =13$ как соответственные углы при $CD ∥ MK$ и секущей $KD.$

Рассмотрим треугольник $EMK.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠MEK + ∠MKE + ∠EMK = 180∘.

Значит,

∘ ∠EMK =180∘ − ∠∘MEK ∘ − ∠MK∘E = = 180 − 77 − 13 = 90 .

Тогда треугольник $EMK$ — прямоугольный.

В треугольнике $EMK$ $MN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

MN = EN = NK = b-− a. 2

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна

BC + AD a +b ---2----= --2- = 11.

Таким образом,

$pict$

Ответ: 21; 1

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105314Максимум баллов за задание: 2

Углы при одном из оснований трапеции равны $7∘$ и $83∘,$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 14 и 11. Найдите основания трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $83∘,$ а $∠CDA = 7∘.$

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD,$ точка $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

$ANDKLBMCP$

По замечательному свойству трапеции точки $P,$ $M,$ $N$ лежат на одной прямой.

Пусть $AD = b,$ $BC = a.$ Тогда

$pict$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠AP D +∠P DA + ∠DAP = 180∘.

Значит,

∠AP D = 180∘ − ∠P DA − ∠DAP = = 180∘− 7∘− 83∘ = 90∘.

Тогда треугольник $AP D$ — прямоугольный. Тогда треугольник $BP C$ тоже прямоугольный.

В треугольнике $BP C$ отрезок $PM$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

PM =BM = MC = a. 2

В треугольнике $AP D$ отрезок $PN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

-b P N = AN = ND = 2 .

Значит,

MN = PN − PM = b− a = b−-a. 2 2 2

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

1 a-+-b 2(AD +BC )= 2 .

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 14 и 11, поэтому

$pict$

Способ 2.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $83∘,$ а $∠CDA = 7∘.$

Пусть $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ тогда

$pict$

$ANDBMCCEKa2a2a2a2bbb−2−2−2aaa$

Проведем $ME ∥AB,$ тогда $ABME$ — параллелограмм, так как $BM ∥AE$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a BM = AE = 2.

Проведем $MK ∥ CD,$ тогда $KMCD$ — параллелограмм, так как $MC ∥ KD$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a KD = MC = 2.

Значит,

$pict$

$∘ ∠MEK =∠BAN = 83$ как соответственные углы при $AB ∥ ME$ и секущей $AE.$

$∘ ∠MKE =∠CDN =7$ как соответственные углы при $CD ∥MK$ и секущей $KD.$

Рассмотрим треугольник $EMK.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠MEK + ∠MKE + ∠EMK = 180∘.

Значит,

∘ ∠EMK =180∘ − ∠M∘EK ∘ − ∠MK∘E = = 180 − 83 − 7 = 90.

Тогда треугольник $EMK$ — прямоугольный.

В треугольнике $EMK$ $MN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

MN = EN = NK = b-− a. 2

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна

BC + AD a +b ---2----= --2- = 14.

Значит,

$pict$

Ответ: 25; 3

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105315Максимум баллов за задание: 2

Углы при одном из оснований трапеции равны $39∘$ и $51∘,$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 3. Найдите основания трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $51∘,$ а $∠CDA = 39∘.$

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD,$ точка $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

$ANDKLBMCP$

По замечательному свойству трапеции точки $P,$ $M,$ $N$ лежат на одной прямой.

Пусть $AD = b,$ $BC = a.$ Тогда

$pict$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠AP D +∠P DA + ∠DAP = 180∘.

Значит,

∠AP D = 180∘ − ∠P DA − ∠DAP = = 180∘− 39∘ − 51∘ = 90∘.

Тогда треугольник $AP D$ — прямоугольный. Тогда треугольник $BP C$ тоже прямоугольный.

В треугольнике $BP C$ отрезок $PM$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

PM =BM = MC = a. 2

В треугольнике $AP D$ отрезок $PN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

-b P N = AN = ND = 2 .

Значит,

MN = PN − PM = b− a = b−-a. 2 2 2

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

1 a-+-b 2(AD +BC )= 2 .

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 3, поэтому

$pict$

Способ 2.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $51∘,$ а $∠CDA = 39∘.$

Пусть $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ тогда

$pict$

$ANDBMCCEKa2a2a2a2bbb−2−2−2aaa$

Проведем $ME ∥AB,$ тогда $ABME$ — параллелограмм, так как $BM ∥AE$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a BM = AE = 2.

Проведем $MK ∥ CD,$ тогда $KMCD$ — параллелограмм, так как $MC ∥ KD$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a KD = MC = 2.

Значит,

$pict$

$∘ ∠MEK =∠BAN = 51$ как соответственные углы при $AB ∥ ME$ и секущей $AE.$

$∘ ∠MKE =∠CDN =39$ как соответственные углы при $CD ∥ MK$ и секущей $KD.$

Рассмотрим треугольник $EMK.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠MEK + ∠MKE + ∠EMK = 180∘.

Значит,

∘ ∠EMK =180∘ − ∠∘MEK ∘ − ∠MK∘E = = 180 − 51 − 39 = 90 .

Тогда треугольник $EMK$ — прямоугольный.

В треугольнике $EMK$ $MN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

MN = EN = NK = b-− a. 2

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна

BC + AD a +b ---2----= --2- = 19.

Значит,

$pict$

Ответ: 22; 16

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105316Максимум баллов за задание: 2

Углы при одном из оснований трапеции равны $86∘$ и $4∘,$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 4 и 1. Найдите основания трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $86∘,$ а $∠CDA = 4∘.$

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD,$ точка $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

$ANDKLBMCP$

По замечательному свойству трапеции точки $P,$ $M,$ $N$ лежат на одной прямой.

Пусть $AD = b,$ $BC = a.$ Тогда

$pict$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠AP D +∠P DA + ∠DAP = 180∘.

Значит,

∠AP D = 180∘ − ∠P DA − ∠DAP = = 180∘− 4∘− 86∘ = 90∘.

Тогда треугольник $AP D$ — прямоугольный. Тогда треугольник $BP C$ тоже прямоугольный.

В треугольнике $BP C$ отрезок $PM$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

PM =BM = MC = a. 2

В треугольнике $AP D$ отрезок $PN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

-b P N = AN = ND = 2 .

Значит,

MN = PN − PM = b− a = b−-a. 2 2 2

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

1 a-+-b 2(AD +BC )= 2 .

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 4 и 1, поэтому

$pict$

Способ 2.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $86∘,$ а $∠CDA = 4∘.$

Пусть $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ тогда

$pict$

$aaaabbb−−−aaa ANDBMCCEK2222222$

Проведем $ME ∥AB,$ тогда $ABME$ — параллелограмм, так как $BM ∥AE$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a BM = AE = 2.

Проведем $MK ∥ CD,$ тогда $KMCD$ — параллелограмм, так как $MC ∥ KD$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a KD = MC = 2.

Значит,

$pict$

$∘ ∠MEK =∠BAN = 86$ как соответственные углы при $AB ∥ ME$ и секущей $AE.$

$∘ ∠MKE =∠CDN =4$ как соответственные углы при $CD ∥MK$ и секущей $KD.$

Рассмотрим треугольник $EMK.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠MEK + ∠MKE + ∠EMK = 180∘.

Значит,

∘ ∠EMK =180∘ − ∠M∘EK ∘ − ∠MK∘E = = 180 − 86 − 4 = 90.

Тогда треугольник $EMK$ — прямоугольный.

В треугольнике $EMK$ $MN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

MN = EN = NK = b-− a. 2

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна

BC + AD a+ b ----2--- = -2--= 4.

Значит,

$pict$

Ответ: 5; 3

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105317Максимум баллов за задание: 2

Углы при одном из оснований трапеции равны $39∘$ и $51∘,$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $51∘,$ а $∠CDA = 39∘.$

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD,$ точка $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

$ANDKLBMCP$

По замечательному свойству трапеции точки $P,$ $M,$ $N$ лежат на одной прямой.

Пусть $AD = b,$ $BC = a.$ Тогда

$pict$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠AP D +∠P DA + ∠DAP = 180∘.

Значит,

∠AP D = 180∘ − ∠P DA − ∠DAP = = 180∘− 39∘ − 51∘ = 90∘.

Тогда треугольник $AP D$ — прямоугольный. Тогда треугольник $BP C$ тоже прямоугольный.

В треугольнике $BP C$ отрезок $PM$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

PM =BM = MC = a. 2

В треугольнике $AP D$ отрезок $PN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

-b P N = AN = ND = 2 .

Значит,

MN = PN − PM = b− a = b−-a. 2 2 2

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

1 a-+-b 2(AD +BC )= 2 .

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17, поэтому

$pict$

Способ 2.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $51∘,$ а $∠CDA = 39∘.$

Пусть $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ тогда

$pict$

$aaaabbb−−−aaa ANDBMCCEK2222222$

Проведем $ME ∥AB,$ тогда $ABME$ — параллелограмм, так как $BM ∥AE$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a BM = AE = 2.

Проведем $MK ∥ CD,$ тогда $KMCD$ — параллелограмм, так как $MC ∥ KD$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a KD = MC = 2.

Значит,

$pict$

$∘ ∠MEK =∠BAN = 51$ как соответственные углы при $AB ∥ ME$ и секущей $AE.$

$∘ ∠MKE =∠CDN =39$ как соответственные углы при $CD ∥ MK$ и секущей $KD.$

Рассмотрим треугольник $EMK.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠MEK + ∠MKE + ∠EMK = 180∘.

Значит,

∘ ∠EMK =180∘ − ∠∘MEK ∘ − ∠MK∘E = = 180 − 51 − 39 = 90 .

Тогда треугольник $EMK$ — прямоугольный.

В треугольнике $EMK$ $MN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

MN = EN = NK = b-− a. 2

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна

BC + AD a +b ---2----= --2- = 19.

Значит,

$pict$

Ответ: 36; 2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105318Максимум баллов за задание: 2

Углы при одном из оснований трапеции равны $18∘$ и $72∘,$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 4. Найдите основания трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $72∘,$ а $∠CDA = 18∘.$

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD,$ точка $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

$ANDKLBMCP$

По замечательному свойству трапеции точки $P,$ $M,$ $N$ лежат на одной прямой.

Пусть $AD = b,$ $BC = a.$ Тогда

$pict$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠AP D +∠P DA + ∠DAP = 180∘.

Значит,

∠AP D = 180∘ − ∠P DA − ∠DAP = = 180∘− 18∘ − 72∘ = 90∘.

Тогда треугольник $AP D$ — прямоугольный. Тогда треугольник $BP C$ тоже прямоугольный.

В треугольнике $BP C$ отрезок $PM$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

PM =BM = MC = a. 2

В треугольнике $AP D$ отрезок $PN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

-b P N = AN = ND = 2 .

Значит,

MN = PN − PM = b− a = b−-a. 2 2 2

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна

1 a-+-b 2(AD +BC )= 2 .

По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 4, поэтому

$pict$

Способ 2.

Пусть в трапеции $ABCD$ угол $BAD$ равен $72∘,$ а $∠CDA = 18∘.$

Пусть $M$ — середина $BC,$ точка $N$ — середина $AD.$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ тогда

$pict$

$aaaabbb−−−aaa ANDBMCCEK2222222$

Проведем $ME ∥AB,$ тогда $ABME$ — параллелограмм, так как $BM ∥AE$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a BM = AE = 2.

Проведем $MK ∥ CD,$ тогда $KMCD$ — параллелограмм, так как $MC ∥ KD$ как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма

a KD = MC = 2.

Значит,

$pict$

$∘ ∠MEK =∠BAN = 72$ как соответственные углы при $AB ∥ ME$ и секущей $AE.$

$∘ ∠MKE =∠CDN =18$ как соответственные углы при $CD ∥ MK$ и секущей $KD.$

Рассмотрим треугольник $EMK.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠MEK + ∠MKE + ∠EMK = 180∘.

Значит,

∘ ∠EMK =180∘ − ∠∘MEK ∘ − ∠MK∘E = = 180 − 72 − 18 = 90 .

Тогда треугольник $EMK$ — прямоугольный.

В треугольнике $EMK$ $MN$ — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

MN = EN = NK = b-− a. 2

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна

BC + AD a +b ---2----= --2- = 15.

Значит,

$pict$

Ответ: 19; 11

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

01 Задачи №25 из банка ФИПИ → 01.04 №25. Тип 4