Тема №25. Геометрические задачи повышенной сложности

01 Задачи №25 из банка ФИПИ → 01.13 №25. Тип 13

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №25. геометрические задачи повышенной сложности

Разделы подтемы Задачи №25 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#100358Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B,$ в отношении $5:4,$ считая от точки $B.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ если $BC = 6.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

Пусть $AE$ — биссектриса $∠BAC.$

Пусть $BH$ — высота $△ ABC.$ Пусть $AE ∩ BH = F.$

$54ABCHFE45xxyy$

$AF$ — биссектриса в треугольнике $ABH.$ По свойству биссектрисы:

AH HF 4 AB- = FB-= 5

Пусть $AH = 4y,$ тогда $5⋅AH 5⋅4y AB = --4---= -4-- =5y.$

$BH$ — высота в треугольнике $ABC,$ следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный. Значит

AH- 4y 4 cos∠A = AB = 5y = 5

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α +cos2α= 1.

Поэтому

∘---------- sin ∠A = 1 − cos2∠A = ∘ ---(--)2 = 1 − 4 = 3 5 5

Заметим, что $sin∠A = √1-− cos2∠A,$ а не $sin∠A = −√1-−-cos2∠A,-$ так как $0 <∠A <180∘,$ следовательно, $sin∠A >0.$

По теореме синусов в $△ ABC :$

BC 6 R = 2sin-∠A-= 2⋅ 3-= 5. 5

Ответ: 5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#37459Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B,$ в отношении $13:12,$ считая от точки $B.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ если $BC = 20.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 18

Показать ответ и решение

Пусть $AE$ — биссектриса $∠BAC.$

Пусть $BH$ — высота $△ ABC.$ Пусть $AE ∩ BH = F.$

$11ABCHFE113223xxyy$

$AF$ — биссектриса в треугольнике $ABH.$ По свойству биссектрисы:

AH HF 12 AB-= F-B = 13

Пусть $AH = 12y,$ тогда $13⋅AH 13 ⋅12y AB = --12-- = --12---= 13y.$

$BH$ — высота в треугольнике $ABC,$ следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный. Значит

AH- 12y 12 cos∠A = AB = 13y = 13

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α +cos2α= 1.

Поэтому

∘---------- sin ∠A = 1 − cos2∠A = ∘---(---)2 = 1 − 12 = 5- 13 13

Заметим, что $sin∠A = √1-− cos2∠A,$ а не $sin∠A = −√1-−-cos2∠A,-$ так как $0 <∠A <180∘,$ следовательно, $sin∠A >0.$

По теореме синусов в $△ ABC :$

BC 20 R = 2sin∠A-= 2⋅-5-= 26. 13

Ответ: 26

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#56055Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведенную из вершины $B,$ в отношении $5:3,$ считая от точки $B.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ если $BC = 8.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $AE$ — биссектриса $∠BAC.$

Пусть $BH$ — высота $△ ABC.$ Пусть $AE ∩ BH = F.$

$53ABCHFE35xxyy$

$AF$ — биссектриса в треугольнике $ABH.$ По свойству биссектрисы:

AH HF 3 AB- = FB-= 5

Пусть $AH = 3y,$ тогда $5⋅AH 5⋅3y AB = --3---= -3-- =5y.$

$BH$ — высота в треугольнике $ABC,$ следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный. Значит

AH- 3y 3 cos∠A = AB = 5y = 5

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α +cos2α= 1.

Поэтому

∘---------- sin ∠A = 1 − cos2∠A = ∘ ---(--)2 = 1 − 3 = 4 5 5

Заметим, что $sin∠A = √1-− cos2∠A,$ а не $sin∠A = −√1-−-cos2∠A,-$ так как $0 <∠A <180∘,$ следовательно, $sin∠A >0.$

По теореме синусов в $△ ABC :$

BC 8 R = 2sin-∠A-= 2⋅ 4-= 5. 5

Ответ: 5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#56387Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B,$ в отношении $17:15,$ считая от точки $B.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ если $BC = 16.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $AE$ — биссектриса $∠BAC.$

Пусть $BH$ — высота $△ ABC.$ Пусть $AE ∩ BH = F.$

$11ABCHFE117557xxyy$

$AF$ — биссектриса в треугольнике $ABH.$ По свойству биссектрисы:

AH HF 15 AB-= F-B = 17

Пусть $AH = 15y,$ тогда $17⋅AH 17 ⋅15y AB = --15-- = --15---= 17y.$

$BH$ — высота в треугольнике $ABC,$ следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный. Значит

AH- 15y 15 cos∠A = AB = 17y = 17

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α +cos2α= 1.

Поэтому

∘---------- sin ∠A = 1 − cos2∠A = ∘---(---)2 = 1 − 15 = 8- 17 17

Заметим, что $sin∠A = √1-− cos2∠A,$ а не $sin∠A = −√1-−-cos2∠A,-$ так как $0 <∠A <180∘,$ следовательно, $sin∠A >0.$

По теореме синусов в $△ ABC :$

BC 16 R = 2sin∠A-= 2⋅-8-= 17. 17

Ответ: 17

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105612Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B,$ в отношении $25:24,$ считая от точки $B.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ если $BC = 14.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $AE$ — биссектриса $∠BAC.$

Пусть $BH$ — высота $△ ABC.$ Пусть $AE ∩ BH = F.$

$22ABCHFE225445xxyy$

$AF$ — биссектриса в треугольнике $ABH.$ По свойству биссектрисы:

AH HF 24 AB-= F-B = 25

Пусть $AH = 24y,$ тогда $25⋅AH 25 ⋅24y AB = --24-- = --24---= 25y.$

$BH$ — высота в треугольнике $ABC,$ следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный. Значит

AH- 24y 24 cos∠A = AB = 25y = 25

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α +cos2α= 1.

Поэтому

∘---------- sin ∠A = 1 − cos2∠A = ∘---(---)2 = 1 − 24 = 7- 25 25

Заметим, что $sin∠A = √1-− cos2∠A,$ а не $sin∠A = −√1-−-cos2∠A,-$ так как $0 <∠A <180∘,$ следовательно, $sin∠A >0.$

По теореме синусов в $△ ABC :$

BC 14 R = 2sin∠A-= 2⋅-7-= 25. 25

Ответ: 25

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105613Максимум баллов за задание: 2

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $AE$ — биссектриса $∠BAC.$

Пусть $BH$ — высота $△ ABC.$ Пусть $AE ∩ BH = F.$

$54ABCHFE45xxyy$

$AF$ — биссектриса в треугольнике $ABH.$ По свойству биссектрисы:

AH HF 4 AB- = FB-= 5

Пусть $AH = 4y,$ тогда $5⋅AH 5⋅4y AB = --4---= -4-- =5y.$

$BH$ — высота в треугольнике $ABC,$ следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный. Значит

AH- 4y 4 cos∠A = AB = 5y = 5

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α +cos2α= 1.

Поэтому

∘---------- sin ∠A = 1 − cos2∠A = ∘ ---(--)2 = 1 − 4 = 3 5 5

Заметим, что $sin∠A = √1-− cos2∠A,$ а не $sin∠A = −√1-−-cos2∠A,-$ так как $0 <∠A <180∘,$ следовательно, $sin∠A >0.$

По теореме синусов в $△ ABC :$

BC 12 R = 2sin∠A-= 2⋅ 3-=10. 5

Ответ: 10

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105614Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B,$ в отношении $41:40,$ считая от точки $B.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ если $BC = 18.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $AE$ — биссектриса $∠BAC.$

Пусть $BH$ — высота $△ ABC.$ Пусть $AE ∩ BH = F.$

$44ABCHFE441001xxyy$

$AF$ — биссектриса в треугольнике $ABH.$ По свойству биссектрисы:

AH HF 40 AB-= F-B = 41

Пусть $AH = 40y,$ тогда $41⋅AH 41 ⋅40y AB = --40-- = --40---= 41y.$

$BH$ — высота в треугольнике $ABC,$ следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный. Значит

AH- 40y 40 cos∠A = AB = 41y = 41

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α +cos2α= 1.

Поэтому

∘---------- sin ∠A = 1 − cos2∠A = ∘---(---)2 = 1 − 40 = 9- 41 41

Заметим, что $sin∠A = √1-− cos2∠A,$ а не $sin∠A = −√1-−-cos2∠A,-$ так как $0 <∠A <180∘,$ следовательно, $sin∠A >0.$

По теореме синусов в $△ ABC :$

BC 18 R = 2sin∠A-= 2⋅-9-= 41. 41

Ответ: 41

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105615Максимум баллов за задание: 2

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $AE$ — биссектриса $∠BAC.$

Пусть $BH$ — высота $△ ABC.$ Пусть $AE ∩ BH = F.$

$11ABCHFE113223xxyy$

$AF$ — биссектриса в треугольнике $ABH.$ По свойству биссектрисы:

AH HF 12 AB-= F-B = 13

Пусть $AH = 12y,$ тогда $13⋅AH 13 ⋅12y AB = --12-- = --12---= 13y.$

$BH$ — высота в треугольнике $ABC,$ следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный. Значит

AH- 12y 12 cos∠A = AB = 13y = 13

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α +cos2α= 1.

Поэтому

∘---------- sin ∠A = 1 − cos2∠A = ∘---(---)2 = 1 − 12 = 5- 13 13

Заметим, что $sin∠A = √1-− cos2∠A,$ а не $sin∠A = −√1-−-cos2∠A,-$ так как $0 <∠A <180∘,$ следовательно, $sin∠A >0.$

По теореме синусов в $△ ABC :$

BC 10 R = 2sin∠A-= 2⋅-5-= 13. 13

Ответ: 13

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105616Максимум баллов за задание: 2

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $AE$ — биссектриса $∠BAC.$

Пусть $BH$ — высота $△ ABC.$ Пусть $AE ∩ BH = F.$

$54ABCHFE45xxyy$

$AF$ — биссектриса в треугольнике $ABH.$ По свойству биссектрисы:

AH HF 4 AB- = FB-= 5

Пусть $AH = 4y,$ тогда $5⋅AH 5⋅4y AB = --4---= -4-- =5y.$

$BH$ — высота в треугольнике $ABC,$ следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный. Значит

AH- 4y 4 cos∠A = AB = 5y = 5

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α +cos2α= 1.

Поэтому

∘---------- sin ∠A = 1 − cos2∠A = ∘ ---(--)2 = 1 − 4 = 3 5 5

Заметим, что $sin∠A = √1-− cos2∠A,$ а не $sin∠A = −√1-−-cos2∠A,-$ так как $0 <∠A <180∘,$ следовательно, $sin∠A >0.$

По теореме синусов в $△ ABC :$

BC 18 R = 2sin∠A-= 2⋅ 3-=15. 5

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105617Максимум баллов за задание: 2

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B,$ в отношении $5:3,$ считая от точки $B.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC,$ если $BC = 16.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $AE$ — биссектриса $∠BAC.$

Пусть $BH$ — высота $△ ABC.$ Пусть $AE ∩ BH = F.$

$53ABCHFE35xxyy$

$AF$ — биссектриса в треугольнике $ABH.$ По свойству биссектрисы:

AH HF 3 AB- = FB-= 5

Пусть $AH = 3y,$ тогда $5⋅AH 5⋅3y AB = --3---= -3-- =5y.$

$BH$ — высота в треугольнике $ABC,$ следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный. Значит

AH- 3y 3 cos∠A = AB = 5y = 5

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α +cos2α= 1.

Поэтому

∘---------- sin ∠A = 1 − cos2∠A = ∘ ---(--)2 = 1 − 3 = 4 5 5

Заметим, что $sin∠A = √1-− cos2∠A,$ а не $sin∠A = −√1-−-cos2∠A,-$ так как $0 <∠A <180∘,$ следовательно, $sin∠A >0.$

По теореме синусов в $△ ABC :$

BC 16 R = 2sin∠A-= 2⋅ 4-=10. 5

Ответ: 10

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема