01 №25. Тип 10 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#42344Максимум баллов за задание: 2

Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 23

Показать ответ и решение

Пусть $O$ и $Q$ — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E.$ Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $OA ⊥ AC,OB ⊥ BD,$ $QC ⊥ AC,$ $QD ⊥BD.$

$12EOQNKCABDHM20$

$EA = EB$ как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. $EC = ED$ как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

BD = ED − EB =EC − EA = AC.

Так как меньшая окружность вписана в угол $∠AEB,$ то её центр $O$ лежит на биссектрисе угла $∠AEB,$ поэтому $EO$ — биссектриса угла $∠AEB,$ точки $E,$ $O$ лежат на одной прямой $EO.$

Так как большая окружность вписана в угол $∠CED,$ то её центр $Q$ лежит на биссектрисе угла $∠CED,$ поэтому $\text{[math]}$ — биссектриса угла $∠CED,$ точки $E,$ $Q$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Таким образом, так как $∠CED$ и $∠AEB$ — один и тот же угол, то точки $E,$ $Q,$ $O$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Пусть $M$ — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка $M$ лежит на прямой $\text{[math]}$

Пусть $N$ — точка пересечения $AB$ и $EQ,$ $K$ — точка пересечения $CD$ и $\text{[math]}$

Треугольник $AEB$ равнобедренный и $EN$ — его биссектриса, следовательно, $EN ⊥ AB.$ Треугольник $CED$ равнобедренный и $EK$ — его биссектриса, следовательно, $EK ⊥ CD.$ Значит, $AB ∥ CD.$ Таким образом, в задаче требуется найти $NK.$

Так как $OA ⊥ AC,$ $QC ⊥ AC,$ то $OA ∥ QC.$ Проведём $OH ⊥QC,$ тогда $ACHO$ — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника $AO = CH.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHQ.$ В нём

$pict$

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $CKQ$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠CKQ = 90∘,$ $∠OQC$ — общий. Тогда

OQ HQ CQ-= KQ-- 32 = -8-- 20 KQ KQ =5

Треугольник $EAO$ подобен треугольнику $ECQ$ по двум углам, так как $∘ ∠EAO = ∠ECQ = 90,$ $∠AEO$ — общий. Тогда $∠AON = ∠OQC$ как соответственные.

$∠EAO = ∠ECQ$ как соответственные углы при $AO ∥ CQ$ и секущей $EC.$ $∠EAN = ∠ECK$ как соответственные углы при $AN ∥ CK$ и секущей $EC.$ Тогда

∠NAO = ∠EAO − ∠EAN = ∠ECQ − ∠ECK = ∠KCQ.

$∠EBO = ∠EDQ$ как соответственные углы при $BO ∥DQ$ и секущей $ED.$ $∠EBN = ∠EDK$ как соответственные углы при $BN ∥DK$ и секущей $ED.$ Тогда

∠NBO =∠EBO − ∠EBN = ∠EDQ − ∠EDK = ∠KDQ.

Тогда треугольник $ABO$ подобен треугольнику $CDQ$ по двум углам. Следовательно, $∠AOB = ∠CQD.$

Так как $ON$ — высота в равнобедренном треугольнике $ABO,$ опущенная на основание, то $ON$ — биссектриса,

∠AON = 1 ⋅∠AOB. 2

Так как $QK$ — высота в равнобедренном треугольнике $CDQ,$ опущенная на основание, то $QK$ — биссектриса,

∠CQK = 1 ⋅∠CQD. 2

Поэтому

1 1 ∠AON = 2 ⋅∠AOB = 2 ⋅∠CQD = ∠CQK.

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $ANO$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠ANO = 90∘,$ $∠AON = ∠CQK = ∠OQH.$ Тогда

OQ-= HQ- AO NO 32 = -8- 12 NO NO =3

Тогда

NK = OQ − KQ + NO =32 − 5 +3 = 30.

Ответ: 30

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47409Максимум баллов за задание: 2

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 24

Показать ответ и решение

Пусть $O$ и $Q$ — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E.$ Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $OA ⊥ AC,OB ⊥ BD,$ $QC ⊥ AC,$ $QD ⊥BD.$

$34EOQNKCABDHM65$

$EA = EB$ как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. $EC = ED$ как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

BD = ED − EB =EC − EA = AC.

Так как меньшая окружность вписана в угол $∠AEB,$ то её центр $O$ лежит на биссектрисе угла $∠AEB,$ поэтому $EO$ — биссектриса угла $∠AEB,$ точки $E,$ $O$ лежат на одной прямой $EO.$

Так как большая окружность вписана в угол $∠CED,$ то её центр $Q$ лежит на биссектрисе угла $∠CED,$ поэтому $\text{[math]}$ — биссектриса угла $∠CED,$ точки $E,$ $Q$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Таким образом, так как $∠CED$ и $∠AEB$ — один и тот же угол, то точки $E,$ $Q,$ $O$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Пусть $M$ — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка $M$ лежит на прямой $\text{[math]}$

Пусть $N$ — точка пересечения $AB$ и $EQ,$ $K$ — точка пересечения $CD$ и $\text{[math]}$

Треугольник $AEB$ равнобедренный и $EN$ — его биссектриса, следовательно, $EN ⊥ AB.$ Треугольник $CED$ равнобедренный и $EK$ — его биссектриса, следовательно, $EK ⊥ CD.$ Значит, $AB ∥ CD.$ Таким образом, в задаче требуется найти $NK.$

Так как $OA ⊥ AC,$ $QC ⊥ AC,$ то $OA ∥ QC.$ Проведём $OH ⊥QC,$ тогда $ACHO$ — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника $AO = CH.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHQ.$ В нём

HQ = CQ − CH = CQ − AO =45 − 36 = 9

OQ = OM + MQ =36 +45 =81

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $CKQ$ по двум углам, так как $∘ ∠OHQ = ∠CKQ = 90 ,$ $∠OQC$ — общий. Тогда

OQ-= HQ--81= -9--KQ = 5 CQ KQ 45 KQ

Треугольник $EAO$ подобен треугольнику $ECQ$ по двум углам, так как $∘ ∠EAO = ∠ECQ = 90,$ $∠AEO$ — общий. Тогда $∠AON = ∠OQC$ как соответственные.

$∠EAO = ∠ECQ$ как соответственные углы при $AO ∥ CQ$ и секущей $EC.$ $∠EAN = ∠ECK$ как соответственные углы при $AN ∥ CK$ и секущей $EC.$ Тогда

∠NAO = ∠EAO − ∠EAN = ∠ECQ − ∠ECK = ∠KCQ.

$∠EBO = ∠EDQ$ как соответственные углы при $BO ∥DQ$ и секущей $ED.$ $∠EBN = ∠EDK$ как соответственные углы при $BN ∥DK$ и секущей $ED.$ Тогда

∠NBO =∠EBO − ∠EBN = ∠EDQ − ∠EDK = ∠KDQ.

Тогда треугольник $ABO$ подобен треугольнику $CDQ$ по двум углам. Следовательно, $∠AOB = ∠CQD.$

Так как $ON$ — высота в равнобедренном треугольнике $ABO,$ опущенная на основание, то $ON$ — биссектриса,

∠AON = 1 ⋅∠AOB. 2

Так как $QK$ — высота в равнобедренном треугольнике $CDQ,$ опущенная на основание, то $QK$ — биссектриса,

∠CQK = 1 ⋅∠CQD. 2

Поэтому

∠AON = 1⋅∠AOB = 1 ⋅∠CQD = ∠CQK. 2 2

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $ANO$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠ANO = 90∘,$ $∠AON = ∠CQK = ∠OQH.$ Тогда

OQ- HQ- AO = NO 81 -9- 36 = NO NO =4

Тогда

NK = OQ − KQ + NO =81 − 5 +4 = 80.

Ответ: 80

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#105371Максимум баллов за задание: 2

Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ и $Q$ — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E.$ Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $OA ⊥ AC,OB ⊥ BD,$ $QC ⊥ AC,$ $QD ⊥BD.$

$49EOQNKCABDHM50$

$EA = EB$ как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. $EC = ED$ как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

BD = ED − EB =EC − EA = AC.

Так как меньшая окружность вписана в угол $∠AEB,$ то её центр $O$ лежит на биссектрисе угла $∠AEB,$ поэтому $EO$ — биссектриса угла $∠AEB,$ точки $E,$ $O$ лежат на одной прямой $EO.$

Так как большая окружность вписана в угол $∠CED,$ то её центр $Q$ лежит на биссектрисе угла $∠CED,$ поэтому $\text{[math]}$ — биссектриса угла $∠CED,$ точки $E,$ $Q$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Таким образом, так как $∠CED$ и $∠AEB$ — один и тот же угол, то точки $E,$ $Q,$ $O$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Пусть $M$ — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка $M$ лежит на прямой $\text{[math]}$

Пусть $N$ — точка пересечения $AB$ и $EQ,$ $K$ — точка пересечения $CD$ и $\text{[math]}$

Треугольник $AEB$ равнобедренный и $EN$ — его биссектриса, следовательно, $EN ⊥ AB.$ Треугольник $CED$ равнобедренный и $EK$ — его биссектриса, следовательно, $EK ⊥ CD.$ Значит, $AB ∥ CD.$ Таким образом, в задаче требуется найти $NK.$

Так как $OA ⊥ AC,$ $QC ⊥ AC,$ то $OA ∥ QC.$ Проведём $OH ⊥QC,$ тогда $ACHO$ — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника $AO = CH.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHQ.$ В нём

$pict$

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $CKQ$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠CKQ = 90∘,$ $∠OQC$ — общий. Тогда

OQ HQ CQ-= KQ-- 135= -45- 90 KQ KQ = 30

Треугольник $EAO$ подобен треугольнику $ECQ$ по двум углам, так как $∘ ∠EAO = ∠ECQ = 90,$ $∠AEO$ — общий. Тогда $∠AON = ∠OQC$ как соответственные.

$∠EAO = ∠ECQ$ как соответственные углы при $AO ∥ CQ$ и секущей $EC.$ $∠EAN = ∠ECK$ как соответственные углы при $AN ∥ CK$ и секущей $EC.$ Тогда

∠NAO = ∠EAO − ∠EAN = ∠ECQ − ∠ECK = ∠KCQ.

$∠EBO = ∠EDQ$ как соответственные углы при $BO ∥DQ$ и секущей $ED.$ $∠EBN = ∠EDK$ как соответственные углы при $BN ∥DK$ и секущей $ED.$ Тогда

∠NBO =∠EBO − ∠EBN = ∠EDQ − ∠EDK = ∠KDQ.

Тогда треугольник $ABO$ подобен треугольнику $CDQ$ по двум углам. Следовательно, $∠AOB = ∠CQD.$

Так как $ON$ — высота в равнобедренном треугольнике $ABO,$ опущенная на основание, то $ON$ — биссектриса,

∠AON = 1 ⋅∠AOB. 2

Так как $QK$ — высота в равнобедренном треугольнике $CDQ,$ опущенная на основание, то $QK$ — биссектриса,

∠CQK = 1 ⋅∠CQD. 2

Поэтому

1 1 ∠AON = 2 ⋅∠AOB = 2 ⋅∠CQD = ∠CQK.

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $ANO$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠ANO = 90∘,$ $∠AON = ∠CQK = ∠OQH.$ Тогда

OQ-= HQ- AO NO 135= -45 45 NO NO = 15

Тогда

NK = OQ − KQ +NO = 135 − 30 +15 = 120.

Ответ: 120

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#105372Максимум баллов за задание: 2

Окружности радиусов 33 и 99 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ и $Q$ — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E.$ Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $OA ⊥ AC,OB ⊥ BD,$ $QC ⊥ AC,$ $QD ⊥BD.$

$39EOQNKCABDHM39$

$EA = EB$ как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. $EC = ED$ как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

BD = ED − EB =EC − EA = AC.

Так как меньшая окружность вписана в угол $∠AEB,$ то её центр $O$ лежит на биссектрисе угла $∠AEB,$ поэтому $EO$ — биссектриса угла $∠AEB,$ точки $E,$ $O$ лежат на одной прямой $EO.$

Так как большая окружность вписана в угол $∠CED,$ то её центр $Q$ лежит на биссектрисе угла $∠CED,$ поэтому $\text{[math]}$ — биссектриса угла $∠CED,$ точки $E,$ $Q$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Таким образом, так как $∠CED$ и $∠AEB$ — один и тот же угол, то точки $E,$ $Q,$ $O$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Пусть $M$ — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка $M$ лежит на прямой $\text{[math]}$

Пусть $N$ — точка пересечения $AB$ и $EQ,$ $K$ — точка пересечения $CD$ и $\text{[math]}$

Треугольник $AEB$ равнобедренный и $EN$ — его биссектриса, следовательно, $EN ⊥ AB.$ Треугольник $CED$ равнобедренный и $EK$ — его биссектриса, следовательно, $EK ⊥ CD.$ Значит, $AB ∥ CD.$ Таким образом, в задаче требуется найти $NK.$

Так как $OA ⊥ AC,$ $QC ⊥ AC,$ то $OA ∥ QC.$ Проведём $OH ⊥QC,$ тогда $ACHO$ — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника $AO = CH.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHQ.$ В нём

$pict$

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $CKQ$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠CKQ = 90∘,$ $∠OQC$ — общий. Тогда

OQ HQ CQ-= KQ-- 132= -66- 99 KQ KQ = 49,5

Треугольник $EAO$ подобен треугольнику $ECQ$ по двум углам, так как $∘ ∠EAO = ∠ECQ = 90,$ $∠AEO$ — общий. Тогда $∠AON = ∠OQC$ как соответственные.

$∠EAO = ∠ECQ$ как соответственные углы при $AO ∥ CQ$ и секущей $EC.$ $∠EAN = ∠ECK$ как соответственные углы при $AN ∥ CK$ и секущей $EC.$ Тогда

∠NAO = ∠EAO − ∠EAN = ∠ECQ − ∠ECK = ∠KCQ.

$∠EBO = ∠EDQ$ как соответственные углы при $BO ∥DQ$ и секущей $ED.$ $∠EBN = ∠EDK$ как соответственные углы при $BN ∥DK$ и секущей $ED.$ Тогда

∠NBO =∠EBO − ∠EBN = ∠EDQ − ∠EDK = ∠KDQ.

Тогда треугольник $ABO$ подобен треугольнику $CDQ$ по двум углам. Следовательно, $∠AOB = ∠CQD.$

Так как $ON$ — высота в равнобедренном треугольнике $ABO,$ опущенная на основание, то $ON$ — биссектриса,

∠AON = 1 ⋅∠AOB. 2

Так как $QK$ — высота в равнобедренном треугольнике $CDQ,$ опущенная на основание, то $QK$ — биссектриса,

∠CQK = 1 ⋅∠CQD. 2

Поэтому

1 1 ∠AON = 2 ⋅∠AOB = 2 ⋅∠CQD = ∠CQK.

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $ANO$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠ANO = 90∘,$ $∠AON = ∠CQK = ∠OQH.$ Тогда

OQ-= HQ- AO NO 132= -66 33 NO NO = 16,5

Тогда

NK = OQ − KQ +NO = 132− 49,5+ 16,5= 99.

Ответ: 99

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105374Максимум баллов за задание: 2

Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ и $Q$ — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E.$ Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $OA ⊥ AC,OB ⊥ BD,$ $QC ⊥ AC,$ $QD ⊥BD.$

$45EOQNKCABDHM55$

$EA = EB$ как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. $EC = ED$ как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

BD = ED − EB =EC − EA = AC.

Так как меньшая окружность вписана в угол $∠AEB,$ то её центр $O$ лежит на биссектрисе угла $∠AEB,$ поэтому $EO$ — биссектриса угла $∠AEB,$ точки $E,$ $O$ лежат на одной прямой $EO.$

Так как большая окружность вписана в угол $∠CED,$ то её центр $Q$ лежит на биссектрисе угла $∠CED,$ поэтому $\text{[math]}$ — биссектриса угла $∠CED,$ точки $E,$ $Q$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Таким образом, так как $∠CED$ и $∠AEB$ — один и тот же угол, то точки $E,$ $Q,$ $O$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Пусть $M$ — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка $M$ лежит на прямой $\text{[math]}$

Пусть $N$ — точка пересечения $AB$ и $EQ,$ $K$ — точка пересечения $CD$ и $\text{[math]}$

Треугольник $AEB$ равнобедренный и $EN$ — его биссектриса, следовательно, $EN ⊥ AB.$ Треугольник $CED$ равнобедренный и $EK$ — его биссектриса, следовательно, $EK ⊥ CD.$ Значит, $AB ∥ CD.$ Таким образом, в задаче требуется найти $NK.$

Так как $OA ⊥ AC,$ $QC ⊥ AC,$ то $OA ∥ QC.$ Проведём $OH ⊥QC,$ тогда $ACHO$ — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника $AO = CH.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHQ.$ В нём

$pict$

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $CKQ$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠CKQ = 90∘,$ $∠OQC$ — общий. Тогда

OQ HQ CQ-= KQ-- 100= -10- 55 KQ KQ = 5,5

Треугольник $EAO$ подобен треугольнику $ECQ$ по двум углам, так как $∘ ∠EAO = ∠ECQ = 90,$ $∠AEO$ — общий. Тогда $∠AON = ∠OQC$ как соответственные.

$∠EAO = ∠ECQ$ как соответственные углы при $AO ∥ CQ$ и секущей $EC.$ $∠EAN = ∠ECK$ как соответственные углы при $AN ∥ CK$ и секущей $EC.$ Тогда

∠NAO = ∠EAO − ∠EAN = ∠ECQ − ∠ECK = ∠KCQ.

$∠EBO = ∠EDQ$ как соответственные углы при $BO ∥DQ$ и секущей $ED.$ $∠EBN = ∠EDK$ как соответственные углы при $BN ∥DK$ и секущей $ED.$ Тогда

∠NBO =∠EBO − ∠EBN = ∠EDQ − ∠EDK = ∠KDQ.

Тогда треугольник $ABO$ подобен треугольнику $CDQ$ по двум углам. Следовательно, $∠AOB = ∠CQD.$

Так как $ON$ — высота в равнобедренном треугольнике $ABO,$ опущенная на основание, то $ON$ — биссектриса,

∠AON = 1 ⋅∠AOB. 2

Так как $QK$ — высота в равнобедренном треугольнике $CDQ,$ опущенная на основание, то $QK$ — биссектриса,

∠CQK = 1 ⋅∠CQD. 2

Поэтому

1 1 ∠AON = 2 ⋅∠AOB = 2 ⋅∠CQD = ∠CQK.

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $ANO$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠ANO = 90∘,$ $∠AON = ∠CQK = ∠OQH.$ Тогда

OQ-= HQ- AO NO 100= -10 45 NO NO = 4,5

Тогда

NK = OQ − KQ +NO = 100 − 5,5+ 4,5 =99.

Ответ: 99

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105375Максимум баллов за задание: 2

Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ и $Q$ — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E.$ Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $OA ⊥ AC,OB ⊥ BD,$ $QC ⊥ AC,$ $QD ⊥BD.$

$48EOQNKCABDHM24$

$EA = EB$ как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. $EC = ED$ как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

BD = ED − EB =EC − EA = AC.

Так как меньшая окружность вписана в угол $∠AEB,$ то её центр $O$ лежит на биссектрисе угла $∠AEB,$ поэтому $EO$ — биссектриса угла $∠AEB,$ точки $E,$ $O$ лежат на одной прямой $EO.$

Так как большая окружность вписана в угол $∠CED,$ то её центр $Q$ лежит на биссектрисе угла $∠CED,$ поэтому $\text{[math]}$ — биссектриса угла $∠CED,$ точки $E,$ $Q$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Таким образом, так как $∠CED$ и $∠AEB$ — один и тот же угол, то точки $E,$ $Q,$ $O$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Пусть $M$ — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка $M$ лежит на прямой $\text{[math]}$

Пусть $N$ — точка пересечения $AB$ и $EQ,$ $K$ — точка пересечения $CD$ и $\text{[math]}$

Треугольник $AEB$ равнобедренный и $EN$ — его биссектриса, следовательно, $EN ⊥ AB.$ Треугольник $CED$ равнобедренный и $EK$ — его биссектриса, следовательно, $EK ⊥ CD.$ Значит, $AB ∥ CD.$ Таким образом, в задаче требуется найти $NK.$

Так как $OA ⊥ AC,$ $QC ⊥ AC,$ то $OA ∥ QC.$ Проведём $OH ⊥QC,$ тогда $ACHO$ — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника $AO = CH.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHQ.$ В нём

$pict$

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $CKQ$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠CKQ = 90∘,$ $∠OQC$ — общий. Тогда

OQ HQ CQ-= KQ-- 126= -42- 84 KQ KQ = 28

Треугольник $EAO$ подобен треугольнику $ECQ$ по двум углам, так как $∘ ∠EAO = ∠ECQ = 90,$ $∠AEO$ — общий. Тогда $∠AON = ∠OQC$ как соответственные.

$∠EAO = ∠ECQ$ как соответственные углы при $AO ∥ CQ$ и секущей $EC.$ $∠EAN = ∠ECK$ как соответственные углы при $AN ∥ CK$ и секущей $EC.$ Тогда

∠NAO = ∠EAO − ∠EAN = ∠ECQ − ∠ECK = ∠KCQ.

$∠EBO = ∠EDQ$ как соответственные углы при $BO ∥DQ$ и секущей $ED.$ $∠EBN = ∠EDK$ как соответственные углы при $BN ∥DK$ и секущей $ED.$ Тогда

∠NBO =∠EBO − ∠EBN = ∠EDQ − ∠EDK = ∠KDQ.

Тогда треугольник $ABO$ подобен треугольнику $CDQ$ по двум углам. Следовательно, $∠AOB = ∠CQD.$

Так как $ON$ — высота в равнобедренном треугольнике $ABO,$ опущенная на основание, то $ON$ — биссектриса,

∠AON = 1 ⋅∠AOB. 2

Так как $QK$ — высота в равнобедренном треугольнике $CDQ,$ опущенная на основание, то $QK$ — биссектриса,

∠CQK = 1 ⋅∠CQD. 2

Поэтому

1 1 ∠AON = 2 ⋅∠AOB = 2 ⋅∠CQD = ∠CQK.

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $ANO$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠ANO = 90∘,$ $∠AON = ∠CQK = ∠OQH.$ Тогда

OQ-= HQ- AO NO 126= -42 42 NO NO = 14

Тогда

NK = OQ − KQ +NO = 126 − 28 +14 = 112.

Ответ: 112

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105376Максимум баллов за задание: 2

Окружности радиусов 4 и 60 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ и $Q$ — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E.$ Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $OA ⊥ AC,OB ⊥ BD,$ $QC ⊥ AC,$ $QD ⊥BD.$

$46EOQNKCABDHM0$

$EA = EB$ как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. $EC = ED$ как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

BD = ED − EB =EC − EA = AC.

Так как меньшая окружность вписана в угол $∠AEB,$ то её центр $O$ лежит на биссектрисе угла $∠AEB,$ поэтому $EO$ — биссектриса угла $∠AEB,$ точки $E,$ $O$ лежат на одной прямой $EO.$

Так как большая окружность вписана в угол $∠CED,$ то её центр $Q$ лежит на биссектрисе угла $∠CED,$ поэтому $\text{[math]}$ — биссектриса угла $∠CED,$ точки $E,$ $Q$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Таким образом, так как $∠CED$ и $∠AEB$ — один и тот же угол, то точки $E,$ $Q,$ $O$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Пусть $M$ — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка $M$ лежит на прямой $\text{[math]}$

Пусть $N$ — точка пересечения $AB$ и $EQ,$ $K$ — точка пересечения $CD$ и $\text{[math]}$

Треугольник $AEB$ равнобедренный и $EN$ — его биссектриса, следовательно, $EN ⊥ AB.$ Треугольник $CED$ равнобедренный и $EK$ — его биссектриса, следовательно, $EK ⊥ CD.$ Значит, $AB ∥ CD.$ Таким образом, в задаче требуется найти $NK.$

Так как $OA ⊥ AC,$ $QC ⊥ AC,$ то $OA ∥ QC.$ Проведём $OH ⊥QC,$ тогда $ACHO$ — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника $AO = CH.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHQ.$ В нём

$pict$

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $CKQ$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠CKQ = 90∘,$ $∠OQC$ — общий. Тогда

OQ HQ CQ-= KQ-- 64 = -56-- 60 KQ KQ = 52,5

Треугольник $EAO$ подобен треугольнику $ECQ$ по двум углам, так как $∘ ∠EAO = ∠ECQ = 90,$ $∠AEO$ — общий. Тогда $∠AON = ∠OQC$ как соответственные.

$∠EAO = ∠ECQ$ как соответственные углы при $AO ∥ CQ$ и секущей $EC.$ $∠EAN = ∠ECK$ как соответственные углы при $AN ∥ CK$ и секущей $EC.$ Тогда

∠NAO = ∠EAO − ∠EAN = ∠ECQ − ∠ECK = ∠KCQ.

$∠EBO = ∠EDQ$ как соответственные углы при $BO ∥DQ$ и секущей $ED.$ $∠EBN = ∠EDK$ как соответственные углы при $BN ∥DK$ и секущей $ED.$ Тогда

∠NBO =∠EBO − ∠EBN = ∠EDQ − ∠EDK = ∠KDQ.

Тогда треугольник $ABO$ подобен треугольнику $CDQ$ по двум углам. Следовательно, $∠AOB = ∠CQD.$

Так как $ON$ — высота в равнобедренном треугольнике $ABO,$ опущенная на основание, то $ON$ — биссектриса,

∠AON = 1 ⋅∠AOB. 2

Так как $QK$ — высота в равнобедренном треугольнике $CDQ,$ опущенная на основание, то $QK$ — биссектриса,

∠CQK = 1 ⋅∠CQD. 2

Поэтому

1 1 ∠AON = 2 ⋅∠AOB = 2 ⋅∠CQD = ∠CQK.

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $ANO$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠ANO = 90∘,$ $∠AON = ∠CQK = ∠OQH.$ Тогда

OQ-= HQ- AO NO 64 = -56- 4 NO NO = 3,5

Тогда

NK = OQ − KQ +NO = 64− 52,5+ 3,5 =15.

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105377Максимум баллов за задание: 2

Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ и $Q$ — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E.$ Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $OA ⊥ AC,OB ⊥ BD,$ $QC ⊥ AC,$ $QD ⊥BD.$

$47EOQNKCABDHM47$

$EA = EB$ как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. $EC = ED$ как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

BD = ED − EB =EC − EA = AC.

Так как меньшая окружность вписана в угол $∠AEB,$ то её центр $O$ лежит на биссектрисе угла $∠AEB,$ поэтому $EO$ — биссектриса угла $∠AEB,$ точки $E,$ $O$ лежат на одной прямой $EO.$

Так как большая окружность вписана в угол $∠CED,$ то её центр $Q$ лежит на биссектрисе угла $∠CED,$ поэтому $\text{[math]}$ — биссектриса угла $∠CED,$ точки $E,$ $Q$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Таким образом, так как $∠CED$ и $∠AEB$ — один и тот же угол, то точки $E,$ $Q,$ $O$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Пусть $M$ — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка $M$ лежит на прямой $\text{[math]}$

Пусть $N$ — точка пересечения $AB$ и $EQ,$ $K$ — точка пересечения $CD$ и $\text{[math]}$

Треугольник $AEB$ равнобедренный и $EN$ — его биссектриса, следовательно, $EN ⊥ AB.$ Треугольник $CED$ равнобедренный и $EK$ — его биссектриса, следовательно, $EK ⊥ CD.$ Значит, $AB ∥ CD.$ Таким образом, в задаче требуется найти $NK.$

Так как $OA ⊥ AC,$ $QC ⊥ AC,$ то $OA ∥ QC.$ Проведём $OH ⊥QC,$ тогда $ACHO$ — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника $AO = CH.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHQ.$ В нём

$pict$

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $CKQ$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠CKQ = 90∘,$ $∠OQC$ — общий. Тогда

OQ HQ CQ-= KQ-- 121= -33- 77 KQ KQ = 21

Треугольник $EAO$ подобен треугольнику $ECQ$ по двум углам, так как $∘ ∠EAO = ∠ECQ = 90,$ $∠AEO$ — общий. Тогда $∠AON = ∠OQC$ как соответственные.

$∠EAO = ∠ECQ$ как соответственные углы при $AO ∥ CQ$ и секущей $EC.$ $∠EAN = ∠ECK$ как соответственные углы при $AN ∥ CK$ и секущей $EC.$ Тогда

∠NAO = ∠EAO − ∠EAN = ∠ECQ − ∠ECK = ∠KCQ.

$∠EBO = ∠EDQ$ как соответственные углы при $BO ∥DQ$ и секущей $ED.$ $∠EBN = ∠EDK$ как соответственные углы при $BN ∥DK$ и секущей $ED.$ Тогда

∠NBO =∠EBO − ∠EBN = ∠EDQ − ∠EDK = ∠KDQ.

Тогда треугольник $ABO$ подобен треугольнику $CDQ$ по двум углам. Следовательно, $∠AOB = ∠CQD.$

Так как $ON$ — высота в равнобедренном треугольнике $ABO,$ опущенная на основание, то $ON$ — биссектриса,

∠AON = 1 ⋅∠AOB. 2

Так как $QK$ — высота в равнобедренном треугольнике $CDQ,$ опущенная на основание, то $QK$ — биссектриса,

∠CQK = 1 ⋅∠CQD. 2

Поэтому

1 1 ∠AON = 2 ⋅∠AOB = 2 ⋅∠CQD = ∠CQK.

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $ANO$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠ANO = 90∘,$ $∠AON = ∠CQK = ∠OQH.$ Тогда

OQ-= HQ- AO NO 121= -33 44 NO NO = 12

Тогда

NK = OQ − KQ +NO = 121 − 21 +12 = 112.

Ответ: 112

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105378Максимум баллов за задание: 2

Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ и $Q$ — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E.$ Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $OA ⊥ AC,OB ⊥ BD,$ $QC ⊥ AC,$ $QD ⊥BD.$

$21EOQNKCABDHM500$

$EA = EB$ как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. $EC = ED$ как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

BD = ED − EB =EC − EA = AC.

Так как меньшая окружность вписана в угол $∠AEB,$ то её центр $O$ лежит на биссектрисе угла $∠AEB,$ поэтому $EO$ — биссектриса угла $∠AEB,$ точки $E,$ $O$ лежат на одной прямой $EO.$

Так как большая окружность вписана в угол $∠CED,$ то её центр $Q$ лежит на биссектрисе угла $∠CED,$ поэтому $\text{[math]}$ — биссектриса угла $∠CED,$ точки $E,$ $Q$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Таким образом, так как $∠CED$ и $∠AEB$ — один и тот же угол, то точки $E,$ $Q,$ $O$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Пусть $M$ — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка $M$ лежит на прямой $\text{[math]}$

Пусть $N$ — точка пересечения $AB$ и $EQ,$ $K$ — точка пересечения $CD$ и $\text{[math]}$

Треугольник $AEB$ равнобедренный и $EN$ — его биссектриса, следовательно, $EN ⊥ AB.$ Треугольник $CED$ равнобедренный и $EK$ — его биссектриса, следовательно, $EK ⊥ CD.$ Значит, $AB ∥ CD.$ Таким образом, в задаче требуется найти $NK.$

Так как $OA ⊥ AC,$ $QC ⊥ AC,$ то $OA ∥ QC.$ Проведём $OH ⊥QC,$ тогда $ACHO$ — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника $AO = CH.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHQ.$ В нём

$pict$

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $CKQ$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠CKQ = 90∘,$ $∠OQC$ — общий. Тогда

OQ HQ CQ-= KQ-- 125= -75- 100 KQ KQ = 60

Треугольник $EAO$ подобен треугольнику $ECQ$ по двум углам, так как $∘ ∠EAO = ∠ECQ = 90,$ $∠AEO$ — общий. Тогда $∠AON = ∠OQC$ как соответственные.

$∠EAO = ∠ECQ$ как соответственные углы при $AO ∥ CQ$ и секущей $EC.$ $∠EAN = ∠ECK$ как соответственные углы при $AN ∥ CK$ и секущей $EC.$ Тогда

∠NAO = ∠EAO − ∠EAN = ∠ECQ − ∠ECK = ∠KCQ.

$∠EBO = ∠EDQ$ как соответственные углы при $BO ∥DQ$ и секущей $ED.$ $∠EBN = ∠EDK$ как соответственные углы при $BN ∥DK$ и секущей $ED.$ Тогда

∠NBO =∠EBO − ∠EBN = ∠EDQ − ∠EDK = ∠KDQ.

Тогда треугольник $ABO$ подобен треугольнику $CDQ$ по двум углам. Следовательно, $∠AOB = ∠CQD.$

Так как $ON$ — высота в равнобедренном треугольнике $ABO,$ опущенная на основание, то $ON$ — биссектриса,

∠AON = 1 ⋅∠AOB. 2

Так как $QK$ — высота в равнобедренном треугольнике $CDQ,$ опущенная на основание, то $QK$ — биссектриса,

∠CQK = 1 ⋅∠CQD. 2

Поэтому

1 1 ∠AON = 2 ⋅∠AOB = 2 ⋅∠CQD = ∠CQK.

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $ANO$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠ANO = 90∘,$ $∠AON = ∠CQK = ∠OQH.$ Тогда

OQ-= HQ- AO NO 125= -75 25 NO NO = 15

Тогда

NK = OQ − KQ + NO = 125− 60+ 15= 80.

Ответ: 80

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105379Максимум баллов за задание: 2

Окружности радиусов 22 и 99 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $O$ и $Q$ — центры меньшей и большей окружностей соответственно. Пусть $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E.$ Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $OA ⊥ AC,OB ⊥ BD,$ $QC ⊥ AC,$ $QD ⊥BD.$

$29EOQNKCABDHM29$

$EA = EB$ как касательные к меньшей окружности, проходящих через одну точку. $EC = ED$ как касательные к большей окружности, проходящих через одну точку. Значит,

BD = ED − EB =EC − EA = AC.

Так как меньшая окружность вписана в угол $∠AEB,$ то её центр $O$ лежит на биссектрисе угла $∠AEB,$ поэтому $EO$ — биссектриса угла $∠AEB,$ точки $E,$ $O$ лежат на одной прямой $EO.$

Так как большая окружность вписана в угол $∠CED,$ то её центр $Q$ лежит на биссектрисе угла $∠CED,$ поэтому $\text{[math]}$ — биссектриса угла $∠CED,$ точки $E,$ $Q$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Таким образом, так как $∠CED$ и $∠AEB$ — один и тот же угол, то точки $E,$ $Q,$ $O$ лежат на одной прямой $\text{[math]}$

Пусть $M$ — точка касания двух окружностей. Точка касания окружностей лежит на одной прямой с центрами окружностей, следовательно, точка $M$ лежит на прямой $\text{[math]}$

Пусть $N$ — точка пересечения $AB$ и $EQ,$ $K$ — точка пересечения $CD$ и $\text{[math]}$

Треугольник $AEB$ равнобедренный и $EN$ — его биссектриса, следовательно, $EN ⊥ AB.$ Треугольник $CED$ равнобедренный и $EK$ — его биссектриса, следовательно, $EK ⊥ CD.$ Значит, $AB ∥ CD.$ Таким образом, в задаче требуется найти $NK.$

Так как $OA ⊥ AC,$ $QC ⊥ AC,$ то $OA ∥ QC.$ Проведём $OH ⊥QC,$ тогда $ACHO$ — прямоугольник. Следовательно, по свойству прямоугольника $AO = CH.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHQ.$ В нём

$pict$

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $CKQ$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠CKQ = 90∘,$ $∠OQC$ — общий. Тогда

OQ HQ CQ-= KQ-- 121= -77- 99 KQ KQ = 63

Треугольник $EAO$ подобен треугольнику $ECQ$ по двум углам, так как $∘ ∠EAO = ∠ECQ = 90,$ $∠AEO$ — общий. Тогда $∠AON = ∠OQC$ как соответственные.

$∠EAO = ∠ECQ$ как соответственные углы при $AO ∥ CQ$ и секущей $EC.$ $∠EAN = ∠ECK$ как соответственные углы при $AN ∥ CK$ и секущей $EC.$ Тогда

∠NAO = ∠EAO − ∠EAN = ∠ECQ − ∠ECK = ∠KCQ.

$∠EBO = ∠EDQ$ как соответственные углы при $BO ∥DQ$ и секущей $ED.$ $∠EBN = ∠EDK$ как соответственные углы при $BN ∥DK$ и секущей $ED.$ Тогда

∠NBO =∠EBO − ∠EBN = ∠EDQ − ∠EDK = ∠KDQ.

Тогда треугольник $ABO$ подобен треугольнику $CDQ$ по двум углам. Следовательно, $∠AOB = ∠CQD.$

Так как $ON$ — высота в равнобедренном треугольнике $ABO,$ опущенная на основание, то $ON$ — биссектриса,

∠AON = 1 ⋅∠AOB. 2

Так как $QK$ — высота в равнобедренном треугольнике $CDQ,$ опущенная на основание, то $QK$ — биссектриса,

∠CQK = 1 ⋅∠CQD. 2

Поэтому

1 1 ∠AON = 2 ⋅∠AOB = 2 ⋅∠CQD = ∠CQK.

Треугольник $OHQ$ подобен треугольнику $ANO$ по двум углам, так как $∠OHQ = ∠ANO = 90∘,$ $∠AON = ∠CQK = ∠OQH.$ Тогда

OQ-= HQ- AO NO 121= -77 22 NO NO = 14

Тогда

NK = OQ − KQ + NO = 121− 63+ 14= 72.

Ответ: 72

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

01 Задачи №25 из банка ФИПИ → 01.10 №25. Тип 10