Тема №25. Геометрические задачи повышенной сложности

01 Задачи №25 из банка ФИПИ → 01.12 №25. Тип 12

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №25. геометрические задачи повышенной сложности

Разделы подтемы Задачи №25 из банка ФИПИ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105712Максимум баллов за задание: 2

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 18 и 22 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√ -- cos∠BAC = --11. 6$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка касания окружности и $AB.$

$ABCKMN1188$

По теореме о касательной и секущей

2 A√K--=-AM √⋅AN--=-18⋅22 √-- AK = 18⋅22= 9⋅2⋅2⋅11= 6 11

Рассмотрим треугольник $AKM.$ Так как $∠KAM =∠BAC,$ то

√-- cos∠KAM =cos∠BAC = -11. 6

По теореме косинусов для треугольника $AKM :$

KM2 = AM2 + AK2 − 2⋅AM ⋅AK ⋅cos∠KAM = 2 ( √--)2 √ -- √11 = 18 + 6 11 − 2⋅18⋅6 11 ⋅-6--= = 324+ 36⋅11− 36⋅11= 324.

Значит, $KM =18.$

Так как $AM = KM = 18,$ то треугольник $AKM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠AKM = ∠KAM.$

По теореме об угле между касательной и хордой для касательной $AK$ и хорды $KM$ получаем, что

∠AKM = 1K⌣M = ∠KNM. 2

Тогда $∠KNM = ∠KAM$ и

√11 cos∠KNM = cos∠KAM = -6-.

По основному тригонометрическому тождеству

2 2 sin ∠KNM + cos ∠KNM = 1 (√11-)2 sin2∠KNM + --6- = 1 sin2∠KNM + 11-= 1 36 sin2∠KNM = 25 36

Так как $0∘ < ∠KNM < 180∘,$ то $sin ∠KNM > 0,$ поэтому

∘--- sin∠KNM = 25= 5. 36 6

Рассмотрим треугольник $KNM.$ По теореме синусов

KM sin∠KNM-- = 2R 185= 2R 6 3,6⋅6 =2R R =10,8

Ответ: 10,8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#28216Максимум баллов за задание: 2

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√-- cos∠BAC = 415.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка касания окружности и $AB.$

$ABCKMN1122$

По теореме о касательной и секущей

AK2 = AM ⋅AN = 12⋅45 AK = √12⋅45 =√3-⋅4⋅9-⋅5-= 6√15

Рассмотрим треугольник $AKM.$ Так как $∠KAM =∠BAC,$ то

√-- cos∠KAM =cos∠BAC = -15. 4

По теореме косинусов для треугольника $AKM :$

KM2 = AM2 + AK2 − 2⋅AM ⋅AK ⋅cos∠KAM = ( ) √-- = 122+ 6√15 2− 2⋅12⋅6√15-⋅-15-= 4 = 144+ 36⋅15− 36⋅15= 144.

Значит, $KM =12.$

Так как $AM = KM = 12,$ то треугольник $AKM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠AKM = ∠KAM.$

По теореме об угле между касательной и хордой для касательной $AK$ и хорды $KM$ получаем, что

1 ⌣ ∠AKM = 2KM = ∠KNM.

Тогда $∠KNM = ∠KAM$ и

√-- cos∠KNM = cos∠KAM = -15. 4

По основному тригонометрическому тождеству

sin2∠KNM + cos2∠KNM = 1 2 (√15-)2 sin ∠KNM + --4- = 1 sin2∠KNM + 15-= 1 16 sin2∠KNM = -1 16

Так как $0∘ < ∠KNM < 180∘,$ то $sin ∠KNM > 0,$ поэтому

∘-1- 1 sin∠KNM = 16 = 4.

Рассмотрим треугольник $KNM.$ По теореме синусов

---KM---- sin∠KNM = 2R 12 -1= 2R 4 12⋅4= 2R R = 24

Ответ: 24

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#43617Максимум баллов за задание: 2

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√-- cos∠BAC = -161.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка касания окружности и $AB.$

$ABCKMN99$

По теореме о касательной и секущей

2 AK√--=AM ⋅√AN-=-9⋅11√ -- AK = 9 ⋅11 = 3⋅3 ⋅11 = 3 11

Рассмотрим треугольник $AKM.$ Так как $∠KAM =∠BAC,$ то

√-- cos∠KAM =cos∠BAC = -11. 6

По теореме косинусов для треугольника $AKM :$

KM2 = AM2 + AK2 − 2⋅AM ⋅AK ⋅cos∠KAM = 2 ( √--)2 √ -- √11 = 9 + 3 11 − 2⋅9⋅3 11⋅-6--= = 81+ 9⋅11− 9⋅11= 81.

Значит, $KM =9.$

Так как $AM = KM = 9,$ то треугольник $AKM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠AKM = ∠KAM.$

По теореме об угле между касательной и хордой для касательной $AK$ и хорды $KM$ получаем, что

∠AKM = 1K⌣M = ∠KNM. 2

Тогда $∠KNM = ∠KAM$ и

√11 cos∠KNM = cos∠KAM = -6-.

По основному тригонометрическому тождеству

2 2 sin ∠KNM + cos ∠KNM = 1 (√11-)2 sin2∠KNM + --6- = 1 sin2∠KNM + 11-= 1 36 sin2∠KNM = 25 36

Так как $0∘ < ∠KNM < 180∘,$ то $sin ∠KNM > 0,$ поэтому

∘--- sin∠KNM = 25= 5. 36 6

Рассмотрим треугольник $KNM.$ По теореме синусов

KM sin∠KNM-- = 2R 95= 2R 6 1,8⋅6 =2R R = 5,4

Ответ: 5,4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#47410Максимум баллов за задание: 2

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√-- cos∠BAC = -389.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка касания окружности и $AB.$

$11ABCKMN66$

По теореме о касательной и секущей

2 AK = A√M--⋅AN- = 1√6⋅39 AK = 16⋅39= 4 39

Рассмотрим треугольник $AKM.$ Так как $∠KAM =∠BAC,$ то

√-- -39- cos∠KAM =cos∠BAC = 8 .

По теореме косинусов для треугольника $AKM :$

KM2 = AM2 + AK2 − 2⋅AM ⋅AK ⋅cos∠KAM = 2 ( √--)2 √ -- √39 = 16 + 4 39 − 2⋅16⋅4 39 ⋅-8--= = 256+ 16⋅39− 16⋅39= 256.

Значит, $KM =16.$

Так как $AM = KM = 16,$ то треугольник $AKM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠AKM = ∠KAM.$

По теореме об угле между касательной и хордой для касательной $AK$ и хорды $KM$ получаем, что

∠AKM = 1K⌣M = ∠KNM. 2

Тогда $∠KNM = ∠KAM$ и

√39 cos∠KNM = cos∠KAM = -8-.

По основному тригонометрическому тождеству

2 2 sin ∠KNM + cos ∠KNM = 1 (√39-)2 sin2∠KNM + --8- = 1 sin2∠KNM + 39-= 1 64 sin2∠KNM = 25 64

Так как $0∘ < ∠KNM < 180∘,$ то $sin ∠KNM > 0,$ поэтому

∘--- sin∠KNM = 25= 5. 64 8

Рассмотрим треугольник $KNM.$ По теореме синусов

KM sin∠KNM-- = 2R 165= 2R 8 3,2⋅8 =2R R =12,8

Ответ: 12,8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105706Максимум баллов за задание: 2

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√ -- cos∠BAC = --15. 4$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка касания окружности и $AB.$

$ABCKMN44$

По теореме о касательной и секущей

AK2 =AM ⋅AN = 4⋅15 AK = √4-⋅15 = √2⋅2-⋅15-= 2√15-

Рассмотрим треугольник $AKM.$ Так как $∠KAM =∠BAC,$ то

√-- cos∠KAM =cos∠BAC = -15. 4

По теореме косинусов для треугольника $AKM :$

KM2 = AM2 + AK2 − 2⋅AM ⋅AK ⋅cos∠KAM = ( ) √-- = 42+ 2√15 2− 2⋅4⋅2√15-⋅-15-= 4 = 16+ 4⋅15− 4⋅15= 16.

Значит, $KM =4.$

Так как $AM = KM = 4,$ то треугольник $AKM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠AKM = ∠KAM.$

По теореме об угле между касательной и хордой для касательной $AK$ и хорды $KM$ получаем, что

1 ⌣ ∠AKM = 2KM = ∠KNM.

Тогда $∠KNM = ∠KAM$ и

√-- cos∠KNM = cos∠KAM = -15. 4

По основному тригонометрическому тождеству

sin2∠KNM + cos2∠KNM = 1 2 (√15-)2 sin ∠KNM + --4- = 1 sin2∠KNM + 15-= 1 16 sin2∠KNM = -1 16

Так как $0∘ < ∠KNM < 180∘,$ то $sin ∠KNM > 0,$ поэтому

∘-1- 1 sin∠KNM = 16 = 4.

Рассмотрим треугольник $KNM.$ По теореме синусов

---KM---- sin∠KNM = 2R 4 -1= 2R 4 4 ⋅4= 2R R = 8

Ответ: 8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105707Максимум баллов за задание: 2

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 36 и 44 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√ -- cos∠BAC = --11. 6$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка касания окружности и $AB.$

$ABCKMN3366$

По теореме о касательной и секущей

2 A√K--=-AM √⋅AN--=-36⋅44 √ -- AK = 36 ⋅44 = 6⋅6⋅4 ⋅11 = 12 11

Рассмотрим треугольник $AKM.$ Так как $∠KAM =∠BAC,$ то

√-- cos∠KAM =cos∠BAC = -11. 6

По теореме косинусов для треугольника $AKM :$

KM2 = AM2 + AK2 − 2⋅AM ⋅AK ⋅cos∠KAM = 2 ( √--)2 √-- √11 = 36 + 12 11 − 2⋅36⋅12 11 ⋅-6--= = 1296+ 144⋅11− 144⋅11= 1296.

Значит, $KM =36.$

Так как $AM = KM = 36,$ то треугольник $AKM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠AKM = ∠KAM.$

По теореме об угле между касательной и хордой для касательной $AK$ и хорды $KM$ получаем, что

∠AKM = 1K⌣M = ∠KNM. 2

Тогда $∠KNM = ∠KAM$ и

√11 cos∠KNM = cos∠KAM = -6-.

По основному тригонометрическому тождеству

2 2 sin ∠KNM + cos ∠KNM = 1 (√11-)2 sin2∠KNM + --6- = 1 sin2∠KNM + 11-= 1 36 sin2∠KNM = 25 36

Так как $0∘ < ∠KNM < 180∘,$ то $sin ∠KNM > 0,$ поэтому

∘--- sin∠KNM = 25= 5. 36 6

Рассмотрим треугольник $KNM.$ По теореме синусов

KM sin∠KNM-- = 2R 365= 2R 6 7,2⋅6 =2R R =21,6

Ответ: 21,6

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105708Максимум баллов за задание: 2

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√ - cos∠BAC = 2--2. 3$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка касания окружности и $AB.$

$ABCKMN99$

По теореме о касательной и секущей

AK2 =AM ⋅AN = 9⋅32 AK = √9-⋅32= √3-⋅3⋅4⋅4⋅2= 12√2-

Рассмотрим треугольник $AKM.$ Так как $∠KAM =∠BAC,$ то

√- cos∠KAM =cos∠BAC = 2-2. 3

По теореме косинусов для треугольника $AKM :$

KM2 = AM2 + AK2 − 2⋅AM ⋅AK ⋅cos∠KAM = ( ) √- = 92+ 12√2 2− 2⋅9⋅12√2-⋅ 2-2-= 3 = 81+ 144⋅2− 144⋅2= 81.

Значит, $KM =9.$

По теореме об угле между касательной и хордой для касательной $AK$ и хорды $KM$ получаем, что

1 ⌣ ∠AKM = 2KM = ∠KNM.

Тогда $∠KNM = ∠KAM$ и

√ - cos∠KNM = cos∠KAM = 2-2. 3

По основному тригонометрическому тождеству

sin2∠KNM + cos2∠KNM = 1 2 (2√2-)2 sin ∠KNM + --3- = 1 sin2∠KNM + 8 =1 9 sin2∠KNM = 1 9

Так как $0∘ < ∠KNM < 180∘,$ то $sin ∠KNM > 0,$ поэтому

∘ 1- 1 sin∠KNM = 9 = 3.

Рассмотрим треугольник $KNM.$ По теореме синусов

---KM---- sin∠KNM = 2R 9 -1= 2R 3 9 ⋅3= 2R R =13,5

Ответ: 13,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105709Максимум баллов за задание: 2

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 18 и 40 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√ - cos∠BAC = --5. 3$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка касания окружности и $AB.$

$11ABCKMN88$

По теореме о касательной и секущей

2 √AK--= AM√ -⋅AN--=-18⋅40 √- AK = 18⋅40= 3⋅3⋅2⋅4 ⋅2 ⋅5= 12 5

Рассмотрим треугольник $AKM.$ Так как $∠KAM =∠BAC,$ то

√ - --5 cos∠KAM = cos∠BAC = 3 .

По теореме косинусов для треугольника $AKM :$

KM2 = AM2 + AK2 − 2⋅AM ⋅AK ⋅cos∠KAM = 2 ( √ )2 √ - √5- = 18 + 12 5 − 2 ⋅18 ⋅12 5⋅-3-= = 324+ 144⋅5− 144⋅5= 324.

Значит, $KM =18.$

По теореме об угле между касательной и хордой для касательной $AK$ и хорды $KM$ получаем, что

∠AKM = 1K⌣M = ∠KNM. 2

Тогда $∠KNM = ∠KAM$ и

√5 cos∠KNM = cos∠KAM = -3-.

По основному тригонометрическому тождеству

2 2 sin ∠KNM + cos ∠KNM = 1 ( √5)2 sin2∠KNM + -3- = 1 sin2∠KNM + 5 =1 9 sin2∠KNM = 4 9

Так как $0∘ < ∠KNM < 180∘,$ то $sin ∠KNM > 0,$ поэтому

∘ -- sin∠KNM = 4 = 2. 9 3

Рассмотрим треугольник $KNM.$ По теореме синусов

KM sin∠KNM-- = 2R 182= 2R 3 9 ⋅3= 2R R =13,5

Ответ: 13,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105710Максимум баллов за задание: 2

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 9 и 35 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√ -- cos∠BAC = --35. 6$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка касания окружности и $AB.$

$ABCKMN99$

По теореме о касательной и секущей

AK2 =AM ⋅AN = 9⋅35 AK = √9-⋅35 = √3⋅3-⋅35-= 3√35-

Рассмотрим треугольник $AKM.$ Так как $∠KAM =∠BAC,$ то

√-- cos∠KAM =cos∠BAC = -35. 6

По теореме косинусов для треугольника $AKM :$

KM2 = AM2 + AK2 − 2⋅AM ⋅AK ⋅cos∠KAM = ( ) √-- = 92+ 3√35 2− 2⋅9⋅3√35-⋅-35-= 6 = 81+ 9⋅35− 9⋅35= 81.

Значит, $KM =9.$

По теореме об угле между касательной и хордой для касательной $AK$ и хорды $KM$ получаем, что

1 ⌣ ∠AKM = 2KM = ∠KNM.

Тогда $∠KNM = ∠KAM$ и

√-- cos∠KNM = cos∠KAM = -35. 6

По основному тригонометрическому тождеству

sin2∠KNM + cos2∠KNM = 1 2 (√35-)2 sin ∠KNM + --6- = 1 sin2∠KNM + 35-= 1 36 sin2∠KNM = -1 36

Так как $0∘ < ∠KNM < 180∘,$ то $sin ∠KNM > 0,$ поэтому

∘-1- 1 sin∠KNM = 36 = 6.

Рассмотрим треугольник $KNM.$ По теореме синусов

---KM---- sin∠KNM = 2R 9 -1= 2R 6 9 ⋅6= 2R R = 27

Ответ: 27

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105711Максимум баллов за задание: 2

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 8 и 30 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√ -- cos∠BAC = --15. 4$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка касания окружности и $AB.$

$ABCKMN88$

По теореме о касательной и секущей

AK2 =AM ⋅AN = 8⋅30 AK = √8-⋅30 = √4⋅2⋅2-⋅15-= 4√15

Рассмотрим треугольник $AKM.$ Так как $∠KAM =∠BAC,$ то

√-- cos∠KAM =cos∠BAC = -15. 4

По теореме косинусов для треугольника $AKM :$

KM2 = AM2 + AK2 − 2⋅AM ⋅AK ⋅cos∠KAM = ( ) √-- = 82+ 4√15 2− 2⋅8⋅4√15-⋅-15-= 4 = 64+ 16⋅15− 16⋅15= 64.

Значит, $KM =8.$

Так как $AM = KM = 8,$ то треугольник $AKM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠AKM = ∠KAM.$

По теореме об угле между касательной и хордой для касательной $AK$ и хорды $KM$ получаем, что

1 ⌣ ∠AKM = 2KM = ∠KNM.

Тогда $∠KNM = ∠KAM$ и

√-- cos∠KNM = cos∠KAM = -15. 4

По основному тригонометрическому тождеству

sin2∠KNM + cos2∠KNM = 1 2 (√15-)2 sin ∠KNM + --4- = 1 sin2∠KNM + 15-= 1 16 sin2∠KNM = -1 16

Так как $0∘ < ∠KNM < 180∘,$ то $sin ∠KNM > 0,$ поэтому

∘-1- 1 sin∠KNM = 16 = 4.

Рассмотрим треугольник $KNM.$ По теореме синусов

---KM---- sin∠KNM = 2R 8 -1= 2R 4 8 ⋅4= 2R R = 16

Ответ: 16

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#105713Максимум баллов за задание: 2

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 12 и 21 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√ - cos∠BAC = --7. 4$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка касания окружности и $AB.$

$ABCKMN1122$

По теореме о касательной и секущей

2 AK√ -=-AM ⋅A√N--=-12⋅21 √- AK = 12⋅21= 3 ⋅4⋅3⋅7= 6 7

Рассмотрим треугольник $AKM.$ Так как $∠KAM =∠BAC,$ то

√ - cos∠KAM = cos∠BAC = --7. 4

По теореме косинусов для треугольника $AKM :$

KM2 = AM2 + AK2 − 2⋅AM ⋅AK ⋅cos∠KAM = 2 ( √ )2 √ - √7- =12 + 6 7 − 2 ⋅12 ⋅6 7⋅-4-= = 144+ 36⋅7− 36⋅7= 144.

Значит, $KM =12.$

По теореме об угле между касательной и хордой для касательной $AK$ и хорды $KM$ получаем, что

∠AKM = 1K⌣M = ∠KNM. 2

Тогда $∠KNM = ∠KAM$ и

√7 cos∠KNM = cos∠KAM = -4-.

По основному тригонометрическому тождеству

2 2 sin ∠KNM + cos ∠KNM = 1 ( √7)2 sin2∠KNM + -4- = 1 sin2∠KNM + 7-= 1 16 sin2∠KNM = -9 16

Так как $0∘ < ∠KNM < 180∘,$ то $sin ∠KNM > 0,$ поэтому

∘--- sin∠KNM = 9-= 3. 16 4

Рассмотрим треугольник $KNM.$ По теореме синусов

KM sin∠KNM-- = 2R 123= 2R 4 4 ⋅4= 2R R = 8

Ответ: 8

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#105714Максимум баллов за задание: 2

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины $A.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB,$ если $√ - cos∠BAC = --7. 4$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка касания окружности и $AB.$

$ABCKMN2244$

По теореме о касательной и секущей

2 AK√--=-AM √⋅AN--=-24⋅42 √ - AK = 24⋅42 = 6⋅4⋅6 ⋅7 = 12 7

Рассмотрим треугольник $AKM.$ Так как $∠KAM =∠BAC,$ то

√ - cos∠KAM = cos∠BAC = --7. 4

По теореме косинусов для треугольника $AKM :$

KM2 = AM2 + AK2 − 2⋅AM ⋅AK ⋅cos∠KAM = 2 ( √ )2 √ - √7- = 24 + 12 7 − 2 ⋅24 ⋅12 7⋅-4-= = 576+ 144⋅7− 144⋅7= 576.

Значит, $KM =24.$

Так как $AM = KM = 24,$ то треугольник $AKM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠AKM = ∠KAM.$

По теореме об угле между касательной и хордой для касательной $AK$ и хорды $KM$ получаем, что

∠AKM = 1K⌣M = ∠KNM. 2

Тогда $∠KNM = ∠KAM$ и

√7 cos∠KNM = cos∠KAM = -4-.

По основному тригонометрическому тождеству

2 2 sin ∠KNM + cos ∠KNM = 1 ( √7)2 sin2∠KNM + -4- = 1 sin2∠KNM + 7-= 1 16 sin2∠KNM = -9 16

Так как $0∘ < ∠KNM < 180∘,$ то $sin ∠KNM > 0,$ поэтому

∘--- sin∠KNM = 9-= 3. 16 4

Рассмотрим треугольник $KNM.$ По теореме синусов

KM sin∠KNM-- = 2R 243= 2R 4 8 ⋅4= 2R R = 16

Ответ: 16

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущая подтема

Следующая подтема