01 Задачи №25 из банка ФИПИ → 01.16 №25. Тип 16

По условию некоторая окружность касается продолжений боковых сторон и треугольника Значит, она вписана в угол Тогда центр этой окружности лежит на биссектрисе угла

Треугольник равнобедренный, значит, биссектриса его угла, лежащего напротив основания, то есть биссектриса содержит высоту и медиану этого треугольника. Пусть пересекает основание в точке Тогда и

Мы доказали, что а в условии сказано, что окружность касается значит, точка и есть точка касания, то есть — радиус, значит,

Пусть — центр вписанной окружности треугольника Он является точкой пересечения биссектрис треугольника, значит, лежит на Тогда, так как отрезок — это радиус вписанной окружности.

Тогда — биссектриса угла значит,

С другой стороны, — биссектриса внешнего угла треугольника так как по условию окружность вписана во внешний угол треугольника то есть

Рассмотрим треугольник У него есть прямой угол поэтому по сумме углов треугольника

Рассмотрим треугольники и В них есть прямые углы и а также равные углы и Значит, треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

Следовательно,