01 Задачи №25 из банка ФИПИ → 01.06 №25. Тип 6
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Источники:
Пусть 
— трапеция с основаниями 
и 
где 
Так как
трапеция 
равнобедренная, то 
Пусть 
Трапеция 
описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника
По условию периметр трапеции равен 160, то есть
Тогда
Пусть 
Тогда
Опустим высоты 
и 
Так как площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту, то
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так
как 
и 
то 
Рассмотрим четырёхугольник 
В нём 
и 
как основания трапеции, следовательно, 
Тогда 
—
параллелограмм и 
по свойству параллелограмма.
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как углы при основании равнобедренной трапеции, 
Тогда
прямоугольные треугольники 
и 
равны по острому углу и
гипотенузе. 
как соответственные элементы. В треугольнике 
по
теореме Пифагора
Тогда
Следовательно, 
Значит,
Так как 
то
Найдём 
Проведём высоту 
трапеции 
проходящую через точку 
Так как 
— высота трапеции, то
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как
накрест лежащие углы при параллельных прямых 
и 
и секущей 
а
как вертикальные.
Тогда 
по двум углам. Значит, отношение их соответственных
высот равно коэффициенту подобия, то есть
Пусть 
Тогда 
Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра,
опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина 
то есть
6,4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Источники:
Пусть 
— трапеция с основаниями 
и 
где 
Так как
трапеция 
равнобедренная, то 
Пусть 
Трапеция 
описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника
По условию периметр трапеции равен 20, то есть
Тогда
Пусть 
Тогда
Опустим высоты 
и 
Так как площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту, то
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так
как 
и 
то 
Рассмотрим четырёхугольник 
В нём 
и 
как основания трапеции, следовательно, 
Тогда 
—
параллелограмм и 
по свойству параллелограмма.
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как углы при основании равнобедренной трапеции, 
Тогда
прямоугольные треугольники 
и 
равны по острому углу и
гипотенузе. 
как соответственные элементы. В треугольнике 
по
теореме Пифагора
Тогда
Следовательно, 
Значит,
Так как 
то
Найдём 
Проведём высоту 
трапеции 
проходящую через точку 
Так как 
— высота трапеции, то
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как
накрест лежащие углы при параллельных прямых 
и 
и секущей 
а
как вертикальные.
Тогда 
по двум углам. Значит, отношение их соответственных
высот равно коэффициенту подобия, то есть
Пусть 
Тогда 
Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра,
опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина 
то есть
0,8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Источники:
Пусть 
— трапеция с основаниями 
и 
где 
Так как
трапеция 
равнобедренная, то 
Пусть 
Трапеция 
описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника
По условию периметр трапеции равен 100, то есть
Тогда
Пусть 
Тогда
Опустим высоты 
и 
Так как площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту, то
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так
как 
и 
то 
Рассмотрим четырёхугольник 
В нём 
и 
как основания трапеции, следовательно, 
Тогда 
—
параллелограмм и 
по свойству параллелограмма.
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как углы при основании равнобедренной трапеции, 
Тогда
прямоугольные треугольники 
и 
равны по острому углу и
гипотенузе. 
как соответственные элементы. В треугольнике 
по
теореме Пифагора
Тогда
Следовательно, 
Значит,
Так как 
то
Найдём 
Проведём высоту 
трапеции 
проходящую через точку 
Так как 
— высота трапеции, то
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как
накрест лежащие углы при параллельных прямых 
и 
и секущей 
а
как вертикальные.
Тогда 
по двум углам. Значит, отношение их соответственных
высот равно коэффициенту подобия, то есть
Пусть 
Тогда 
Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра,
опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина 
то есть
4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Источники:
Пусть 
— трапеция с основаниями 
и 
где 
Так как
трапеция 
равнобедренная, то 
Пусть 
Трапеция 
описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника
По условию периметр трапеции равен 40, то есть
Тогда
Пусть 
Тогда
Опустим высоты 
и 
Так как площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту, то
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так
как 
и 
то 
Рассмотрим четырёхугольник 
В нём 
и 
как основания трапеции, следовательно, 
Тогда 
—
параллелограмм и 
по свойству параллелограмма.
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как углы при основании равнобедренной трапеции, 
Тогда
прямоугольные треугольники 
и 
равны по острому углу и
гипотенузе. 
как соответственные элементы. В треугольнике 
по
теореме Пифагора
Тогда
Следовательно, 
Значит,
Так как 
то
Найдём 
Проведём высоту 
трапеции 
проходящую через точку 
Так как 
— высота трапеции, то
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как
накрест лежащие углы при параллельных прямых 
и 
и секущей 
а
как вертикальные.
Тогда 
по двум углам. Значит, отношение их соответственных
высот равно коэффициенту подобия, то есть
Пусть 
Тогда 
Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра,
опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина 
то есть
1,6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Источники:
Пусть 
— трапеция с основаниями 
и 
где 
Так как
трапеция 
равнобедренная, то 
Пусть 
Трапеция 
описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника
По условию периметр трапеции равен 200, то есть
Тогда
Пусть 
Тогда
Опустим высоты 
и 
Так как площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту, то
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так
как 
и 
то 
Рассмотрим четырёхугольник 
В нём 
и 
как основания трапеции, следовательно, 
Тогда 
—
параллелограмм и 
по свойству параллелограмма.
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как углы при основании равнобедренной трапеции, 
Тогда
прямоугольные треугольники 
и 
равны по острому углу и
гипотенузе. 
как соответственные элементы. В треугольнике 
по
теореме Пифагора
Тогда
Следовательно, 
Значит,
Так как 
то
Найдём 
Проведём высоту 
трапеции 
проходящую через точку 
Так как 
— высота трапеции, то
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как
накрест лежащие углы при параллельных прямых 
и 
и секущей 
а
как вертикальные.
Тогда 
по двум углам. Значит, отношение их соответственных
высот равно коэффициенту подобия, то есть
Пусть 
Тогда 
Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра,
опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина 
то есть
8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Источники:
Пусть 
— трапеция с основаниями 
и 
где 
Так как
трапеция 
равнобедренная, то 
Пусть 
Трапеция 
описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника
По условию периметр трапеции равен 180, то есть
Тогда
Пусть 
Тогда
Опустим высоты 
и 
Так как площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту, то
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так
как 
и 
то 
Рассмотрим четырёхугольник 
В нём 
и 
как основания трапеции, следовательно, 
Тогда 
—
параллелограмм и 
по свойству параллелограмма.
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как углы при основании равнобедренной трапеции, 
Тогда
прямоугольные треугольники 
и 
равны по острому углу и
гипотенузе. 
как соответственные элементы. В треугольнике 
по
теореме Пифагора
Тогда
Следовательно, 
Значит,
Так как 
то
Найдём 
Проведём высоту 
трапеции 
проходящую через точку 
Так как 
— высота трапеции, то
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как
накрест лежащие углы при параллельных прямых 
и 
и секущей 
а
как вертикальные.
Тогда 
по двум углам. Значит, отношение их соответственных
высот равно коэффициенту подобия, то есть
Пусть 
Тогда 
Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра,
опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина 
то есть
7,2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Источники:
Пусть 
— трапеция с основаниями 
и 
где 
Так как
трапеция 
равнобедренная, то 
Пусть 
Трапеция 
описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника
По условию периметр трапеции равен 200, то есть
Тогда
Пусть 
Тогда
Опустим высоты 
и 
Так как площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту, то
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так
как 
и 
то 
Рассмотрим четырёхугольник 
В нём 
и 
как основания трапеции, следовательно, 
Тогда 
—
параллелограмм и 
по свойству параллелограмма.
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как углы при основании равнобедренной трапеции, 
Тогда
прямоугольные треугольники 
и 
равны по острому углу и
гипотенузе. 
как соответственные элементы. В треугольнике 
по
теореме Пифагора
Тогда
Следовательно, 
Значит,
Так как 
то
Найдём 
Проведём высоту 
трапеции 
проходящую через точку 
Так как 
— высота трапеции, то
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как
накрест лежащие углы при параллельных прямых 
и 
и секущей 
а
как вертикальные.
Тогда 
по двум углам. Значит, отношение их соответственных
высот равно коэффициенту подобия, то есть
Пусть 
Тогда 
Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра,
опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина 
то есть
3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Источники:
Пусть 
— трапеция с основаниями 
и 
где 
Так как
трапеция 
равнобедренная, то 
Пусть 
Трапеция 
описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника
По условию периметр трапеции равен 120, то есть
Тогда
Пусть 
Тогда
Опустим высоты 
и 
Так как площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту, то
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так
как 
и 
то 
Рассмотрим четырёхугольник 
В нём 
и 
как основания трапеции, следовательно, 
Тогда 
—
параллелограмм и 
по свойству параллелограмма.
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как углы при основании равнобедренной трапеции, 
Тогда
прямоугольные треугольники 
и 
равны по острому углу и
гипотенузе. 
как соответственные элементы. В треугольнике 
по
теореме Пифагора
Тогда
Следовательно, 
Значит,
Так как 
то
Найдём 
Проведём высоту 
трапеции 
проходящую через точку 
Так как 
— высота трапеции, то
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как
накрест лежащие углы при параллельных прямых 
и 
и секущей 
а
как вертикальные.
Тогда 
по двум углам. Значит, отношение их соответственных
высот равно коэффициенту подобия, то есть
Пусть 
Тогда 
Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра,
опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина 
то есть
1,8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Источники:
Пусть 
— трапеция с основаниями 
и 
где 
Так как
трапеция 
равнобедренная, то 
Пусть 
Трапеция 
описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника
По условию периметр трапеции равен 220, то есть
Тогда
Пусть 
Тогда
Опустим высоты 
и 
Так как площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту, то
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так
как 
и 
то 
Рассмотрим четырёхугольник 
В нём 
и 
как основания трапеции, следовательно, 
Тогда 
—
параллелограмм и 
по свойству параллелограмма.
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как углы при основании равнобедренной трапеции, 
Тогда
прямоугольные треугольники 
и 
равны по острому углу и
гипотенузе. 
как соответственные элементы. В треугольнике 
по
теореме Пифагора
Следовательно, 
Значит,
Так как 
то
Найдём 
Проведём высоту 
трапеции 
проходящую через точку 
Так как 
— высота трапеции, то
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как
накрест лежащие углы при параллельных прямых 
и 
и секущей 
а
как вертикальные.
Тогда 
по двум углам. Значит, отношение их соответственных
высот равно коэффициенту подобия, то есть
Пусть 
Тогда 
Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра,
опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина 
то есть
8,8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Источники:
Пусть 
— трапеция с основаниями 
и 
где 
Так как
трапеция 
равнобедренная, то 
Пусть 
Трапеция 
описанная, значит, по свойству описанного четырёхугольника
По условию периметр трапеции равен 80, то есть
Тогда
Пусть 
Тогда
Опустим высоты 
и 
Так как площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту, то
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так
как 
и 
то 
Рассмотрим четырёхугольник 
В нём 
и 
как основания трапеции, следовательно, 
Тогда 
—
параллелограмм и 
по свойству параллелограмма.
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как углы при основании равнобедренной трапеции, 
Тогда
прямоугольные треугольники 
и 
равны по острому углу и
гипотенузе. 
как соответственные элементы. В треугольнике 
по
теореме Пифагора
Тогда
Следовательно, 
Значит,
Так как 
то
Найдём 
Проведём высоту 
трапеции 
проходящую через точку 
Так как 
— высота трапеции, то
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как
накрест лежащие углы при параллельных прямых 
и 
и секущей 
а
как вертикальные.
Тогда 
по двум углам. Значит, отношение их соответственных
высот равно коэффициенту подобия, то есть
Пусть 
Тогда 
Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра,
опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина 
то есть
3,2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
