01 №25. Тип 11 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105602Максимум баллов за задание: 2

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 39$ и $CD =12$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K,$ причём $∠AKB = 60∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 10

Показать ответ и решение

Проведём $DM ∥AC.$ Тогда $∠BKA = ∠BDM = 60∘$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $DM$ и $AC$ и секущей $BD.$

Проведём $AM.$ $∠CAD =∠ADM$ как накрест лежащие углы при $AC ∥ MD$ и секущей $AD.$

$CDABMK61110222∘0∘$

$∠CAD$ — вписанный и опирается на дугу $CD,$ $∠ADM$ — вписанный и опирается на дугу $AM.$ Так как $∠CAD = ∠ADM,$ то дуги $CD$ и $AM$ равны, следовательно, хорды, которые их стягивают, тоже равны, то есть $AM = CD = 12.$

Рассмотрим четырёхугольник $ABDM.$ Так как он вписанный, то по свойству вписанного четырехугольника

∠MAB + ∠MDB = 180∘ ⇒ ∠MAB = 180∘− 60∘ = 120∘

Проведём $BM.$ Рассмотрим треугольник $ABM.$ Запишем теорему косинусов для него:

BM2 = AB2 + AM2 − 2⋅AB ⋅AM ⋅cos∠BAM BM2 = 1521+ 144 − 2 ⋅39 ⋅12⋅cos120∘ ( ) BM2 = 1665− 936 ⋅ − 1 2 2√--- BM = 2133⇒ BM = 3 237

Пусть радиус окружности равен $R.$ Заметим, что описанной окружностью для $△ ABM$ будет эта же окружность. По теореме синусов для треугольника $ABM$

sBinM120∘ =2R √ --- 3-√237 = 2R -32 ∘ ---- -- R = 3 237= 3√79 3

Ответ:

$√ -- 3 79$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#41486Максимум баллов за задание: 2

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 12$ и $CD =30$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K,$ причём $∠AKB = 60∘$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём $DM ∥AC.$ Тогда $∠BKA = ∠BDM = 60∘$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $DM$ и $AC$ и секущей $BD.$

Проведём $AM.$ $∠CAD =∠ADM$ как накрест лежащие углы при $AC ∥ MD$ и секущей $AD.$

$∘∘ ABCDKM613302000$

$∠CAD$ — вписанный и опирается на дугу $CD,$ $∠ADM$ — вписанный и опирается на дугу $AM.$ Так как $∠CAD = ∠ADM,$ то дуги $CD$ и $AM$ равны, следовательно, хорды, которые их стягивают, тоже равны, то есть $AM = CD = 30.$

Рассмотрим четырёхугольник $ABDM.$ Так как он вписанный, то по свойству вписанного четырехугольника

∠MAB + ∠MDB = 180∘ ⇒ ∠MAB = 180∘− 60∘ = 120∘

Проведём $BM.$ Рассмотрим треугольник $ABM.$ Запишем теорему косинусов для него:

BM2 = AB2 + AM2 − 2⋅AB ⋅AM ⋅cos∠BAM BM2 =144+ 900− 2⋅12⋅30⋅cos120∘ ( ) BM2 = 1044− 720 ⋅ − 1 2 2√ -- BM =1404⇒ BM = 6 39

Пусть радиус окружности равен $R.$ Заметим, что описанной окружностью для $△ ABM$ будет эта же окружность. По теореме синусов для треугольника $ABM$

sBinM120∘ =2R √-- 6√39-= 2R -32 ∘ --- -- R = 6 39 = 6√ 13 3

Ответ:

$√ -- 6 13$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#42886Максимум баллов за задание: 2

Четырехугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 40$ и $CD =10$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K,$ причем $∠AKB = 60∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём $DM ∥AC.$ Тогда $∠BKA = ∠BDM = 60∘$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $DM$ и $AC$ и секущей $BD.$

Проведём $AM.$ $∠CAD =∠ADM$ как накрест лежащие углы при $AC ∥ MD$ и секущей $AD.$

$CDABMK61110200∘0∘$

$∠CAD$ — вписанный и опирается на дугу $CD,$ $∠ADM$ — вписанный и опирается на дугу $AM.$ Так как $∠CAD = ∠ADM,$ то дуги $CD$ и $AM$ равны, следовательно, хорды, которые их стягивают, тоже равны, то есть $AM = CD = 10.$

Рассмотрим четырёхугольник $ABDM.$ Так как он вписанный, то по свойству вписанного четырехугольника

∠MAB + ∠MDB = 180∘ ⇒ ∠MAB = 180∘− 60∘ = 120∘

Проведём $BM.$ Рассмотрим треугольник $ABM.$ Запишем теорему косинусов для него:

BM2 = AB2 + AM2 − 2⋅AB ⋅AM ⋅cos∠BAM BM2 = 1600+ 100 − 2 ⋅40 ⋅10⋅cos120∘ ( ) BM2 = 1700− 800 ⋅ − 1 2 2√-- BM = 2100⇒ BM = 10 21

Пусть радиус окружности равен $R.$ Заметим, что описанной окружностью для $△ ABM$ будет эта же окружность. По теореме синусов для треугольника $ABM$

sBinM120∘ =2R √ -- 10√-21 = 2R -32 ∘--- - R = 10 21= 10√7 3

Ответ:

$√- 10 7$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#56389Максимум баллов за задание: 2

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 5$ и $CD = 17$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K,$ причём $∠AKB = 60∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCDKM61110∘2077∘$

Проведём $DM ∥AC.$ Тогда $∘ ∠BKA = ∠BDM = 60$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $DM$ и $AC$ и секущей $BD.$

Проведём $AM.$ $∠CAD =∠ADM$ как накрест лежащие углы при $AC ∥ MD$ и секущей $AD.$

$∠CAD$ — вписанный и опирается на дугу $CD,$ $∠ADM$ — вписанный и опирается на дугу $AM.$ Так как $∠CAD = ∠ADM,$ то дуги $CD$ и $AM$ равны, следовательно, хорды, которые их стягивают, тоже равны, то есть $AM = CD = 17.$

Рассмотрим четырёхугольник $ABDM.$ Так как он вписанный, то по свойству вписанного четырехугольника

∠MAB + ∠MDB = 180∘ ⇒ ∠MAB = 180∘− 60∘ = 120∘

Проведём $BM.$ Рассмотрим треугольник $ABM.$ Запишем теорему косинусов для него:

BM2 = AB2 + AM2 − 2⋅AB ⋅AM ⋅cos∠BAM BM2 = 25+ 289− 2⋅5⋅17⋅cos120∘ ( ) BM2 =314− 170⋅ − 1 2 √2-- BM = 399⇒ BM = 399

Пусть радиус окружности равен $R.$ Заметим, что описанной окружностью для $△ ABM$ будет эта же окружность. По теореме синусов для треугольника $ABM$

sBinM120∘ =2R √--- -3√99-= 2R -32 ∘ ---- --- R = 399 = √133 3

Ответ:

$√ --- 133$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105600Максимум баллов за задание: 2

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 43$ и $CD =4$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K,$ причём $∠AKB = 60∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём $DM ∥AC.$ Тогда $∠BKA = ∠BDM = 60∘$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $DM$ и $AC$ и секущей $BD.$

Проведём $AM.$ $∠CAD =∠ADM$ как накрест лежащие углы при $AC ∥ MD$ и секущей $AD.$

$CDABMK614402∘0∘$

$∠CAD$ — вписанный и опирается на дугу $CD,$ $∠ADM$ — вписанный и опирается на дугу $AM.$ Так как $∠CAD = ∠ADM,$ то дуги $CD$ и $AM$ равны, следовательно, хорды, которые их стягивают, тоже равны, то есть $AM = CD = 4.$

Рассмотрим четырёхугольник $ABDM.$ Так как он вписанный, то по свойству вписанного четырехугольника

∠MAB + ∠MDB = 180∘ ⇒ ∠MAB = 180∘− 60∘ = 120∘

Проведём $BM.$ Рассмотрим треугольник $ABM.$ Запишем теорему косинусов для него:

BM2 = AB2 + AM2 − 2⋅AB ⋅AM ⋅cos∠BAM BM2 = 1849+ 16 − 2 ⋅43 ⋅4⋅cos120∘ ( ) BM2 = 1865− 344 ⋅ − 1 2 √2--- BM = 2037⇒ BM = 2037

Пусть радиус окружности равен $R.$ Заметим, что описанной окружностью для $△ ABM$ будет эта же окружность. По теореме синусов для треугольника $ABM$

sBinM120∘ =2R √ ---- --2√037 = 2R -32 ∘ ---- --- R = 2037= √679 3

Ответ:

$√ --- 679$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105601Максимум баллов за задание: 2

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 25$ и $CD =16$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K,$ причём $∠AKB = 60∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём $DM ∥AC.$ Тогда $∠BKA = ∠BDM = 60∘$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $DM$ и $AC$ и секущей $BD.$

Проведём $AM.$ $∠CAD =∠ADM$ как накрест лежащие углы при $AC ∥ MD$ и секущей $AD.$

$CDABMK61110266∘0∘$

$∠CAD$ — вписанный и опирается на дугу $CD,$ $∠ADM$ — вписанный и опирается на дугу $AM.$ Так как $∠CAD = ∠ADM,$ то дуги $CD$ и $AM$ равны, следовательно, хорды, которые их стягивают, тоже равны, то есть $AM = CD = 16.$

Рассмотрим четырёхугольник $ABDM.$ Так как он вписанный, то по свойству вписанного четырехугольника

∠MAB + ∠MDB = 180∘ ⇒ ∠MAB = 180∘− 60∘ = 120∘

Проведём $BM.$ Рассмотрим треугольник $ABM.$ Запишем теорему косинусов для него:

BM2 = AB2 + AM2 − 2⋅AB ⋅AM ⋅cos∠BAM BM2 =625+ 256− 2⋅25⋅16⋅cos120∘ ( ) BM2 =881− 800⋅ − 1 2 √2--- BM = 1281⇒ BM = 1281

Пусть радиус окружности равен $R.$ Заметим, что описанной окружностью для $△ ABM$ будет эта же окружность. По теореме синусов для треугольника $ABM$

sBinM120∘ =2R √ ---- --1√281 = 2R -32 ∘ ---- --- R = 1281= √427 3

Ответ:

$√ --- 427$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105603Максимум баллов за задание: 2

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 44$ и $CD =8$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K,$ причём $∠AKB = 60∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём $DM ∥AC.$ Тогда $∠BKA = ∠BDM = 60∘$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $DM$ и $AC$ и секущей $BD.$

Проведём $AM.$ $∠CAD =∠ADM$ как накрест лежащие углы при $AC ∥ MD$ и секущей $AD.$

$CDABMK618802∘0∘$

$∠CAD$ — вписанный и опирается на дугу $CD,$ $∠ADM$ — вписанный и опирается на дугу $AM.$ Так как $∠CAD = ∠ADM,$ то дуги $CD$ и $AM$ равны, следовательно, хорды, которые их стягивают, тоже равны, то есть $AM = CD = 8.$

Рассмотрим четырёхугольник $ABDM.$ Так как он вписанный, то по свойству вписанного четырехугольника

∠MAB + ∠MDB = 180∘ ⇒ ∠MAB = 180∘− 60∘ = 120∘

Проведём $BM.$ Рассмотрим треугольник $ABM.$ Запишем теорему косинусов для него:

BM2 = AB2 + AM2 − 2⋅AB ⋅AM ⋅cos∠BAM BM2 = 1936+ 64 − 2 ⋅44 ⋅8⋅cos120∘ ( ) BM2 = 2000− 704 ⋅ − 1 2 2√ - BM =2352⇒ BM = 28 3

Пусть радиус окружности равен $R.$ Заметим, что описанной окружностью для $△ ABM$ будет эта же окружность. По теореме синусов для треугольника $ABM$

sBinM120∘ =2R √- 28√-3-= 2R -32 R = 28

Ответ: 28

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105604Максимум баллов за задание: 2

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 11$ и $CD =41$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K,$ причём $∠AKB = 60∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём $DM ∥AC.$ Тогда $∠BKA = ∠BDM = 60∘$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $DM$ и $AC$ и секущей $BD.$

Проведём $AM.$ $∠CAD =∠ADM$ как накрест лежащие углы при $AC ∥ MD$ и секущей $AD.$

$∘∘ ABCDKM614402011$

$∠CAD$ — вписанный и опирается на дугу $CD,$ $∠ADM$ — вписанный и опирается на дугу $AM.$ Так как $∠CAD = ∠ADM,$ то дуги $CD$ и $AM$ равны, следовательно, хорды, которые их стягивают, тоже равны, то есть $AM = CD = 41.$

Рассмотрим четырёхугольник $ABDM.$ Так как он вписанный, то по свойству вписанного четырехугольника

∠MAB + ∠MDB = 180∘ ⇒ ∠MAB = 180∘− 60∘ = 120∘

Проведём $BM.$ Рассмотрим треугольник $ABM.$ Запишем теорему косинусов для него:

BM2 = AB2 + AM2 − 2⋅AB ⋅AM ⋅cos∠BAM BM2 = 121+ 1681 − 2 ⋅11 ⋅41⋅cos120∘ ( ) BM2 = 1802− 902 ⋅ − 1 2 √2--- BM = 2253⇒ BM = 2253

Пусть радиус окружности равен $R.$ Заметим, что описанной окружностью для $△ ABM$ будет эта же окружность. По теореме синусов для треугольника $ABM$

sBinM120∘ =2R √ ---- --2√253 = 2R -32 ∘ ---- --- R = 2253= √751 3

Ответ:

$√ --- 751$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105605Максимум баллов за задание: 2

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 39$ и $CD =6$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K,$ причём $∠AKB = 60∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём $DM ∥AC.$ Тогда $∠BKA = ∠BDM = 60∘$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $DM$ и $AC$ и секущей $BD.$

Проведём $AM.$ $∠CAD =∠ADM$ как накрест лежащие углы при $AC ∥ MD$ и секущей $AD.$

$CDABMK616602∘0∘$

$∠CAD$ — вписанный и опирается на дугу $CD,$ $∠ADM$ — вписанный и опирается на дугу $AM.$ Так как $∠CAD = ∠ADM,$ то дуги $CD$ и $AM$ равны, следовательно, хорды, которые их стягивают, тоже равны, то есть $AM = CD = 6.$

Рассмотрим четырёхугольник $ABDM.$ Так как он вписанный, то по свойству вписанного четырехугольника

∠MAB + ∠MDB = 180∘ ⇒ ∠MAB = 180∘− 60∘ = 120∘

Проведём $BM.$ Рассмотрим треугольник $ABM.$ Запишем теорему косинусов для него:

BM2 = AB2 + AM2 − 2⋅AB ⋅AM ⋅cos∠BAM BM2 = 1521+ 36 − 2 ⋅39 ⋅6⋅cos120∘ ( ) BM2 = 1557− 468 ⋅ − 1 2 √2--- BM = 1791⇒ BM = 1791

Пусть радиус окружности равен $R.$ Заметим, что описанной окружностью для $△ ABM$ будет эта же окружность. По теореме синусов для треугольника $ABM$

sBinM120∘ =2R √ ---- --1√791 = 2R -32 ∘ ---- --- R = 1791= √597 3

Ответ:

$√ --- 597$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105606Максимум баллов за задание: 2

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 34$ и $CD =22$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K,$ причём $∠AKB = 60∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём $DM ∥AC.$ Тогда $∠BKA = ∠BDM = 60∘$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $DM$ и $AC$ и секущей $BD.$

Проведём $AM.$ $∠CAD =∠ADM$ как накрест лежащие углы при $AC ∥ MD$ и секущей $AD.$

$CDABMK61220222∘0∘$

$∠CAD$ — вписанный и опирается на дугу $CD,$ $∠ADM$ — вписанный и опирается на дугу $AM.$ Так как $∠CAD = ∠ADM,$ то дуги $CD$ и $AM$ равны, следовательно, хорды, которые их стягивают, тоже равны, то есть $AM = CD = 22.$

Рассмотрим четырёхугольник $ABDM.$ Так как он вписанный, то по свойству вписанного четырехугольника

∠MAB + ∠MDB = 180∘ ⇒ ∠MAB = 180∘− 60∘ = 120∘

Проведём $BM.$ Рассмотрим треугольник $ABM.$ Запишем теорему косинусов для него:

BM2 = AB2 + AM2 − 2⋅AB ⋅AM ⋅cos∠BAM BM2 = 1156+ 484 − 2 ⋅34 ⋅22⋅cos120∘ ( ) BM2 = 1640− 1496⋅ − 1 2 √2-- BM = 2388⇒ BM = 2 597

Пусть радиус окружности равен $R.$ Заметим, что описанной окружностью для $△ ABM$ будет эта же окружность. По теореме синусов для треугольника $ABM$

sBinM120∘ =2R √ --- 2-√597 = 2R -32 ∘ ---- --- R =2 597 = 2√ 199 3

Ответ:

$√ --- 2 199$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

01 Задачи №25 из банка ФИПИ → 01.11 №25. Тип 11