01 №25. Тип 14 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#46332Максимум баллов за задание: 2

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 34 и 14, а сумма углов при основании $AD$ равна $90∘.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD,$ если $AB = 12.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCDOHPEx$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По условию $∠PAD +∠P DA = 90∘.$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника:

∠AP D +∠P AD + ∠PDA = 180∘.

Значит,

∘ ∠AP D = 180 − (∠P AD + ∠P DA) = = 180∘− 90∘ = 90∘.

Пусть $O$ — центр окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD.$

Пусть окружность касается прямой $CD$ в точке $E.$

Проведём $OE.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OE ⊥P D.$

Проведем $OH ⊥ AP.$ Тогда $∠PHO = 90∘.$

Рассмотрим четырехугольник $PEOH.$ В нём

∘ ∠AP D = ∠PEO =∠P HO =90 ,

следовательно, $PEOH$ — прямоугольник.

Рассмотрим треугольники $BP C$ и $AP D.$ В них $∠P$ — общий, $∠PBC = ∠PAD,$ как соответственные углы при $BC ∥AD$ и секущей $PA.$ Тогда треугольники $BP C$ и $APD$ подобны по двум углам.

Пусть $BP =x.$ Тогда

AP = AB + BP = 12+ x.

Запишем отношения подобия для треугольников $BP C$ и $APD :$

BP-= BC- AP AD --x-- = 14 12 +x 34 34x = 14(12+ x) 34x= 168+ 14x 20x =168 x = 8,4 BP = 8,4

Проведем $AO$ и $BO.$ Заметим, что $AO = BO$ как радиусы окружности.

В треугольнике $AOB$ стороны $AO$ и $BO$ равны, следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный.

$OH ⊥ AP,$ следовательно, $OH$ — высота в треугольнике $AOB.$ Так как треугольник $AOB$ — равнобедренный, то $OH$ — медиана. Значит

AB 12 AH =HB = -2-= 2-= 6.

Тогда

HP = HB + BP = 6 +8,4= 14,4.

$HP = OE$ как противоположные стороны в прямоугольнике $PEOH.$

Пусть $R$ — радиус окружности, тогда, так как и $OE$ — радиус окружности, получаем, что

R = OE = HP =14,4.

Ответ: 14,4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#54132Максимум баллов за задание: 2

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании $AD$ равна $90∘.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD,$ если $AB = 24.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$BOHCExADP$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По условию $∠PAD +∠P DA = 90∘.$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника:

∘ ∠AP D +∠P AD + ∠PDA = 180 .

Значит,

∘ ∠AP D = 180 −∘ (∠P A∘D + ∠∘P DA) = = 180 − 90 = 90.

Пусть $O$ — центр окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD.$

Пусть окружность касается прямой $CD$ в точке $E.$

Проведём $OE.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OE ⊥P D.$

Проведем $OH ⊥ AP.$ Тогда $∘ ∠PHO = 90.$

Рассмотрим четырехугольник $PEOH.$ В нём

∠AP D = ∠PEO =∠P HO =90∘,

следовательно, $PEOH$ — прямоугольник.

Рассмотрим треугольники $BP C$ и $AP D.$ В них $∠P$ — общий, $∠PBC = ∠PAD,$ как соответственные углы при $BC ∥AD$ и секущей $PA.$ Тогда треугольники $BP C$ и $APD$ подобны по двум углам.

Пусть $BP =x.$ Тогда

AP = AB + BP = 24+ x.

Запишем отношения подобия для треугольников $BP C$ и $APD :$

BP-= BC- AP AD --x-- = -2 24 +x 34 34x= 2(24+ x) 34x = 48+ 2x 32x = 48 x = 1,5 BP = 1,5

Проведем $AO$ и $BO.$ Заметим, что $AO = BO$ как радиусы окружности.

В треугольнике $AOB$ стороны $AO$ и $BO$ равны, следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный.

$OH ⊥ AP,$ следовательно, $OH$ — высота в треугольнике $AOB.$ Так как треугольник $AOB$ — равнобедренный, то $OH$ — медиана. Значит

AB 24 AH = HB = 2--= -2 =12.

Тогда

HP = HB + BP = 12+ 1,5 =13,5.

$HP = OE$ как противоположные стороны в прямоугольнике $PEOH.$

Пусть $R$ — радиус окружности, тогда, так как и $OE$ — радиус окружности, получаем, что

R = OE = HP =13,5.

Ответ: 13,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#56056Максимум баллов за задание: 2

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 28 и 4, а сумма углов при основании $AD$ равна $90∘.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD,$ если $AB = 15.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$BOHCExADP$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По условию $∠PAD +∠P DA = 90∘.$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника:

∘ ∠AP D +∠P AD + ∠PDA = 180 .

Значит,

∘ ∠AP D = 180 −∘ (∠P A∘D + ∠∘P DA) = = 180 − 90 = 90.

Пусть $O$ — центр окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD.$

Пусть окружность касается прямой $CD$ в точке $E.$

Проведём $OE.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OE ⊥P D.$

Проведем $OH ⊥ AP.$ Тогда $∘ ∠PHO = 90.$

Рассмотрим четырехугольник $PEOH.$ В нём

∠AP D = ∠PEO =∠P HO =90∘,

следовательно, $PEOH$ — прямоугольник.

Рассмотрим треугольники $BP C$ и $AP D.$ В них $∠P$ — общий, $∠PBC = ∠PAD,$ как соответственные углы при $BC ∥AD$ и секущей $PA.$ Тогда треугольники $BP C$ и $APD$ подобны по двум углам.

Пусть $BP =x.$ Тогда

AP = AB + BP = 15+ x.

Запишем отношения подобия для треугольников $BP C$ и $APD :$

BP-= BC- AP AD --x-- = -4 15 +x 28 28x= 4(15+ x) 28x = 60+ 4x 24x = 60 x = 2,5 BP = 2,5

Проведем $AO$ и $BO.$ Заметим, что $AO = BO$ как радиусы окружности.

В треугольнике $AOB$ стороны $AO$ и $BO$ равны, следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный.

$OH ⊥ AP,$ следовательно, $OH$ — высота в треугольнике $AOB.$ Так как треугольник $AOB$ — равнобедренный, то $OH$ — медиана. Значит

AB 15 AH = HB = -2- = 2-= 7,5.

Тогда

HP = HB + BP = 7,5+ 2,5= 10.

$HP = OE$ как противоположные стороны в прямоугольнике $PEOH.$

Пусть $R$ — радиус окружности, тогда, так как и $OE$ — радиус окружности, получаем, что

R = OE = HP = 10.

Ответ: 10

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#56388Максимум баллов за задание: 2

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 32 и 4, а сумма углов при основании $AD$ равна $90∘.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD,$ если $AB = 14.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$BOHCExADP$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По условию $∠PAD +∠P DA = 90∘.$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника:

∘ ∠AP D +∠P AD + ∠PDA = 180 .

Значит,

∘ ∠AP D = 180 −∘ (∠P A∘D + ∠∘P DA) = = 180 − 90 = 90.

Пусть $O$ — центр окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD.$

Пусть окружность касается прямой $CD$ в точке $E.$

Проведём $OE.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OE ⊥P D.$

Проведем $OH ⊥ AP.$ Тогда $∘ ∠PHO = 90.$

Рассмотрим четырехугольник $PEOH.$ В нём

∠AP D = ∠PEO =∠P HO =90∘,

следовательно, $PEOH$ — прямоугольник.

Рассмотрим треугольники $BP C$ и $AP D.$ В них $∠P$ — общий, $∠PBC = ∠PAD,$ как соответственные углы при $BC ∥AD$ и секущей $PA.$ Тогда треугольники $BP C$ и $APD$ подобны по двум углам.

Пусть $BP =x.$ Тогда

AP = AB + BP = 14+ x.

Запишем отношения подобия для треугольников $BP C$ и $APD :$

BP-= BC- AP AD --x-- = -4 14 +x 32 32x= 4(14+ x) 32x = 56+ 4x 28x = 56 x =2 BP = 2

Проведем $AO$ и $BO.$ Заметим, что $AO = BO$ как радиусы окружности.

В треугольнике $AOB$ стороны $AO$ и $BO$ равны, следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный.

$OH ⊥ AP,$ следовательно, $OH$ — высота в треугольнике $AOB.$ Так как треугольник $AOB$ — равнобедренный, то $OH$ — медиана. Значит

AB 14 AH =HB = -2-= 2-= 7.

Тогда

HP = HB + BP = 7+ 2 =9.

$HP = OE$ как противоположные стороны в прямоугольнике $PEOH.$

Пусть $R$ — радиус окружности, тогда, так как и $OE$ — радиус окружности, получаем, что

R = OE = HP = 9.

Ответ: 9

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105684Максимум баллов за задание: 2

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 18 и 6, а сумма углов при основании $AD$ равна $90∘.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD,$ если $AB = 10.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$BOHCExADP$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По условию $∠PAD +∠P DA = 90∘.$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника:

∘ ∠AP D +∠P AD + ∠PDA = 180 .

Значит,

∘ ∠AP D = 180 −∘ (∠P A∘D + ∠∘P DA) = = 180 − 90 = 90.

Пусть $O$ — центр окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD.$

Пусть окружность касается прямой $CD$ в точке $E.$

Проведём $OE.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OE ⊥P D.$

Проведем $OH ⊥ AP.$ Тогда $∘ ∠PHO = 90.$

Рассмотрим четырехугольник $PEOH.$ В нём

∠AP D = ∠PEO =∠P HO =90∘,

следовательно, $PEOH$ — прямоугольник.

Рассмотрим треугольники $BP C$ и $AP D.$ В них $∠P$ — общий, $∠PBC = ∠PAD,$ как соответственные углы при $BC ∥AD$ и секущей $PA.$ Тогда треугольники $BP C$ и $APD$ подобны по двум углам.

Пусть $BP =x.$ Тогда

AP = AB + BP = 10+ x.

Запишем отношения подобия для треугольников $BP C$ и $APD :$

BP-= BC- AP AD --x-- = -6 10 +x 18 18x= 6(10+ x) 18x = 60+ 6x 12x = 60 x =5 BP = 5

Проведем $AO$ и $BO.$ Заметим, что $AO = BO$ как радиусы окружности.

В треугольнике $AOB$ стороны $AO$ и $BO$ равны, следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный.

$OH ⊥ AP,$ следовательно, $OH$ — высота в треугольнике $AOB.$ Так как треугольник $AOB$ — равнобедренный, то $OH$ — медиана. Значит

AB 10 AH =HB = -2-= 2-= 5.

Тогда

HP =HB + BP = 5+ 5= 10.

$HP = OE$ как противоположные стороны в прямоугольнике $PEOH.$

Пусть $R$ — радиус окружности, тогда, так как и $OE$ — радиус окружности, получаем, что

R = OE = HP = 10.

Ответ: 10

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105685Максимум баллов за задание: 2

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 32 и 24, а сумма углов при основании $AD$ равна $90∘.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD,$ если $AB = 7.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCDOHPEx$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По условию $∠PAD +∠P DA = 90∘.$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника:

∠AP D +∠P AD + ∠PDA = 180∘.

Значит,

∘ ∠AP D = 180 − (∠P AD + ∠P DA) = = 180∘− 90∘ = 90∘.

Пусть $O$ — центр окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD.$

Пусть окружность касается прямой $CD$ в точке $E.$

Проведём $OE.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OE ⊥P D.$

Проведем $OH ⊥ AP.$ Тогда $∠PHO = 90∘.$

Рассмотрим четырехугольник $PEOH.$ В нём

∘ ∠AP D = ∠PEO =∠P HO =90 ,

следовательно, $PEOH$ — прямоугольник.

Рассмотрим треугольники $BP C$ и $AP D.$ В них $∠P$ — общий, $∠PBC = ∠PAD,$ как соответственные углы при $BC ∥AD$ и секущей $PA.$ Тогда треугольники $BP C$ и $APD$ подобны по двум углам.

Пусть $BP =x.$ Тогда

AP =AB +BP =7 +x.

Запишем отношения подобия для треугольников $BP C$ и $APD :$

BP-= BC- AP AD -x---= 24 7+ x 32 32x= 24(7+ x) 32x= 168+ 24x 8x= 168 x= 21 BP = 21

Проведем $AO$ и $BO.$ Заметим, что $AO = BO$ как радиусы окружности.

В треугольнике $AOB$ стороны $AO$ и $BO$ равны, следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный.

$OH ⊥ AP,$ следовательно, $OH$ — высота в треугольнике $AOB.$ Так как треугольник $AOB$ — равнобедренный, то $OH$ — медиана. Значит

AB 7 AH =HB = -2-= 2.

Тогда

HP = HB + BP = 7 + 21 = 49= 24,5. 2 2

$HP = OE$ как противоположные стороны в прямоугольнике $PEOH.$

Пусть $R$ — радиус окружности, тогда, так как и $OE$ — радиус окружности, получаем, что

R = OE = HP =24,5.

Ответ: 24,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105686Максимум баллов за задание: 2

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании $AD$ равна $90∘.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD,$ если $AB = 13.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$BOHCExADP$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По условию $∠PAD +∠P DA = 90∘.$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника:

∘ ∠AP D +∠P AD + ∠PDA = 180 .

Значит,

∘ ∠AP D = 180 −∘ (∠P A∘D + ∠∘P DA) = = 180 − 90 = 90.

Пусть $O$ — центр окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD.$

Пусть окружность касается прямой $CD$ в точке $E.$

Проведём $OE.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OE ⊥P D.$

Проведем $OH ⊥ AP.$ Тогда $∘ ∠PHO = 90.$

Рассмотрим четырехугольник $PEOH.$ В нём

∠AP D = ∠PEO =∠P HO =90∘,

следовательно, $PEOH$ — прямоугольник.

Рассмотрим треугольники $BP C$ и $AP D.$ В них $∠P$ — общий, $∠PBC = ∠PAD,$ как соответственные углы при $BC ∥AD$ и секущей $PA.$ Тогда треугольники $BP C$ и $APD$ подобны по двум углам.

Пусть $BP =x.$ Тогда

AP = AB + BP = 13+ x.

Запишем отношения подобия для треугольников $BP C$ и $APD :$

BP-= BC- AP AD --x-- = 12 13 +x 36 36x = 12(13+ x) 36x= 156+ 12x 24x =156 x = 6,5 BP = 6,5

Проведем $AO$ и $BO.$ Заметим, что $AO = BO$ как радиусы окружности.

В треугольнике $AOB$ стороны $AO$ и $BO$ равны, следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный.

$OH ⊥ AP,$ следовательно, $OH$ — высота в треугольнике $AOB.$ Так как треугольник $AOB$ — равнобедренный, то $OH$ — медиана. Значит

AB 13 AH = HB = -2- = 2-= 6,5.

Тогда

HP = HB + BP = 6,5+ 6,5= 13.

$HP = OE$ как противоположные стороны в прямоугольнике $PEOH.$

Пусть $R$ — радиус окружности, тогда, так как и $OE$ — радиус окружности, получаем, что

R = OE = HP = 13.

Ответ: 13

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105687Максимум баллов за задание: 2

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 33 и 11, а сумма углов при основании $AD$ равна $90∘.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD,$ если $AB = 20.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$BOHCExADP$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По условию $∠PAD +∠P DA = 90∘.$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника:

∘ ∠AP D +∠P AD + ∠PDA = 180 .

Значит,

∘ ∠AP D = 180 −∘ (∠P A∘D + ∠∘P DA) = = 180 − 90 = 90.

Пусть $O$ — центр окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD.$

Пусть окружность касается прямой $CD$ в точке $E.$

Проведём $OE.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OE ⊥P D.$

Проведем $OH ⊥ AP.$ Тогда $∘ ∠PHO = 90.$

Рассмотрим четырехугольник $PEOH.$ В нём

∠AP D = ∠PEO =∠P HO =90∘,

следовательно, $PEOH$ — прямоугольник.

Рассмотрим треугольники $BP C$ и $AP D.$ В них $∠P$ — общий, $∠PBC = ∠PAD,$ как соответственные углы при $BC ∥AD$ и секущей $PA.$ Тогда треугольники $BP C$ и $APD$ подобны по двум углам.

Пусть $BP =x.$ Тогда

AP = AB + BP = 20+ x.

Запишем отношения подобия для треугольников $BP C$ и $APD :$

BP-= BC- AP AD --x-- = 11 20 +x 33 33x = 11(20+ x) 33x= 220+ 11x 22x =220 x= 10 BP = 10

Проведем $AO$ и $BO.$ Заметим, что $AO = BO$ как радиусы окружности.

В треугольнике $AOB$ стороны $AO$ и $BO$ равны, следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный.

$OH ⊥ AP,$ следовательно, $OH$ — высота в треугольнике $AOB.$ Так как треугольник $AOB$ — равнобедренный, то $OH$ — медиана. Значит

AB 20 AH = HB = 2--= -2 =10.

Тогда

HP = HB + BP = 10+ 10= 20.

$HP = OE$ как противоположные стороны в прямоугольнике $PEOH.$

Пусть $R$ — радиус окружности, тогда, так как и $OE$ — радиус окружности, получаем, что

R = OE = HP = 20.

Ответ: 20

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105688Максимум баллов за задание: 2

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 48 и 24, а сумма углов при основании $AD$ равна $90∘.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD,$ если $AB = 13.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCDOHPEx$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По условию $∠PAD +∠P DA = 90∘.$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника:

∠AP D +∠P AD + ∠PDA = 180∘.

Значит,

∘ ∠AP D = 180 − (∠P AD + ∠P DA) = = 180∘− 90∘ = 90∘.

Пусть $O$ — центр окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD.$

Пусть окружность касается прямой $CD$ в точке $E.$

Проведём $OE.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OE ⊥P D.$

Проведем $OH ⊥ AP.$ Тогда $∠PHO = 90∘.$

Рассмотрим четырехугольник $PEOH.$ В нём

∘ ∠AP D = ∠PEO =∠P HO =90 ,

следовательно, $PEOH$ — прямоугольник.

Рассмотрим треугольники $BP C$ и $AP D.$ В них $∠P$ — общий, $∠PBC = ∠PAD,$ как соответственные углы при $BC ∥AD$ и секущей $PA.$ Тогда треугольники $BP C$ и $APD$ подобны по двум углам.

Пусть $BP =x.$ Тогда

AP = AB + BP = 13+ x.

Запишем отношения подобия для треугольников $BP C$ и $APD :$

BP-= BC- AP AD --x-- = 24 13 +x 48 48x = 24(13+ x) 48x= 312+ 24x 24x =312 x= 13 BP = 13

Проведем $AO$ и $BO.$ Заметим, что $AO = BO$ как радиусы окружности.

В треугольнике $AOB$ стороны $AO$ и $BO$ равны, следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный.

$OH ⊥ AP,$ следовательно, $OH$ — высота в треугольнике $AOB.$ Так как треугольник $AOB$ — равнобедренный, то $OH$ — медиана. Значит

AB 13 AH = HB = -2- = 2-= 6,5.

Тогда

HP = HB + BP = 6,5 +13 =19,5.

$HP = OE$ как противоположные стороны в прямоугольнике $PEOH.$

Пусть $R$ — радиус окружности, тогда, так как и $OE$ — радиус окружности, получаем, что

R = OE = HP =19,5.

Ответ: 19,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105689Максимум баллов за задание: 2

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании $AD$ равна $90∘.$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD,$ если $AB = 20.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCDOHPEx$

Рассмотрим треугольник $AP D.$ По условию $∠PAD +∠P DA = 90∘.$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника:

∠AP D +∠P AD + ∠PDA = 180∘.

Значит,

∘ ∠AP D = 180 − (∠P AD + ∠P DA) = = 180∘− 90∘ = 90∘.

Пусть $O$ — центр окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD.$

Пусть окружность касается прямой $CD$ в точке $E.$

Проведём $OE.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OE ⊥P D.$

Проведем $OH ⊥ AP.$ Тогда $∠PHO = 90∘.$

Рассмотрим четырехугольник $PEOH.$ В нём

∘ ∠AP D = ∠PEO =∠P HO =90 ,

следовательно, $PEOH$ — прямоугольник.

Рассмотрим треугольники $BP C$ и $AP D.$ В них $∠P$ — общий, $∠PBC = ∠PAD,$ как соответственные углы при $BC ∥AD$ и секущей $PA.$ Тогда треугольники $BP C$ и $APD$ подобны по двум углам.

Пусть $BP =x.$ Тогда

AP = AB + BP = 20+ x.

Запишем отношения подобия для треугольников $BP C$ и $APD :$

BP-= BC- AP AD --x-- = 21 20 +x 49 49x = 21(20+ x) 49x= 420+ 21x 28x =420 x= 15 BP = 15

Проведем $AO$ и $BO.$ Заметим, что $AO = BO$ как радиусы окружности.

В треугольнике $AOB$ стороны $AO$ и $BO$ равны, следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный.

$OH ⊥ AP,$ следовательно, $OH$ — высота в треугольнике $AOB.$ Так как треугольник $AOB$ — равнобедренный, то $OH$ — медиана. Значит

AB 20 AH = HB = 2--= -2 =10.

Тогда

HP = HB + BP = 10+ 15= 25.

$HP = OE$ как противоположные стороны в прямоугольнике $PEOH.$

Пусть $R$ — радиус окружности, тогда, так как и $OE$ — радиус окружности, получаем, что

R = OE = HP = 25.

Ответ: 25

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

01 Задачи №25 из банка ФИПИ → 01.14 №25. Тип 14