Тема Системы уравнений и неравенств

Арифметические операции над системой

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела системы уравнений и неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79602

Про действительные числа $a,b,c$ известно, что

{ ac− 2= 9b2; 3bc− 2= a2

Найдите все значения, чему может быть равно $ab$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, система не кажется достаточно приятной, чтобы работать с ней в её начальном виде. Как же преобразовать? Свободные коэффициенты и соответствующие коэффициенты перед a и b равны! Значит, надо…

Подсказка 2

Надо вычесть из первого уравнения второе — полученное выражение будет раскладываться на скобки. Достаточно ли нам этого? Давайте проверим, может ли каждая из скобок быть равна 0. Лучше начать с подстановки самой неприятной скобки, ведь вдруг она не может быть равна 0 и с ней не надо разбираться. Чему тогда равно произведение ab, и что может его ограничивать?

Подсказка 3

Одна из скобок не равна 0, а значит, a = 3b, а тогда ab = 3b². Теперь понятно, как ограничено выражение ab. Как тогда понять, достигается ли каждое из предполагаемых нами значений, или же существуют некоторые выколотые точки или даже удалённые интервалы? Верно, предъявить значения параметров, при которых достигается любой элемент из предполагаемого множества значений!

Показать ответ и решение

Вычтем из первого уравнения второе:

c(a− 3b)= (3b− a)(3b+ a)

(a− 3b)(a +3b+ c)= 0

Если $a+ 3b+ c= 0$ , то $a= −3b− c$ и первое уравнение системы

27b2- (3b )2 4 + 2 +c = −2,

не имеет решений. Значит, $a= 3b$ и система сводится к одному уравнению

3bc= 9b2 +2,

которое имеет решение относительно $c$ при всех $b⁄= 0:$

2 c= 9b-+-2 3b

Таким образом, $ab= 3b2 > 0$ , при этом любое положительное значение $d> 0$ произведение $ab$ может принять: достаточно взять

∘ -- d 9b2+2- b = 3,a= 3b,c= 3b

Ответ:

$(0,+ ∞)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92168

Решите систему

{ 2x2− x − 3y =0 2y2+y +3x= 0

Показать ответ и решение

Вычтем из первого уравнения второе:

2(x− y)(x+ y)− 4(x+ y)=0

2(x+ y)(x− y− 2)= 0

Случай 1: $x = −y$

Подставляем в $(2)$ : $2y2− 2y = 0$ . Тогда получаем два решения:

{ y =0 { y =1 x =0 и x =− 1

Прямая подстановка в условие показывает, что оба решения подходят.

Случай 2: $x = y+2$

Подставляем в $(2)$ :

2y2+ y+ 3(y+ 2)= 0

2y2+ 4y+ 6= 0

Так как $D < 0$ , то здесь нет решений.

Ответ:

$(0,0),(−1,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#92170

Решить систему

{ x2y3 = 16 x3y2 = 2

Показать ответ и решение

Поделим первое уравнение на второе

y x = 8

y = 8x

Теперь перемножим уравнения исходной системы

55 x y =32

xy = 2

Воспользуемся, что $y = 8x$

8x2 =2

1 x2 = 4

⌊ | x= 12 |⌈ 1 x= − 2

Тогда

⌊ ( | |{ x= 12 || |( ||| y = 4 || (|{ x= − 1 |⌈ 2 |( y = −4

Проверив, получаем, что решение — $(1 ) 2;4 .$

Ответ:

$(1;4) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#92171

Найдите все действительные решения системы уравнений

{ x9− x8− 2y2 = 0 7 y3 2 3 x + x4 = y +yx

Показать ответ и решение

Заметим, что $x⁄= 0.$ Домножим второе уравнение на $2x4$

({ 2y2 = x9− x8 ( 2x11+ 2y3 =2x4y2+2yx7

Теперь подставим первое равенство во второе

2x11+y(x9− x8)= x4(x9− x8)+2yx7

2x4+ y(x2− x)= x4(x2− x)+ 2y

2 4 2 y(x − x− 2)= x (x − x− 2)

⌊ ⌈ y = x4 x2− x − 2 =0

Рассмотрим два случая:

1) Пусть $y = x4,$ тогда

x9− x8− 2x8 = 0

x= 3

Проверив, получаем, что $(3;81)$ — решение.

2) Пусть $x2 − x− 2= 0,$ тогда $x∈{−1;2}.$

При $x= −1$

−2y2 = 2

y2 =− 1

Значит, такого быть не может. При $x= 2$

29− 28− 2y2 = 0

y2 = 27

[ y =8√2 y =−8√2-

Проверив, получаем, что $(2,8√2),(2,− 8√2-)$ — решения.

Ответ:

$(3,81),(2,8√2-),(2,−8√2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#63598

Решите систему уравнений

(| 6x +y2− z2 = 6 { x2− y − 4z = −4, |( 2 2 2 21x − 2y +3y =22z

Показать ответ и решение

Несмотря на то, что при виде условия хочется плакать, можно домножить первое уравнение на $2$ , второе на $3$ и сложить все три уравнения, чтобы избавиться от $y$ и выделить $x − z$

2 2 2 2 12x− 2z − 12+ 3x − 12z+ 12 +21x − 22z = 0

(x − z)(12+ 24x +24z)= 0 ⇐ ⇒ x = z или 1+ 2x+ 2z = 0

В первом случае получаем систему

(|{ 6x+ y2− x2 =6 { 2 2 x2− y− 4x = −4 =⇒ y =2 x −2 4x +4= (x− 2)≥2 0 √- |( x2 = −2y2+ 3y y = x − 6x+ 6= (x− 2) − 2x+2 =y ±2 y − 2

В зависимости от знака $x− 2$ оно принимает значения $∘------ ± (x− 2)2$ , откуда и получаем второе уравнение. Рассмотрим оба случая

$y2 = y− 2√y− 2 =⇒ y2 ≤y =⇒ y ∈ [0,1]$ . Но тогда левая часть неотрицательная, а правая — отрицательна, решений нет.
$y2 = y+ 2√y− 2 =⇒ y(√y − 1)(√y +1)= 2(√y-− 1)$ . Получаем решение $y = 1$ , далее сократим на скобку $√y-− 1$ , получим $y(√y+ 1)= 2$ . Заметим, что в левой части монотонная функция, поэтому решений не более одного. Нетрудно угадать, что подойдёт только $y = 1$ .

Итак, $y =(x− 2)2 =1$ , при этом $x − 2= −∘ (x−-2)2$ (нам подошёл второй случай), откуда $x− 2= −1,x= z = 1$ .

Вернёмся к случаю $2x +2z+ 1= 0,2z = −1 − 2x$ . Отсюда получаем

{ 24x+4y2− 4x2− 4x− 1= 24 { 4y2 = 4x2− 20x+ 25= (2x− 5)2 x2− y+4x+ 2= −4 ⇐⇒ y = x2+ 4x+ 6

Из первого уравнения $2y =± (2x− 5)$ , подставляем

$2x2+ 8x+12 =2x− 5 ⇐⇒ 2x2+6x+ 17= 0$ , в этом случае решений нет.
$2x2+ 8x+12 =− 2x +5 ⇐⇒ 2x2+ 10x +7= 0$ , здесь $x = −-5±√11 2$ . Отсюда сразу же находим $z = −1∕2− x =2 ∓ √11 2$ . Наконец, найдём $y =− x+ 5∕2= 5∓ √11 2$ .

Ответ:

$(1,1,1),(−5+√11,5− √11,2− √11),(−5−√11,5 + √11,2+ √11) 2 2 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#64443

Решите систему уравнений

{ xy+ 3y2− x +4y− 7= 0; 2xy+ y2− 2x− 2y+ 1= 0.

Показать ответ и решение

Разложим каждое уравнение в произведение скобок

{ (y− 1)(x+3y+ 7)= 0 { x+ 3y +7 =0 (y− 1)(2x +y− 1)= 0 =⇒ y =1 или 2x+y − 1 =0

Решение последней системы: $(2,−3).$

Ответ:

$(2;− 3),(c;1), где c ∈ℝ$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#77203

Решите систему уравнений

{ x2 − 4x− 12y− 18= 0; y2 +x+ 6y+ 6,75= 0.

Показать ответ и решение

Домножим второе уравнение на $4$ и сложим с первым, тогда получим:

2 2 x − 4x− 12y− 18 +4(y +x+ 6y+ 6,75)=0

2 2 2 2 x +4y + 12y+ 9= 0⇒ x + (2y +3) = 0

Тогда из последнего уравнения следует, что $x= 0,y = − 3. 2$ Проверяем полученный ответ:

{ 02− 4⋅0− 12⋅(− 32)− 18= 0;− верно (− 3)2+ 0+ 6⋅(− 3)+6,75 =0.− верно 2 2

Ответ:

$x =0,y = − 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#97664

Различные положительные числа $a,b,c$ таковы, что

(| a2+ bc =115; { b2+ ac =127; |( 2 c + ab =115.

Найдите $a +b+ c.$

Если ответов несколько, введите их через пробел.

Показать ответ и решение

Вычтем последнее уравнение системы из первого:

2 2 a + bc− c − ab= 115− 115

(a− c)(a+ c)− b(a− c)= 0

(a − c)(a − b+ c)=0

По условию все числа различны, значит скобка $(a − c)$ не равна нулю. Отсюда $(a− b+ c)= 0,$ то есть $b=a +c.$ Получается, наша система равносильна следующей:

{ a2+ c(a+ c)= 115 (a+c)2+ ac =127

{ a2+ c2+ ac= 115 a2+ c2+ 3ac= 127

{ 2ac= 122 (a+ c) + ac=127

{ ac= 62 (a+c) = 121

Так как числа $a$ и $c$ положительны, то $(a+ c)=11.$ Тогда $a+ b+ c=2 (a+ c)=22.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#99220

Решить систему уравнений:

( x2+ 25y+ 19z = −471 |{ 2 |( y2+23x+ 21z = −397 z +21x+ 21y = −545

Источники: Газпром - 2023, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем понятно, как работать с уравнениями по отдельности, поэтому попробуем их как-то связать. Что можно сказать о коэффциеинтах при каждой переменной?

Подсказка 2

Все коэффициенты нечётны, так что просто выделить полный квадрат вряд ли получится (и будет полезным). Но что можно сделать, чтобы всё-таки их собрать?

Подсказка 3

Сложите три уравнения! Тогда в выражении у нас будут и удвоенные произведения, и квадраты!

Показать ответ и решение

Прибавим к первому уравнению два других и выделим полные квадраты по каждой переменной:

2 2 2 x + y +z + 44x+46y+ 40z =− 1413

2 2 2 x + 44x+y + 46y+ z+ 40z+ 1413= 0

x2+ 44x+484+ y2+46y+ 529+z2+ 40z+400= 0

(x+ 22)2+ (y +23)2 +(z+ 20)2 = 0

Следовательно, $x= −22,y =− 23,z = −20−$ единственное возможное решение. Проверим это подстановкой в уравнения системы:

( |{ (− 22)2+ 25⋅(−23)+ 19 ⋅(−20)= 484 − 575− 380= −471 | (− 23)2+ 23⋅(−22)+ 21 ⋅(−20)= 529 − 506− 420= −397, ( (− 20)2+ 21⋅(−22)+ 21 ⋅(−23)= 400 − 462− 483= −545.

Ответ:

$(−22;− 23;−20)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31164

Решите систему уравнений

{ x2+ y2− x− 3y =0, x2+ y2− y− 3x =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Написано как будто два раза одно и то же, тем более как слагаемые. Первое выражение оставим как есть, а из второго вычтем первое.

Показать ответ и решение

Вычтем из первого уравнения второе и получим равносильную систему:

{ x2 +y2− x− 3y =0 x2 +y2− x− 3y − x2− y2+ y+3x =0.

{ x2+y2− x− 3y = 0 2x − 2y = 0

{ x2 +x2− x− 3x= 0 x= y

{ x(x− 2)= 0 x= y

В итоге получаем две пары и пишем ответ.

Ответ:

$(0,0),(2,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31176

Решите систему уравнений

(| (x +y)2− z2 =4; { (y +z)2− x2 =2; |( 2 2 (z+ x) − y =3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если раскрыть все скобки, то получится три удвоенных попарных произведения, а также много квадратов чисел. Если бы сложили все уравнения, то что бы нам это напомнило?

Показать ответ и решение

Эту задачу легче всего решат те, кто хорошо знает формулу квадрата суммы трех чисел: $(x+ y+ z)2 =x2+ y2+ z2 +2xy+ 2xz+2yz$ . При этом ее надо узнавать справа налево, т.е. сложить все три уравнения системы, раскрыть скобки и убедиться, что слева стоит полный квадрат выражения $(x+ y+ z)$ .

Справа будет число $9$ . Отсюда имеем два случая: $x+ y+ z = 3$ и $x+ y+z =− 3.$

1) $x+y +z =3$ . Применим формулу разности квадратов к каждому из уравнений системы. Получим, что

( |{ (x+ y+ z)(x+y − z)= 4 |( (x+ y+ z)(−x+ y+ z)= 2 (x+ y+ z)(x− y +z)= 3

Подставив вместо $x +y+ z$ число $3$ , будем иметь простую систему

(| x+ y− z = 4∕3 { −x+ y+ z = 2∕3 |( x− y+ z = 1

которая легко решается: $x =7∕6,y = 1,z = 5∕6$ .

2) $x+y +z =−3$ . Этот случай разбирается в точности так же, как и предыдущий, с заменой соответствующих знаков на минусы.

Ответ:

$(7,1,5),(− 7,− 1,− 5) 6 6 6 6$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31281

Найдите действительные решения системы уравнений

{ x2− 4x +4y+ 27= 0; y2+ 2x +8y+ 10= 0.

Показать ответ и решение

Сложим уравнения:

2 2 2 2 x − 2x+ 1+y + 12y+36= 0⇐ ⇒ (x − 1) + (y+ 6) =0 ⇐⇒ x= 1,y = −6

Осталось проверить решения, подставив их в первое уравнение, откуда получаем ответ.

Ответ:

$(1,− 6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31588

Решите систему

{ y− 2|x|+ 3= 0; |y|+ x− 3= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Здесь логично будет раскрыть модуль сначала для какой-нибудь одной из переменных. Дальше можно что-нибудь сделать с уравнениями...

Подсказка 2

В каждом из случаев можно сложить или вычесть их. А дальше по необходимости можно раскрыть и модуль для другой переменной!

Показать ответ и решение

Если $y <0$ , то сложим эти два уравнения и получим $x − 2|x|= 0$ . Значит, $x= 0$ . Из исходной системы находим $y =− 3.$

Если $y ≥ 0$ , то рассмотрим разность уравнений системы: $x +2|x|− 6= 0.$

Если $x≥ 0$ , то $x= 2$ и из системы находим $y =1$ . Если $x <0$ , то $x =− 6$ и из системы находим $y =9.$

Ответ:

$(−6;9),(0;−3),(2;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#34755

Найдите все действительные решения системы уравнений

{ x2+ 7x− y+ 11 =0; y2+ 3x− y+ 15 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Квадратные трёхчлены —> полезно будет выделить полные квадраты! Но выделять их, когда на месте удвоенного числа стоят 7 или 3 не супер приятно. Может вспомним, что перед нами система? Что в ней часто спасает?

Подсказка 2

Сложите уравнения! Тогда уже полные квадраты выделяются чётко, и мы вновь получаем стандартную для оценки конструкцию, из которой явно находим икс и игрек. Получается, задачка решена?

Подсказка 3

А вот и нет! Когда мы складываем уравнения системы, мы получаем лишь её следствие – не факт, что все решения действительно подходят, так что обязательно нужно сделать проверку!

Показать ответ и решение

Сложим уравнения:

2 2 (2 ) ( 2 ) x +10x+ y − 2y +26= 0 ⇐⇒ x +10x+ 25+ y − 2y+ 1 = 0 ⇐⇒

2 2 ⇐⇒ (x +5) +(y− 1)= 0

Сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из чисел равно нулю. Поэтому из последнего равенства $x =− 5$ и $y =1$ . Мы нашли решение следствия системы, но не факт, что оно является решением исходной системы. Но после подстановки найденных значений $x$ и $y$ убеждаемся, что они подходит, и пишем ответ.

Ответ:

$(−5;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#36920

Решите систему уравнений:

{ x3+ 3xy2 = 158; 3x2y+ y3 = −185.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Где-то мы уже видели такие слагаемые, как будто в кубе суммы... Ну конечно, давайте сложим оба уравнения и как раз получим куб суммы!

Подсказка 2

Хм, но ведь эти слагаемые фигурировали не только в кубе суммы, но и в кубе разности. Так давайте попробуем вычесть из первого уравнения второе, что получим?

Подсказка 3

А получим мы равносильную систему, потому что применили сложение и вычитание двух уравнений. В этой системе есть сумма и разность х и у, пусть и в кубе ⇒ возьмем корень третьей степени от каждой части уравнений, и остается только лишь записать ответ :)

Показать ответ и решение

Сложив уравнения, получим:

3 2 2 3 3 x +3x y+ 3y x+ y = (x +y) = −27 =⇒ x +y =− 3

Теперь напишем их разность:

3 2 2 3 3 x − 3x y+3xy − y = (x − y) = 343 =⇒ x− y = 7

Откуда получаем единственное решение $(2,− 5)$ . Проверять его не нужно, поскольку система из суммы и разности уравнений вместе эквивалентна изначальной.

Ответ:

$(2;− 5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#37109

Решите систему уравнений:

(| x3 |||{ xy+ 24= y- | |||( xy− 6= y3 x

Показать ответ и решение

Допустимые значения $x$ и $y$ определяются условием $xy ⁄= 0$ , а произведение правых частей уравнения равно $x2y2$ . Перемножив уравнения системы, получим $2 2 (xy+ 24)(xy− 6)= x y$ или $xy = 8$ .

Так как обе части уравнений системы отличны от нуля, то система из первого уравнения и уравнения-следствия после перемножения равносильна исходной системе. Исключая $y$ из системы, получаем $x4 x4 4 8 8+ 24= xy = 8 ⇐⇒ x = 2$ . Отсюда $x1 = 4,x2 = −4$ , тогда $y1 = 2$ , $y2 = −2$ .

Ответ:

$(4;2),(−4;−2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#39062

Известно, что для положительных чисел $x$ и $y$ выполняются равенства: $-1+ -1= 1 x2 xy 9$ и $1-+ 1-= 1- y2 xy 16$ . Чему равно $3y− 4x$ ?

Показать ответ и решение

Равенства из условия переписываются в виде $1(1 + 1)= 1 x x y 9$ и $1(1+ 1)= 1- y x y 16$ . Если их сложить, то мы получим, что $1 1 2 1 -1 -25- (x + y) = 9 + 16 = 144$ . Отсюда следует, что $1 1 -5 x + y = ±12$ . В силу того, что числа положительны, то $1 1 5- x + y = 12$ . Из равенств выше, следует, что $1+ 1 -5 x= x19-y= 1219 = 154-$ , а $1+1 5- y = x116y-= 11126 = 203$ . Далее подстановкой получаем, что $3y− 4x= 3⋅ 230− 4⋅ 145= 20− 15= 5$ .

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#45006

Решите систему уравнений

(| 3x− y− 5z− 2yz = 0 { x − 5y− z− 2z2 = 0 |( x +9y− 3z+2xz = 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

у нас какие-то странные формулы, давайте попробуем вычесть из первого третье и из первого второе и посмотрим, что получится

Подсказка 2

заметим, что и там, и там у нас присутствует x-5. попробуем проанализировать, чему равно x-5-z и посмотрев на эти два уравнения и понять, чему может быть равен z

Подсказка 3

в первом случае это равняется z(x+y), а во втором 2z*z, значит можно разобрать возможные значения z!

Показать ответ и решение

(| 3x− y− 5z− 2yz = 0 | (1) { x − 5y− z− 2z2 =0 | (2) |( x +9y− 3z+ 2xz =0 | (3)

Рассмотрев $(1)− (3)$ и $(1)− (2)$ , получаем:

{ 2(x− 5y− z− yz− xz)= 0 x− 5y = z+ 2z2

Откуда: $z = 0$ или $z = x+2y$

Первый случай при подстановке (проверьте!) даёт тривиальную тройку $(0,0,0).$

Второй случай позволяет выразить $x =2z− y$ , тогда после подстановки и приведения подобных слагаемых мы получаем:

(|{ z − 4y− 2yz =0 | (1′) z − 6y− 2z2 =0 | (2′) |( z − 8y− 4z2 +2zy = 0 | (3′)

Пробуем теперь посмотреть на $2⋅(1′)− (3′) :$ $z− 6yz+ 4z2 =0$ , откуда, поделив на $z ⁄= 0$ , получаем $1 − 6y+ 4z = 0⇒ z = 6y4−1$

Если выразить одну переменную через другую и подставить, мы получим еще две серии решений (не забудьте проверить полученные решения!): $(− 32,− 12,−1),(− 56,− 16,− 12)$

Ответ:

$(0,0,0),(− 3,− 1,−1),(− 5,− 1,− 1) 2 2 6 6 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#74786

Решите систему в целых числах:

{ (y2 +6)(x− 1)= y(x2+ 1) (2 ) ( 2 ) x +6 (y− 1)= x y + 1

Источники: ФЕ-2022, 11.3 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Оставлять такие скобки бессмысленно, поэтому раскроем их. Теперь у нас есть одинаковые слагаемые в обоих уравнениях, так что сразу начнем преобразовывать систему и приведем ее к удобному уравнению.

Подсказка 2

Сложим уравнения системы и начнем преобразовывать так, чтобы становилось как можно больше скобок. Совсем необязательно, чтобы все разложилось на множители.

Подсказка 3

(x-2)(x-3)+(y-2)(y-3)=0. Попробуем исследовать функцию f(x)=(t-3)(t-2) и понять, в каких случаях достигается равенство.

Показать ответ и решение

Раскроем скобки:

{ y2x− y2+ 6x− 6= yx2+y x2y− x2 +6y = xy2+x

Сложим эти 2 уравнения:

−x2− y2+ 6(x+y)− 12= x+ y

x2+y2− 5(x +y)+ 12= 0

(x2− 5x+ 6)+ (y2− 5y+ 6)= 0

(x− 2)(x− 3)+ (y− 2)(y− 3)= 0

Рассмотрим $f(t)= (t− 2)(t− 3)$ — это парабола с ветвями вверх, $f(t)≥ 0 при t∈ℤ.$ Тогда $f(x)+f(y)≥0,$ а равенство достигается только при

{ f(x) =0 f(y)= 0

То есть при

( [ ||||| x = 2 |{ x = 3 ||| [ |||( y = 2 y = 3

Остаётся только проверить найденные решения, подставив их в изначальную систему.

Ответ:

$(2,2);(3,3);(2,3);(3,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#75003

Подписью битового сообщения $(a,...,a ) 1 5$ является любой битовый набор $(x ,...,x ), 1 10$ при котором

$pict$

Здесь $⊕$ — стандартная операция сложения битов: $0⊕ 0= 1⊕ 1= 0,0⊕ 1= 1⊕ 0= 1.$

Найдите какую-нибудь подпись для сообщения $(0,1,0,0,0).$

Источники: Верченко-2022 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задача только запугивает большим числом переменных, но это же обычная система уравнений, которые мы умеем решать. Так давайте подставим наше сообщение в левую часть условия.

Подсказка 2

Мы понимаем, что складывая одинаковые переменные они уничтожаются, поэтому полезно поскладывать уравнения в этой системе, тем самым, упростив её.

Подсказка 4

Сложите первые 3 уравнения, используя полученные знания, сложите 4-ое и 5-ое уравнения.

Подсказка 5

Теперь мы можем перейти к настоящей пугающей части, но не спешим расстраиваться, ведь нам нужно найти какой-нибудь набор иксов, а значит мы можем дополнительно навесить на него удобные нам ограничения, и если получится найти набор с доп. ограничениями, то задача решена. Какие бы ограничения нам тогда наложить?

Подсказка 6

Давайте перейдём от квадратичной системы к линейной, зафиксировав значения (x7,x8,x9,x10)=(1,1,0,0), и попробуем решить систему попроще.

Подсказка 7

Не забываем, что помимо действий с уравнениями мы можем делать действия внутри уравнения, давайте избавимся от 1, добавив их к обеим частям. Посмотрите на уравнения 2,4 и 1,3, дальше уже можно найти решение и радоваться победе!

Показать ответ и решение

Для начала, используя $(a,a ,a ,a,a )= (0,1,0,0,0), 1 2 3 4 5$ найдем $b,b,b,b ,b . 1 2 3 4 5$ Для этого решим систему:

( b ⊕ b ⊕b = 0 ||||| 3 4 5 |{ b2⊕ b4⊕b5 = 1 ||| b2⊕ b3⊕b5 = 0 |||( b1⊕ b2⊕b3 = 0 b1⊕ b3⊕b5 = 0

Сложив первые три уравнения и преобразовав их, получаем $b = 1. 5$ Подставим это значение в нашу систему:

(| b ⊕ b =1 ||||| b3⊕ b4=0 { b2⊕ b4=1 |||| b2⊕ b3⊕b = 0 ||( 1 2 3 b1⊕ b3 =1

Сложим четвертое и пятое уравнения и получим, что $b2 = 1.$ Тогда из второго уравнения следует, что $b4 = 1,$ а из третьего следует, что $b3 = 0.$ Тогда из пятого получаем $b1 =1.$

Итак, $(b,b ,b ,b,b)= (1,1,0,1,1). 1 2 3 4 5$ Теперь нужно найти набор какой-нибудь $(x ,x,x ,x ,x ,x ,x,x ,x,x ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10$

Для этого найдем любое решение системы:

(| x x ⊕ x x ⊕ x x ⊕x x ⊕ xx ⊕x x ⊕ xx ⊕ x x = 1 ||||| x1x9⊕ x21x0⊕x 3x 8⊕x4x9⊕ x5x9 ⊕ 6x 8x ⊕7x8x ⊕9x 10x = 1 { x1x8⊕ x29x ⊕ 3x 1x0⊕x4x8⊕ x5x10⊕x 6x10⊕ xx7⊕8x 8x 9⊕x = 0 |||| 1 9 210 3 8 4 7 58 6 8 7 8 8 9 10 ||( x1x7⊕ x2x10⊕ x3x10⊕ x4x7⊕x5x7⊕ x6x10⊕ x7x10⊕ x9x10 =1 x1x8⊕ x2x7 ⊕x3x7⊕ x4x9⊕ x5x9⊕x6x8⊕ x7x8 ⊕x8x10⊕x9 = 1

Решать квадратичную систему с десятью переменными сложно, поэтому попробуем ее как-нибудь упростить. Видно, что если убрать переменные $x ,x ,x ,x , 7 8 9 10$ то получится линейная система. Тогда зафиксируем значения этих переменных так, чтобы в новой системе не было противоречий, например, так: $(x7,x8,x9,x10)= (1,1,0,0).$ Тогда все слагаемые, в которых есть $x9$ или $x10$ пропадут.

После подстановки этих значений в систему получаем:

( ||||| x3⊕ x6 ⊕1= 1 |{ x1⊕ x4 ⊕1= 1 ||| x3⊕ x4 ⊕x5⊕ x6⊕ 1= 0 |||( x1⊕ x4 ⊕x5 = 1 x1⊕ x2 ⊕x3⊕ x6⊕ 1= 1

Далее во всех уравнениях, где есть слагаемое 1 в левой части, прибавим 1 к обеим частям. Тогда справа константа изменится на противоположную, а слева останутся только переменные.

( ||||| x3⊕ x6 = 0 |{ x1⊕ x4 = 0 ||| x3⊕ x4⊕ x5 ⊕x6 = 1 |||( x1⊕ x4⊕ x5 =1 x1⊕ x2⊕ x3 ⊕x6 = 0

Из второго и четвертого уравнений следует, что $x = 1. 5$ Тогда из первого и третьего получаем, что $x = 0. 4$ Теперь подставим эти значения в систему:

( x ⊕ x = 0 ||||| 3 6 |{ x1 = 0 ||| x3⊕ x6 = 0 |||( x1 = 0 x1⊕ x2⊕ x3 ⊕x6 = 0

Итак, $x1 = 0.$ Тогда из первого и пятого получаем, что и $x2 =0.$ Осталось выбрать какие-нибудь значения для $x3x6,$ так как их система однозначно не задает. Пусть $x = x = 0. 3 6$

Получаем следующую подпись: $(0,0,0,0,1,0,1,1,0,0).$

Ответ:

$(0,0,0,0,1,0,1,1,0,0)$

Предыдущий раздел

Следующий раздел