Круги Эйлера

Способ 1. Посчитаем сначала, сколько человек не выписывают штрафы (без учета Никиты). Для этого из общего количества полицейских (без Никиты) вычитаем тех, кто штрафы выписывает: . Все эти люди при этом патрулируют северную часть города, значит, остальные патрулирующие северную часть также занимаются выписыванием штрафов, а их полицейских.

Способ 2. Сложим количества тех, кто отправился патрулировать север, и тех, кто отправился выписывать штрафы: . Здесь по одному разу посчитаны те, кто заняты только одним делом, и два раза — те, кто патрулирует северную часть, выписывая штрафы. Вычтем из полученного количества общее число полицейских (без Никиты): . Так как мы вычли всех полицейских по одному разу, тех, кого до этого мы считали один раз, мы больше не считаем вообще, а тех, кто считался дважды, мы считаем теперь один раз. Значит, мы в итоге один раз посчитали тех, кто занимается двумя делами одновременно, то есть искомый ответ.

Нарисуем круги Эйлера, соответствующие бурундучкам, не принесшим пилу, и бурундучкам, не принесшим топорик. Заметим, что бурундучков, не принесших топориков, но взявших пилу, нет, значит, круг, соответствующий тем, кто не взял топорик, целиком лежит внутри круга тех, кто не взял пилу. Значит, бурундучков не взяли пилу, но взяли топорик.

Далее, количество бурундучков, взявших пилу, равно разности между общим количеством бурундучков и теми, кто пилу не взял: . Наконец, искомая разница равна .

Сначала сложим тех, кто любит морковку, капусту или шоколад: . Здесь по одному разу посчитаны те, кто любит что-то одно, по два раза те, кто любит два блюда, и по три раза те, кто любит все три блюда одновременно.

Вычтем общее число родственников: . Теперь по одному разу посчитаны те, кто любит два блюда, и по два раза — те, кто любит все три блюда.

С другой стороны, если сложить тех, кто любит морковку и капусту, морковку и шоколад, капусту и шоколад, получится . Здесь мы по одному разу посчитали тех, кто любит два блюда, и три раза — тех, кто любит все три блюда. Значит, чтобы найти количество тех, кто любит три блюда, надо посчитать зайца.

Сложим все указанные суммы: долларов. Заметим, что зарплата каждого телохранителя посчитана здесь ровно три раза: все разы, кроме того, когда телохранители складывались без него. Значит, чтобы найти настоящую сумму, которую выдал телохранителям Пин, нужно разделить найденную сумму на три: долларов.

На самом деле «свинки, кроме тех, которых не зовут Нюша», это в точности свинки, которых зовут Нюша. И «Нюши, кроме тех Нюш, кто не является свинкой», это в точности Нюши, которые являются свинками. Но Нюши, являющиеся свинками, и свинки, которых зовут Нюшами — одни и те же особи. Значит, их поровну.

Разделим всех зверей на 4 группы: хищники, поехавшие на автомобилях (ХА), хищники на мотоциклах (ХМ), травоядные на автомобилях (ТА), травоядные на мотоциклах (ТМ). По условию, .

Сложим хищников и тех, кто поехал на мотоциклах: .

В этой сумме два раза посчитаны хищники на мотоциклах (ХМ) и ноль раз — травоядные на автомобилях (ТА). Но по условию их количества равны, поэтому если мы заменим одно слагаемое ХМ на равное ему слагаемое ТА, то в итоге получим сумму, в которой все виды зверей посчитаны по одному разу. Значит, мы получили общее количество зверей, откуда и следует ответ 40.

Заметим, что раз все, кроме двоих, тигры, то оставшиеся двое — буйволы или носороги. При этом по условию и те, и другие должны быть, значит, она выдала зарплату одному буйволу и одному носорогу.

Аналогично, раз все, кроме двоих, буйволы, то оставшиеся двое — тигры или носороги, а раз и те, и другие должны быть, то она выдала зарплату одному тигру и одному носорогу.

В итоге мы получили, что зарплата выплачена одному тигру, одному носорогу и одному буйволу, то есть всего троим сотрудникам.

Представим всех мышей в виде точек на плоскости. Заключим в первый круг все точки, соответствующие мышам с серыми хвостами. По условию, таких 90. Во второй круг заключим всех мышей с белым пятнышком под глазом, по условию, таких 70. Тогда в пересечении этих двух кругов получим тех мышат, у которых и хвост серый, и белое пятнышко; по условию, таких всего 40.

Способ 1. Найдем количество мышей с серым хвостом, но без белого пятнышка, то есть количество точек в первом круге, не считая тех, что входят в пересечение двух кругов. Их .

Аналогично посчитаем количество мышей с белым пятнышком, но без серого хвоста. Их . Тогда общее количество мышей мы получим, сложив мышей с серым хвостом, но без пятнышка, с пятнышком, но без хвоста, а также мышей и с пятнышком, и с хвостом: .

Способ 2. Можно сосчитать нужный ответ и быстрее. Для этого сложим количество точек в первом и втором кругах: . Заметим, что точки в пересечении двух кругов мы посчитали дважды. Поэтому на самом деле количество всех мышей на 40 меньше, то есть равно .

Каждое второе число делится на 2, поэтому чисел, делящихся на 2, всего . Из всех чисел каждое третье делится на 3, поэтому таких чисел .

При этом некоторые числа делятся и на 2, и на 3. Все такие числа делятся тем самым на 6, поэтому они составляются шестую часть общего количества, то есть их .

Посчитаем теперь, сколько всего чисел делится или на 2, или на 3. Если мы сложим , то посчитаем нужное количество, но при этом числа, делящиеся и на 2, и на 3, будут посчитаны дважды. Значит, чтобы получить настоящие количества, надо из отнять числа, делящиеся на 6. Получим .

Наконец, чтобы получить искомый ответ, надо из общего количества чисел отнять те, что делятся или на 2, или на 3: как раз получим числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3. Считаем: , именно столько чисел и выпишет Совунья.

Нарисуем круги Эйлера, соответствующие мышам с серыми хвостами и мышам с белым пятнышком. В пересечении мы получим мышей с серыми хвостами и белым пятнышком одновременно. Именно они составляют пятую часть среди мышей с серыми хвостами и четвертую часть среди мышей с белыми пятнышками. Значит, мышей с серыми хвостами — 5 частей, а мышей с белыми пятнышками — 4 части. Значит, больше мышей с серыми хвостами.

Комментарий: если сложить точки в обоих кругах, то точки из пересечения мы посчитали дважды, поэтому их количество нужно один раз вычесть.

Можно решать и иначе: посчитаем количество точек, лежащих в той части первого круга, которая не принадлежит второму (такая часть еще называется разностью исходных множеств). В этой разности будет точек. Следовательно, все точек . Очевидно, можно было посчитать и разность второго и первого, ответ от этого не поменяется.

Это “обратная” задача: мы знаем количество элементов в каждом из множеств, а также в их объединении, но не знаем количество элементов в пересечении. Есть два способа решить задачу

1) По формуле. Пусть в пересечении детей, тогда , то есть . 2) Через разность множеств. Так как всего детей 100, а на комедию пошло 63, то разность между приключениями и комедией составит 37 человек — именно столько ребят пошли только на приключения. Значит, на оба фильма сходили человек.

Всего у нас три группы людей: те, кто купил только хот-дог, те, кто купил только ватрушку, и те, кто купил ватрушку и хот-дог. 57 — это сумма первых и третьих, а 36 — сумма вторых и третьих. Тогда тех, кто купил только хот-дог, ровно , а тех, кто купил только ватрушку, ровно . Значит, всего детей .

Всего 28 человек занимаются чем-то, кто-то только в физическом, кто-то только в математическом, а кто-то и там, и там. Если мы сложим всех, кто ходит в физический, и всех, кто ходит в математический, получим, что тех, кто занимается в обоих кружках, мы посчитали два раза (а остальных ровно по одному). Тогда тех, кто занимается и там, и там, ровно .

Все числа делятся на 4 категории: не кратные ни 2, ни 3; кратные 2, но не кратные 3; кратные 3, но не кратные 2; кратные 6 (причем каждое число ровно в одной из категорий).

Последних — целая часть от . Вторых — целая часть от количество последних (нужно вычесть из всех, кратных 2, тех, кто кратен 3) = 33. Аналогично третьих — . А первых — все 99 (кол-во вторых + кол-во третьих + кол-во четвертых) .

Тогда

1)Ровно 16. 2) 33 числа. 3) 17 чисел. 4) количество первых чисел. 5) 33 числа.

Количество послушных детей кол-во послушных девочек кол-во послушных мальчиков кол-во непослушных мальчиков кол-во послушных мальчиков кол-во мальчиков.

Пусть — трудных задач, — задач, которые решили ровно двое, — легких задач. Тогда в сумме их .

Если сложим количество задач, которые решил каждый мальчик по отдельности, то получим, что каждую трудную задачу мы посчитали ровно один раз, каждую задачу, которую решили ровно двое, — ровно 2 раза, а каждую легкую — ровно 3 раза, то есть:

Вычтем два раза из второго уравнения первое про сумму всех задач (чтобы избавиться от ). Получим:

То есть кол-во трудных задач на 20 больше количества легких.

Ведем обозначения: ШК — кол-во шестиклассников в кроссовках, ШБ — кол-во шестиклассников в ботинках, ПК — кол-во пятиклассников в кроссовках, ПБ — кол-во пятиклассников в ботинках.

Распишем условие:

ШК + ШБ = 24

ШК + ПК = 16

ПБ = ШК

Тогда 16 = ШК + ПК = ПБ + ПК — количество всех пятиклассников. Тогда всего учеников ШК + ШБ + ПБ + ПК = 24 + 16 = 40.

Посчитаем сначала, сколько будет чисел, назвав которые, Ёжик не будет есть конфет. Среди чисел от 1 до 1000 ровно половина, то есть , делятся на 2, и ровно пятая часть, то есть чисел делятся на 5. Если сложить, получится . При этом в такой сумме дважды посчитаны числа, делящиеся и на 2, и на 5. Все такие числа делятся на 10, значит, их — десятая часть всех чисел, то есть . Поэтому чисел, делящихся или на 2, или на 5, всего . Отсюда чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 5, , и именно столько конфет съест Ёжик.