Прямая Симсона

Заметим, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Тогда так как они опираются на одну дугу

Рассмотрим четырёхугольник В нём имеем:

Значит, четырёхугольник является вписанным. Тогда так как они опираются на одну дугу Следовательно,

Значит, четырёхугольник тоже является вписанным. Тогда сумма его противоположных углов равна То есть

Обозначим основания высот как а основания высот из через

Первое решение.

Точки лежат на прямой Симсона треугольника для точки на его описанной окружности (вписанность очевидна из суммы его противоположных углов).

Аналогично, точки лежат на прямой Симсона треугольника для точки

Точки и лежат на прямой так что четыре точки лежат на одной прямой.

Второе решение.

Обозначим основания перпендикуляров как соответственно. Докажем, что

Заметим, что точка лежит на описанной окружности треугольника так как

Точки и являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки на прямые и Значит, основание перпендикуляра, опущенного из на лежит на прямой по теореме Симсона. Другими словами, оно совпадает с  – точкой пересечения и Это и означает, что

Рассмотрим четырехугольник

Значение вычисляется:

Итак,

Это вычисление показывает, что вписанный.

Получается, что лежит на описанной окружности Точка  – основание перпендикуляра из на  – из на Отметим, что так как в силу симметрии относительно биссектрис и Значит, основание перпендикуляра из на  – середина Точки и середина лежат на прямой Симсона точки

Пусть прямые, симметричные пересекаются в точке Тогда точки, симметричные лежат на а, значит, проекции на стороны треугольника лежат на одной прямой (потому что гомотетия с центром в и коэффициентом переводит точки, симметричные в проекции на стороны треугольника). Отсюда, по теореме Симсона, точка лежит на описанной окружности Докажем теперь следующую лемму.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. Если высоты треугольника пересекаются в точке а — точка его описанной окружности, то прямая Симсона точки относительно треугольника делит отрезок пополам.

Доказательство. Пусть не умаляя общности точка находится на меньшой дуге Проведем хорду перпендикулярную Пусть точки и симметричны точкам и относительно прямой точка лежит на описанной окружности треугольника

Докажем сначала, что В самом деле, Теперь докажем, что параллельна прямой Симсона. Пусть пересекает в точке Так же опустим перпендикуляр на Тогда у нас вписанный. В таком случае есть две пары антипараллельных прямых относительно и Это будут и и Отсюда следует, что и параллельны, где и есть прямая Симсона. Значит, она проходит через середину стороны треугольника и параллельна стороне а, значит, она проходит через середину стороны

Пусть не умаляя общности точка находится на меньшой дуге Тогда пересекает в точке Так же опустим перпендикуляр на Тогда у нас вписанный. В таком случае есть две пары антипараллельных прямых относительно и Это будут и и Отсюда следует, что и параллельны, где и есть прямая Симсона.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Из леммы получаем, что прямая Симсона проходит через середину отрезка Как уже было отмечено, гомотетия с центром в и коэффициентом переводит прямую Симсона точки в прямую а середину отрезка  – в точку Получается, прямая содержит точку Так как определение точки не зависит от выбора прямой мы получили, что все прямые, описанные в задаче, проходят через одну и ту же точку