Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове

Из второго уравнения следует, что , так как корень неотрицателен.

Пусть первое уравнение выполняется из-за того, что . Условие равносильно . Решение не подходит, а при получаем:

Пусть теперь , но , и . Тогда , но такой вариант не подходит под второе уравнение.

При остальных система равносильна системе:

При решением будет , при получим уравнение:

Откуда , тогда . Последняя пара не удовлетворяет условию .

Преобразуем выражение аргумента

Выполним замену Тогда , следовательно, для любого верно, что

Тем самым, мы показали, что функция имеет вид , где — некоторая постоянная, которая не зависит от , тогда

следовательно, для некоторой новой постоянной . Аналогично,

Осталось заметить, что тангенс угла наклона в точке 0 равен значению производной функции в точке 0, так что

Обозначим

Чтобы не возиться с корнями, попробуем оценить квадрат этого выражения, тем более он довольно симпатичный:

Из очевидного получаем . Откуда, конечно, так что целая часть числа равна Здесь, однако, важно сказать, что , иначе наше решение не исключало бы, что целая часть могла быть равна . Но в силу следует очевидность (которую всё же надо упомянуть!) неравенства

Так как

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялось неравенство

Проверка показывает, что — решение.

Так как

Находим

Найдём

Получаем, что

Посмотрим, как будет меняться функция

Видим периодичность, период Остаток от деления 1303 на 3 равен 1, поэтому

Поскольку , то

Отсюда . Тогда .

Число

Обозначим

Найдём

Откуда сразу же (очевидно, что при сумма не может быть равна

Попробуем сгруппировать Заметим, что у нас есть последовательно идущие коэффициенты тогда попробуем собрать многочлены степени. Получаем

Посчитаем искомое выражение:

Преобразуем исходное равенство, учитывая, что числа больше и соответствующие логарифмы положительны:

Выполнив замену где получим

Таким образом, все тройки удовлетворяющие условию задачи, имеют вид

Ясно, что в противном случае из натуральности числа следует, что число лежит в интервале и не является натуральным. Случай противоречит условию задачи. Если то где и тогда тройку натуральных чисел можно записать в виде с натуральным Сумма для этой тройки будет больше такой же суммы для чисел, входящих в тройку Значит,

При целых тройка чисел с минимальной суммой получается при это числа и для них сумма равна Если рациональное, но не целое, то для того, чтобы число было целым, необходимо, чтобы было как минимум восьмой степенью целого числа, не меньшего и, конечно же, сумма будет больше, чем (т.к.

Значит, и . Так как , то и .

Найдём

Так как , то .

Возведём обе части в квадрат:

И ещё раз в квадрат:

В левой части мы избавились от двух корней, а в правой части после преобразований получили то, что и было до них. Значит, выполнив те же действия много раз, дойдём до:

Возведём обе части в 6-ую степень:

Значит, и в исходном сравнении правая часть больше.

Пусть искомое число равно . Имеем

По условию рационально, поэтому и рационально. Значит, . Тогда число тоже рационально, поэтому . Значит,

Заметим, что числа и одинаковой чётности, а число 131 простое. Следовательно, и . Оба равенства выполнены при . Итак, .

Поскольку функцня нечётна и определена в нуле, получаем

В силу 5-периодичности тогда имеем . Используем ещё раз нечётность: , и опять в силу 5-периодичности и

Итак, в точках и 4 значения функции равны соответственно и Значит, на каждом из трёх интервалов между этими точками есть не менее одного нуля функции .

Итого на периоде у функции не менее 4 нулей (ясно, что эта оценка достижнма: можно взять, например, кусочно-линейную функцию, у неё будет ровно 4 нуля). На промежутке период помещается 52 раза (на нём не менее нулей), плюс нуль в точке и хотя бы один на интервале Итого не менее 210 нулей (210 нулей уже возможно).

Запишем критерий арифметической прогрессии для трёх чисел, что её второй член является средним арифметическим первого и третьего:

Заметим, что

Тогда после замены получаем

где

Рассмотрим функцию при

Если и то её вторая производная

ненулевая и имеет постоянный знак, поэтому функция строго выпукла, так что по неравенству Йенсена равенство

возможно только при но в нашем случае

Поэтому или то есть

Оба уравнения имеют по два различных действительных корня, произведения которых равны 11 и 9 соответственно по теореме Виета. Причём все 4 корня различны (уравнения различны), поэтому произведение всех корней равно 99.

Функция является обратной к функции для . Поскольку здесь монотонно возрастает, то и , как обратная, будет монотонно возрастать. Отсюда следует

Дополнительно учитываем ОДЗ, то есть . Имеем систему

Точками смены знака будут , однако их порядок зависит от знака . При получаем решения , а при .

Первое решение.

Обозначим Видно, что Тогда надо понять, почему число

является полным квадратом. Утроенное произведение разнесём в три скобки, а удвоенные произведения — по двум соседним скобкам:

Получилось явно выделить полный квадрат.

Второе решение.

Просто раскроем скобки и получим

Теперь надо понять, квадратом какого числа это может быть.

Заметим, что каждый одночлен является либо квадратом , либо произведением каких-то двух чисел из этого набора. Отсюда вытекает вывод, что это должен быть квадрат , в чём нетрудно убедиться сравнением коэффициентов в одночленах. Действительно, при возведении этого выражения в квадрат полезут только упомянутые ранее квадраты и попарные произведения, которые нам и требуются.

Замечание.

Если число всё ещё кажется взявшимся из ниоткуда, то на помощь приходит симметрия. Поскольку выражение из условия симметрично относительно любой перестановки переменных, то и сам квадрат должен быть таким же. Отсюда, например, угадав набор слагаемых , можно угадать знаки перед ними: знаки не могут быть разными для и или для и , ведь это испортило бы симметрию!

Вычислим значение функции в произвольной чётной точке :

Более формально равенство можно доказать индукцией по . Таким образом, .

Раскроем скобки:

не является корнем уравнения, поэтому поделим обе части на

Сделаем замену Тогда и получаем

Обратная замена: