Операции над комплексными числами. Тригонометрическая и алгебраическая формы. Уравнения в комплексных числах

Мы знаем, что Этого нам, собственно говоря, уже достаточно.

Действительно, тогда
Далее,


Вообще, нетрудно понять, что в общем случае определяется тем, какой остаток по модулю 4 даёт (Это всё происходит из-за того, что и мы просто как бы редуцируем по модулю 4.)

Итак, ясно исходя из вышеприведённых примеров, что

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них равны вещественные и мнимые части. Таким образом, должны быть выполнено одновременно:

Получаем систему на Из первого уравнения получается, что Тогда, подставляя его во второе уравнение, находим, что Откуда А, значит,

Преобразовав немного наше выражение, получим:

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них равны вещественные и мнимые части.

Таким образом, должны быть выполнено одновременно:

Получаем систему на Её можно решить любым известным методом: хоть школьным способом подстановки, хоть методом Гаусса. Система совсем нетрудная, поэтому мы сразу выписываем ответ:

Запишем наше число в канонической экспоненциальной форме: Множитель по модулю равен Значит, модуль числа равен

В целом, эту систему можно решить и методом Гаусса точно так же, как будто она с вещественными коэффициентами. Но, поскольку мы имеем дело с системой , то сделаем по-простому, просто методом подстановки.

Итак, из второго уравнения нам нужно выразить

Теперь, подставляем это в первое уравнение:

Это линейное уравнение на решается так же как и в школе: надо собрать все члены, не содержащие и перекинуть их на одну сторону, а с другой - вычислить коэффициент перед Если сделать всё аккуратно, то у нас получится, что Откуда мы уже легко найдём, что

Таким образом, получаем решение:

В комплексных числах, равно как и в привычных нам ещё со школы вещественных, или даже целых, числах, умножение идёт первее сложения. Значит, сначала нам нужно сначала перемножить а затем к этому прибавить

Делается это максимально естественным образом, с учётом определяющего соотношения

Имеем:
Далее, Значит,
Ответ:

Если нарисовать это число на комплексной плоскости, то становится сразу очевидно. Но мы с вами сделаем по выведенным нами формулам:


Итого: где

Воспользуемся трюком домножения на сопряженное к знаменателю, и получим:

У числа модуль равен а аргумент равен Значит, у  модуль равен а аргумент равен  Так как мы вычисляем аргумент с точностью до прибавления имеем Тем самым,  это число с модулем и нулевым аргументом. Значит, 

Нам поможет в этом тригонометрическая форма записи числа Давайте запишем в виде

Далее, понятно, что Таким образом, мы имеем следующее равенство:

Значит, То есть

Давайте возьмём, скажем, случай Тогда

1. Модуль комплексного числа вычисляется по формуле В нашем случае получается
Аргумент же равен .

2. Для начала найдем по отдельности числа и :

мы найдем из соображения, что при возведении в квадрат модуль комплексного числа тоже возводится в квадрат, а аргумент умножается на 2. Тогда ясно, что Аналогично, Тогда сопряженный к кубу будет, понятное дело:

А при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, а аргументы вычитаются (из аргумента числителя вычитается аргумент знаменателя). Таким образом, имеем:

3. Аналогично предыдущему пункту имеем: Значит,

4. Для этого нужно узнать аргумент и модуль данного числа. Модуль считается по формуле: Аргумент вычисляется по формуле: Значит, Получается, что

5. Здесь нам понадобятся обратные формулы: В нашем случае Тогда Таким образом,

Сначала давайте посчитаем наш знаменатель: То есть

А далее, нужно всего лишь домножить на сопряженное к знаменателю и числитель и знаменатель:

Таким образом, ответ:

Давайте из второго уравнения выразим

И подставим это в первое уравнение:

Мы получаем линейное уравнение с одним неизвестным, правда тут нужно ещё раскрыть скобки и посчитать коэффициент при и свободный член.

Но это уже обыкновенные вычисления с комплексными числами

Если всё аккуратно посчитать, это уравнение приводится к виду

и, таким образом,

И, тогда,

Таким образом, ответ:

Сначала вычислим то, что стоит под степенью. Пусть

Тогда


Таким образом, если записывать это в тригонометрической форме, то

Тогда, по формуле Муавра,

Возьмём два произвольных числа , .

Что тогда из себя представляет комплексное число ? Допустим, оно имеет тригонометрическую форму

Но тогда ясно, что должно быть выполнено

А поскольку при умножении комплексных чисел аргументы складываются, а модули перемножаются, мы это последнее равенство можем записать в тригонометрической форме:

Следовательно приравнивая модули и аргументы левой и правой части имеем:

Откуда и . Что и требовалось доказать.

Давайте сначала преобразуем немного выражение под корнем:

Ясно, что длина подкоренного комплексного числа равна , а аргумент равен .

Таким образом, если и имеет тригонометрическую форму то мы получаем следующую систему:

Откуда получаем, что , , . То есть решением будет множество

Или, что то же самое

Пусть , , тогда имеет на комплексной плоскости координаты , а имеет на комплексной плоскости координаты . Тогда имеет координаты , и тогда - то есть фактически это длина вектора, соединяющего концы и .

Таким образом, выражение обозначает расстояние между числами и на комплексной плоскости.

a) Возможно, будет немного понятнее, если мы сделаем немного искусственную запись того уравнения, которое задает наше множество точек:

Ясное дело, что мы ничего не изменили. Но теперь видно, что - это расстояние от точки до точки 0 (начала координат). Следовательно, множество таких , что - это множество таких комплексных чисел, которые находятся на расстоянии 1 от нуля. То есть это окружность радиуса 1 с центром в начале координат;

b) Множество точек, у которых аргумент равен - это луч, выходящий из начала координат под углом к положительному направлению оси ;

c) Вновь перезапишем исходное условие как

Ясное дело, что мы ничего не изменили. Но теперь видно, что - это расстояние от точки до точки 0 (начала координат). Следовательно, множество таких , что - это множество таких комплексных чисел, которые находятся на расстоянии не больше 2 от нуля. То есть это круг радиуса 2 с центром в начале координат, включая граничную окружность;

d) Это множество точек, расстояние от которых до точки не меньше 1 и не больше 2. То есть это кольцо с центром в внутреннего радиуса 1 и внешнего радиуса 2, включая обе граничные окружности;

e) Первое уравнение системы задает окружность с центром в начале координат радиуса , а второе уравнение - это окружность с центром в точке 1 радиуса 1. Нетрудно видеть, что они пересекаются в точках и .

Например, если , то есть многочлен степени 0 со свободным коэффициентом 1, то уравнение , то есть

очевидно не имеет корней в (да собственно и вообще где угодно оно не имеет корней.)