Тема Квадратные трёхчлены

Задачи на исследование квадратичной функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела квадратные трёхчлены

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79333

На доске написаны $100$ чисел из интервала $(0,1).$ Разрешается выбрать два числа $a$ и $b$ и заменить их на два различных корня квадратного трехчлена $2 x − ax+b$ (если этот трехчлен имеет два различных корня). Докажите, что этот процесс не может продолжаться бесконечно долго.

Показать доказательство

Решение 1. Сначала докажем, что все числа на доске всегда будут принадлежать интервалу $(0,1).$ Для этого достаточно проверить, что корни трехчлена вида $2 x − ax+ b,$ где $a,b∈ (0,1),$ тоже принадлежат интервалу $(0,1).$ Пусть $x1$ и $x2$ — эти корни, тогда $x1x2 =b >0,$ поэтому $x1$ и $x2$ числа одного знака. При этом $x1+ x2 =a >0,$ поэтому $x1$ и $x2$ положительны. Кроме того, $x1+x2 =a <1,$ поэтому $x1$ и $x2$ меньше $1.$ Таким образом, $x1$ и $x2$ тоже принадлежат интервалу $(0,1).$

Рассмотрим сумму обратных величин к числам на доске и исследуем, как она изменяется при указанных операциях. Заменяя пару чисел $a$ и $b$ на корни $x1$ и $x2$ трехчлена $2 x − ax+ b,$ мы заменяем в этой сумме слагаемое $1 1 S = a + b$ на

1 1 x + x a S′ = x1 + x2 =-1x1x22= b

Так как $a$ и $b$ —- числа из интервала $(0,1),$ имеем $1b > ab$ и $1a > 1,$ откуда

S− S′ = 1+ 1 − a > 1 >1 a b b a

Таким образом, рассматриваемая сумма обратных величин на каждом шагу уменьшается более чем на $1.$ Поскольку она останется положительной, такое уменьшение не может происходить бесконечно много раз. Точнее, количество действий не может быть больше, чем $[S0],$ где $S0$ — сумма обратных величин исходных чисел, а квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Решение 2. Как и в первом решении, отметим, что все числа на доске всегда принадлежат интервалу $(0,1).$ Кроме того, заметим, что корни трехчлена $x2 − ax+ b,$ где $a,b∈ (0,1).$ лежат между числами $a$ и $b$ на числовой оси. Действительно, из равенства $x1+ x2 = a$ и ранее доказанной положительности корней следует, что $x1 <a$ и $x2 < a.$ А из равенства $x1x2 = b$ и ранее доказанных неравенств $x1 < 1$ и $x2 < 1$ следует, что $b< x1$ и $b <x2$ . Таким образом, если у трехчлена $x2− ax+ b$ есть два корня, то $b <a$ и корни лежат в интервале $(b,a).$ Следовательно, минимум из чисел на доске не уменьшается, значит, все числа будут не меньше некоторого положительного числа $c$ (равного минимуму из исходных чисел).

Теперь исследуем, как изменится сумма всех чисел на доске. При замене чисел $a$ и $b$ на корни трехчлена $2 x − ax+ b$ из этой суммы вычитается $b.$ Действительно, исходные числа вносили в сумму вклад $a+ b,$ а заменившие их корни $x1$ и $x2−$ вклад $x1+x2 =a.$ Таким образом, сумма всех чисел на каждом шаге уменьшается на величину, не меньшую, фиксированного положительного числа $c.$ Поскольку сумма всегда остается положительной и в начале она не превосходит $100,$ таких действий будет не больше, чем $[100∕c],$ где квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85542

Квадратные трехчлены $f,g$ и $h$ таковы, что при каждом вещественном $x$ числа $f(x),g(x),h(x)$ являются длинами сторон некоторого треугольника, а числа $f(x)− 1,g(x)− 1,h(x)− 1$ не являются длинами сторон треугольника. Докажите, что один из многочленов $f +g− h,f + h− g,g+ h− f$ постоянен.

Показать доказательство

Понятно, что про больших значениях переменной $x$ каждая из функций $f + g− h− 1,f +h− g− 1,g +h− f − 1$ будет иметь постоянный знак, причем у одной из функций при больших $x$ значения точно должны быть отрицательными. Пусть у функции $f +g − h− 1.$ Тогда при больших $x$ выполнено $0< f + g− h< 1.$ Если $f + g− h$ не константа, то при больших значениях $x$ она будет принимать большие по модлую значения (в частности, большие $1$ ). Значит, $f + g− h$ — постоянная функция.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#85544

Квадратные трехчлены $f(x)⁄= g(x)$ отличаются друг от друга перестановкой коэффициентов. Оказалось, что $f(x)≥ g(x)$ при всех вещественных $x.$ Докажите, что коэффициенты трехчлена $f(x)$ образуют арифметическую прогрессию (в некотором порядке).

Показать доказательство

Предположим, один из коэффициентов при соответствующих степенях $f(x)$ и $g(x)$ совпадают. Тогда, поскольку суммы коэффициентов $f(x)$ и $g(x)$ совпадают, получаем, что $k l f(x)− g(x)=a(x − x)$ при $k⁄= l.$ Легко проверить, что в таком случае в точке $1∕2$ или $2$ значение выражения $k l a(x − x )$ меньше нуля — противоречие. Понятно, что дискриминант трехчлена $f(x)− g(x)$ должен быть не больше $0.$ Пусть $2 f(x)= ax +bx+ c.$ Коэффициенты трехчлена $g(x)$ являются коэффициентами $f(x),$ сдвинутыми по циклу, можно считать, что на $1,$ иначе поменяем $f$ и $g$ местами. Тогда дискриминант равен

(b − c)2 − 4(a− b)(c − a)= b2− 2bc+c2+ 4bc+ 4a2− 4ab− 4ac=(b+ c)2+ (2a)2− 2⋅2a ⋅(b+ c)= (b+c − 2a)2 ≥0

Тогда $b +c− 2a= 0,$ то есть образуют арифметическую прогрессию.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85554

Кривая, заданная уравнением $y = x2+ px+ q$ , пересекает ось $Ox$ прямоугольной декартовой системы координат в точках $A$ и $B$ , а ось $Oy$ - в точке $C$ (все три точки различны). Известно, что точка $D$ равноудалена от точек $A,B$ и $C$ , а сумма ее координат равна (-2023). Найдите минимально возможную при данных условиях длину отрезка $AB$ .

Источники: ПВГ - 2024, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А, В, С — точки параболы, причём при пересечении с осями Ох и Оу. Тогда про координаты этих точек много уже известно. Подумайте, как называют точки пересечения параболы и оси Охи, и используйте известную теорему для квадратного уравнения.

Подсказка 2

Известная теорема для квадратного уравнения— теорема Виета. Используйте и другие условия задачи, постарайтесь получить значение q - p, ведь только эти переменные изначально даны в условии.

Подсказка 3

Вы уже знаете, что абсциссы А и В — это корни квадратного уравнения и помимо теоремы Виета у них есть явные формулы, используйте это, выражая АВ.

Показать ответ и решение

Из условия вытекает, что $q ⁄= 0$ . Если обозначить $A(x;0),B(x;0),C(0;q),D (x;y) 1 2$ , то, очевидно, что $x= x1+x2- 2$ . Далее

2 2 |DB| = |DC |

2 2 2 2 (x− x2) +y = x + (y − q)

2qy =q2+ 2xx − x2 2 2

Так как $2x= x1+ x2$ , то $2qy = q2+ x1x2$ . Поэтому с учетом теоремы Виета: $x =− p2,y = q+12-$ .

Тогда из условия задачи имеем уравнение

q− p= 2⋅(− 2023)− 1 =− 4047

По формуле корней квадратного уравнения,

-- ∘ ------ |AB|= |x2− x1|=√ D = p2− 4q,

откуда следует

|AB|2 = p2 − 4q = p2− 4p +4⋅4047= (p− 2)2 +4⋅4046≥4 ⋅4046

Данное значение $√---- √ -- |AB |= 2 4046= 34 14$ достигается при $p =2,q = −4045$ .

Ответ:

$2√4046= 34√14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85566

На координатной плоскости $Oxy$ рассматривается угол, образованный прямыми $y = x$ и $y = −2x$ , целиком лежащий в полуплоскости $y ≥0$ . Среди всех парабол вида $2 y = ax + bx +c$ , вписанных в данный угол, найдите ту параболу, которая принимает наименьшее значение в точке $x =2$ .

Источники: Курчатов - 2024, 11.6 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Внимание

Условие этой задачи можно понимать по-разному:

Подсказка 1 по первому варианту

Вспомним, что означает с точки зрения уравнений, что парабола касается прямой, запишем эти условия в алгебраической форме. Получим некоторые условия, связывающие между собой коэффициенты квадратного трехчлена.

Подсказка 2 по первому варианту

Теперь, имея условие на коэффициенты трехчлена, останется только подставить в выражение для него x=2 и минимизировать получившуются величину.

Подсказка 1 по второму варианту

Условие, что парабола имеет вершину при x=2, можно записать алгебраически: это значит, что выделяя полный квадрат, мы получим скобку (х-2)^2.

Подсказка 2 по второму варианту

Далее получаем условие на коэффициенты трехчлена, связанные с тем, что искомая парабола касается двух прямых. Из этих условий коэффициенты определяются однозначно!

Показать ответ и решение

Пусть парабола $y =ax2+ bx+ c$ касается обеих прямых $y = x$ и $y = −2x$ . Касание с прямой $y = x$ означает, что квадратное уравнение $2 ax + bx +c =x$ имеет единственное решение, т.е. дискриминант $D1$ этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: $2 D1 = (b− 1)− 4ac= 0$ .

Аналогично, касание с прямой $y = −2x$ означает, что квадратное уравнение $2 ax +bx+ c= −2x$ имеет единственное решение, поэтому дискриминант $D2$ этого квадратного уравнения также равен $2 0 :D2 = (b+ 2) − 4ac= 0$ . Из этих двух равенств следует, что $2 2 (b− 1) = (b+2)$ , поскольку оба этих выражения равны $4ac$ . Решая это уравнение относительно $b$ , получаем $1 b= −2$ . Подставим это значение $b$ в формулу для $D1$ и найдем $-9 ac= 16$ . Подставим в уравнение параболы $2 y = ax + bx+ c$ значения $x =2$ и $b=$ $1 −2$ : получается выражение $4a+ c− 1$

Найдём, какое наименьшее значение принимает это выражение при условии $9 ac= 16$ .

Заметим, что $a> 0$ , поскольку парабола лежит в верхней полуплоскости относительно оси $Ox$ , а значит, и $c>0$ . Поэтому мы можем применить неравенство Коши: $√--- 4a+ c≥ 2 4ac=3$ , откуда $4a+ c− 1 ≥3− 1= 2$ . Значит, наименьшее значение равно 2 , причем оно достигается, когда $4a +c=$ $√ --- 2 4ac$ . Перенося все слагаемые налево, получаем, что $√- √- (2 a− c)2 = 0$ , откуда $√- √ - 2 a= c$ и $c= 4a$ . Подставляя $c$ в формулу $ac= 196$ и помня, что $a,c> 0$ , получаем $a = 38$ и $c= 32$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Принимались также решения, в которых условие понималось так, чтобы найти параболу, которая принимает своё наименьшее значение в точке $x= 2$ . Решение задачи в этой трактовке приведено ниже.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть наша парабола имеет вершину в точке $x= 2$ . Тогда ее уравнение выглядит так: $y = a(x− 2)2+d$ для некоторых чисел $a$ и $d$ .

Касание с прямой $y =x$ означает, что квадратное уравнение $a(x− 2)2+ d= x$ имеет единственное решение, т.е. дискриминант $D1$ этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: $D1 = (4a+ 1)2 − 4a(4a +d)= 0$ .

Аналогично, касание с прямой $y = −2x$ означает, что квадратное уравнение $a(x− 2)2 +d =−2x$ имеет единственное решение, поэтому дискриминант $D2$ этого квадратного уравнения также равен $0:D2 = (4a− 2)2 − 4a(4a+ d)= 0$ . Из этих двух равенств следует, что $(4a+ 1)2 = (4a − 2)2$ , поскольку оба этих выражения равны $4a(4a+ d)$ . Решая это уравнение относительно $a$ , получаем $a = 18$ . Подставим это значение $a$ в формулу для $D1$ и найдем $d= 4$ . Таким образом, мы нашли уравнение искомой параболы:

y = 1(x− 2)2+ 4= 1x2− 1x+ 9 8 8 2 2

Ответ:

$y = 3x2− 1x + 3 8 2 2$

в другой трактовке условия $1 2 1 9 y = 8x − 2x+ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92262

Многочлен $f(x)$ второй степени имеет действительные коэффициенты. Попарно различные действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условиям

f(a)= bc,f(b)= ca,f(c)=ab.

Найдите все возможные значения выражения

f(a)+-f(b)+-f(c) f(a+ b+c)

при условии, что $f(a +b+ c) ⁄=0$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте запишем f(x) в явном виде. f(x) = dx² + ex + f, где d - ненулевой коэффициент! Теперь нужно как-то использовать условие на связь a, b, c.

Подсказка 2

Составим систему из 3х уравнений. Мы бы очень хотели восстановить все коэффициенты многочлена f(x). Что можно сделать?

Подсказка 3

Может помочь вычитание уравнений! Например, вычтем из второго первое и из третьего первое. В итоге красиво собираются коэффициенты: перед d — разность квадратов, перед e — разность этих же чисел, справа — число, помноженное на эту же разность!

Подсказка 4

Если расписать разность квадратов, то у каждого из слагаемых уравнения будет общий множитель ;) Поскольку a,b,c - различные, то мы без проблем можем обе части уравнения поделить на этот множитель!

Подсказка 5

В итоге получили систему из двух линейных уравнений относительно d и e. Можем решить ее аналогичным вычитанием!

Подсказка 6

После того, как нашли d и e, можем найти f путем подстановки известных коэффициентов в любое уравнение исходной системы.

Подсказка 7

Коэффициенты f(x) восстановлены! Теперь остается аккуратно подставить значения функции в выражение [f(a)+f(b)+f(c)]/f(a+b+c)

Показать ответ и решение

Пусть многочлен $f(x)$ имеет вид $dx2+ ex +f.$ Тогда выпишем условия:

( a2d +ae+ f = bc |{ 2 |( bd2+ be+ f = ca cd+ ce+ f = ab

Вычтем из второго уравнения первое, из третьего вычтем первое:

{ (b2− a2)d+ (b− a)e= c(a− b) (c2− b2)d+ (c − b)e =a(b− c)

Так как по условию все числа попарно различны, то получаем

{ (a +b)d+e =− c (c+ b)d +e= −a

Вычитая из верхнего нижнее:

(a− c)d= a− c, d= 1

Тогда

e= −a − b− c

f =bc− a(− a− b− c)− a2 = ab+ bc+ ac

Наконец, вычислим искомое

f(a)+f(b)+f(c) --f(a+-b+c)-- =

= -------2-----bc+-ca-+ab--------------= (a +b+ c)− (a+b+ c)(a+ b+ c)+ ab+bc+ ca

ab-+bc+-ca- = ab +bc+ ca =1

Ответ: 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31046

Для квадратного трёхчлена $f(x)$ и некоторых действительных чисел $l,t$ и $v$ выполнены равенства: $f(l) =t+ v,f(t)=l+ v,f(v)= l+ t$ . Докажите, что среди чисел $l,t$ и $v$ есть равные.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, мы знаем, что у квадратного трёхчлена не более двух корней, а нас просят доказать, что среди трёх чисел есть равные... Что хочется сделать?

Подсказка 2

Да, хочется ввести другой трёхчлен, у которого числа l, t, v могут являться корнями! Какой трёхчлен можем придумать, опираясь на условие?

Подсказка 3

Например, g(x) = f(x) + x - l - t- v подойдет! Что можно сказать про значения g(l), g(v), g(t)?

Показать доказательство

Первое решение.

Рассмотрим многочлен $g(x)=f(x)+x − (l+t+ v)$ . Очевидно, что это квадратный трехчлён, поэтому у него не более двух корней, но $g(l) =g(v)=g(t)= 0$ . Квадратный трёхчлен не может иметь три различных корня. Значит, какие-то из чисел $l,t,v$ равны.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Исходя из условия, имеем

f(l)− f(t) --l− t--=− 1

f(t)− f(v)= −1 t− v

Точка с абсциссой $t$ лежит на двух параллельных прямых, следовательно на одной и той же прямой, откуда прямая $3$ раза пересекает график функции, а она может пересекать максимум $2$ раза.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31278

Даны вещественные числа $A,B,C,D$ . Известно, что модули всех корней уравнений $x2+ Ax+ B = 0,x2+Cx + D= 0$ меньше единицы. Докажите, что модули корней уравнения $2 x +1∕2(A + C)x+1∕2(B + D)= 0$ также меньше единицы.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что третье уравнение это полусумма первого и второго.

Подсказка 2

Сформулируем условие так: функции x^2 + Ax + B и x^2 + Cx + D положительны вне интервала (-1; 1).

Подсказка 3

Их полусумма вне интервала (-1; 1) также будет принимать только положительные значения. Тогда какими по модулю могут быть корни? (если они есть)

Показать доказательство

Заметим, что все три уравнения задают параболу, ветви которой направлены вверх. Раз корни $f(x)= x2+Ax +B$ и $g(x)= x2+ Cx+ D$ лежат на интервале $(−1,1)$ , то при $|x|≥ 1$ выполнено $f(x)> 0$ и $g(x)> 0$ , но тогда $2 h(x)= x +(A +C)∕2x+ (C +D )∕2 =(f(x)+ g(x))∕2$ также принимает положительные значения при $|x|≥1$ , поэтому если у него есть корни, то они лежат на $(−1,1)$ .

Замечание: вообще говоря, $h(x)$ не обязано иметь корни, например, при $f(x)=(x− 1∕2)(x− 1∕3), g(x)= (x +1∕2)(x+ 1∕3)$ их нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#78818

Для какого наименьшего натурального числа $a$ существуют целые числа $b$ и $c$ такие, что квадратный трёхчлен $ax2+bx+ c$ имеет два различных положительных корня, не превосходящих $-1- 1000?$

Источники: Всеросс., 2022, ЗЭ, 9.6(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение. Докажем, что $a≥ 1001000.$ Заметим, что если $y$ —корень трёхчлена $ax2+bx+ c,$ то $1∕y$ —корень трёхчлена $2 cx + bx +a.$ Поэтому в задаче нужно найти наименьшее натуральное $a,$ для которого корни $x1$ и $x2$ некоторого трёхчлена $2 cx + bx +a$ (с целыми $b$ и $c$ ) больше $1000.$ Поскольку $x1$ и $x2$ положительны и $x1x2 =a∕c$ (по теореме Виета), имеем $c> 0.$

Если $c= 1,$ то $√ 2----- |x1− x2|= b − 4a≥ 1.$ Поскольку меньший корень не меньше $1000,$ больший корень не меньше $1001,$ а тогда $a= x1x2 ≥ 1001 ⋅1000.$ Если же $c≥2,$ то $a =cx1x2 ≥ 2x1x2 > 2000000.$ В обоих случаях требуемая оценка доказана.

Осталось заметить, что трёхчлен $2 x − (1000+ 1001)x +1001⋅1000$ имеет корни $1000$ и $1001,$ поэтому $a= 1001000$ подходит.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Положим для краткости $n =1000.$ Пусть $x1$ и $x2$ — два различных корня трёхчлена $f(x)= ax2+ bx +c,$ причём $0 <x1 < x2 ≤ 1n.$ Тогда число $b= −a(x1+x2)$ отрицательно, а число $c=ax1x2$ положительно. Более того, имеем $−ab= x1+ x2 < 2n,$ откуда $a> − nb2 .$

Поскольку корни различны, дискриминант $D = b2− 4ac$ положителен. Следовательно, $b2 > 4ac> −2nbc$ и, значит, $− b> 2nc.$ Поэтому $a> (−b)⋅ n2 > 2nc⋅ n2 = n2.c$ Пусть $a= n2c+d,$ где $d$ — натуральное число.

Предположим, что $a< n2+ n.$ Тогда $c= 1$ и $d< n.$ Стало быть,

( ) 0≤ f 1 = -a2 + b+ c= d2 + b +2 <-1+ b+ 2 n n n n n n n

и, значит, $− b< 2n+ 1.$ Следовательно, $− b≤ 2n$ и

D =b2− 4ac≤4n2− 4(n2+d)= −4d <0

Это противоречие показывает, что $d≥ n.$

Если же $a =n2+ n,$ то при $b=− 2n − 1$ и $c= 1$ трёхчлен имеет корни $x1 = -1- n+1$ и $x2 = 1. n$

Ответ:

$a =1001000$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#88689

Дан квадратный трехчлен $P (x)$ . Докажите, что существуют попарно различные числа $a$ , $b$ и $c$ такие, что выполняются равенства

P(b+c)= P(a),P(c+ a)= P(b),P (a +b)= P(c).

Источники: Всеросс., 2022, РЭ, 10.2(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень полезно уметь представлять такие задачи. Мы знаем, что Р(х) --- это трёхчлен. Как выглядит его график?

Подсказка 2

Это парабола! Вспомним, что парабола симметрична относительно некоторой вертикальной прямой. А если значения в двух различных точках параболы равны, то что можно сказать про эти точки?

Подсказка 3

Они равноудалены от абсциссы вершины параболы! Теперь подумайте, чему равна сумма таких точек, и из этого приведите пример к задаче.

Показать доказательство

Пусть $d$ — абсцисса вершины параболы $y =P(x)$ , так что прямая $x= d$ — ось симметрии параболы. Тогда для любых чисел $t$ и $s$ с суммой $2d$ (т.е. таких, что точки $t$ и $s$ симметричны относительно $d)$ выполнено $P(t)= P(s)$ .

Таким образом, любая тройка попарно различных чисел $a,b,c$ с суммой $2d$ будет удовлетворять условию задачи. Можно взять, скажем,

2d 2d 2d a =-3 − 1,b= 3-,c= 3-+1.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#91339

Квадратные трёхчлены $f(x)$ и $g(x)$ таковы, что $f′(x)g′(x)≥ |f(x)|+ |g(x)|$ при всех действительных $x.$ Докажите, что произведение $f(x)g(x)$ равно квадрату некоторого трёхчлена.

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)= ax2+ bx+ c$ и $g(x)= dx2+ ex+ f$ . Тогда

2 2 (2ax +b)(2dx+ e) ≥|ax +bx+ c|+ |dx + ex+ f|

Слева трехчлен и он всегда должен быть хотя бы 0. Значит $ad >0$ . Так как $a$ и $d$ не 0, то при $x1 =− b- 2a$ и при $x2 =− e-, 2d$ и значит, левая часть неравенства равна 0, а значит, и правая, то есть

f(x1)= g(x1)= f(x2)= g(x2)= 0

Если $x1 ⁄= x2$ , то у $f(x)$ и $g(x)$ совпадают корни. Значит,

f(x)g(x)= ad(x− x )2(x− x )2 = (√ad(x− x )(x− x ))2 1 2 1 2

Если $x1 = x2 =k$ , то $f(x)= ax2− 2xak+ c$ и раз $k$ — корень этого уравнения, то $f(x)= a(x− k)2$ и аналогично $g(x)= d(x− k)2$ . Отсюда

f(x)g(x)= (√ad(x − k)2)2

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#44070

При каких целых числах $b$ и $c$ выражение $√4x2-+bx+-c$ целое при любых целых $x?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва прибегнем к идее, которая часто используется, когда под корнем есть квадратный трёхчлен: выделение полного квадрата. Возможно, это натолкнёт нас на какую-то идею...

Подсказка 2

После выделения полного квадрата под корнем к нему добавляется константа c - (b/4)². По условию корень должен быть целым числом для любого целого x. И тут возникает вопрос: а что будет при достаточно больших x? Не будет ли каких-то проблем с извлечением корня?

Подсказка 3

На самом деле при достаточно больших x эта добавка будет довольно мала по сравнению с полным квадратом. Чем больше полный квадрат, тем дальше от него располагается следующий за ним квадрат. При подстановке всё больших x в конце концов эта добавка станет меньше, чем разница между квадратами соседних чисел, тогда корень не будет целым числом! Что же из этого следует?

Подсказка 4

Это значит, что необходимо равенство добавки нулю. Тогда нетрудно понять, что для достаточности этого условия числу b достаточно быть кратным четвёрке. Попробуем доказать необходимость этого факта. В таких задачах часто помогает подстановка различных "хороших" значений х. Попробуйте поэкспериментировать!

Подсказка 5

Например, обязательно надо подставить x = 0. Тогда получаем, что c = k², k ∈ ℤ. А теперь можно использовать это соотношение и равенство добавки нулю!

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат под корнем:

∘--------- ∘ ------------(-)2- s= 4x2+ bx+c = (2x + b)2+ c− b 4 4

Легко понять, что условий $b= 4k,k ∈ℤ$ и $c− (b)2 = 0 4$ будет достаточно. Покажем, что они необходимы.

При $x= 0$ выражение $√c-$ должно быть целым, значит, необходимо $c= k2,k ∈ℤ.$

Если корень $s$ является целым числом, то целым является и $4s− 8x− b =4⋅(s− (2x + b)). 4$ Применим для выражения в скобках формулу $n2−m2 n − m = n+m$ и получим

2 b 2 b2 44√x-+bx+-c−-(2x+-4)b-= 4√-----c−-16-----b 4x2+ bx+ c+2x+ 4 4x2+ bx +c+ 2x+ 4

Но при достаточно больших $x$ правая часть становится по модулю меньше единицы. И при этом должна быть целой. Значит, должна быть равна нулю. Следовательно, $b2 2 2 c= 16 =⇒ b= 16k =⇒ b= 4k, где k∈ ℤ.$

Ответ:

при $b =4k,c= k2, k∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#77995

Найдите наименьшее значение выражения

3f(1)+-6f(0)−-f(−-1) f(0)− f(−2) ,

если $f(x)= ax2+ bx+ c$ — произвольная квадратичная функция, удовлетворяющая условию $b> 2a$ и принимающая неотрицательные значения при всех действительных $x.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте не побоимся и подставим вместо f(1), f(0) и т.д. их настоящие значения через a, b, c и вспомним, когда квадратных трёхчлен принимает только неотрицательные значения?

Подсказка 2

Верно, при a > 0, D <= 0, это даёт нам оценку на c и a, как бы нам это использовать?

Подсказка 3

Можно заметить, что там, где есть множитель b, модуль степени a на 1 меньше, может быть получится сделать какую-нить замену?

Подсказка 4

Да, можно вынести a (a > 0) и сделать замену t = a/b, а у выражения относительно t мы легко можем найти точки минимума. Остаётся только ...

Подсказка 5

Проверить, что этот минимум достигается

Показать ответ и решение

Имеем

(| f(1)= a+ b+ c, |||{ f(0)= c, | |||( f(−1)=a − b+ c, f(−2)=4a− 2b+ c

Тогда исходное уравнение принимает вид

3f(1)+6f(0)−-f(−1) 3(a-+b+-c)+6c−-a+b-− c 2a+-4b+-8c a+-2b+-4c f(0)− f(− 2) = c− 4a+ 2b− c = 2b− 4a = b − 2a

Поскольку $f(x)=ax2+ bx+c$ — произвольная квадратичная функция, принимающая неотрицательные значения при всех действительных $x,$ то

b2 a >0,D =b2− 4ac≤0 ⇒ c≥ 4a

Тогда

2 a+-2b+-4c a+2b+-ba2- a(1+-2ab+-ba2) t2+-2t+1- (t+-1)2- b− 2a ≥ b− 2a = a(ba − 2) = t− 2 = t− 2 ,

где $t= ba,t> 2.$

Рассмотрим функцию $g(t)= (tt+−1)22-$ и найдем ее наименьшее значение при $t>2.$

′ 2(t+ 1)(t− 2)− (t+1)2 (t+1)(2(t− 2)− (t+ 1)) (t+ 1)(t− 5) g(t) = ------(t− 2)2-----= ------(t−-2)2------ = --(t−-2)2--,

при $t= 5$ производная $g′(t)$ равна $0$ и, проходя через эту точку, меняет знак с «минуса» на «плюс», следовательно, $tmin = 5,gmin = g(5)= 12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#78815

Приведите пример такого квадратного трехчлена $P(x),$ что при любом $x$ справедливо равенство

2 P(x+ 1)+ P(x+ 2)+...+P(x+ 10)=x

Показать ответ и решение

Пусть искомый многочлен $P(x)= ax2+ bx +c.$ Тогда

P(x+ 1)+...+ P(x+ 10) = ( 2 2) = a (x +1) +...+(x+ 10) + + b((x+1)+ ...+ (x +10))+ 10c= = a(10x2+(2+ 4+ ...+20)x+ (1+ 22+ ...+ 102))+ + b(10x+1 +2+ ...+ 10)+ 10c=

= 10ax2 +110ax +385a+ 10bx+ 55b+ 10c= 2 = 10ax +(110a+ 10b)x+ (385a+ 55b+ 10c)

Получаем равенство квадратных трехчленов

2 2 10ax +(110a +10b)x+ (385a+ 55b+10c) и x

Это равносильно равенству коэффициентов, то есть системе уравнений

(| 10a= 1, { 110a+ 10b= 0, |( 385a+ 55b+ 10c=0,

которая имеет единственное решение $a= 110,b =− 1110,c= 115 .$

Ответ:

$x2−11x+22 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#79754

Петя задумал два многочлена $f(x)$ и $g(x),$ каждый вида $ax2+bx+ c$ (т. е. степень каждого многочлена не превышает $2$ ). За ход Вася называет Пете число $t,$ а Петя сообщает ему (по своему усмотрению) одно из значений $f(t)$ или $g(t)$ (не уточняя, какое именно он сообщил). После $n$ ходов Вася должен определить один из петиных многочленов. При каком наименьшем $n$ у Васи есть стратегия, позволяющая гарантированно этого добиться?

Источники: Всеросс., 2020, РЭ, 10.10(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Мы будем называть многочлен вида $ax2+bx+ c$ просто многочленом, а график такого многочлена — просто графиком. Мы будем пользоваться следующей известной леммой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. Через любые три точки $(ai,bi)(i=1,2,3)$ с разными абсциссами проходит ровно один график.

Доказательство. Один график, проходящий через эти точки, найдётся всегда. С другой стороны, если через три точки проходят графики двух разных многочленов $f(x)$ и $g(x),$ то разность $f(x)− g(x)$ имеет три корня $a1,a2,a3,$ что невозможно.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Из леммы следует, что через любые две точки с разными абсциссами проходит бесконечно много графиков, и любые два из них пересекаются только по этим двум точкам. Перейдём к решению. Будем считать, что Петя задумал два графика, за ход Вася называет Пете число $t,$ а Петя отмечает точку с абсциссой $t$ на одном из графиков. Можно считать, что на разных ходах Вася называет разные $t$ (иначе Петя повторит ответ).

Рассмотрим ситуацию после $k$ ходов. Назовём пару графиков подходящей, если объединение этих графиков содержит все отмеченные Петей точки.

$1)$ Покажем, что $k≥8.$ Мы будем считать, что Петя изначально не рисует никаких графиков, а просто отмечает некоторые точки с данными абсциссами. Покажем, как ему действовать, чтобы после $7$ ходов нашлись две подходящих пары графиков такие, что все $4$ графика различны; это и будет означать, что Вася не смог добиться требуемого, ибо Петя мог нарисовать любую из этих пар.

Будем обозначать точку, появляющуюся после $i$ -го хода, через $Ai = (ai,bi).$ На первых двух ходах Петя выбирает $b1 =b2 = 0.$ На следующих $4$ ходах Петя отметит точки $A3$ и $A4$ на графике $F+$ многочлена $f+(x)= (x − a1)(x− a2)$ и точки $A5$ и $A6$ — на графике $F−$ многочлена $f−(x)= −(x− a1)(x− a2).$ Седьмым ходом Петя выбирает точку $A7$ , не лежащую ни на одном из графиков, проходящем через какие-то три точки из $A1,A2,A3,A4,A5$ и $A6.$ Тогда существуют графики $G+$ и $G,$ проходящие через тройки точек $A5,A6,A7$ и $A3,A4,A7;$ согласно нашему выбору, эти графики различны и отличаются от $F+$ и $F −.$ Значит, пары $(F+,G+ )$ и $(F−,G−)$ — подходящие, и все эти четыре графика различны, то есть Вася не сможет добиться требуемого.

$2)$ Покажем, как Васе добиться требуемого за $8$ ходов. На первых $7$ ходах он называет $7$ произвольных различных чисел.

Назовём график подозрительным, если он проходит хотя бы через три точки, отмеченных Петей на этих ходах. Назовём число $a$ плохим, если два различных подозрительных графика имеют общую точку с абсциссой $a.$ Существует лишь конечное количество подозрительных графиков и, следовательно, лишь конечное количество плохих чисел.

На восьмом ходу Вася называет любое неплохое число $a8.$ После того, как Петя отметит восьмую точку, возможны два случая.

Случай $1.$ Существует график $G$ многочлена $f(x),$ содержащий пять из восьми отмеченных точек. Три из этих точек лежат на одном из Петиных графиков; по лемме, этот график совпадает с $G.$ Значит, Васе достаточно назвать многочлен $f(x).$

Случай $2.$ Такого графика нет. Это значит, что на каждом из Петиных графиков лежит ровно по $4$ отмеченных точки; поэтому оба этих графика подозрительны. Докажем, что существует единственная пара подозрительных графиков, содержащих в совокупности все $8$ отмеченных точек; тогда Васе достаточно назвать любой из соответствующих многочленов. Пусть $(G1,H1)$ и $(G2,H2)$ — две таких пары, причём $H1$ и $H2$ содержат $A8.$ Согласно выбору числа $a8,$ это может произойти лишь при $H1 = H2.$ Но тогда каждый из графиков $G1$ и $G2$ проходит через $4$ отмеченных точки, не лежащих на $H1,$ и они совпадают согласно лемме. Значит, и наши пары совпадают.

Ответ:

$8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#33513

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых разность между корнями уравнения $x2+$ $3ax +a4 = 0$ максимальна.

Источники: ДВИ - 2018, задача 2 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Однозначно выразить саму разность тут мы не можем, а вот её модуль — вполне. Давайте поработаем с его максимизацией.

Подсказка 2

Когда максимально полученное выражение? Проанализируйте его с помощью производной и найдите точки максимума.

Подсказка 3

Проверьте полученные числа подстановкой: нас интересует максимальное значение, не факт, что обе точки максимума его дают. Запишите ответ!

Показать ответ и решение

Модуль разности между корнями равен корню из дискриминанта, то есть $√9a2−-4a4 =∘4a2-(9−-a2)- 4$ . Как парабола относительно $a2$ с ветвями вниз, подкоренное выражение максимально при $2 9 a = 8$ , т.е. при $-3√- a =± 2 2$ .

Ответ:

$-3√-;−-3√- 2 2 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#38126

Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает значения $13$ , $13$ и $35$ соответственно. Найдите наименьшее возможное значение $f(x)$ .

Источники: Физтех-2017, 9.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Допустим, что наши три числа это n-1, n и n+1. Наверное, вы уже пробовали их подставлять и вышло, мягко говоря, плоховато... Давайте попробуем подумать немного через график. Что является наименьшим возможным значением на нём и отчего оно зависит?

Подсказка 2

Верно, минимум на графике - это будет вершина параболы. Но что мы подставляем в аргумент, находя значение там? Это либо -b/2a по формуле, либо полусумма корней квадратного трёхчлена. Но ведь ни то, ни другое совсем не зависит от наших последовательных чисел, а только от изначального трёхчлена. Какой вывод тогда можно сделать?

Подсказка 3

Точно, мы можем подставить любые удобные нам три последовательных числа! Другими словами, на графике из-за параллельного переноса, наименьшее значение не поменяется. Тогда можно выбрать просто -1, 0 и 1, откуда просто найти коэффициенты квадратного трёхчлена, решив систему, а потом найти и его минимум.

Показать ответ и решение

От параллельного сдвига вдоль $Ox$ минимальное значение не поменяется, потому будем считать, что это значения $− 1,0,1$ . Если $2 f(x)= ax + bx+ c$ , то

( a− b+ c=13 ( a= b |{ ⇐ ⇒ |{ ⇐ ⇒ c=13,a= b= 11 |( c= 13 |( c= 13 a+ b+ c=35 2a= 22

Тогда $fmin = f(−1∕2)= 11− 11+ 13= 41 4 2 4$ .

Ответ:

$41 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#51857

Когда к квадратному трёхчлену $f(x)$ прибавили $x2$ , его наименьшее значение увеличилось на $1$ , а когда из него вычли $2 x$ , его наименьшее значение уменьшилось на $3$ . А как изменится наименьшее значение $f(x)$ , если к нему прибавить $2 2x$ ?

Источники: Физтех-2017, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку у трёхчлена $f(x)= ax2 +bx+ c$ каждый раз были различные наименьшие значения, то $a> 1$ , по формуле это

0 ( b) b2 fmin = f − 2a = c− 4a = T

После прибавления $x2$

2 f1min =c −--b-- =T +1 4a+ 4

После вычитания $x2$

f2min =c −--b2- =T − 3 4a− 4

Напишем разности полученных уравнений

{ -b2- b2 { b2 -b2- ({ --b2---=1 −4ab+24 + c= −4ba2 + c+ 1 ⇐⇒ 4a −b2 4a+b42 = 1 ⇐⇒ ( 4a(ab2+1)- −4a−4 + c= −4a + c− 3 −4a +4a−4 = 3 4a(a−1) =3

Поделим нижнее на верхнее и получим $a+1- a− 1 = 3 ⇐ ⇒ a= 2$ , откуда находим $2 b =24$ , осталось рассмотреть прибавление $2 2x$

2 f3min = c−-b---= − 3+ c 4a+8 2

Поскольку $f0min = c− b24a-=c − 248 = c− 3$ , то минимум функции увеличится на $32$ .

Ответ:

увеличится на $3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#88686

Известно, что для трёх последовательных натуральных значений $n$ , $n+ 1$ и $n +2$ аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает соответственно значения $6$ , $5$ и $5.$

(a) Найдите значение функции $f(n+ 3)$ .

(b) Найдите наименьшее возможное значение $f(x).$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пункт (а). Обратите внимание, что наша квадратичная функция по условию принимает равные значения при n + 1 и n + 2. О чем нам это говорит?

Подсказка 2

Если f(n + 1) = f(n + 2), тогда ось симметрии графика нашей квадратичной функции проходит через x = n + 1,5. Также мы знаем, что наша квадратичная функция при x = n равна 6. Чему тогда равно f(n + 3)?

Подсказка 3

Перейдём к (б)! Заметьте, что при отдалении от вершины значения функции увеличиваются, значит, минимальное значение будет в вершине. Нам нужно найти f(n + 1,5). Но мы не знаем, чему равно n. Какое преобразование данной функции не повлияет на значения функции, но позволит нам избавиться от n?

Подсказка 4

Давайте сдвинем квадратичную функцию на (n+1) влево по оси Ox и назовем новую функцию g(x). Мы получили, что f(n + 1,5) = g(0,5). Как же мы можем найти функцию g(x) и ее значения? Не забывайте про условия, которыми мы пользовались в пункте а.

Подсказка 5

Из условия нам известно, что g(-1) = 6, g(0) = 5, g(1) = 5. Зная значение квадратичной функции в трех точках, можно легко составить систему уравнений с тремя неизвестными и найти все коэффициенты квадратичной функции.

Показать ответ и решение

Рассмотрим квадратный трехчлен $g(x)= f(x +n+ 1)= ax2 +bx+ c$ для некоторых действительных $a,b,c.$ Имеем, что $g(−1)= f(n)= 6,g(0)=f(n+ 1)= 5,g(1)= f(n+ 2)=5.$ Таким образом, $a − b+ c= 6,c =5,a+ b+c= 5.$ Вычитая из первого уравнения третье и сократив на два, получим, что $b= −1∕2.$ Подставляя найденные значения в последнее уравнение, имеем $a =1∕2.$ Тем самым мы показали, что

x2 x g(x)= 2-− 2 +5.

(a) Таким образом,

f(n+ 3)= g(2)= 4− 2 +5= 6. 2 2

(b) Графики трехчленов отличаются $f(x)$ и $g(x)$ отличаются переносом на вектор, сонаправленный с осью $x,$ следовательно, их минимальные значения совпадают. Своего минимального же значения функция $g(x)$ достигает в точке $−-b 1 2a = 2.$ Наконец, оно равно

( 1) 1 1 7 g 2 = 8 −4 +5 =48.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Альтернативное решение пункта a) можно получить так. Поскольку квадратичная функция принимает одинаковые значения в точках $n +1$ и $n +2,$ симметричных относительно абсциссы вершины параболы $x0,$ то $x0 = n+ 1.5,$ она принимает равные значения так же в точках $n$ и $n +3.$ , следовательно, $f(n+ 3) =f(n)= 6.$

Ответ:

(a) $6$

(b) $478$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#70275

Квадратный трёхчлен меняет местами пару различных чисел $a$ и $b$ (т.е. $f(a)= b$ и $f(b)=a$ ). Докажите, что он не меняет местами никакую другую пару различных чисел.

Источники: СпбОШ - 2014, задача 9.1(см. www.pdmi.ras.ru)

Показать доказательство

Пусть $f(x)= px2+ qx+ r$ и $a< b.$ Тогда по условию

$pa2+ qa +r =b$ и $pb2+qb+ r= a.$ (*)

Вычтем из первого равенства второе и сократим на $a− b⁄= 0,$ получим равенство $p(a+ b)+ q = −1.$ Поэтому сумма любых двух переставляемых местами чисел равна $1+q − p .$ Далее есть два способа доделать задачу.
Способ 1.
С другой стороны, если сложить равенства (*), то получится соотношение

p(a2+b2)+q(a+ b)+ 2r= a+ b.

Следовательно,

(1− q)(1+ q) p(a2+ b2)= (a +b)(1− q)− 2r= −----p-----− 2r.

Таким образом, сумма квадратов любых двух переставляемых местами чисел равна $− (1−qp)(21+q)− 2rp .$ Но пара чисел однозначно определена, если заданы их сумма и сумма квадратов. Действительно, если $u+ v = A$ и $u2+ v2 = B,$ то $2uv = (u+ v)2− (u2 +v2)= A2− B$ и, значит, числа $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $x2− Ax+ 12(A2 − B )=0.$
Способ 2.
Пусть существует такие $c$ и $d,$ что $f(c)=d$ и $f(d)=c.$ Тогда квадратное уравнение $f(x)+ x− (a+b)= 0$ кроме корней $a$ и $b$ имеет также корни $c$ и $d,$ поскольку $a+ b= c+d$ (теперь вспоминаем начало решения, что сумма любых двух переставляемых чисел зависит только от коэффициентов исходного квадратного уравнения). Но так как квадратное уравнение может иметь максимум два различных корня, противоречие.

Предыдущий раздел

Следующий раздел