Тема Муниципальный этап ВсОШ

Муниципалка 8 - 9 класс

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела муниципальный этап всош

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#64954

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$ пересекают высоту из вершины $A$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если $AP =a,AQ = b.$

Источники: Муницип - 2024, 9 класс

Показать ответ и решение

Пусть для определенности углы $B,C$ — острые, обозначим $∠B = β,∠C = γ$ . Так как $AP$ — высота, то $∠BAP = π− β,∠CAP = π− γ. 2 2$ Пусть $E,K$ — середины $AB,AC$ соответственно.

Первое решение.

$PIC$

Отметим точку $O$ пересечения серединных перпендикуляров $EP$ и $KQ$ к сторонам треугольника $ABC$ . Эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Заметим, что угол $AOK$ вдвое меньше центрального угла $AOC,$ поэтому равен вписанному углу $ABC,$ то есть $β.$ При этом $∠APE = ∠B = β$ из вписанности четырёхугольника $BEP H$ (два прямых угла дают вписанность). Тогда обратим внимание, что $AO$ касается описанной окружности треугольника $OQP$ , так как угол между ней и хордой $OQ$ равен углу $OPQ,$ опирающемуся на эту хорду. По теореме о касательной и секущей получаем $AO2 = AQ ⋅AP = a⋅b.$

Второе решение.

$PIC$

Не будем думать и посчитаем в синусах: из прямоугольных треугольников

AE =asinβ,AK =bsinγ =⇒ AB = 2asinβ,AC =2bsinγ

Тогда получается

AB AC sinβ √b sin-γ = sinβ =⇒ sinγ = √a

Наконец, по теореме синусов радиус описанной окружности равен

-AB-- √ -- 2sinγ = ab

Ответ:

$√ab$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#72246

Докажите, что для любых натуральных $x$ и $y$ число $2022x2+ 349x +72xy+ 12y+ 2$ является составным.

Источники: Муницип - 2022, Ленинградская область, 8.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, число точно будет не простым, если мы разложим наше число на несколько скобок так, что хотя бы 2 из них будут больше единицы! Попробуем сделать это.

Подсказка 2

Заметим, что 2022=6*337; 349=337+12; 72=6*12. Тогда остается вынести общий множитель нескольких слагаемых за скобки.

Подсказка 3

Да, мы получили две скобки: (6x+1)(337x+12y+2). При подстановке любых натуральных x и y каждая из скобок больше единицы, поэтому мы победили!

Показать доказательство

Попробуем разложить наше выражение на скобочки. Если каждая из них будет больше $1,$ то мы победили!

2 2 2022x + 349x+ 72xy+12y+ 2= 6⋅337x + 337x +12x+ 6⋅12xy +12y+ 2=

= 6x⋅(337x+ 12y+ 2)+ 337x+ 12y +2 =(6x+ 1)(337x+ 12y+2)

Так как $x$ и $y$ натуральные, то обе скобки больше $1.$ Следовательно, число — составное.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#72247

Доход студента складывается из трёх источников: стипендия, временная подработка и помощь родителей. Если правительство удвоит стипендию, то его доход возрастёт на $5%.$ Если время подработки увеличить в два раза, то доход возрастёт на $15%.$ На сколько процентов возрастёт доход студента, если его папа с мамой будут присылать денег вдвое больше?

Источники: Муницип - 2022, Ростовская область, 8.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим каждый доход своей буквой, например: общий доход студента - S, стипендия - a, подработка - b, помощь родителей - c. Тогда верно равенство: S = a + b + c. А можно ли из оставшихся условий найти a и b?

Подсказка 2

Да, ведь 2a+b+c=1, 05S, тогда a = 1,05S-S=0,05S. Аналогично, b будет равно 0,15S. Что остаётся сделать, чтобы найти c?

Подсказка 3

Верно, надо подставить a и b в том виде, который мы получили на предыдущем шаге!

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — ежемесячный доход студента, $a,b$ и $c$ — величины стипендии, подработки и помощи родителей соответственно (выраженные, например, в рублях). Ясно, что $S =a +b+ c.$ Тогда по условию $2a +b+ c= 1,05S$ и $a+ 2b+c =1,15S.$ Из первого уравнения $a =0,05S,$ из второго $b= 0,15S,$ тогда $c= S− a− b =0,8S;a +b+ 2c= 1,8S,$ то есть, доход студента возрастёт на $80%.$

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#72249

Про различные положительные числа $a$ и $b$ известно, что

3 3 ( 2 2 3) a − b = 32a b− 3ab + b .

Во сколько раз большее число превосходит меньшее?

Источники: Муницип - 2022, Республика Башкортостан, 8.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если перефразировать условие, то нас просто просят найти отношение a к b. Подумайте, как можно свести данное нам уравнение к уравнение, в котором мы ищем a/b.

Подсказка 2

Давайте перенесем всё в одну сторону, приведем подобные и разделим на b³. Какое уравнение мы получим и как его проще всего решить?

Подсказка 3

Давайте сделаем замену a/b = x. Тогда мы получаем кубическое уравнение x³-6x²+9x-4=0. Внимательно посмотрите на коэффициенты в уравнении, на что они нам намекают?

Подсказка 4

Если сумма коэффициентов уравнения равна нулю, это значит, что единица является корнем данного уравнения. Но в условии сказано, что a не равно b, значит этот корень нам не подходит. Давайте вынесем из нашего уравнения множитель (x-1). Получили квадратное уравнение, решите его и найдите нужное нам отношение.

Показать ответ и решение

Рассмотрим и преобразуем разность:

0= a3− b3− 3(2a2b− 3ab2+b3)= ( 2 2) ( 2 ) (a − b)(a +ab+ b − 3 2ab(a−) b)− b(a− b)= (a − b) a2+ab+ b2− 6ab+ 3b2 = (a− b)(a2− 5ab+ 4b2) =(a− b)(a− 4b)(a− b)

По условию $a⁄= b,$ тогда получаем $a= 4b,$ значит большое число в $4$ раза больше.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#72743

Можно ли найти четыре различных натуральных числа, каждое из которых не делится ни на $2,$ ни на $3,$ ни на $4,$ но сумма любых двух делится на $2,$ сумма любых трёх делится на $3,$ а сумма всех четырёх делится на $4?$

Источники: Муницип - 2022, Республика Татарстан, 8.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, наши числа не делятся на 2, 3 и 4, но при этом в сумме несколько чисел делятся на 2, 3 и 4. Что можно сказать про остатки при делении на 2, 3 и 4?

Подсказка 2

Верно, у всех чисел должны быть одинаковые остатки при делении на 2, 3 и 4! Ведь, в противном случае, найдется такой набор(например по модулю 3), что его сумма не будет делиться на 3. Осталось подобрать пример)

Подсказка 3

Для того, чтобы подобрать пример, давайте решим какие остатки будут давать наши числа при делении на каждое из чисел. Пусть эти остатки будут равны 1. Какие числа дают остаток 1 при делении на 3 и 4?(какой вид они имеют)

Подсказка 4

Верно, числа вида: 12k+1

Показать ответ и решение

Можно, например,

5,17,29,41

Указанные четыре числа можно записать в виде $12k+ 5$ , где $k$ принимает значения $0,1,2,3,$ поэтому сумма любых трёх чисел

(12k1+ 5)+ (12k2+ 5)+(12k3+ 5)= 12 (k1+ k2+k3)+ 15

делится на $3.$ Все числа в наборе нечётные, значит, сумма любых двух делится на $2.$ Наконец, сумма всех четырёх чисел равна $72$ и делится на $4.$

Варианты правильных ответов:

да
Да
можно
Можно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#72747

Существуют ли целые числа $x,y,z,$ удовлетворяющие равенству:

(x+ y)(y+ z)(z+ x)=2023

Источники: Муницип - 2022, Брянская область, 8.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать про число 2023? Четное ли оно?

Подсказка 2

Да, 2023 - нечетное! А что можно сказать про три множителя в левой части уравнения? Какую четность они имеют?

Подсказка 3

Верно, поскольку чисел 3(x, y, z). То среди них будут либо 2 четных, либо 2 нечетных! А что мы знаем про сумму чисел одной четности? Каким по четности будет произведение трёх этих множителей?

Показать ответ и решение

Если бы такие три числа $x,y и z$ существовали, по крайней мере два из них имели бы одинаковую четность. Предположим, что это пара чисел $x$ и $y$ . Тогда сумма $x+ y$ четная, а значит, четным должно быть и произведение $(x+ y)(y+ z)(z+ x).$ Число же $2023,$ которому это произведение должно равняться, — нечетное. Полученное противоречие показывает, что целых чисел, удовлетворяющих условию, не существует.

Варианты правильных ответов:

нет
Нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#72755

Если взять три разные цифры, составить из них все шесть возможных двузначных чисел, записанных двумя разными цифрами, и сложить эти числа, то получится $462.$ Найдите эти цифры. Приведите все варианты и докажите, что других нет. В качестве ответа введите в порядке возрастания через пробел все возможные значения наименьшей цифры в тройке.

Источники: Муницип - 2022, Ленинградская область, 8.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим, что наши три цифры - a, b, c. Как можно выразить сумму всех наших двузначных чисел?

Подсказка 2

Как 20(a+b+c)+2(a+b+c) = 22(a+b+c)! Откуда a+b+c = 462/22 = 21. Осталось найти все наборы различных цифр, у которых сумма = 21)

Показать ответ и решение

Обозначим три различные цифры как $a, b, c.$ Всевозможные двузначные числа: $ab, ba, ac, ca, bc, cb.$

По условию

(10a +b)+ (10a+ c)+ (10b+ c)+(10c+ b)+(10c+a)+ (10b+ a)=462

Приведем общие слагаемые

a +b+ c= 21

То есть $b+c= 21− a.$ Так как это различные цифры, $b+c≤ 8+ 9= 17.$ Следовательно $21− a≤17.$ Переберем возможные значения $a ≥4$

Если $a= 4,$ то $b+c =17.$ Это возможно только в случае $b =8, c =9$ и наоборот.

Если $a= 5,$ то $b+c =16.$ Это возможно только в случае $b =9, c =7$ и наоборот.

Если $a= 6,$ то $b+c =15.$ Это возможно только в случае $b =7, c =8$ и наоборот.

В случаях, когда $a= 7, a= 8$ или $a= 9$ перебирая всевозможные подходящие пары цифр $(b,c)$ получаем уже найденные ранее тройки.

Ответ: 4 5 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#72759

Сколько существует натуральных чисел, меньших $1000,$ кратных $4$ и не содержащих в записи цифр $1,3,4,5,7,9?$

Источники: Муницип - 2022, Архангельская область, 8.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте будем считать что наши числа трехзначные, просто мы можем ставить нули в начале. Подумайте, какие цифры могут быть на конце у такого числа, вариантов не так много)

Подсказка 2

Вспомните, что чтобы число делилось на 4, нужно чтобы число, составленное из последних двух цифр делилось на 4. А также можно заметить, что у нас нет нечетных цифр)

Подсказка 3

Да, на конце может быть только либо 0, либо 8! Осталось посчитать количество комбинаций последних двух цифр и по ним посчитать все комбинации из трех цифр!

Показать ответ и решение

По условию, эти числа записываются только цифрами $0, 2, 6, 8.$ Тогда трехзначные числа, кратные $4,$ могут иметь на конце в точности $8$ вариантов: $00, 08, 20, 28, 60, 68, 80, 88.$ При этом на первом месте в каждом из этих $8$ вариантов может стоять одна из $3$ возможных цифр: $2, 6, 8.$ В случае, если число двузначное, имеем $6$ вариантов. А также $8$ — однозначное натуральное число, кратное $4.$ Итого, $3⋅8+6+ 1= 31.$

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#72763

Докажите, что если выражение $x2 +y2$ делится на $3,$ где $x$ и $y$ — целые, то $x$ и $y$ делятся на $3.$

Источники: Муницип - 2022, Архангельская область, 8.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните, какие остатки по модулю 3 может давать квадрат целого числа?

Подсказка 2

Только 0 или 1! А если сумма таких дает 0, то какими они могут быть?)

Показать доказательство

Если целое число $a$ дает остаток $0$ или $1$ при делении на $3,$ то и $a2$ тоже. Если же $a$ дает остаток $2$ при делении на $3,$ то его квадрат дает остаток $1$ при делении на $3.$ То есть квадраты целых чисел дают остатки $0$ и $1$ при делении на $3.$ Тогда если выражение $2 2 x + y$ делится на $3,$ то $x$ и $y$ делятся на $3.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#72766

Найдите все числа вида $22...2,$ которые можно представить в виде суммы двух точных квадратов. Если ответов несколько, введите их через пробел в порядке возрастания.

Источники: Муницип - 2022, Тульская область, 8.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Может, можно выбрать какой-то хороший модуль, по которому можно провести сравнение для суммы двух квадратов и для числа такого вида?

Подсказка 2

Рассмотрите все по модулю 8)

Показать ответ и решение

Пусть $22...2 =a2+ b2$ для некоторых целых чисел $a$ и $b.$ Если числа $a$ и $b$ чётны, то сумма их квадратов делится на $4$ , а число $22...2$ — нет. Таким образом, числа $a$ и $b$ могут быть только нечетными:

a= 2k+1, b=2l+ 1 (k, l∈Z )

Следовательно, сумма

2 2 2 2 a +b = (2k+1) + (2l+ 1) = 4k(k+ 1)+ 4l(l+ 1)+2

при делении на $8$ дает в остатке $2.$

С другой стороны, среди чисел вида $222...2$ только число $2$ при делении на $8$ дает в остатке $2$ , поскольку если число двоек в этом числе больше $1$ , то $22...2 =22...2200+ 22$ , при этом первое слагаемое полученной суммы делится на $8$ , а второе при делении на $8$ дает в остатке $6.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#100186

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ сторона $CD$ видна с середины стороны $AB$ под прямым углом. Докажите, что $AD + BC ≥CD.$

Источники: Муницип - 2022, Брянская область, 8.3 (см. tasks.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очевидно, что середина стороны из условия задачи — середина противоположной стороны к CD. Обозначим эту середину O. Проведем OD и OC. Какие параллельные прямые к этим двум отрезкам можно построить так, чтобы угол между ними был прямым?

Подсказка 2

Верно! Через A проводим прямую, параллельную OC, а через B проводим прямую, параллельную OD. Обозначим X их точку пересечения. Тогда угол ∠AXB прямой. А как соотносятся OD и AX?

Подсказка 3

Верно! OD является серединным перпендикуляром к AX. Какой вывод можно сделать о треугольнике ADX?

Подсказка 4

Точно! Он равнобедренный! Аналогично, CBX равнобедренный. Тогда чему равна сумма AD + BC?

Показать доказательство

Обозначим середину стороны $AB$ через $O,$ проведем лучи $AX$ и $BX,$ которые параллельны соответственно прямым $OD$ и $OC,$ которые пересекаются в точке $X.$

$PIC$

Понятно по построению, что $△AXB$ — прямоугольный. Тогда $OD$ — срединный перпендикуляр к $AX,$ а $OC$ — серединный перпендикуляр к $BX,$ поэтому $AD =DX, XC = CB$ откуда

AD+ BC = DX + XC ≥DC.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#100187

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $C$ параллельны, а биссектрисы углов $B$ и $D$ пересекаются под углом $∘ 46 ,$ как изображено на рисунке ниже. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов $A$ и $B$ ?

Источники: Муницип - 2022, Москва, 8.5 (см. xn--b1ayi3a.xn--l1afu.xn--p1ai)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим треугольник, образованный пересечениями биссектрис углов B, D и C. В силу параллельности биссектрис углов A и C один из его углов равен данному. А как еще можно посчитать этот угол?

Подсказка 2

Верно! Это внешний угол к треугольнику с углами x, y несмежными с тем, который нужно найти. Тогда он равен x + y, где x и y обозначают половины углов A и B. А как выразить другой угол нужного треугольника?

Подсказка 3

Точно! Из суммы углов треугольника. Этот угол равен разности 180° и суммы углов при биссектрисах C и D. Можно ли связать его с x и y?

Подсказка 4

Сумму углов при биссектрисах легко выразить, зная сумму углов четырехугольника! Как, используя это, вывести нужный угол?

Показать ответ и решение

Отметим точки пересечения биссектрис $K,L,M, N.$ Кроме этого, обозначим $∠A = 2α,∠B = 2β,∠C = 2γ,∠D = 2δ.$ Поскольку сумма углов четырёхугольника $ABCD$ равна $∘ 360,$ имеем:

2α +2β+ 2γ+ 2δ =360∘ ∘ α+ β+ γ+ δ = 180

$PIC$

Рассмотрим треугольник $KMN.$ В нём:

— $∠MKN =46∘,$

— $∠KMN =∠ALM = α+ β,$ так как $ALM −$ внешний угол треугольника $ABL$ (этот угол и нужно найти в задаче),

— $∠KNM =∠CND = 180∘− γ− δ = α+ β.$

Следовательно, треугольник $KMN −$ равнобедренный, и $∠KMN = 180∘−2-46∘= 67∘.$

Ответ: 67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#100189

В квадрате $ABCD$ отмечены точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Отрезки $AE$ и $BF$ пересекаются в точке $K.$ Что больше: площадь треугольника $AKF$ (введите $1$ ) или площадь четырёхугольника $KECF$ (введите $2$ )?

Источники: Муницип - 2022, Ростовская область, 8.5 (см. tasks.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим площадь треугольника AKF x, а площадь четырехугольника FKEC y, а S — площадь всего квадрата. Площади каких фигур дополняют x и y до S, и чему эти площади равны?

Подсказка 2

Верно! Это площади прямоугольных треугольников, которые равны по S/4. Тогда x + y = S/2. Как можно оценить разность x - y?

Подсказка 3

Точно, она равна 2(S/4 - y). А какой знак имеет эта скобка?

Подсказка 4

Сходу сказать, какой знак у S/4 - y не получится. А можно ли найти какую-нибудь фигуру с площадью S/4, которая содержит CEKF или содержится в CEKF?

Показать ответ и решение

Обозначим площадь треугольника $AKF$ через $S , 1$ а площадь четырёхугольника $KECF$ через $S . 2$ Пусть площадь квадрата равна $S,$ тогда $S1+ S2+ SABE + SADF =S.$ Учитывая, что $SABE = SADF = S∕4,$ получим $S1+ S2 =S∕2.$ Значит,

S1− S2 = (S∕2− S2)− S2 =2(S∕4 − S2)= 2(SBCF − S2)> 0

Следовательно, $S > S. 1 2$

$PIC$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#42112

Петя ошибся, записывая десятичную дробь: цифры записал верно, а запятую сдвинул на одну позицию. В результате получилось число, которое меньше нужного на $19,71.$ Какое число должен был записать Петя?

Дайте ответ в виде десятичной дроби, дробную часть отделяйте запятой.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Т.к. число уменьшилось, то запятая была сдвинута влево. А это значит, что во сколько раз оно было уменьшено?

Подсказка 2

В 10 раз! И т.к. вы знаете разность между нужным числом и уменьшенным в 10 раз, то само число понятно как находится)

Показать ответ и решение

Так как в результате ошибки число уменьшилось, то запятая была сдвинута влево. При этом число уменьшилось в $10$ раз. Пусть получилось число $x$ , тогда искомое число — это $10x.$ По условию: $10x− x= 19,71$ , значит, $x= 2,19$ , тогда $10x= 21,9.$

Ответ: 21,9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#42114

Известно, что

1- 2- --3-- 3a + 3b = a+ 2b.

Докажите, что $a= b$ .

Источники: Муниципальный этап, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Умножьте все выражение на знаменатели, и приведите подобные слагаемые. Что в конце выйдет?

Подсказка 2

Должно выйти a² + b² - 2ab = 0, если еще сократить на какое-то число. А на какое выражение это похоже?)

Показать доказательство

Преобразуем данное равенство, умножив обе его части на $3ab(a+ 2b)$ . Получим: $b(a+ 2b)+ 2a(a +2b)= 9ab.$ После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых равенство примет вид: $2 2 2b + 2a − 4ab= 0.$ Следовательно, $2 2(a − b) =0$ , откуда $a =b$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#42116

Пловец прыгает с плота и плывет против течения $10$ минут, после чего он поворачивает и плывет по течению и настигает плот, когда тот проплыл $1$ км. Определить скорость течения реки.

В ответ внесите число метров в минуту.

Подсказки к задаче

Показать ответ и решение

Обозначим через $x$ км/мин скорость пловца, через $y$ км/мин $−$ скорость реки. За 10 минут против течения пловец проплывает $10(x − y)$ км. Следовательно, расстояние от точки поворота до точки, в которой пловец догонит плот, равно $10(x− y)+1$ км. Это расстояние пловец должен преодолеть за $1−-10y y$ мин. Решая уравнение

10(x− y)+1 1− 10y --x-+y----= --y--,

получим $y =0,05$ км/мин.

Ответ: 50

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#42117

Докажите, что неравенство $2a4+ 2b4 ≥ ab(a +b)2$ выполняется для любых чисел $a$ и $b$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте раскроем скобки в правом выражении и посмотрим на неравенство. В нем везде степени 4. Хочется воспользоваться известными неравенствами...

Подсказка 2

Умножьте обе части на 4, вдруг можно разбить как-то слагаемые в левой части так, чтобы легко было применить пару неравенств о среднем арифметическом и среднем геометрическом?)

Подсказка 3

Попробуйте представить левую часть в виде (a⁴+b⁴+b⁴+b⁴) + (b⁴+a⁴+a⁴+a⁴) + 4(a⁴+b⁴) :)

Показать доказательство

Первое решение.

2a4+ 2b4− a3b− ab3− 2a2b2 = a4+ b4 − 2a2b2 +a4− a3b +b4− b3 = (2 2)2 ( 3 3) ( 2 2)2 2( 2 2) = a − b + a − b (a− b)= a − b +(a− b) a + ab +b ≥0

так как все слагаемые неотрицательны. Из неравенства следует доказываемое утверждение.

Второе решение.

По неравенству о средних

(a4+ b4+ b4+b4)+ (b4+ a4+a4+ a4)+4(a4 +b4)≥4ab3+ 4b3a+ 8a2b2

4 4 3 22 3 8(a + b)≥ 4ab +8a b+ 4ab

4 4 2 2 2(a + b)≥ ab(a + 2ab +b )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#42127

Найдите все решения уравнения

6 5 4 3 2 3 n + 3n + 3n + 2n +3n + 3n+ 1= m ,

где $m, n$ — целые числа.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется левое выражение как-то разложить на множители...Попробуйте представить 2n³ как n³ + n³ и посмотреть на первые 4 слагаемых, а после на последние 4 слагаемых)

Подсказка 2

Да, это преобразуется как (n³+1)(n+1)³ = m³! А если куб равен произведению куба и "чего-то", то каким числом должно быть это "что-то"?

Подсказка 3

Либо n+1 = 0, и никто никому ничего не должен, либо n³+1 = кубу какого-то числа! Поймите, что такое случается не часто)

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть уравнения

n6 +3n5+ 3n4+n3 +n3+ 3n2+3n +1 =m3 3(3 2 ) 3 2 3 n n +3n + 3n+ 1+ n + 3n +3n +1= m n3(n+ 1)3 +(n+ 1)3 = m3 (n3+ 1)(n +1)3 = m3

Произведение целых чисел слева является кубом $m3$ , значит, каждое из этих чисел является кубом, или одно из них равно 0. В первом случае получаем, что два последовательных натуральных числа, $n3$ и $n3+ 1$ , являются кубами. Но два последовательных числа являются кубами только в том случае, если это 0 и 1 или $− 1$ и $0.$ Получаем варианты $n =− 1$ или $n =0$ , проверяем подстановкой, вычисляем $m$ и составляем ответ. Во втором случае, когда один из множителей слева 0, снова возвращаемся к ответу $n =− 1,m = 0$ . Приведем доказательство, что два последовательных куба - это только числа 0 и 1 или $− 1$ и $0.$ (Считается известным фактом, в работе можно не доказывать).

(|{ a =x3, (|{ a= x3, (|{ a= x3 b =y3, b=y3, b=y3 |( a − b= 1, |( x3 − y3 = 1, |( (x− y)(x2 +xy+ y2)= 1

С учетом того, что $x,y$ целые числа, последнее произведение является произведением $1⋅1$ или $(−1)⋅(−1)$ , откуда получаем $x =1,y = 0$ или $x= 0,y = −1.$

Ответ:

$n =− 1,m = 0$ или $n = 0,m = 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#42130

Будет ли уравнение $x2019+2x2018+ 3x2017+ ⋅⋅⋅+2019x+ 2020= 0$ иметь целые корни?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте понять, что если и есть корень, то он отрицательный! А дальше сделайте замену y = -x и подставьте в уравнение.

Подсказка 2

После этого, перенесите все что с минусом в другую часть, и рассмотрите случаи y = 1 и y ≥ 2, может оценки какие-то выйдут)

Показать ответ и решение

Если есть целый корень $a$ , то $a< 0$ . Пусть $b= −a$ , тогда

− b2019+ 2b2018− 3b2017+⋅⋅⋅− 2019b+2020= 0 2018 2016 2019 2017 2b +4b + ⋅⋅⋅+2020= b +3b + ⋅⋅⋅+ 2019

Если $b= 1$ , то $2018 2019 2016 2017 2b > b ,4b > 3b ,...,2020 >2019b$ . Если $b ≥2$ , то $2019 2018 2017 2016 b ≥ 2b ,3b > 4b ,...,2019b> 2020$ . Следовательно, целых корней нет.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#42222

На доске написано число $12$ . Каждую минуту число умножают или делят либо на $2$ , либо на $3$ и результат записывают на доске вместо исходного числа. Докажите, что число, которое будет написано на доске ровно через час, не будет равно $54.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Это задачка на процессы, в них часто бывает, что какое-то свойство сохраняется на протяжении всего процесса. В нашей задачке только умножают и делят, поэтому может быть полезно записать число в виде произведения простых множителей. Подумайте, как меняются степени простых чисел каждую минуту?

Подсказка 2

Верно, каждую минуту мы меняем какую-то из степеней на 1, чтобы найти по какому параметру искать инвариант можно попробовать сравнить свойства чисел 12 и 54.

Подсказка 3

Можно посмотреть на степень двойки в 12 и в 54 или на сумму степеней в них и найти в каждом из случаев противоречие. Подумайте, как меняются эти свойства каждые 2 минуты и какой инвариант можно найти?

Показать доказательство

Заметим, что $12 =22⋅3$ , а $54= 2⋅33$ . Каждую минуту один из показателей степени меняется на единицу, т.е. сумма степеней меняет четность. Отсюда следует, что через час четность суммы степеней будет той же, что и у исходного числа. Однако сначала сумма степеней была равна $3$ , т.е. числу нечетному, а в конце оказалась равной $4$ , т.е. числу четному.

Предыдущий раздел

Следующий раздел