Тема ДВИ по математике в МГУ

Параметры на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82296

Найти все $k,$ такие что неравенство

3 3 3 a +b + c +6≥ k(a+b+ c)

справедливо при всех $a,b,c≥− 2.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 235, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А что если попробовать «загнать» в рамки k? Давайте найдем такие a, b, c, чтобы k был в очень маленьком диапазоне (или даже единственным).

Подсказка 2

Рассмотрите граничный случай: a=b=c=-2. А теперь возьмём ещё удобные значения: a=b=c=1. Каким тогда может быть k?

Подсказка 3

k = 3. Как тогда красиво можно сгруппировать слагаемые, чтобы доказать, что оно верно при таком k?

Подсказка 4

Попробуйте сгруппировать слагаемые так, чтобы в одной скобке были слагаемые с одной и той же буквой.

Показать ответ и решение

При $a= b= c= −2$ неравенство выполнено, если

− 8− 8 − 8+ 6≥ −6k ⇐⇒ k≥ 3

При $a= b= c= 1$ неравенство выполнено, если

1+1 +1+ 6≥ 3k ⇐⇒ k≤ 3

Поэтому никакие значения, кроме $k= 3$ , подойти не могут. Проверим, верно ли неравенство при $k = 3:$

a3+ b3+c3+ 6≥ 3(a+ b+ c)?

(a3 − 3a+ 2)+(b3− 3b+ 2)+(c3− 3c+ 2)≥0?

Это неравенство верно, поскольку каждое из трёх слагаемых неотрицательно: $x3− 3x +2 =(x− 1)2(x+ 2)≥ 0$ при $x ≥− 2.$

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90136

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 4∘ --2 a2 x + (1− a+ |x|) = 4

имеет ровно три решения.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Проверим, что будет, если подставить в уравнение -х на место х?

Подсказка 2

Уравнение получилось таким же! Значит, если х₀ является решением уравнения, то и -х₀ будет также решением. Тогда нечётное число решений может быть только в том случае, если -х₀ = х₀.

Подсказка 3

Подстановкой получите значения а, при которых решений может быть нечётное число, но как проверить, будет ли их именно 3, а не 1/5/7 и т.д.?

Подсказка 4

Один из случаев (с дробным значением а) удобно проверить оценкой, какие значения принимает каждое из слагаемых?

Подсказка 5

Во втором случае удобно решать графически: пусть y = (1 - a + ⁴√|x|), постройте график и определите количество решений!

Показать ответ и решение

Решений нечётное количество, в силу симметрии $x ↔ −x.$ Тогда единственным решений должен быть $x =0 :$

2 2 1− 2a +a = a ∕4

2 a= 2 или a= 3

Если $a= 2$ , то $2 ∘4-- 2 x +( |x|− 1) = 1$ , это легко решить графически:

$PIC$

То есть $a= 2$ подойдёт, при $a= 23$ получим $-- 19 = x2+(13 +∘4|x|)2$ , где вторая скобка не меньше $(13)2$ , то есть решение только одно — $x =0$ .

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32517

Найдите все значения параметра $a$ , при которых неравенство

6 6 2 sin x+ cos x+ a⋅sin2x≥ a

выполняется для всех действительных $x$ .

Источники: ДВИ - 2021, вариант 213, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала хочется избавиться от шестых степеней, причём 6 - чётное число. Можно ли как-то получить сумму 2k-ых степеней синуса и косинуса? Довольно классическим способом является возведение основного тригонометрического тождества в степень k, тогда получим нужную сумму, а также некоторое количество слагаемых, которые нужно вычесть из обеих частей полученного равенства. В данном случае возведём ОТТ в куб и выразим сумму шестых степеней.

Подсказка 2

После преобразований останется 1 - 3/4 sin²(2x). Тогда можно сделать замену t = sin(2x), получив квадратичную функцию от t, причём для определённости перепишем так, чтобы старший коэффициент был положительным. Как теперь можно переформулировать задачу? Если неравенство должно выполняться для любых иксов, то должно выполняться для всех t от -1 до 1. Тогда главный вопрос: в каком случае у параболы с ветвями вверх на всём некотором отрезке принимаются неположительные значения?

Подсказка 3

На самом деле, это верно в том и только том случае, если этот отрезок лежит между корнями (может быть, концы совпадают с корнями). А как записать условие на то, что отрезок лежит между корнями? Это значит, что на концах отрезка принимаются неположительные значения. Запишем систему из двух неравенств, и найдём подходящие значения a!

Показать ответ и решение

По формуле суммы кубов

6 6 2 2 4 2 2 4 sin x+ cos x =(sin x+ cos x)(sin x − sin xcos x+cos x)=

2 2 2 2 2 3 2 = (sin x +cosx) − 3sin xcosx =1 −4 sin 2x,

После замены $t= sin2x ∈[−1,1]$ можно переписать неравенство в виде

3 2 2 2 2 1 −4t + at≥a ⇐ ⇒ 3t− 4at+4(a − 1)≤ 0

Перед нами парабола, ветви которой направлены вверх, тогда выполнение неравенства для любого $t∈ [−1,1]$ эквивалентно тому, что корни лежат по разные стороны от этого отрезка (в том числе, быть может, на концах отрезка). А значит, тому, что неравенство выполнено в точках $±1$ :

{ 3− 4a +4a2− 4≤0 3+ 4a +4a2− 4≤0

{ 3− 4a +4a2− 4≤0 3+ 4a +4a2− 4≤0

( [1−√2 1+√2] { a ∈[--2√,-2--√-] ( a ∈ −1−2-2,−1+2-2

Пересекая отрезки, получаем ответ.

Ответ:

$[1− √2 −1+ √2] --2--;---2---$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#92350

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

(∘ -------2- ∘--------2)(∘----2 ∘ -------2)(∘ ---2- ∘ -------2) 3+2x − x − 3 − 2x− x a − x − 3− 2x− x a− x − 3+ 2x − x = 0

имеет ровно одно решение.

Подсказки к задаче

Подсказка

В уравнении встречаются три разных корня, два из них без параметра, значит, их графики сразу можно начертить. А вот третий график будет изменяться при разных значениях а. Чтобы понять, какие значения параметра а подходят, не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 3− 2x− x2 ≥ 0 |||{ | 3+2x− x2 ≥ 0 |||( a− x2 ≥0

(|| (x +1)2 ≤ 4 ||{ || (x − 1)2 ≤ 4 ||( x2 ≤ a

Видно, что если $a< 0,$ то решений нет, поэтому пусть $a ≥0.$

( ||| x∈ [−3;1] |{ ||| x∈ [−1;3] |( x∈ [− √a;√a]

Получаем, что $x$ принадлежит пересечением отрезков $[−1;1]$ и $[ √ -√-] − a; a .$

Заметим, что

2 2 2 3±2x − x = 2 − (x∓ 1)

Стало быть, графики функций $√3-+2x−-x2$ и $√3−-2x−-x2-$ — верхние половины окружностей радиуса 2 с центрами в точках $(1,0)$ и $(−1,0)$ соответственно. График же функции $√a−-x2$ — верхняя половина окружности радиуса $√a$ с центром в точке $(0,0).$ Первые две полуокружности имеют одну общую точку — $(0,√3-).$

$PIC$

Рассмотрим несколько случаев: 1) При $a <1$ третья полуокружность первые две не пересекает и решение будет одно.

$PIC$

2) При $1≤ a≤ 5$ третья полуокружность пересекает первые две в точках с абсциссами из отрезка $[−1;1].$

$PIC$

3) При $a= 3$ точки пересечения совпадают.

$PIC$

4) При $a> 5$ третья полуокружность либо пересекает первые две в точках с абсциссами по модулю большими 1, либо не пересекает вообще.

$PIC$

Стало быть, решение будет единственным при $a∈ [0;1)∪ {3} ∪(5;+∞ ).$

Ответ:

$[0;1)∪{3}∪ (5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32702

Найдите все положительные значения параметра $a$ , при которых уравнение

( 2+x 1−x ) ( 2−x 1+x ) log2−x a +2a + x− 1 + log2+x a +2a − x− 1 = 2

имеет ровно одно решение (относительно $x)$ .

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на уравнение – тут сумма двух очень похожих друг на друга логарифмов, при этом требуется ровно одно решение – это может навести на мысль использовать соображения симметрии

Подсказка 2

Выражение симметрично относительно замены х на -х! Значит, нечетное число корней (в частности, один корень) может быть только в том случае, когда х = 0 – решение, таким образом Вы можете найти те значениях а, при которых это условие выполняется, остается только проверить: правда ли при конкретной ашке корень будет только один

Показать ответ и решение

Заметим, что выражение симметрично относительно замены $x↔ − x$ (логарифмы меняются местами), откуда единственным решением может быть только $x =0$ (иначе число решений чётно). А $x =0$ является решением при

2 2 log2(a + 2a− 1)+ log2(a +2a− 1)=2

2 a + 2a − 1= 2

a= 1 или a= −3

Поскольку $a> 0$ по условию, то отпадает $a= −3$ . Проверим, есть ли решения кроме $x = 0$ , при $a= 1$ :

log2− x(1+ 2+ x− 1)+ log2+x(1 +2− x− 1)=2

При замене $t=log2−x(2+ x)$ мы получаем уравнение $t+ 1t = 2$ , которое выполняется только при $t=1$ , то есть $2− x= 2+ x$ . Так что решение только $x= 0$ .

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#34204

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

22 2 2 ( 2 2) 2x y +x y+ xy +(1− a)x + y − a(x+ y+2)= 0

имеет ровно одно решение (относительно $(x,y)$ ).

Источники: ДВИ - 2020, вариант 204, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть у нас есть какое-то решение (x₀, y₀), можем ли мы утверждать, что есть ещё какое-то решение?

Подсказка 2

Если (x₀, y₀) — решение, то (y₀, x₀) — тоже решение! С учётом этого, что можно сказать о количестве решений? В каком единственном случае их может быть нечётное количество?

Подсказка 3

Получается, необходимо, чтобы выполнялось равенство х = у. Подставьте это в исходное уравнение и решите получившееся уравнение относительно х. Каким должно быть а, чтобы это решение было единственным?

Подсказка 4

Пока что мы не можем говорить, что при найденных значениях параметра а исходное уравнение тоже имеет единственное решение. Стоит подставить и проверить это!

Подсказка 5

Попробуйте разбить на слагаемые выражение так, чтобы каждое из них точно было неотрицательным! Тогда мы с лёгкостью сможем определить решения.

Показать ответ и решение

Если пара $(x,y)$ — решение, то и пара $(y,x)$ — также решение. Стало быть, единственное решение обязано иметь вид $(x,x)$ . Тогда $( 4 3 2 ) 2 x + x +(1− a)x − a(x+1) = 0$ , то есть $2 2 2 2 x (x − a)+ x(x − a)+ x − a =0$ , откуда

( 2 )( 2 ) x − a x + x+ 1 = 0.

Если $a> 0$ , то $x= ±√a$ , так что решений больше одного. При $a< 0$ решенений нет, поскольку вторая скобка всегда положительна. Чтобы решение было единственным, необходимо $a =0$ . Тогда исходное уравнение принимает вид

2 2 2 2 2 2 2x y + xy +xy + x +y = 0.

Левая часть равна $x2(y2 +y+ 1)+ y2 (x2+ x+ 1)$ . Каждое из слагаемых неотрицательно и строго больше нуля при ненулевых переменных, стало быть, решение имеет вид $x= y = 0$ и оно, действительно, единственное.

Ответ:

$0$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#64397

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условиям $a≥ b≥ c≥ 1,a−1+ b−1+c−1 = 1$ . Известно, что при некотором положительном $x$ выполняется равенство

c+x a+x-= c− 2.

Найдите все возможные значения $b.$

Источники: Вместо ЕГЭ - 2020, вариант 202, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте приведём равенство к тому виду, чтобы все слагаемые с х оказались в левой части, а остальное — в правой. Попробуйте оценить значение правой части

Подсказка 2

Для того, чтобы оценить выражение в правой части, вынесите ас за скобочки и примените данные в условии соотношения относительно a, b, c. Опираясь на них же, попробуйте оценить сверху значение с

Подсказка 3

Что можно сказать о решении уравнения, если с < 3? Тогда мы можем однозначно отыскать значение с. А возможны ли при таком значении с строгие неравенства в соотношении a ≥ b ≥ c? Сделайте вывод!

Показать ответ и решение

Перепишем данное равенство как

(c− 3)x =c +2a− ac

Заметим, что

( −1 −1 ) c+2a− ac= ac a + 2c − 1 ≥

≥ ac(a−1+ b−1+ c−1 − 1)= 0

При этом

3c−1 ≥ a− 1+b−1+ c−1 = 1,

то есть $c≤ 3$ . Следовательно, если $c− 3⁄= 0$ , решение уравнения $(c− 3)x= c+ 2a− ac$ единственно и неположительно. Но по условию оно имеет положительное решение. Стало быть, $c= 3$ . Но тогда $a= b= c=3$ , поскольку, если $a> c$ , то

a−1+ b− 1+c−1 < 3c−1 = 1,

что противоречит условию. Стало быть, $b= 3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90130

Найдите все пары вещественных чисел $(a,b)$ , при которых неравенство

4 4 4 2 2a(x+ 2) +9b(x − 2) ≥ x +24x + 16

справедливо для всех вещественных $x$ .

Источники: ДВИ - 2019, задача 6 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перекинем все в одну сторону и попробуем привести неравенство к виду k(x+2)⁴ + t(x-2)⁴ ≥ 0, какие условия хочется записать на k и t?

Подсказка 2

Если неравенство выполняется при всех х, то оно должно выполняться и для х = 2 и х = -2, таким образом мы получаем ограничения на t и k. Подумайте, нужны ли нам еще какие-то условия, или этого уже достаточно?

Показать ответ и решение

Заметим, что $(x +2)4+(x− 2)4 =2(x4+ 24x2 +16)$ . Стало быть, исходное неравенство можно переписать как

( 1) 4 ( 1) 4 2a− 2 (x+ 2) + 9b− 2 (x− 2)≥ 0.

Подставляя $x= 2$ и $x= −2$ , получаем $2a− 12 ≥0$ и $9b− 12 ≥ 0$ . Остаётся заметить, что при выполнении этих ограничений наше неравенство выполняется для всех $x$ . Следовательно, искомые значения параметров $\text{[math]}$ и $b$ описываются неравенствами $a ≥ 14,b≥ 118$ .

Ответ:

$a ≥ 1,b≥ 1 4 18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#64395

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ ax2+ 4ax − 8y+ 6a+ 28 ≤0 ay2− 6ay − 8x+ 11a − 12≤ 0

имеет ровно одно решение.

Источники: ДВИ - 2018, задача 6 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами квадратичные функции. И первое что хочется сделать это как-то их собрать: давайте выделим всюду полные квадраты и посмотрим на получившиеся выражения. Кажется, напрашивается двойная замена!

Подсказка 2

Посмотрите на наши новые неравенства, не получится ли тут какая-нибудь интересная симметрия? Тогда в каком случае решение может быть единственным?

Подсказка 3

Остаётся исследовать квадратный трёхчлен: в каком случае неравенство вида f(x) ≤ 0 имеет единственное решение, если f(x) — квадратичная функция? Не забудьте сделать проверку полученных точек!

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты и перепишем систему в следующем виде

{ a(x+ 2)2− 8(y− 3)+2a +4≤ 0 a(y− 3)2− 8(x+ 2)+2a +4≤ 0

После замены $u =x +2,v = y− 3$ задача остаётся прежней — определить, при каких значениях параметра существует единственное решение $(u,v)$ . Если $a≤ 0$ , то при достаточно больших $(u,v)$ оба неравенства будут выполнены, то есть решений будет больше одного, поэтому $a> 0$ . Теперь остаётся увидеть симметрию $(u,v) ↔ (v,u)$ , поэтому для единственности решения необходимо, чтобы $u= v$ , откуда неравенство

2 au − 8u+ 2a+ 4≤0

имеет ровно одно решение. Этим решением должна быть вершина параболы, откуда $D = 16 − a(2a+4)= 0⇐ ⇒ a2 +2a− 8= 0$ . Решая, получаем $a∈ {− 4,2}$ , остаётся только $a= 2> 0$ . Поскольку мы использовали только необходимое условие единственности, то потребуется проверка

{ 2u2− 8v +8 ≤0 2 2 2v2− 8u +8 ≤0 =⇒ (u − 2) +(v− 2) ≤0

Получаем единственное решение $(2,2)$ , значит, $a= 2$ подходит.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90805

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

( a) sin x+ x = x+ 1

имеет бесконечно много решений.

Источники: ДВИ - 2013, вариант 4, задача 8 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева у нас стоит синус, какие тогда ограничения можно сразу наложить на правую часть и x?

Подсказка 2

x лежит на [-2;0)! Теперь подумаем, а как бы мы решали уравнение sin(f(x)) = g(x)? Быть может, сначала решим его относительно a, а потом уже найдем количество корней на промежутке?

Подсказка 3

x — корень уравнения, если x + a/x - arcsin(x+1) = 2*pi*k, k — целое. То есть перед нами комбинация трёх функций (одна из них меняется в зависимости от a), которую мы исследуем на [2;0).

Подсказка 4

Исследуйте F(x) = x + a/x - arcsin(x+1) на непрерывность и неограниченность на нужном промежутке!

Показать ответ и решение

Отметим сразу, что уравнение может иметь решения только при $x ∈[−2;0).$

При $a= 0$ уравнение имеет вид:

sinx =x +1

Последнее уравнение на промежутке $[−2;0)$ не имеет бесконечного количества решений, поскольку графики функций $f(x)=sinx$ и $g(x)=x +1$ пересекаются на этом промежутке в одной точке.

Рассмотрим теперь случай, когда $a⁄= 0.$ Пусть $t= arcsin(x+1).$ Тогда $x$ — корень уравнения, если

a x+ x = t+ 2πk, k∈ℤ

a x + x − arcsin(x +1)= 2πk

Поскольку функции $f(x)=x, g(x)= arcsin(x+1)$ непрерывны и ограничены при $x∈ [− 2;0),$ а функция $a q(x)= x$ непрерывна и неограничена при $x∈ [− 2;0),$ то функция $F(x)=x + ax − arcsin(x +1)$ также непрерывна и неограничена при $x∈ [−2;0).$ Следовательно, при $a ⁄=0$ функция $F(x)$ принимает значения, кратные $2π,$ бесконечное число раз, и исходное уравнение имеет в этом случае бесконечно много решений.

Ответ:

$(−∞;0)∪ (0;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90804

Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение

√ ---- √-- √ - a x+y = 3x+ 2 y

имеет единственное решение $(x,y)$ .

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам хочется найти единственное решение, тогда, быть может, существует универсальное решение, не зависящее от a? Обратим внимание на то, что и слева, и справа присутствует умножение на корень из числа.

Подсказка 2

После того, как мы найдем одно из решений, нам нужно показать, что других нет. Обратим внимание на то, какие функции присутствуют в обеих частях. Быть может, сделаем оценку на их значения?

Подсказка 3

Квадратный корень гарантирует нам знак, поэтому можно разобрать случаи разных знаков a.

Подсказка 4

Разобрать случаи a = 0, a < 0 не составит труда, а каким является уравнение при a > 0 относительно sqrt(x)? Как добиться того, чтобы оно имело нужное нам количество решений?

Подсказка 5

Уравнение является квадратным относительно sqrt(x), значит имеет смысл разобрать знак дискриминанта!

Показать ответ и решение

Заметим, что пара $(0;0)$ является решением данного уравнения. Тогда нужно найти такой параметр $a,$ при котором у данного уравнения нет других решений.

Запишем ОДЗ:

{ x≥ 0 y ≥ 0

Сделаем замену: $√x-= t, √y = s, t,s≥ 0.$ Если есть решения относительно $(t,s)$ , то есть решения для $(x,y)$

Тогда получаем

∘ -2--2 √- a t +s = t 3+ 2s

При $a= 0$ существует единственное решение $(0;0).$ Тогда $a= 0$ подходит под условия.

При $a< 0$ левая часть не более $0,$ а правая не менее $0,$ значит равенство достигается, когда и левая и правая части равны нулю. Это достигается только при $(0;0),$ значит, $a< 0$ подходит под условия.

При $a> 0$ получаем

a2(t2+ s2)= 3t2 +4s2+ 4ts√3

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $t.$

(a2− 3)t2 − 4s√3⋅t+ s2(a2− 4)= 0

Чтобы данное уравнение не имело неотрицательных решений нужно, чтобы выполнялось одно из двух условий:

(a) $D <0$

2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 D= 48s − 4s (a − 3)(a − 4)= 4s(12− a +7a − 12)= 4s (−a )(a − 7)

Если $s= 0,$ то $t=0,$ значит далее рассмотрим $s> 0.$

2 2 2 2 D < 0 ⇐ ⇒ 4s (−a)(a − 7)< 0 =⇒ a − 7> 0

Так как рассматриваются $a> 0,$ то получаем, что при $a> √7$ нет других решений, кроме $(0;0)$

(b) $D ≥0,$ но оба корня отрицательны.

Если $D ≥0,$ то $a≤ √7.$ Выпишем корни:

2s√3-± as√7-− a2 t= ----a2−-3-----≤0

Так как ранее был сделан вывод, что $s> 0,$ то далее опустим его, так как на знак он не влияет.

При $√- a> 3$ получаем, что

√- ∘ ---2- 2 3± a 7− a ≤ 0

Не подходит, так как с плюсом получаем положительное выражение.

При $a< √3$ получаем, что

2√3± a∘7-− a2 ≥ 0

2√3-≥ a∘7−-a2 =⇒ 12≥ a2(7− a2)

a4− 7a2+ 12≥0 =⇒ (a2 − 3)(a2− 4)≥0

При $√- a< 3$ получаем, что корни будут отрицательными, значит, такое ограничение подходит.

Объединим решения и получим, что

√ - √ - a∈ (−∞; 3)∪ ( 7;+ ∞)

Ответ:

$a ∈(−∞;√3)∪ (√7;+ ∞)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#47921

При каких значениях параметра $a$ уравнение

||2x-− 1|| |x|+ ||3x − 2||= a

имеет ровно три решения?

Источники: Вступительные на химический факультет МГУ, 2005 год, задача 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Для понимания происходящего в этой задаче попробуйте рассмотреть, на какие области эта функция делит плоскость!

Подсказка 2!

Да, это: x∈ (−∞,0) x ∈[0,1/2) x ∈[1/2,2/3) x ∈(2/3,+∞). Тогда проанализируем поведение функции на наших промежутках (Попробуйте понять монотонность, используя производную)

Подсказка 3!

Нам надо понять, когда наша функция пересекает прямую g(x) = a всего один раз! Для этого можно схематично изобразить функцию 9Так как перед этим вы ее проанализировали) и понять, какие точки - точки экстремума (в иных точках у нес будет 2 пересечения минимум)

Подсказка 4!

Альтернативная подсказка: Так как у вас в задаче просят нечетное число решений, попробуйте найти симметрию. То есть пусть х решение, тогда (какая-то дробь) будет тоже являться решением! Поразительно дробь похожа на само уравнение.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Разделим всю плоскость на промежутки по нулям модуля, обозначив $|2x−-1|- f(x)=|x|+ |3x− 2|$ .


Промежуток	$x∈ (−∞,0)$	$x ∈[0,12)$	$x ∈[12,23)$	$x ∈(23,+∞)$

Функция $f$ на нём	$− x+ 23xx−−12$	$x + 23xx−−12$	$x− 2x3x−−12-$	$x + 23xx−−12$

Производная $f′$	$− 1− (3x1−2)2-$	$1 −(3x−12)2$	$1+ (3x1−2)2-$	$1 −(3x−12)2$

Нули производной	всюду $<0$	$13$	всюду $> 0$	$1$

Поведение функции	убывает	выпукла	возрастает	вогнута

Область значений	$(1,+∞ ) 2$	$[1,2) 2 3$	$[1,+ ∞) 2$	$[2,+∞ )$

Итак, монотонная функция на своей области значений будет иметь ровно одну общую точку с любой горизонтальной прямой $g(x)=a$ , тогда как выпуклая или вогнутая — две точки, кроме точки экстремума, в которой общая точка будет ровно одна.

Используя полученные области значений, можно изобразить функции схематично или вручную пройти по всем границам промежутков... мы используем первый способ:

$PIC$

Нетрудно видеть, что интересующие нас значения $a∈{ 23,2}$ .

Второе решение.

В условии требуется нечётное число решений, так что хочется найти симметрию. Обозначим $f(x)= 23xx−−12$ . Внезапно заметим, что

f(f(x))= 223xx−−12 −-1=-2(2x−-1)− (3x−-2)-= 4x−-2−-3x-+2 =x 323xx−−12 − 2 3(2x− 1)− 2(3x− 2) 6x− 3− 6x +4

Поэтому если у уравнения существует решение $x =x0$ , то $x = 23xx00−−12$ тоже решение. Если для каждого такого $x0$ нет совпадений в паре $(x,f(x))$ , то решений чётное число. Так что для наличия трёх решений необходимо, чтобы среди них было такое $x =t$ , что $t= 23t−t−-12 =⇒ 3t2− 2t− 2t+1= 0 ⇐⇒ t∈ {1;13}.$

При $x =1$ получаем $a= 2$ , при $x = 13$ получаем $a= 23$ . При других значениях параметра ровно трёх решений быть не может.

Осталось проверить, что эти значения параметра подходят...

Интересный факт. Такая симметрия $x <− > f(x)$ сработала, потому что квадрат матрицы

( ) 2 −1 3 −2

равен

(1 0) 0 1

единичной матрице.

Ответ:

${2,2} 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#33523

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

( 2 2 )√---- x − (a +8)x− 6a + 24a 3− x≤ 0

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные на физический факультет МГУ, 2002, № 7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём, как всегда с ограничений! Заметим, что одно решение у нас будет всегда, при любом значении а. Значит нам надо, чтобы других решений у неравенства не было.

Подсказка 2

Корень неотрицателен всегда. Какой должна быть первая скобка, чтобы у нас не появилось новых решений? Запишите соответствующее ограничение, не забывая что у нас есть ОДЗ.

Подсказка 3

Итак, нам необходимо, чтобы квадратный трёхчлен был неотрицателен на всей области определения, при том в 0 он может обращаться в одной единственной точке (подумайте, в какой именно!).

Подсказка 4

Рассмотрите трёхчлен в первой скобке, в каких случаях он принимает отрицательные значения? Заметим, что красивый дискриминант позволяет нам в явном виде выразить корни. Сделайте это и поставьте соответствующие условия на их значения! Осталось решить неравенство с модулем и получить ответ!

Показать ответ и решение

Заметим, что значение $x= 3$ является решением неравенства при любых значениях параметра. Значит, других решений быть не должно: при $3 − x >0$ первая скобка должна быть положительной.

Рассмотрим уравнение $2 2 x − (a +8)x− 6a + 24a= 0$ . Его дискриминант равен $2 2 2 2 D = (a +8) − 4(−6a + 24a)= 25a − 80a+ 64 =(5a− 8) .$

Из неотрицательности дискриминанта следует, что соответствующая квадратичная функция (первая скобка) принимает неположительные значения на отрезке между корнями (или только в вершине, если корень один). Нам требуется, чтобы при $x < 3$ эта первая скобка принимала только положительные значения, то есть первая скобка может быть неположительной только при $x≥ 3$ , значит, меньший корень должен лежать не левее, чем $3$ :

a +8− |5a − 8| ------2---- ≥ 3 ⇐⇒ a+2 ≥|5a− 8|

− a− 2 ≤5a− 8≤ a+ 2⇐⇒ 1 ≤a ≤ 5 2

Ответ:

$[1;5] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90947

Найдите все такие значения величины $x$ , при которых неравенство

2 (4− 2a)x + (13a− 27)x +(33− 13a)> 0

выполняется для всех $a$ , удовлетворяющих условию $1< a< 3.$

Источники: Вступительные на биологический факультет МГУ, 1994 год июль, номер 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким является данное неравенство относительно а?

Подсказка 2

Линейным! Тогда нам просто нужно записать его в виде k(x)a + b(x) > 0 и посмотреть, при каких значениях х в решения данного неравенства будут входить нужные нам ашки (не забудьте, что нам важно, какого знака выражение k(x)!)

Показать ответ и решение

Эта задача может запутать обозначением переменных. Тут параметр – $x,$ а независимая переменная – $a!$ Тогда перепишем исходное неравенство:

2 2 4x − 27x+ 33>(2x − 13x +13)a

То есть мы имеем линейное неравенство с переменной $a,$ параметром $x.$ Но коэффициент при $a$ может принимать разные знаки, поэтому разберем случаи:

1.

( √--) ( √-- ) 2x2− 13x+ 13> 0,x∈ − ∞;13−--65 ∪ 13+--65;+∞ 4 4

В таком случае можно поделить на это положительное число:

a < 4x2-− 27x+-33 2x2 − 13x+ 13

По условию $(1,3)$ должен быть решением этого неравенства, а значит:

4x2-− 27x+-33 2x2 − 13x+ 13 ≥ 3

С учетом положительности знаменателя:

4x2− 27x+ 33≥ 6x2− 39x+ 39

√ - √- x ∈[3− 6;3+ 6]

Пересекая все условия, получаем:

[ √- 13− √65) (13+ √65 √-] x ∈ 3− 6;---4--- ∪ ---4---;3+ 6

2.

{13− √65 13+ √65} 2x2− 13x+ 13= 0, x∈---4---;---4---

При таких значениях параметра неравенство обращается в истину, поэтому такие значения войдут в ответ.

3.

( √-- √--) 2x2− 13x+ 13< 0, x∈ 13−-65;13+--65 4 4

В таком случае неравенство имеем вид:

2 a > 4x2-− 27x+-33 2x − 13x+ 13

Тогда:

2 4x2-− 27x+-33≤ 1 2x − 13x+ 13

Решая оба неравенства, получим:

(13− √65 ] [ 13+ √65) x∈ ---4---; 2 ∪ 5;---4---

Объединяя эти случаи, получаем ответ.

Ответ:

$[3− √6;2]∪[5;3 +√6]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90121

Найдите все значения параметра $a,$ при которых существуют четыре натуральных числа $x,y,u,v,$ удовлетворяющих системе уравнений

{(x+ y)(x + y+ 20) =(140− a)(a − 80), 2 2 2 2 2 a(8u +2v − a)= (4u − v) .

Показать ответ и решение

Требуется найти такие значения параметра $a,$ при каждом из которых система имеет решения.

Заметим, что в первом уравнении системы фигурируют только переменные $x,y,a,$ а во втором – только $u,v,a.$

То есть пары натуральных чисел $x,y$ и $u,v$ друг от друга не зависят, а значит, достаточно найти такие значения $a,$ при каждом из которых имеют натуральные решения уравнение $(x +y)(x+ y+ 20)= (140− a)(a− 80)$ и уравнение $a(8u2+2v2− a)= (4u2− v2)2.$

Рассмотрим первое уравнение:

(x + y)(x+ y+ 20)= (140 − a)(a− 80).

Поскольку $x,y$ натуральные, то левая часть очевидно положительна, откуда положительной должна быть и правая:

(140− a)(a − 80)> 0,

80< a< 140.

Это не единственное ограничение на наличие натуральных корней у данного уравнения, но даже оно одно в дальнейшем приведет нас к ответу.

Рассмотрим второе уравнение и сделаем замены $4u2 = t,$ $v2 = k :$

2 2 2 22 a(8u +2v − a)= (4u − v) ,

2 a(2t+ 2k− a)= (t− k) ,

2 2 a − a(2k+ 2t) +(t− k) = 0,

√-- D =(2k+ 2t)2 − 4(t− k)2 =16kt= (4 kt)2.

$⌊ √-- |a1 = 2k+-2t−-4-kt= k +t− 2√kt, |⌈ 2 √-- a2 = 2k+-2t+-4-kt= k +t+ 2√kt. 2$

Обратная замена:

$[a1 = v2+ 4u2 − 2√4u2v2-=(2u− v)2, 2 2 √ --22- 2 a2 = v + 4u +2 4uv =(2u+ v) .$

Поскольку $u,v$ являются натуральным числами, то числа $2u + v$ и $2u− v$ являются целыми.

В таком случае числа $(2u− v)2$ и $(2u +v)2$ являются либо нулем, либо квадратами натуральных чисел. Значит, и параметр $a$ тоже должно быть либо нулем, либо квадратом натурального числа.