Тема №22. Графики функций

01 Задачи №22 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105935

Постройте график функции

(| x− 4 при x < 3, { y = |( −1,5x + 4,5 при 3 ≤x ≤ 4, 1,5x− 7,5 при x > 4.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком каждой из трех линейных функций $y = x− 4,$ $y = −1,5x +4,5$ и $y = 1,5x− 7,5$ является прямая.

Составим таблицу для функции $y = x− 4:$

-x---0---3--| -y--−-4--−1-|

Составим таблицу функции $y =− 1,5x+ 4,5:$

-x--3----4--| -y--0--−-1,5-|

Составим таблицу для функции $y = 1,5x − 7,5:$

|x-|--4--|5-| -y--−-1,5--0-

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. При $x = 3$ функция терпит разрыв, $(3;− 1)$ — выколотая точка, $(3;0)$ — не выколотая точка, $(4;− 1,5)$ — точка стыка.

$110xy−−345 41$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки:

$110xy−−−345y(y(y(123411,=)=)=)5−−011,5$

Нам подходит положение 1, а также все положения между 2 и 3, включая 2 и 3.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(4;− 1,5),$ значит, $m = − 1,5.$

Положение 2: прямая $y =m$ проходит через выколотую точку $(3;−1),$ значит, $m = −1.$

Положение 3: прямая $y =m$ проходит через точку $(3;0),$ значит, $m = 0.$

Следовательно,

m ∈ {−1,5}∪ [− 1;0].

Ответ:

$m ∈ {−1,5} ∪[−1;0]$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105936

Постройте график функции

{ 2 y = x + 2x+ 1 при x ≥− 2, x+ 6 при x <− 2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 2x+ 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;0)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|--|--| |x-|−2-|−1-|0-|1-| -y--1---0---1--4--

Графиком линейной функции $y = x +6$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−2-| -y---2---4--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. При $x =− 2$ функция терпит разрыв, $(−2;4)$ — выколотая точка, $(− 2;1)$ — не выколотая точка.

$0xy124−−−1 421$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки.

$0xyy(y(y(14−−1321=)=)=)21 410$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 1;0),$ значит, $m = 0.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(−2;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 3 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через точку $(−2;4),$ значит, $m = 4.$

Следовательно,

m ∈ {0} ∪(1;4).

Ответ:

$m ∈ {0}∪ (1;4)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#105937

Постройте график функции

{ 2 y = −x − 2x +1 при x≥ −3, −x − 2 при x< −3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 − 2x +1$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;2)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|---|--|----| |x-|−3-|−2-|−-1|0-|-1--| -y--−2---1---2--1--−-2-

Графиком линейной функции $y = −x − 2$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−3-| -y---2---1--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. При $x =− 3$ функция терпит разрыв, $(−3;1)$ — выколотая точка, $(− 3;− 2)$ — не выколотая точка.

$10xy21−−−−−24321$

$10xyy(y(y(12−−−−− =3 =2 =124321)))21− 2$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y = m$ между 1 и 2, включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1: прямая $y =m$ проходит через точку $(−3;−2),$ значит, $m = − 2.$

Положение 2: прямая $y =m$ проходит через выколотую точку $(− 3;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 1;2),$ значит, $m = 2.$

Следовательно,

m ∈ [− 2;1]∪ {2} .

Ответ:

$m ∈ [− 2;1]∪ {2}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#105938

Постройте график функции

({ x2+ 1 при x ≥− 1, y = 4 ( −x при x <− 1.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 8 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(0;1)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|--|--|--| |x-|−-1|0-|1-|2-| -y---2--1--2--5-

Графиком функции обратной пропорциональности $4 y = − x$ является гипербола. Составим таблицу:

|--|----|---|---| |x-|−-4-|−2-|−1-| -y---1---2---4--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. При $x =− 1$ функция терпит разрыв, $(−1;4)$ — выколотая точка, $(− 1;2)$ — не выколотая точка.

$10xy12452−−−421$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно одну общую точку.

$10xyy(y(y(124−3211=)=)=) 410$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y = m$ между 1 и 2, не включая эти положения, а также положение 3 включительно и выше.

Положение 1 (нет общих точек): прямая $y = m$ совпадает с осью абсцисс, являющейся асимптотой гиперболы, значит, $m = 0.$

Положение 2 (две общие точки): прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(0;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 3: прямая $y =m$ проходит через выколотую точку $(− 1;4),$ значит, $m = 4.$

Следовательно,

m ∈ (0;1)∪ [4;+∞ ).

Ответ:

$m ∈ (0;1)∪ [4;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105939

Постройте график функции

({ x2+ 2x+ 1 при x ≥− 2, y = 2 ( −x при x <− 2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 2x+ 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;0)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|--|--| |x-|−2-|−1-|0-|1-| -y--1---0---1--4--

Графиком функции обратной пропорциональности $2 y = − x$ является гипербола. Составим таблицу:

|--|----|---|---| |x-|−-8-|−4-|−-2| -y--0,25--0,5---1--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. $(−2;1)$ — точка стыка.

$014−−−−1xy8421$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции одну или две общие точки.

$01−1xyy(y22(=)=1) 10$

Нам подходит положение 1 горизонтальной прямой $y = m,$ а также положение 2 включительно и выше.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 1;0),$ значит, $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−2;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈{0} ∪[1;+ ∞).

Ответ:

$m ∈ {0}∪ [1;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#27281

Постройте график функции

-7x−-6- y = 7x2− 6x.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 26 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

7x2− 6x⁄= 0 x(7x − 6)⁄= 0 x ⁄=0; x⁄= 6 7

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

7x− 6 7x− 6 1 y = 7x2−-6x = x(7x-− 6)-= x.

Тогда график исходной функции — это гипербола с выколотой точкой.

Построим таблицу значений для гиперболы:

|x-|-−2--|−1-|−0,5-|0,5-|1-|2--| -y--−-0,5--−1---−2---2---1--0,5-

Найдем координаты выколотой точки гиперболы:

x = 6 ⇒ y = 1= 7. 7 67 6

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции.

$xy7602−−2−−2121 67$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

$76 49 xy6702−2−y22 = 36x$

Нам подходит только одно положение прямой $y = kx,$ при котором она проходит через выколотую точку $( 6 7) 7;6 .$ Найдем, чему равно $k :$

7= k ⋅ 6 6 7 49 k = 36

Ответ:

${ 49} k ∈ 36$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#106154

Постройте график функции

-x+-4- y = − 2− x2+ 4x.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

x2+ 4x ⁄= 0 x(x+ 4)⁄= 0 x⁄= 0; x ⁄= −4

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

y = −2−--x+-4- =− 2− 1. x(x +4) x

Тогда график исходной функции — это гипербола с выколотой точкой.

Построим таблицу значений для гиперболы:

|x-|-−5--|−1-|−-1-|-1-|-1-|--5--| |y-|−-1,8-|−1-|-02-|−24-|−3-|−-2,2-| --------------------------------

Найдем координаты выколотой точки гиперболы:

x = −4 ⇒ y = −2− -1-= −1,75. − 4

Тогда $(− 4;− 1,75)$ — выколотая точка.

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции.

$−01−−−−15xy14354,75$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она не имеет с графиком этой функции общих точек.

$xyyy(1(201−1==))4−− 1,275$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(−4;−1,75),$ значит $m = − 1,75.$

Положение 2: прямая $y = m$ совпадает с горизонтальной асимптотой $y = −2,$ значит $m = − 2.$

Следовательно, ответ

m ∈ {−2;−1,75}.

Ответ:

$m ∈ {−2;−1,75}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#106160

Постройте график функции

(x2+ 0,25)(x− 1) y =------1−-x-----.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

1− x ⁄=0 ⇔ x⁄= 1.

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

(x2 +0,25)(x − 1) ( ) y = ---−-(x-−-1)----= − x2+ 0,25 = − x2− 0,25.

Тогда график исходной функции — это парабола с выколотой точкой. Найдем координаты этой выколотой точки:

x = 1 ⇒ y = − 12 − 0,25= −1,25.

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 0,25$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(0;− 0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу значений параболы:

|--|------|-----|------|-----|------| |x-|--−2--|-−1--|--0---|--1--|--2---| -y--−-4,25--−1,25-−-0,25--−1,25-−-4,25-

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции.

$xy1−−120−−−21141,2,255$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

$5 011−xy(((1231,)))2:::5yyy ===−−x 4xx$

Положение 1: прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(1;−1,25):$

5 −1,25 = 1⋅k ⇔ k = − 4.

Положения 2 и 3: прямая $y =kx$ касается параболы $2 y = − x − 0,25.$ Значит, система

{ y = kx y = − x2− 0,25

имеет единственное решение, следовательно, квадратное уравнение

− x2− 0,25= kx ⇔ x2+ kx +0,25= 0.

имеет одно решение, то есть его дискриминант равен нулю:

D = k2− 1= 0 k2 = 1 k = ±1

Следовательно, ответ

{ } k ∈ − 54;−1;1 .

Ответ:

${ } k ∈ − 5;− 1;1 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#106167

Постройте график функции

x4− 13x2+ 36 y = (x−-3)(x-+2) .

Определите, при каких значениях $c$ прямая $y =c$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

(x− 3)(x +2)⁄= 0 x⁄= −2; x⁄= 3

Преобразуем выражение в числителе. Сделаем замену $x2 = t,$ получим:

4 2 2 x − 13x + 36= t − 13t+ 36.

Найдем корни квадратного уравнения

t2− 13t+ 36= 0 D = 169 − 4⋅1⋅36= 169− 144 = 25 t1 = 13+-5 =9 2 t2 = 13−-5 =4 2

Тогда

t2 − 13t+ 36= (t− 9)(t− 4).

Сделаем обратную замену:

x4− 13x2+ 36= (x2− 9)(x2− 4) .

Тогда на области определения функция примет вид:

(x2− 9)(x2− 4) (x− 3)(x +3)(x− 2)(x+ 2) y =-(x−-3)(x-+-2)--= -----(x-− 3)(x+-2)----= = (x+ 3)(x − 2) =x2 +x − 6.

Тогда график исходной функции — это парабола с двумя выколотыми точками. Найдем координаты выколотых точек:

$pict$

Итого, $(− 2;−4)$ и $(3;6)$ — выколотые точки.

Графиком квадратичной функции $y = x2+ x− 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−0,5;−6,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу значений параболы:

|--|---|---|------|---|---| |x-|−2-|−-1|-−0,5-|-0-|-1-| -y--−4--−-6-−-6,25--−6--−4--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции.

$16−−12−−xy0−14216,25$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = c,$ при которых она не имеет с графиком этой функции ровно одну общую точку.

$1−−612−−xy0−y(1y(2y(314216,=)=)=)25−−6 6,425$

Нам подходят положения 1, 2 и 3 прямой $y = c.$

Положение 1: прямая $y = c$ проходит через вершину параболы $(− 0,5;−6,25),$ значит $c =− 6,25.$

Положение 2: прямая $y = c$ проходит через выколотую точку $(−2;−4)$ значит $c =− 4.$

Положение 3: прямая $y = c$ проходит через выколотую точку $(3;6)$ значит $c =6.$

Следовательно, ответ

c∈ {−6,25;−4;6}.

Ответ:

$c ∈{−6,25;− 4;6}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#106091

Постройте график функции

2 y = x + 14x− 3|x + 8|+ 48.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 11x + 24$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−5,5;−6,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|------|---|---| |x-|−8-|−-6|-−5,5-|−5-|−3-| -y---0--−-6-−-6,25--−6---0--

Графиком квадратичной функции $2 y = x + 17x + 72$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−8,5;−0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|----|---|-----|----| |x-|−10-|−9-|−-8,5-|−-8-| -y---2---0---−0,25--0---

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. Точка $(−8;0)$ — точка стыка.

$−−012−−−−−1−xy 6,0,10865392255$

Изобразим график функции положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно три общие точки.

$xy−012−−−−1−yy((018653==1)2),205−00,25$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину $(−8,5;− 0,25)$ параболы $y = x2+17x +72,$ следовательно, $m = −0,25.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−8;0),$ то есть $m = 0.$

Следовательно,

m ∈ {−0,25;0}.

Ответ:

$m ∈ {−0,25;0}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#106110

Постройте график функции

2 y = 2|x− 4|− x + 9x− 20.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = −x2+ 11x− 28$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(5,5;2,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|--|----|--|--| |x-|4-|5-|-5,5-|6-|7-| -y--0--2--2,25--2--0-

Графиком квадратичной функции $y = −x2+ 7x− 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(3,5;0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|--|----|--| |x-|-2-|3-|-3,5-|4-| -y--−2--0--0,25--0--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. Точка $(4;0)$ — точка стыка.

$xy0,2,01−2123456725252$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно три общие точки.

$xy0,0121234567yy(2(12==))50,025$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(4;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(3,5;0,25)$ параболы $y = −x2+ 7x− 12,$ следовательно, $m =0,25.$

Следовательно, ответ

m ∈{0;0,25}.

Ответ:

$m ∈ {0;0,25}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#106114

Постройте график функции

y = |x|⋅(x − 1)− 6x.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2− 7x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(3,5;−12,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|x-|0-|-2--|--3,5--|-5--|7-| |y-|0-|−10-|−12,25-|−-10|0-| ---------------------------

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 5x$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−2,5;6,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|----|---|--| |x-|−5-|−-4-|−2,5-|−-1|0-| -y---0---4---6,25---4--0--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. Точка $(0;0)$ — точка стыка.

$0146−−−−1253−7−xy,21141,525502,,525$

$016−−−1253−7−xyyy((,2141,5252152,5==)),26−5,2152,25$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину $(3,5;−12,25)$ параболы $2 y = x − 7x,$ следовательно, $m = − 12,25.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(−2,5;6,25)$ параболы $y = −x2− 5x,$ следовательно, $m = 6,25.$

Следовательно, ответ

m ∈ {−12,25;6,25}.

Ответ:

$m ∈ {−12,25;6,25}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#37453

Постройте график функции

y = x|x|+ |x|− 3x.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2− 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(1;− 1)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|x-|0-|-1-|2-|3-| |y-|0-|−1-|0-|3-| ----------------

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 4x$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−2;4)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|---|----|--| |x-|−4-|−3-|−-2|−-1-|0-| -y--0----3---4---3---0-

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. Точка $(0;0)$ — точка стыка.

$01234−−−−−1234xy14321$

$0123−4−−−−1234xyyy(2(114321==))4− 1$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину $(1;−1)$ параболы $y = x2− 2x,$ следовательно, $m = − 1.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(− 2;4)$ параболы $y = −x2− 4x,$ следовательно, $m = 4.$

Следовательно, ответ

m ∈ {−1;4}.

Ответ:

$m ∈ {−1;4}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#43939

Постройте график функции

(0,5x2 − 0,5x)⋅|x| y =------x−-1-----.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

x− 1 ⁄=0 ⇔ x⁄= 1.

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

(0,5x2− 0,5x)⋅|x| 0,5x ⋅(x − 1)⋅|x| y = -----x-− 1-----= -----x−-1-----= 0,5x ⋅|x|.

Раскроем модуль:

$pict$

Найдем координаты выколотой точки:

x= 1 ⇒ y = 0,5x2 = 0,5 ⋅12 = 0,5.

Тогда $(1;0,5)$ — выколотая точка.

Графиком квадратичной функции $y = 0,5x2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0;0).$ Составим таблицу:

|x-|0-|1--|2-| |y-|0-|0,5-|2-| --------------

Графиком квадратичной функции $y = −0,5x2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0;0).$ Составим таблицу:

|--|--|-----|---| |x-|0-|-−1--|−2-| -y--0--−-0,5--−2-

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. Точка $(0;0)$ — точка стыка.

$xy0120,−−1234−−−−5214321$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она не имеет с графиком этой функции ни одной общей точки.

$xy012−−1234−−−−0y(,12143215=)0,5$

Нам подходит одно положение прямой $y = m,$ при котором она проходит через выколотую точку $(1;0,5).$

Следовательно, ответ

m ∈ {0,5}.

Ответ:

$m ∈ {0,5}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#106123

Постройте график функции

(0,5x2 +0,5x)⋅|x| y =------x+-1-----.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

x + 1⁄= 0 ⇔ x⁄= − 1.

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

(0,5x2+ 0,5x)⋅|x| 0,5x ⋅(x +1)⋅|x| y = -----x-+1------= -----x+-1-----= 0,5x ⋅|x|.

Раскроем модуль:

$pict$

Найдем координаты выколотой точки:

x= − 1 ⇒ y = −0,5x2 = −0,5 ⋅(− 1)2 =− 0,5.

Тогда $(−1;−0,5)$ — выколотая точка.

|x-|0-|1--|2-| |y-|0-|0,5-|2-| --------------

|--|--|-----|---| |x-|0-|-−1--|−2-| -y--0--−-0,5--−2-

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. Точка $(0;0)$ — точка стыка.

$xy012−−−1234−−−−0,2143215$

$xy012−−1234−−−−−y(12143210=),5−0,5$

Нам подходит одно положение прямой $y = m,$ при котором она проходит через выколотую точку $(−1;−0,5).$

Следовательно, ответ

m ∈ {−0,5} .

Ответ:

$m ∈ {−0,5}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#61567

Постройте график функции

2 y = |x + 5x+ 6|.

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 5x+ 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−2,5;−0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|x-|−4-|−-3|-−2,5-|−2-|−1-| |y-|-2-|-0-|−-0,25-|-0-|-2-| ---------------------------

Построим сначала график $y = x2+ 5x+ 6,$ затем все участки, находящиеся не ниже оси абсцисс оставим без изменения, а участки, находящиеся ниже оси абсцисс, отобразим наверх симметрично относительно оси абсцисс.

$xy0120−−1−−−−,22143215$

Прямые, параллельные оси абсцисс или совпадающие с ней задаются уравнением $y =m.$ Найдём, какое наибольшее количество общих точек могут иметь прямая $y = m$ и график исходной функции.

$xy0120,−−1−−−−yyyyy2214321=====500mm,2,m,50,m m<<m>00<,205,25$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $m = 0,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 2 общие точки с графиком.
Если $0 < m < 0,25,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 4 общие точки с графиком.
Если $m = 0,25,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 3 общие точки с графиком.
Если $m > 0,25,$ то прямая $y = m$ имеет ровно 2 общие с графиком.

Таким образом, наибольшее число общих точек, которое может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс равно 4.

Ответ: 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#27287

Постройте график функции $-2,5|x|−-1- y = |x|− 2,5x2.$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 34 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

При $x = 0$ знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

$pict$

Упростим условия на $x:$

1) 2,5x− 1⁄= 0 2,5x ⁄= 1 5x ⁄= 2 x⁄= 2 2) − 2,5x5− 1⁄= 0 − 2,5x⁄= 1 −5x ⁄= 2 x ⁄=− 2 5

Таким образом, исходная функция теперь выглядит так:

( |{ − 1 при x> 0, x ⁄= 2 y = | x 5 ( 1x при x< 0, x ⁄= − 25

Графиком функции $y = − 1 x$ является гипербола. Построим таблицу значений:

|x-|0,5-|-1-|-2---| |y-|−2-|−1-|−0,5-| ------------------

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

2 1 x = 5 ⇔ y = −2-= −2,5. 5

Точка $(0,4;− 2,5)$ является выколотой точкой.

Графиком функции $y = 1 x$ также является гипербола. Построим таблицу значений:

|--|----|---|----| |x-|−0,5-|−-1|−-2-| -y---2----1--0,5--

Найдем координату выколотой точки на этом участке:

x= − 2 ⇔ y = − 1-= −2,5. 5 25

Точка $(− 0,4;−2,5)$ является выколотой точкой.

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции.

$xy0−12341234−−−−(−(014321,0,4;4;−−22,5,5))$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых не имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

$2525 xy012341234−−−−((y(y(y(4321−0, =3) =2)=1)0,4;4−−0;−242,54,5)x)x$

Нам подходят три положения 1, 2 и 3 прямой $y = kx.$

Положение 1: Прямая $y = kx$ совпадает с осью абсцисс и является асимптотой гиперболы, значит, $k = 0.$

Положение 2: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(−0,4;− 2,5).$ Найдем $k :$

5 2 25 − 2 = − 5 ⋅k ⇔ k = 4-.

Положение 3: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(0,4;−2,5).$ Найдем $k :$

− 5= 2 ⋅k ⇔ k = − 25. 2 5 4

Следовательно, ответ

{ } k ∈ − 25;0; 25 . 4 4

Ответ:

${ } k ∈ − 25;0; 25 4 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#106251

Постройте график функции

1 (||x 4,5|| x 4,5) y = 2 ||4,5-− x-||+ 4,5-+ -x- .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции: $x ⁄= 0.$

Раскроем модуль:

$pict$

Упростим ограничения на $x:$

-x-− 4,5-≥ 0 4,5 x x⋅x-− 4,5⋅4,5 4,5x ≥ 0 2 2 x-−-4,5- ≥ 0 4,5x (x-−-4,5)(x-+4,5)≥ 0 4,5x

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

(x − 4,5)(x +4,5)= 0 x1 = 4,5; x2 = − 4,5

Найдем нули знаменателя:

4,5x = 0 x =0

Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на промежутках:

$x−04,+−+−45,5$

Таким образом,

$pict$

Значит,

(|2x при x∈ [− 4,5;0) ∪[4,5;+∞ ) y = {9 |(9 ⋅ 1 при x∈ (− ∞;− 4,5)∪ (0;4,5) 2 x

График исходной функции при $x ∈[−4,5;0)∪ [4,5;+∞ )$ — прямая $y = 2x. 9$ Составим таблицу значений при $x ∈[−4,5;0):$

|--|-----|--| |x-|−-4,5-|0-| -y---−1---0-

Составим таблицу значений при $x∈ [4,5;+ ∞ ):$

|--|---|--| |x-|4,5-|9-| -y---1--2--

График исходной функции при $x ∈(−∞; −4,5)∪(0;4,5)$ — гипербола $9 1 y = 2 ⋅x .$ Составим таблицу значений при $x∈ (−∞;− 4,5):$

|--|----|------|----| |x-|−4,5|--−6--|-−9-| -y--−-1--−-0,75--−0,5-

Составим таблицу значений при $x∈ (0;4,5):$

|--|---|----|---|---| |x-|0,5|-1--|3--|4,5-| -y---9--4,5--1,5---1-

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции по частям. При $x= 0$ функция терпит разрыв, $(0;0)$ — выколотая точка, $(−4,5;− 1)$ и $(4,5;1)$ — точки стыка.

$01234567891−−1234567891−−−−−−−−−−(−(4xy021019876543214,50,;5;1−)1)$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно одну общую точку:

$01234567891023456789101−−−−−−−−−−−xyy(1y(2110987654321=)=)−1 1$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−4,5;− 1),$ значит, $m = − 1.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(4,5;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈ {−1;1}.

Ответ:

$m ∈ {−1;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2