Тема №22. Графики функций

01 Задачи №22 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105935

Постройте график функции

(| x− 4 при x < 3, { y = |( −1,5x + 4,5 при 3 ≤x ≤ 4, 1,5x− 7,5 при x > 4.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком каждой из трех линейных функций $y = x− 4,$ $y = −1,5x +4,5$ и $y = 1,5x− 7,5$ является прямая.

Составим таблицу для функции $y = x− 4:$

-x---0---3--| -y--−-4--−1-|

Составим таблицу функции $y =− 1,5x+ 4,5:$

-x--3----4--| -y--0--−-1,5-|

Составим таблицу для функции $y = 1,5x − 7,5:$

|x-|--4--|5-| -y--−-1,5--0-

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. При $x = 3$ функция терпит разрыв, $(3;− 1)$ — выколотая точка, $(3;0)$ — не выколотая точка, $(4;− 1,5)$ — точка стыка.

$110xy−−345 41$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки:

$110xy−−−345y(y(y(123411,=)=)=)5−−011,5$

Нам подходит положение 1, а также все положения между 2 и 3, включая 2 и 3.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(4;− 1,5),$ значит, $m = − 1,5.$

Положение 2: прямая $y =m$ проходит через выколотую точку $(3;−1),$ значит, $m = −1.$

Положение 3: прямая $y =m$ проходит через точку $(3;0),$ значит, $m = 0.$

Следовательно,

m ∈ {−1,5}∪ [− 1;0].

Ответ:

$m ∈ {−1,5} ∪[−1;0]$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#124436

Постройте график функции

(| x− 0,5 при x< − 2, { y = |( −2x− 6,5 при − 2≤ x ≤− 1, x− 3,5 при x> − 1,

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком каждой из трех линейных функций $y = x− 0,5,$ $y = −2x − 6,5$ и $y = x− 3,5$ является прямая.

Составим таблицу для функции $y = x− 0,5 :$

-x---−3---−-2-- -y--−3,5--−2,5--

Составим таблицу для функции $y = −2x − 6,5:$

-x---−2---−-1-- -y--−2,5--−4,5--

Составим таблицу для функции $y = x− 3,5 :$

|x-|-−1--|-0--| -y--−4,5--−3,5--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. $(− 2;− 2,5)$ и $(−1;−4,5)$ — точки стыка.

$110xy−−−−−−2,3,4,321555$

$110xy−−−−−y(y(23421=1)=2),5,5,5−−42,5,5$

Нам подходят положения 1 и 2.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−1;−4,5),$ значит, $m = − 4,5.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−2;−2,5),$ значит, $m = − 2,5.$

Следовательно,

m ∈ {−4,5;−2,5}.

Ответ:

$m ∈ {−4,5;− 2,5}.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#105936

Постройте график функции

{ 2 y = x + 2x+ 1 при x ≥− 2, x+ 6 при x <− 2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 2x+ 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;0)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|--|--| |x-|−2-|−1-|0-|1-| -y--1---0---1--4--

Графиком линейной функции $y = x +6$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−2-| -y---2---4--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. При $x =− 2$ функция терпит разрыв, $(−2;4)$ — выколотая точка, $(− 2;1)$ — не выколотая точка.

$0xy124−−−1 421$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки.

$0xyy(y(y(14−−1321=)=)=)21 410$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y =m$ между 2 и 3, не включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 1;0),$ значит, $m = 0.$

Положение 2 (три общие точки): прямая $y = m$ проходит через точку $(−2;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 3 (одна общая точка): прямая $y = m$ проходит через точку $(−2;4),$ значит, $m = 4.$

Следовательно,

m ∈ {0} ∪(1;4).

Ответ:

$m ∈ {0}∪ (1;4)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#124450

Постройте график функции

{ 2 y = x + 4x− 1 при x ≥− 4, x при x <− 4.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 4x− 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−2;−5)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|---|---| |x-|−-4|−-3-|−2-|−1-| -y--−-1-−-4--−5--−4-

Графиком линейной функции $y = x$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−5-| -y--−-4--−5-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = −4$ функция терпит разрыв, $(−4;− 4)$ — выколотая точка, $(−4;−1)$ — закрашенная точка.

$0xy−−−1−−−−−154154321$

$0xyy(y(y(−1−−−−1 =3) =2) =1)15442 −−− 145$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y = m$ между 2 и 3, включая эти положения, а также положение 1.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(−2;−5),$ значит, $m = −5.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(−4;− 4),$ значит, $m = −4.$

Положение 3: прямая $y =m$ проходит через точку $(−4;−1),$ значит, $m = − 1.$

Следовательно,

m ∈ {−5}∪ [−4;− 1].

Ответ:

$m ∈ {−5}∪ [− 4;− 1]$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105937

Постройте график функции

{ 2 y = −x − 2x +1 при x≥ −3, −x − 2 при x< −3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 − 2x +1$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;2)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|---|--|----| |x-|−3-|−2-|−-1|0-|-1--| -y--−2---1---2--1--−-2-

Графиком линейной функции $y = −x − 2$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−3-| -y---2---1--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. При $x =− 3$ функция терпит разрыв, $(−3;1)$ — выколотая точка, $(− 3;− 2)$ — не выколотая точка.

$10xy21−−−−−24321$

$10xyy(y(y(12−−−−− =3 =2 =124321)))21− 2$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y = m$ между 1 и 2, включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1: прямая $y =m$ проходит через точку $(−3;−2),$ значит, $m = − 2.$

Положение 2: прямая $y =m$ проходит через выколотую точку $(− 3;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 1;2),$ значит, $m = 2.$

Следовательно,

m ∈ [− 2;1]∪ {2} .

Ответ:

$m ∈ [− 2;1]∪ {2}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#124462

Постройте график функции

{ 2 y = −x − 2x +2 при x≥ −3, −x − 2 при x< −3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = −x2 − 2x +2$ является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;3)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|---|--|----| |x-|−3-|−2-|−-1|0-|-1--| -y--−1---2---3--2--−-1-

Графиком линейной функции $y = −x − 2$ является прямая. Составим таблицу:

|--|----|---| |x-|−-4-|−3-| -y---2---1--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = −3$ функция терпит разрыв, $(− 3;1)$ — выколотая точка, $(−3;−1)$ — закрашенная точка.

$10xy231−−−−−14213$

$10xyy(3y(2y(13−1−− =) =) =)113 31−1$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y = m$ между 1 и 2, включая эти положения, а также положение 3.

Положение 1: прямая $y =m$ проходит через точку $(−3;−1),$ значит, $m = − 1.$

Положение 2: прямая $y =m$ проходит через выколотую точку $(− 3;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 1;3),$ значит, $m = 3.$

Следовательно,

m ∈ [− 1;1]∪ {3} .

Ответ:

$m ∈ [− 1;1]∪ {3}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105938

Постройте график функции

({ x2+ 1 при x ≥− 1, y = 4 ( −x при x <− 1.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 8 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(0;1)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|--|--|--| |x-|−-1|0-|1-|2-| -y---2--1--2--5-

Графиком функции обратной пропорциональности $4 y = − x$ является гипербола. Составим таблицу:

|--|----|---|---| |x-|−-4-|−2-|−1-| -y---1---2---4--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. При $x =− 1$ функция терпит разрыв, $(−1;4)$ — выколотая точка, $(− 1;2)$ — не выколотая точка.

$10xy12452−−−421$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно одну общую точку.

$10xyy(y(y(124−3211=)=)=) 410$

Нам подходят все положения горизонтальной прямой $y = m$ между 1 и 2, не включая эти положения, а также положение 3 включительно и выше.

Положение 1 (нет общих точек): прямая $y = m$ совпадает с осью абсцисс, являющейся асимптотой гиперболы, значит, $m = 0.$

Положение 2 (две общие точки): прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(0;1),$ значит, $m = 1.$

Положение 3: прямая $y =m$ проходит через выколотую точку $(− 1;4),$ значит, $m = 4.$

Следовательно,

m ∈ (0;1)∪ [4;+∞ ).

Ответ:

$m ∈ (0;1)∪ [4;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105939

Постройте график функции

({ x2+ 2x+ 1 при x ≥− 2, y = 2 ( −x при x <− 2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 2x+ 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−1;0)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|--|--| |x-|−2-|−1-|0-|1-| -y--1---0---1--4--

Графиком функции обратной пропорциональности $2 y = − x$ является гипербола. Составим таблицу:

|--|----|---|---| |x-|−-8-|−4-|−-2| -y--0,25--0,5---1--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. $(−2;1)$ — точка стыка.

$014−−−−1xy8421$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции одну или две общие точки.

$01−1xyy(y22(=)=1) 10$

Нам подходит положение 1 горизонтальной прямой $y = m,$ а также положение 2 включительно и выше.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(− 1;0),$ значит, $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−2;1),$ значит, $m = 1.$

Следовательно,

m ∈{0} ∪[1;+ ∞).

Ответ:

$m ∈ {0}∪ [1;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#124475

Постройте график функции

({x2 − 2x +1 при x≥ −2, y = 18 (− x- при x< −2.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Графиком квадратичной функции $y = x2− 2x+ 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(1;0)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|--|--|--| |x-|−-2|0-|1-|2-| -y---9--1--0--1-

Графиком функции обратной пропорциональности $18 y = − x$ является гипербола. Составим таблицу:

|--|----|---|---| |x-|−-6-|−3-|−2-| -y---3---6---9--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. $(− 2;9)$ — точка стыка.

$01369−−−12xy632$

$091−12xyy(y2 =2) =(1)90$

Нам подходит положение 1 горизонтальной прямой $y = m,$ а также положение 2 включительно и выше.

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(1;0),$ значит, $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−2;9),$ значит, $m = 9.$

Следовательно,

m ∈{0} ∪[9;+ ∞).

Ответ:

$m ∈ {0}∪ [9;+∞ )$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#27281

Постройте график функции

-7x−-6- y = 7x2− 6x.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 26 | Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

7x2− 6x⁄= 0 x(7x − 6)⁄= 0 x ⁄=0; x⁄= 6 7

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

7x− 6 7x− 6 1 y = 7x2−-6x = x(7x-− 6)-= x.

Тогда график исходной функции — это гипербола с выколотой точкой.

Построим таблицу значений для гиперболы:

|x-|-−2--|−1-|−0,5-|0,5-|1-|2--| -y--−-0,5--−1---−2---2---1--0,5-

Найдем координаты выколотой точки гиперболы:

x = 6 ⇒ y = 1= 7. 7 67 6

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции.

$xy7602−−2−−2121 67$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

$76 49 xy6702−2−y22 = 36x$

Нам подходит только одно положение прямой $y = kx,$ при котором она проходит через выколотую точку $( 6 7) 7;6 .$ Найдем, чему равно $k :$

7= k ⋅ 6 6 7 49 k = 36

Ответ:

${ 49} k ∈ 36$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#124488

Постройте график функции

9x+-1- y = 9x2+x .

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

9x2+x ⁄= 0 x(9x + 1)⁄= 0 x ⁄= 0; x⁄= − 1 9

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

9x+ 1 9x + 1 1 y = 9x2+-x = x(9x+-1) = x .

Тогда график исходной функции — это гипербола с выколотой точкой.

Построим таблицу значений для гиперболы:

|x-|-−2--|−1-|−0,5-|0,5-|1-|2--| -y--−-0,5--−1---−2---2---1--0,5-

Найдем координаты выколотой точки гиперболы:

x = − 1 ⇒ y =-1-= − 9. 9 − 19

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$1 xy−−012−−12−−992121$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

$xy−−012−12−y9 1922 = 81x$

Нам подходит только одно положение прямой $y = kx,$ при котором она проходит через выколотую точку $( ) − 1;−9 . 9$ Найдем, чему равно $k :$

( ) −9 = k⋅ − 1 9 k = 81

Ответ:

$k ∈{81}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#106154

Постройте график функции

-x+-4- y = − 2− x2+ 4x.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

x2+ 4x ⁄= 0 x(x+ 4)⁄= 0 x⁄= 0; x ⁄= −4

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

y = −2−--x+-4- =− 2− 1. x(x +4) x

Тогда график исходной функции — это гипербола с выколотой точкой.

Построим таблицу значений для гиперболы:

|x-|-−5--|−1-|−-1-|-1-|-1-|--5--| |y-|−-1,8-|−1-|-02-|−24-|−3-|−-2,2-| --------------------------------

Найдем координаты выколотой точки гиперболы:

x = −4 ⇒ y = −2− -1-= −1,75. − 4

Тогда $(− 4;− 1,75)$ — выколотая точка.

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции.

$−01−−−−15xy14354,75$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она не имеет с графиком этой функции общих точек.

$xyyy(1(201−1==))4−− 1,275$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(−4;−1,75),$ значит $m = − 1,75.$

Положение 2: прямая $y = m$ совпадает с горизонтальной асимптотой $y = −2,$ значит $m = − 2.$

Следовательно, ответ

m ∈ {−2;−1,75}.

Ответ:

$m ∈ {−2;−1,75}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#124503

Постройте график функции

-x+-5- y = 3− x2+ 5x.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

x2+ 5x ⁄= 0 x(x+ 5)⁄= 0 x⁄= 0; x ⁄= −5

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

y = 3−--x+-5- =3 − 1. x(x +5) x

Тогда график исходной функции — это гипербола с выколотой точкой.

Построим таблицу значений для гиперболы:

|x-|−-6|−-1-|− 1|1-|1-|-6-| |y-|31-|-4--|52-|21-|2-|25-| -----6------------------6--

Найдем координаты выколотой точки гиперболы:

x = −5 ⇒ y = 3 − 1-=3,2. −5

Тогда $(− 5;3,2)$ — выколотая точка.

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$30245−1−−−16xy,21651$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она не имеет с графиком этой функции общих точек.

$xyyy((0−1−−133==1)2)151,2 33,2$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(−5;3,2),$ значит $m = 3,2.$

Положение 2: прямая $y = m$ совпадает с горизонтальной асимптотой $y = 3,$ значит $m = 3.$

Следовательно, ответ

m ∈ {3;3,2}.

Ответ:

$m ∈ {3;3,2}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#106160

Постройте график функции

(x2+ 0,25)(x− 1) y =------1−-x-----.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

1− x ⁄=0 ⇔ x⁄= 1.

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

(x2 +0,25)(x − 1) ( ) y = ---−-(x-−-1)----= − x2+ 0,25 = − x2− 0,25.

Тогда график исходной функции — это парабола с выколотой точкой. Найдем координаты этой выколотой точки:

x = 1 ⇒ y = − 12 − 0,25= −1,25.

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 0,25$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(0;− 0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу значений параболы:

|--|------|-----|------|-----|------| |x-|--−2--|-−1--|--0---|--1--|--2---| -y--−-4,25--−1,25-−-0,25--−1,25-−-4,25-

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции.

$xy1−−120−−−21141,2,255$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

$5 011−xy(((1231,)))2:::5yyy ===−−x 4xx$

Положение 1: прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(1;−1,25):$

5 −1,25 = 1⋅k ⇔ k = − 4.

Положения 2 и 3: прямая $y =kx$ касается параболы $2 y = − x − 0,25.$ Значит, система

{ y = kx y = − x2− 0,25

имеет единственное решение, следовательно, квадратное уравнение

− x2− 0,25= kx ⇔ x2+ kx +0,25= 0.

имеет одно решение, то есть его дискриминант равен нулю:

D = k2− 1= 0 k2 = 1 k = ±1

Следовательно, ответ

{ } k ∈ − 54;−1;1 .

Ответ:

${ } k ∈ − 5;− 1;1 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#124513

Постройте график функции

(x2+ 2,25)(x− 1) y =------1−-x-----.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

1− x ⁄=0 ⇔ x⁄= 1.

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

(x2 +2,25)(x − 1) ( ) y = ---−-(x-−-1)----= − x2+ 2,25 = − x2− 2,25.

Тогда график исходной функции — это парабола с выколотой точкой. Найдем координаты этой выколотой точки:

x = 1 ⇒ y(1)= − 12− 2,25= −3,25.

Следовательно, $(1;− 3,25)$ — выколотая точка.

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 2,25$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(0;− 2,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу значений параболы:

|--|------|-----|------|-----|------| |x-|--−2--|-−1--|--0---|--1--|--2---| -y--−-6,25--−3,25-−-2,25--−3,25-−-6,25-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$xy1−−120−−−21362,2,2,2555$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

$13 011−xy(((1233,)))2:::5yyy ===−−3x43xx$

Положение 1: прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(1;−3,25):$

− 3,25= 1⋅k ⇔ k = − 13. 4

Положения 2 и 3: прямая $y =kx$ касается параболы $y = − x2− 2,25.$ Значит, система

{ y = kx y = − x2− 2,25

имеет единственное решение, следовательно, квадратное уравнение

− x2− 2,25= kx ⇔ x2+ kx +2,25= 0.

имеет ровно одно решение, то есть его дискриминант равен нулю:

D = k2− 9= 0 k2 = 9 k = ±3

Следовательно, ответ

{ 13 } k ∈ − 4-;−3;3 .

Ответ:

${ } k ∈ − 13;−3;3 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#106167

Постройте график функции

x4− 13x2+ 36 y = (x−-3)(x-+2) .

Определите, при каких значениях $c$ прямая $y =c$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

(x− 3)(x +2)⁄= 0 x⁄= −2; x⁄= 3

Преобразуем выражение в числителе. Сделаем замену $x2 = t,$ получим:

4 2 2 x − 13x + 36= t − 13t+ 36.

Найдем корни квадратного уравнения

t2− 13t+ 36= 0 D = 169 − 4⋅1⋅36= 169− 144 = 25 t1 = 13+-5 =9 2 t2 = 13−-5 =4 2

Тогда

t2 − 13t+ 36= (t− 9)(t− 4).

Сделаем обратную замену:

x4− 13x2+ 36= (x2− 9)(x2− 4) .

Тогда на области определения функция примет вид:

(x2− 9)(x2− 4) (x− 3)(x +3)(x− 2)(x+ 2) y =-(x−-3)(x-+-2)--= -----(x-− 3)(x+-2)----= = (x+ 3)(x − 2) =x2 +x − 6.

Тогда график исходной функции — это парабола с двумя выколотыми точками. Найдем координаты выколотых точек:

$pict$

Итого, $(− 2;−4)$ и $(3;6)$ — выколотые точки.

Графиком квадратичной функции $y = x2+ x− 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−0,5;−6,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу значений параболы:

|--|---|---|------|---|---| |x-|−2-|−-1|-−0,5-|-0-|-1-| -y--−4--−-6-−-6,25--−6--−4--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции.

$16−−12−−xy0−14216,25$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = c,$ при которых она не имеет с графиком этой функции ровно одну общую точку.

$1−−612−−xy0−y(1y(2y(314216,=)=)=)25−−6 6,425$

Нам подходят положения 1, 2 и 3 прямой $y = c.$

Положение 1: прямая $y = c$ проходит через вершину параболы $(− 0,5;−6,25),$ значит $c =− 6,25.$

Положение 2: прямая $y = c$ проходит через выколотую точку $(−2;−4)$ значит $c =− 4.$

Положение 3: прямая $y = c$ проходит через выколотую точку $(3;6)$ значит $c =6.$

Следовательно, ответ

c∈ {−6,25;−4;6}.

Ответ:

$c ∈{−6,25;− 4;6}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#106091

Постройте график функции

2 y = x + 14x− 3|x + 8|+ 48.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 11x + 24$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−5,5;−6,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|---|------|---|---| |x-|−8-|−-6|-−5,5-|−5-|−3-| -y---0--−-6-−-6,25--−6---0--

Графиком квадратичной функции $2 y = x + 17x + 72$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−8,5;−0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|----|---|-----|----| |x-|−10-|−9-|−-8,5-|−-8-| -y---2---0---−0,25--0---

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. Точка $(−8;0)$ — точка стыка.

$−−012−−−−−1−xy 6,0,10865392255$

Изобразим график функции положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно три общие точки.

$xy−012−−−−1−yy((018653==1)2),205−00,25$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через вершину $(−8,5;− 0,25)$ параболы $y = x2+17x +72,$ следовательно, $m = −0,25.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−8;0),$ то есть $m = 0.$

Следовательно,

m ∈ {−0,25;0}.

Ответ:

$m ∈ {−0,25;0}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#124440

Постройте график функции

2 y = x + 11x− 4|x + 6|+ 30.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 7x+ 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−3,5;−6,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|---|---| |x-|−-6|−-5-|−4-|−3-| -y---0--−-4--−6--−6-

Графиком квадратичной функции $y = x2+ 15x + 54$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−7,5;−2,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|------|---|---| |x-|−8-|-−7,5--|−7-|−6-| -y--−2--−-2,25--−2---0--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(−6;0)$ — точка стыка.

$−−01−−−−−−−−−−−1xy 6,2,4266875433,7,225555$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно три общие точки.

$xy−01−1−yy((26712,,==))255−02,25$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−6;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(−7,5;− 2,25)$ параболы $y = x2+15x +54,$ следовательно, $m = −2,25.$

Следовательно,

m ∈ {−2,25;0}.

Ответ:

$m ∈ {−2,25;0}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#106110

Постройте график функции

2 y = 2|x− 4|− x + 9x− 20.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = −x2+ 11x− 28$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(5,5;2,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|--|--|----|--|--| |x-|4-|5-|-5,5-|6-|7-| -y--0--2--2,25--2--0-

Графиком квадратичной функции $y = −x2+ 7x− 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(3,5;0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|--|----|--| |x-|-2-|3-|-3,5-|4-| -y--−2--0--0,25--0--

Отмечаем полученные точки в системе координат и строим график функции. Точка $(4;0)$ — точка стыка.

$xy0,2,01−2123456725252$

$xy0,0121234567yy(2(12==))50,025$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(4;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(3,5;0,25)$ параболы $y = −x2+ 7x− 12,$ следовательно, $m =0,25.$

Следовательно, ответ

m ∈{0;0,25}.

Ответ:

$m ∈ {0;0,25}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#124457

Постройте график функции

2 y = 3|x+ 7|− x − 13x− 42.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

$pict$

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 10x− 21$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−5;4)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|---|----|---|---| |x-|−-7|−-6-|−5-|−4-| -y---0---3---4----3-

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 16x− 63$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(−8;1)$ — вершина параболы. Составим таблицу:

|--|----|---|---| |x-|−-9-|−8-|−7-| -y---0---1---0--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. Точка $(−7;0)$ — точка стыка.

$xy0134−−−−−1−876549$

$xy01−−1yy(2(187==))10$

Нам подходят положения 1 и 2 прямой $y = m.$

Положение 1: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(−7;0),$ то есть $m = 0.$

Положение 2: прямая $y = m$ проходит через вершину $(− 8;1)$ параболы $y = −x2− 16x− 63,$ следовательно, $m = 1.$

Следовательно, ответ

m ∈{0;1}.

Ответ:

$m ∈ {0;1}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2