Тема 22. Функции и их свойства. Графики функций

22.01 Задачи №22 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела функции и их свойства. графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#39454

Постройте график функции

(| 2,5x − 3,5 при x< 2, { y = |( −3x+ 7,5 при 2≤ x≤ 3, x− 6 при x> 3

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Построим график функции.

$xy110$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < −3,$ то прямая $y = m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $m = −3,$ то прямая $y = m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $− 3< m < −1,5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m = −1,5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $− 1,5< m < 1.5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $m = 1,5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m > 1,5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.

По условию на нужно найти такие значения $m,$ при которых прямая $y = m$ пересекает график ровно в двух точках. Тогда нам подходят $m ∈ (−3;−1,5)∪{1,5}$

Ответ:

$m ∈ (−3;−1,5)∪{1,5}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#48624

Постройте график функции

({x2+ 2 при x ≥− 2, y = (− 6 при x <− 2. x

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

График функции при $x ≥ −2$ — это парабола $y = x2+ 2.$

Найдем вершину параболы:

-b 0 xв. =− 2a =− 2 = 0 2 yв. =0 + 2 =2

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ −2 :$


$x$	0	1	2	3	$− 1$	$− 2$

$y$	2	3	6	11	3	6

График функции при $x <− 2$ — это гипербола $6 y = −x.$

Построим таблицу значений для гиперболы при $x< −2 :$


$x$	$− 2$	$− 3$	$− 6$

$y$	3	2	1

Построим график функции:

$xyyyyyyy110 ====== 2mmmmm,,,,, m023m<<≤<>mmm06<<≤ 236$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Найдём, когда прямая $y = m$ имеет с графиком одну общую точку.

Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
$y = 0$ — горизонтальная асимптота для гиперболы, поэтому при $m = 0$ прямая $y =m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $0< m < 2,$ то прямая $y = m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $m = 2$ то прямая то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $2< m < 3,$ то прямая $y = m$ имеет три точки пересечения с графиком.
Если $3≤ m ≤ 6,$ то прямая $y = m$ имеет две точки пересечения с графиком.
Если $m > 6$ то прямая $y = m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет одну точку пересечения, когда

m ∈ (0;2)∪ (6;+ ∞)

Ответ:

$m ∈ (0;2)∪ (6;+ ∞)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#58401

Постройте график функции $y = 5−-x+-5-. x2+ 5x$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем область определения функции:

{ x2+ 5x⁄= 0 ⇔ x⁄= 0 x⁄= −5

На области определения уравнение функции равносильно

y =5 − -x+-5--= 5− 1 x(x + 5) x

График функции $y = 5− 1 x$ получается отражением графика $y = 1 x$ относительно оси $Oy,$ а затем поднятием полученного графика на 5 единиц вверх.

Таким образом, асимптотами этой гиперболы являются прямые $x= 0$ и $y = 5.$ Значит, чтобы получить график исходной функции, нужно выколоть точку, абсцисса которой равна $− 5.$

Найдем координаты этой точки:

-1- y(− 5)= 5− −5 = 5+ 0,2= 5,2

Значит, нам нужно выколоть точку $(−5;5,2).$ Получаем следующий график:

$xyyy110 ==55,2$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ — горизонтальная асимптота $y =5.$ В этом случае $m = 5.$
2.: Прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(−5;5,2).$ В этом случае $m =5,2.$

Следовательно, ответ: $m ∈ {5;5,2}.$

Ответ:

$m ∈ {5;5,2}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#61042

Постройте график функции $( ) y =-x2+-4-(x+-1) −1− x$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

−1 − x ⁄= 0 ⇔ x⁄= − 1

Упростим выражение:

(x2 +4)(x+ 1) (x2+ 4)(x+ 1) ( ) y = ---−1-− x---= ---−-(x-+1)---= − x2+ 4 = −x2− 4.

Найдём ординату выколотой точки:

2 x= −1 ⇒ y = −(−1) − 4= −5.

График функции $( ) -x2+-4-(x+-1) y = − 1− x$ — это парабола $2 y = −x − 4$ с выколотой точкой $(− 1;− 5).$

Для того, чтобы построить график функции $2 y = −x − 4,$ нужно график функции $2 y = − x$ сдвинуть на 4 единицы вниз.

Построим график функции:

$xy110$

$y = kx$ — множество прямых, проходящих через начало координат. Прямая $y = kx$ имеет с графиком одну точку в следующих случаях:

1.

Прямая $y = kx$ — касательная к параболе. В этом случае система

{ y =kx y =− x2− 4

имеет одно решение. Тогда и уравнение $− x2 − 4 = kx$ имеет одно решение. Квадратное уравнение имеет одно решение, когда дискриминант равен 0. Найдём дискриминант этого квадратного уравнения:

−x2− 4 =kx 2 x + kx+ 4 =0 D = k2− 4⋅4= k2− 16

Тогда

[ k2− 16= 0 ⇔ (k− 4)(k+ 4)= 0 ⇔ k = 4 k = −4

2.

Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(−1;−5).$ Тогда

−5= k ⋅(− 1) ⇒ k = 5

Таким образом, $k ∈{− 4;4;5}.$

Ответ:

$k ∈{− 4;4;5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#58605

Постройте график функции $y = |x|(x+ 2)− 5x$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

{ |x|= x, если x ≥0 − x, если x < 0

Раскроем модуль в выражении $y = |x|(x+ 2)− 5x:$

{ y = x ⋅(x + 2) − 5x, если x≥ 0 (− x)(x+ 2)− 5x, если x < 0 { 2 y = x +2x − 5x, если x≥ 0 − x2− 2x− 5x, если x < 0 { 2 y = x −2 3x, если x≥ 0 − x − 7x, если x < 0

График функции при $x ≥0$ — это парабола $2 y =x − 3x.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-3= 3 2a 2 2 ( 3)2 3 9 9 9 yв. = 2 − 3⋅2 = 4 − 2 = − 4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 0:$


$x$	$32$	0	1	2	3	4

$y$	$− 94$	0	$− 2$	$− 2$	0	4

График функции при $x <0$ — это парабола $y =− x2− 7x.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-7= − 7 2a − 2 2 ( )2 ( ) yв. = − − 7 − 7⋅ − 7 = − 49-+ 49= 49- 2 2 4 2 4

Построим таблицу значений для параболы при $x< 0 :$


$x$	$− 72$	0	$− 1$	$− 2$	$− 3$	$− 4$	$− 5$

$y$	$449$	0	6	10	12	12	10

Построим график функции:

$xyyy110 = = −4 99 44$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых.

Прямая $y = m$ имеет с графиком две точки пересечения в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $y = x2− 3x:$ $(3 9) 2;−4 .$ В этом случае $9 m = −4 =− 2,25.$
2.: Прямая $y =m$ проходит через вершину параболы $y = −x2− 7x:$ $(− 72; 494 ).$ В этом случае $m = 494 =12,25.$

Получаем ответ:

m ∈{−2,25; 12,25}

Ответ:

$− 2,25; 12,25$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#60990

Постройте график функции

(0,25x2+ 0,5x)⋅|x| y = ------x+-2-----.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Запишем область определения функции $x +2 ⁄= 0 ⇔ x⁄= − 2.$

Преобразуем исходное выражение:

(0,25x2+ 0,5x)⋅|x| 0,25x(x+ 2)⋅|x| -----x-+2-------= ----x-+2------=0,25x⋅|x|

Раскроем модуль:

$pict$

Найдем координату выколотой точки: если $x = −2,$ то $y = −0,25x2 = − 0,25⋅(−2)2 = −0,25 ⋅4 = −1.$

Точка $(− 2; −1)$ является выколотой точкой.

График функции при $x ≥0$ — парабола $y = 0,25x2$ с ветвями вверх.

Найдем вершину параболы:

-b -0- xв. = −2a = −0,5 = 0 yв. = 1⋅02 = 0 4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 0:$


$x$	0	1	2	3	4

$y$	0	$1 4$	1	$9 4$	4

График функции при $x < 0$ — это парабола $y = −0,25x2$ с ветвями вниз.

Найдем вершину параболы:

b- -0-- xв. = − 2a = − −0,5 = 0 yв. = −0,25⋅02 = 0

Построим таблицу значений для параболы при $x< 0 :$


$x$	0	$− 1$	$− 2$	$− 3$	$− 4$

$y$	0	$− 1 4$	$− 1$	$− 9 4$	$− 4$

Точка $(0; 0)$ является точкой стыка двух графиков.

Построим график функции:

$xyy110 = −1$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Найдём, когда прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

Видно, что горизонтальные прямые пересекают график в одной точке при любых значениях $m,$ кроме случая, когда прямая проходит через выколотую точку.

Таким образом, при $m = −1$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.

Ответ:

$m = − 1$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45343

Постройте график функции $y = |x2 +2x − 3|.$ Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Раскроем знак модуля:

y = |x2 +2x − 3| ⇔ { x2+ 2x− 3, если x2+ 2x− 3 ≥0 ⇔ y = −(x2+ 2x− 3), если x2+ 2x− 3< 0

Значит, для того, чтобы построить график функции $y = |x2+ 2x− 3|,$ нужно часть графика, расположенную в нижней полуплоскости, отразить симметрично в верхнюю полуплоскость относительно оси $Ox.$

Сначала построим график функции $2 y = x + 2x− 3.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − 2 = −1 2a 2 y =(−1)2+ 2⋅(−1)− 3= −4 в.

Построим таблицу значений для параболы:


$x$	$− 1$	0	1	2	$− 2$	$− 3$	$− 4$

$y$	$− 4$	$− 3$	0	5	$− 3$	0	5

Построим график функции:

$xy110$

Отразим ту часть графика, которая которая расположена в нижней полуплоскости относительно оси $Ox,$ в верхнюю полуплоскость:

$xyyyyyy110 = = = = = m0m4m,,, m0m <<>m04< 4$

Прямые, параллельные оси абсцисс — множество горизонтальных прямых, задающихся уравнением $y = m.$ Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,$ то прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком.
Если $m = 0,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $0< m < 4,$ то прямая то прямая $y = m$ имеет ровно четыре точки пересечения с графиком.
Если $m = 4$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $m > 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.

Таким образом, график функции может иметь максимум 4 общие точки с прямой, параллельной оси абсцисс.

Ответ: 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#40764

Постройте график функции $y = x2− |4x +7|.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

{ |4x + 7|= 4x+ 7, если 4x +7 ≥ 0 −(4x+ 7), если 4x+ 7< 0 {4x + 7, если x ≥− 7 |4x +7|= 47 −4x− 7, если x< −4

Раскроем модуль в выражении $y = x2− |4x + 7|:$

{ 2 7 y = x − (4x+ 7), если x ≥ −4 x2 − (−4x − 7), если x< − 74 { 2 7 y = x2− 4x− 7, если x ≥ −47 x + 4x+ 7, если x < −4

График функции при $7 x ≥− 4$ — это парабола $2 y = x − 4x− 7.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-4= 2 2a 2 yв. = 22− 4⋅2− 7= −11

Построим таблицу значений для параболы при $7 x≥ − 4 :$


$x$	$7 − 4$	$− 1$	0	1	2	3	4	5	$11- 2$

$y$	$49 16$	$− 2$	$− 7$	$− 10$	$− 11$	$− 10$	$− 7$	$− 2$	$5 4$

График функции при $x <− 7 4$ — это парабола $y = x2+ 4x+ 7.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − 4 = −2 22a 2 yв. = (−2) + 4⋅(− 2)+ 7= 3

Построим таблицу значений для параболы при $7 x< − 4 :$


$x$	$− 7 4$	$− 2$	$− 5 2$	$− 3$

$y$	$49 16$	3	$13 4$	4

Построим график функции:

$xyy110 = 3$ $49 xyy110 = 16$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых.

Прямая $y = m$ имеет с графиком 3 точки пересечения в двух случаях:

1.: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $y = x2+ 4x+ 7:$ $(− 2;3).$ В этом случае $m = 3.$
2.: прямая $y =m$ проходит через точку $( 7 49) −4;16$ — точку стыка. В этом случае $m = 49. 16$

Получаем ответ:

{ 49} m ∈ 3;16

Ответ:

$m ∈ {3;3,0625}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#60989

Постройте график функции

4,5|x|− 1 y = |x|−-4,5x2.

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

При $x = 0$ знаменатель обращается в 0.

Раскроем модуль, с учетом замечания выше:

$pict$

Упростим условия на $x:$

1) 4,5x− 1⁄= 0 4,5x ⁄= 1 9x ⁄= 2 x⁄= 2 2) − 4,5x9− 1⁄= 0 − 4,5x⁄= 1 −9x ⁄= 2 x ⁄=− 2 9

Таким образом, исходная задача теперь выглядит так:

( |{− 1, x> 0, x ⁄= 2 y = | x 9 ( 1x, x < 0, x⁄= − 29

График функции при $x >0, x⁄= 2 9$ — это гипербола $y = − 1. x$ Построим таблицу значений для гиперболы при $2 x > 0, x⁄= 9 :$


$x$	1	2	4	$1 2$	$1 4$

$y$	$− 1$	$− 1 2$	$− 1 4$	$− 2$	$− 4$

Найдем координаты выколотой точки на этом участке: если $2 x= 9,$ то $y = − 12-= − 9 . 9 2$

Точка $( ) 2; − 9 9 2$ является выколотой точкой.

График функции при $2 x <0, x⁄= − 9$ — это гипербола $1 y = x.$ Построим таблицу значений для гиперболы при $x < 0, x⁄= − 2 : 9$


$x$	$− 1$	$− 2$	$− 4$	$− 1 2$	$− 1 4$

$y$	$− 1$	$− 12$	$− 14$	$− 2$	$− 4$

Найдем координаты выколотой точки на этом участке: если $x= − 2, 9$ то $y = -12-= − 9 . −9 2$

Точка $( ) − 2; − 9 9 2$ является выколотой точкой.

Построим график функции:

$xy110$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Прямая $y = kx$ не имеет точек пересечения в трёх случаях:

1.: Прямая $y = kx$ совпадает с осью $Ox.$ В этом случае $k = 0.$
2.: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $( 2 9) 9; − 2 .$ Найдём $k :$ $− 9= 2k ⇔ k = − 81 2 9 4$
3.: Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(− 2; − 9). 9 2$ Найдём $k :$ $− 9= − 2k ⇔ k = 81 2 9 4$

Таким образом, ${ } k ∈ − 81; 0; 81 . 4 4$

Ответ:

${ } k ∈ − 81; 0; 81 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#61569

Постройте график функции

( | | ) y = 1 ||x − 6||+ x + 6 . 2 |6 x| 6 x

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Запишем область определения функции: $x⁄= 0.$

Раскроем модуль:

$pict$

Упростим ограничения на $x:$

x − 6 ≥0 6 x x2− 36 --6x--≥ 0 (x− 6)(x +6) -----6x---- ≥ 0

Найдем нули числителя: $x− 6= 0$ или $x +6 = 0,$ то есть $x= 6$ или $x = −6.$

Нули знаменателя: $x= 0.$

Решим неравенство методом интервалов:

$x∈ [−6; 0)∪ [6; + ∞ )$

Для того, чтобы упростить ограничения из второго случая достаточно воспользоваться той же картинкой из метода интервалов, выбрать участки с «-» и выколоть граничные точки. Тогда решение $x ∈(−∞; − 6)∪(0; 6).$