Тема Росатом

Росатом - задания по годам → .11 Росатом 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Разделы подтемы Росатом - задания по годам

Росатом 2015 и ранее

Росатом 2016

Росатом 2017

Росатом 2018

Росатом 2019

Росатом 2020

Росатом 2021

Росатом 2022

Росатом 2023

Росатом 2024

Росатом 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119607

Компания друзей совершала пробежку по прямолинейному участку шоссе: мальчики бежали в одном направлении, девочки — в противоположном. Через $t1$ мин после того, как Паша обогнал Ваню, он поравнялся с Таней, а затем через $t2$ мин оказался рядом с бегущей Машей. Спустя еще $t3$ мин Маша повстречалась с Ваней. Наконец, еще $t4$ мин понадобилось ей чтобы догнать Таню. Известно, что $t1 :t2 = 1:2,$ а $t3 :t4 = 1:1.$ Сколько времени было на часах, когда Ваня поравнялся с Таней, если известно, что Паша догнал Ваню в 12 часов дня, Маша была в одной точке шоссе с Ваней в момент, когда часы показывали 14 часов, а скорость бега всех участников была постоянной и различной для каждого?

Источники: Росатом - 2025, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что в условии даны отношения отрезков, конкретное время встреч, так еще и сказано про разные скорости движения. Как удобнее всего интерпретировать это?

Подсказка 2

Да! Давайте изобразим все на координатной плоскости с осями времени и пути. Тогда встречи – пересечения отрезков. Введём все необходимые нам обозначения и все те, которые даны нам в условии (пусть t — время встречи Вани и Тани). Что из условия теперь можно использовать?

Подсказка 3

Конечно! Давайте запишем данные в условии отношения. Сперва используем t₁ : t₂ , затем t₃ : t₄. Не забудем, что отношение отрезков равно отношению их проекций на оси. Какую теорему теперь хочется применить?

Подсказка 4

Верно! Применим теорему Менелая. Найдем последнее отношение отрезков. Зная его, можно найти и отношение их проекций, выраженных через t!

Показать ответ и решение

Изобразим на координатной плоскости графики зависимости координаты от времени для участников пробежки $(SOt).$

$PIC$

Вершины треугольника $ABC$ — точки встречи Вани и Паши $(A ),$ Маши и Паши $(B),$ Маши и Тани $(C).$ Точка $M$ на стороне $AB$ треугольника — точка встречи Паши и Тани. Точка $N$ на стороне $BC$ треугольника — точка встречи Вани и Маши.Точка $P$ — пересечение отрезков $CM$ и $AN$ — точка встречи Вани и Тани, $t$ — время встречи Вани и Тани.

Так как $t1 :t2 =1 :2,$ то пусть $s$ и $2s$ — длины отрезков $AM$ и $MB$ соответственно; аналогично, так как $t3 :t4 =1 :1,$ то пусть $r$ и $r$ — длины отрезков $BN$ и $NC$ соответственно.

По теореме Менелая для $△BAN$ имеем:

BM--⋅ AP-⋅ NC =1 MA PN CB

2s ⋅ AP-⋅-r-= 1 s PN r+ r

AP- PN = 1

Так как отношение отрезков такое же, как отношение их проекций, то

1= AP- = t−-12- PN 14 − t

Получаем $t= 13.$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#119612

Найти среднее арифметическое решений уравнения

√---------------- √ ---- √---- √---- sinx− sin2x+ sin3x= sinx− sin2x+ sin 3x

на отрезке $[0;2π].$

Источники: Росатом - 2025, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не кажется ли вам, что тригонометрические функции в этом уравнении не несут особой смысловой нагрузки? Может сделать какую-нибудь замену?

Подсказка 2

Как насчёт того, чтобы корни из правой части обозначить через a, b, c. Попробуйте возвести в квадрат полученное уравнение (с учётом одз, разумеется). Кажется, там всё должно красиво разложиться на скобки.

Показать ответ и решение

Так как подкоренные выражения неотрицательные, то можно ввести такие обозначения: $a2 = sinx$ , $b2 = sin2x$ , $c2 = sin3x$ . Преобразуем уравнение:

∘--------- a2− b2+ c2 = |a|− |b|+ |c|

({ a2− b2 +c2 = (|a|− |b|+ |c|)2 ( |a|− |b|+|c|≥ 0

( { (|a|− |b|)(|b|− |c|)= 0 ( |a|− |b|+|c|≥ 0

[ |a|= |b| |b|= |c|

Случай 1. $|a|=|b|$ .

(| sin x= sin2x ||||| |{ sin x≥ 0 ||| sin 3x ≥0 ||||( x ∈[0;2π]

sin(2x)− sin(x)= 0

2sin(x)cos(x)− sin(x)= 0

sin(x)(2cos(x)− 1)= 0

⌊ ⌈ sin(x)= 0 2cos(x)= 1

⌊ x = 2πn,n∈ ℤ || π ||| x = 3 + 2πk,k ∈ℤ ⌈ 5π x = 3 + 2πk,k ∈ℤ

С учётом ограничений решением данной системы являются: $π 0,3,π,2π.$

Случай 2. $|c|=|b|$ .

( ||||| sin3x= sin2x ||{ sin3x≥ 0 || ||||| sinx ≥0 ( x∈ [0;2π]

sin(3x)− sin(2x)= 0

(5x) (x) 2cos 2 sin 2 = 0

⌊ ( ) | cos 5x- = 0 |⌈ (x2) sin 2 = 0

⌊ | x= π + 2kπ,k∈ ℤ ⌈ 5 5 x= 2πn,n ∈ℤ

С учётом ограничений решением данной системы являются: $π 0,5,π,2π.$

Объединяя решения, получаем: $π π 0,5,3,π,2π.$

Таким образом, среднее арифметическое решений:

0+ π+ π+ 2π+ π 53π ---3--5------5-= 75-

Ответ:

$53π 75$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119614

Для каждого натурального $n$ определим число $φ(n),$ равное количеству целых чисел $m,1 ≤m ≤ n$ взаимно простых с $n.$ Найти $φ(1947).$

Источники: Росатом - 2025, 11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что у 1947 в разложении на простые ровно 3 простых делителя. Давайте попробуем решить задачу в общем виде для чисел с 3 простыми делителями в некоторых степенях.

Подсказка 2

В данном случае будет проще посчитать, сколько всего чисел, не взаимно простых с n, и потом вычесть.

Подсказка 3

Как насчёт того, чтобы сначала отдельно посчитать количество чисел, делящихся на первый простой делитель, затем — на второй, третий, после — на первый и второй и так дальше.

Подсказка 4

А как теперь найти количество не взаимно простых, зная результаты вычислений из предыдущей подсказки? Нужно немного манипуляций с формулой включения-исключения.

Показать ответ и решение

Пусть $n =pr1⋅pr2 ⋅pr3, 1 2 3$ где $p,p ,p 1 2 3$ — различные простые числа, $r ,r ,r 1 2 3$ — их (натуральные) кратности. Количество чисел, не больших $n,$ делящихся на $p1 :$

r1−1 r2 r3 n1 = p1 ⋅p2 ⋅p3

Количество чисел, не больших $n,$ делящихся на $p : 2$

r1 r2−1 r3 n2 = p1 ⋅p2 ⋅p3

Количество чисел, не больших $n,$ делящихся на $p3 :$

r1 r2 r3−1 n3 = p1 ⋅p2 ⋅p3

Количество чисел, не больших $n,$ делящихся на $p1⋅p2 :$

n = pr1−1⋅pr2−1⋅pr3 4 1 2 3

Количество чисел, не больших $n,$ делящихся на $p1⋅p3 :$

n5 = pr11−1⋅pr22⋅pr33−1

Количество чисел, не больших $n,$ делящихся на $p2⋅p3$

n6 = pr11 ⋅pr22−1⋅pr33−1

И наконец, количество чисел, делящихся на $p1⋅p2⋅p3 :$

n7 = pr11−1 ⋅pr22−1⋅pr33−1

Общее количество чисел, не взаимно простых с $n,$ по формуле включений-исключений равно

n1+ n2+n3 − n4− n5− n6+n7 =pr11−1⋅pr22−1⋅pr33−1(p1⋅p2+ p1⋅p3+p2⋅p3− p1− p2− p3+ 1)

Тогда

φ(n)= n− n1− n2 − n3+ n4+ n5+n6 − n7 =

= pr1−1⋅pr2−1⋅pr3−1(p ⋅p ⋅p − p ⋅p − p ⋅p − p ⋅p +p + p +p − 1)= 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3

= pr1−1⋅pr2−1⋅pr3−1(p1− 1)(p2− 1)(p3− 1) 1 2 3

Таким образом, при $n =1947= 3⋅11 ⋅59$ имеем

φ(1947)= (3− 1)(11− 1)(59− 1)= 1160

Ответ:

1160

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#119624

Целые числа $x$ и $y$ связаны уравнением $2x− 3y = 1$ и имеют вид $x= 12a+ b√5,y = ba−1+ 3√5$ для некоторых чисел $a$ и $b.$ Найти $x,y$ и $a,$ если известно, что число $b$ рациональное.

Источники: Росатом - 2025, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В данный момент у нас есть 3 уравнения и 4 переменные. Можно ли как-то уменьшить количество переменных, использую условие?

Подсказка 2

Одно из уравнений — линейное и целочисленное. Давайте выразим его общее решение через некоторую новую переменную (например, t) и будем использовать её вместо х и у.

Подсказка 3

Итак, теперь переменных 3. Давайте посмотрим на два других уравнения. В одном есть слагаемое с a, а в другом с числом, обратным а. Не возникает ли у вас желания перенести эти слагаемые в одну сторону, остальное — в другую и перемножить уравнения? Останется всего лишь две переменные.

Подсказка 4

Теперь давайте вспоминать про рациональность b. Посмотрите внимательно на равенство, которое получилось. В левой части находится выражение вида m + n√5 = h, где m, n, h — рациональные, а вот √5 — не очень рациональный. Какие соотношения для m, n, h должны выполняться, чтобы равенство было верным?

Показать ответ и решение

Общее решение в целых числах уравнения $2x − 3y = 1$ имеет вид $x= 3t− 1$ , $y = 2t− 1$ , где $t$ – целое число. Перепишем уравнения:

{ √- 3t− 1− b√5= 12a− 1 2t− 1− 3 5= ba

Перемножим эти два уравнения:

√ - √- (3t− 1− b 5)(2t− 1− 3 5)= 12b

(3t− 1)(2t− 1)+ 15b− √5(3(3t− 1)+ b(2t− 1))= 12b

Из рациональности $b$ следует, что равенство возможно только если

{ 3(3t− 1)+b(2t− 1)= 0 (3t− 1)(2t− 1)+ 15b= 12b

Выразим $b$ из каждого уравнения:

3(3t−-1) (3t− 1)(2t−-1) b= − 2t− 1 = − 3

(2t− 1)2 =9

[ t= 2 t= −1

Рассмотрим возможные варианты.

Случай 1. $t =2$ :

{ x= 3t− 1= 5 5(1+ √5) y = 2t− 1= 3 ⇒ b=− 5⇒ a= ---12---

Случай 2. $t =− 1$ :

{ √- x= 3t− 1=− 4 ⇒ b= −4 ⇒ a= -5−-1 y = 2t− 1 =− 3 3

Ответ:

$x = 5, y = 3, a = 5(1+-√5); x =− 4, y = −3, a = √5−1 1 1 1 12 2 2 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#119630

Решить уравнение

[∘ [∘-------------]] [∘ -------------] 2024(x+ 1)(3− x) = 4 2024(x+ 1)(3− x)

Здесь $[b]$ — целая часть числа: наибольшее целое число не превосходящее $b.$

Источники: Росатом - 2025, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит страшно, но мы сразу можем ограничить икс, написав ОДЗ. Как теперь начать раскручивать задачу?

Подсказка 2

Подставляя разные значения икса легче не становиться... Что можно сделать? Мы уже поняли, что наше число неотрицательно. Давайте попробуем написать оценки в общем случае на выражения такого вида.

Подсказка 3

Заменим неудобное подкоренное выражение на а. В изначальном выражении у нас фигурируют корни второй и четвёртой степени, целая часть числа. Как тогда удобнее всего оценивать а?

Подсказка 4

Верно! Можно утверждать, что для а всегда найдётся такое n, что n⁴ ≤ a < (n+1)⁴. Пользуясь тем, что а неотрицательно, приведём оценку к виду, который дан в условии: пусть над а будут выполнены все те операции, которые выполняются над подкоренным выражением из условия. Что тогда можно сказать про это выражение?

Подсказка 5

Да! Оно равно n. Давайте таким же образом оценим ⁴√а и скажем, когда выполняется равенство из условия!

Показать ответ и решение

Для любого неотрицательного числа $a$ найдется целое неотрицательное число $n$ такое, что:

4 4 2 √- 2 n ≤ a< (n +1) ⇒ n ≤ a <(n+ 1)

2 [√-] 2 ∘ [√-] n ≤ a < (n+ 1) ⇒ n ≤ a < n+ 1

∘ [√-] a = n

Кроме того,

√4- [4√-] n≤ a< n+ 1⇒ a = n

Таким образом, для любых значений $a$ уравнение

[∘ ---] [√a] = [4√a]

является тождеством.

Положив в исходном уравнении $a= 2024(x+ 1)(3− x):$

[∘ [∘-------------]] [4∘ -------------] 2024(x+ 1)(3− x) = 2024(x+ 1)(3− x)

получаем, что все числа из области допустимых значений являются его решениями.

2024(x +1)(3− x)≥ 0

x∈ [−1;3]

Ответ:

$[−1;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#119636

Через четыре точки $A,B,C,D,$ попарные расстояния между которыми равны $√15,$ проведена сфера $S.$ Через точки $E$ и $F,$ расположенные на ребрах $AB$ и $CD$ пирамиды $ABCD$ соответственно, проведена прямая, пересекающая сферу в точках $M$ и $N$ ( $E$ лежит между $M$ и $F$ ). Известно, что точки $E$ и $F$ делят хорду $MN$ в отношении $ME :EF :FN = 1:2:3.$ Найти длину отрезка $ME.$

Источники: Росатом - 2025, 11.6 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из условия тетраэдр ABCD правильный, нам будет удобно отметить у него середины рёбер, про которые нам что-то известно (рёбра AB и CD). Попробуйте посчитать какие-нибудь отрезки на картинке!

Подсказка 2

Здесь можно применить теорему о произведении отрезков секущей: CF × FD = MF × FN, а также AE × EB = ME × EN. Для удобно введём обозначения длин отрезков PE и QF и ME. Попробуйте записать выше указанные равенства с помощью этих обозначний.

Подсказка 3

Если внимательно посмотреть на картинку, на ней можно заметить много прямоугольных треугольников :) Да, воспользовавшись теоремой о трёх перпендикулярах можно сделать вывод, что △PQE, △EQF и △QFP прямоугольные, а это значит, что можно применить теорему Пифагора! Здесь мы сможем получить ещё одно соотношение на ранее введённые параметры.

Подсказка 4

Теперь осталось собрать в кучу все полученные равенства. Хм, не замечаете ничего странного? Все ли они согласованы между собой?

Показать ответ и решение

Из условия понятно, что $ABCD$ — правильный тетраэдр. Попарные расстояния между точками $A,B,C,D$ обозначим через $a.$

Введем обозначения: $P,Q$ — середины ребер $AB$ и $CD.$ Пусть $x,y$ — длины отрезков $P E$ и $QF,$ а длины отрезков $ME, EF,FN$ соответственно равны $s,2s$ и $3s.$

$PIC$

Треугольник $CPD$ — равнобедренный и $PQ$ — его медиана, перпендикулярная $CD.$ Тогда

(√ - )2 P Q2 = --3a- − a2 2 4

a PQ = √2-

Плоскость треугольника $CP D$ перпендикулярна $AB,$ поэтому $PQ ⊥AB.$ $AB$ и $MN$ — пересекающиеся хорды сферы, поэтому

AE ⋅EB =ME ⋅EN

( )( ) a +x a− x = s⋅(2s+ 3s) 2 2

a2 2 2 4-− x =5s

(1)

$CD$ и $MN$ – пересекающиеся хорды сферы, поэтому

CF ⋅FD =MF ⋅F N

(a )( a ) 2 − y 2 + y = 3s ⋅(s+ 2s)

a2- 2 2 4 − y =9s

(2)

Складывая $(1)$ и $(2),$ получим

a2 -2 − x2− y2 = 14s2

(3)

Треугольники $PQE,EQF$ и $QFP$ прямоугольные (теорема о трёх перпендикулярах), поэтому

EF2 = EQ2 +QF 2 = EP2 +PQ2 +QF 2 = a2+ x2+ y2 2

(4)

Используя то, что квадрат величины неотрицательное число и равенства $(3)$ и $(4),$ получаем:

2 a2 2 2 a2 2 2 2 2 14s = 2-− x − y ≤-2 +x + y = EF =4s

Таким образом, должно выполняться $14s2 ≤4s2,$ что невозможно, так как $s> 0.$

Значит, указанное отношение длин $ME :EF :F N =1 :2 :3$ невозможно.

Ответ:

Точки $E$ и $F$ не могут делить хорду $MN$ в заданном отношении.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#126305

На стене висят двое одинаковых часов, длина минутных стрелок которых равна $√2,$ а центры крепления их минутных стрелок удалены друг от друга на расстояние $d= 5.$ Известно, что одни часы отстают на 15 мин, а другие идут точно. Найти наибольшее и наименьшее расстояние между концами минутных стрелок, наблюдаемое в течение одного часа.

Источники: Росатом - 2025, 10.1 ( см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть R = √2 — длина минутных стрелок, d = 5 — расстояние между центрами крепления стрелок. Как связаны эти 2 величины?

Подсказка 2

Можно заметить, что d > 2R. Часы не пересекаются и их стрелки не пересекаются ни в какой момент времени.

Подсказка 3

Будем считать вторыми часы, которые идут точно, и первыми — часы, которые отстают от вторых на T = 15 минут. Обозначим как О₁ и О₂ центры первых и вторых часов соответственно, М₁ и М₂ - концы минутных стрелок первых и вторых часов соответственно. Выберем систему координат, в которой ось абсцисс сонаправлена с вектором (O₁O₂). Изобразите часы на картинке и параллельно перенесите вектор (O₂M₂) в точку O₁, получим вектор (О₁Q). Что можно о нем сказать?

Подсказка 4

Можно найти угол между минутными стрелками часов. В задаче просят найти наибольшее и наименьшее расстояние между концами минутных стрелок. Какой это будет вектор?

Подсказка 5

Это (М₁М₂). Выразите его длину через сумму других векторов.

Подсказка 7

(М₁М₂) = (М₁O₁) + (O₁O₂) + (O₂М₂) = ( (М₁O₁) + (O₂М₂) ) + (O₁O₂) = ( (М₁O₁) + (O₁Q) ) + (O₁O₂) = (М₁Q) + (O₁O₂).

Подсказка 8

Найдите (М₁Q), пользуясь теоремой косинусов.

Подсказка 9

(М₁М₂) = (М₁Q) + (O₁O₂), это 2 вектора постоянной длины, при этом угол между ними зависит только от угла между вектором (М₁Q) и положительным направлением оси абсцисс. Этот угол принимает все значения от 0 до 360 градусов, в частности в некоторые два момента времени (М₁Q) сонаправлен и противонаправлен вектору (O₁O₂).

Подсказка 10

Чему равны их длины?

Подсказка 11

Докажите, что длина (O₁O₂) больше длины (М₁Q).

Подсказка 12

Попробуйте применить неравенство треугольника.

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим символом $√- R= 2$ длину минутных стрелок, а символом $d =5$ — расстояние между центрами крепления стрелок. Заметим, что выполняется неравенство

5= d> 2R= 2√2

часы не пересекаются и их стрелки не пересекаются ни в какой момент времени. Будем считать вторыми часы, которые идут точно, и первыми — часы, которые отстают от вторых на $T = 15$ минут. Обозначим $O1$ и $O2$ центры первых и вторых часов соответственно, $M1$ и $M2$ концы минутных стрелок первых и вторых часов соответственно.

Выберем систему координат, в которой ось абсцисс сонаправлена с вектором $−−−→ O1O2.$ Рассмотрим вектор

−−O→1Q= −−O−2−M→2

он соответствует минутной стрелке первых часов, показывающей точное время. Согласно условию, угол между векторами $−−−−→ O1M1$ и $−−→ O1Q$ составляет $T = 15$ минут на часах. Одной минуте между минутными стрелками соответствует угол $∘ 36600 = 6∘,$ тогда угол $∠M1O1Q = T ⋅6∘.$ Требуется найти наибольшее и наименьшее расстояние между концами минутных стрелок, то есть наибольшую и наименьшую длину вектора $−−M−1−M→2.$

Имеет место векторное равенство

( ) −M−1−M−→2 = M1O1-+−O−1−O→2 +−O−2−M−→2 = −M−1−−O→1 +−O−2−M−→2 + −O−1−→O2 = ( ) = −−M−1−→O1+ −O−1→Q +−O−1−O→2 = −−M−1→Q +−O−1−O→2

По теореме косинусов найдем длину вектора $−−M−→Q 1$ :

| | | | ∘ -------------------------------- |||−−M−1→Q|||= |||−−M−1−→O1+ −O−1→Q|||= M1O21 + O1Q2− 2M1O1 ⋅O1Q cos∠M1O1Q = ∘----------------- = R2 +R2 − 2R2cos6T∘ = 2Rsin3T∘

Вектор $−−−−→ M1M2$ равен сумме двух векторов постоянной длины $−−−→ O1O2$ и $−−−→ M1Q,$ при этом угол между ними зависит только от угла $φ$ между вектором $−−−→ M1Q$ и положительным направлением оси абсцисс. Так как вектор $−−→ O1Q$ за час делает полный оборот, то $φ$ принимает все значения от $0∘$ до $360∘,$ в частности в некоторые два момента времени $−−−→ M1Q$ сонаправлен и противонаправлен вектору $−−−→ O1O2,$ соответственно. Заметим, что длина вектора $−O−1−O→2$ больше длины вектора $−M−1−→Q :d >2R > 2R sin3T∘.$ Тогда по неравенству треугольника

| | | | | | | | | | d − 2Rsin3T∘ = ||−O−1−O→2||− ||−M−1−→Q ||≥ ||−M−1−M−→2 ||≥||−O−1−→O2||+ ||−M−1−→Q ||=d +2R sin3T∘ | | | | | | | | | |

При этом точные равенства достигаются в некоторые моменты времени. Тогда минимальное расстояние между концами минутных стрелок:

∘ √ - ∘ √ - 1 dmin =d − 2R sin3T = 5− 2 2sin45 = 5− 2 2⋅√2-=5 − 2= 3

А максимальное расстояние между концами минутных стрелок:

√ - √ - dmax = d+2R sin3T∘ = 5+ 2 2sin45∘ = 5+ 2 2⋅√1-=5 +2 =7 2

Ответ:

7 и 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#126306

Многочлен $P(x)=x3 +ax2+ bx2+ c$ имеет три корня, равные попарным суммам корней многочлена $Q (x)= x3+ 2x2− 3x− 1.$ Найти $a,b,c.$

Источники: Росатом - 2025, 10.2 ( см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать о корнях многочлена Q(x)?

Подсказка 2

Он имеет три корня, причем некоторые могут быть комплексными или совпадать. Аналогично для P(x). Какие Вы знаете факты о корнях многочленов?

Подсказка 3

Воспользуйтесь теоремой Виета.

Показать ответ и решение

Так как многочлен $Q(x)$ степени три, то по основной теореме алгебры он имеет ровно три корня, причем некоторые из них могут оказаться комплексными или могут совпадать. Аналогично, так как многочлен $P(x)$ степени три, то он имеет ровно три корня. Обозначим символами $q1,q2,q3$ корни многочлена $Q(x),$ символами $p1,p2,p3$ — корни многочлена $P(x).$ Тогда по теореме Виета

( ( |{ q1 +q2+ q3 =− 2 |{ p1+p2+ p3 = −a |( q1q2+q2q3+ q1q3 = −3 |( p1p2 +p2p3+p1p3 = b q1q2q3 = 1 p1p2p3 = −c

Согласно условию,

p1 =q2+ q3,p2 = q1+q3,p3 =q1+ q2

Тогда, подставив выражения для $p1,$ $p2$ и $p3$ через $q1,$ $q2$ и $q3$ в выражения для $a,$ получим значение:

a= − (p1+ p2 +p3)= −2(q1+ q2+q3)= −2(− 2)=4

Аналогично получаем значение $b$ :

b= p1p2 +p2p3+p1p3 = (q2+ q3)(q1+q3)+ (q1+ q3)(q1 +q2)+(q2+q3)(q1+ q3) =

=(q + 2)(q +2)+ (q + 2)(q + 2)+(q +2)(q+ 2)= 1 2 2 3 1 3

= q1q2 +q2q3 +q1q3 +4(q1+q2+ q3)+ 12= −3+ 4(− 2)+ 12= 1

Значение $c$ :

c =− p1p2p3 = (q1+ 2)(q2+ 2)(q3+2)=

= q1q2q3 +2(q1q2+ q2q3+ q1q3)+ 4(q1+ q2+q3)+8 =

= 1+2(−3)+ 4(−2)+ 8= 1− 6 − 8+ 8= −5

Oтвет: $a= 4,b =1,c= −5.$

Ответ:

$a =4,b= 1,c= −5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#126307

На бильярдном столе из одинаковых 153 шаров выложен правильный треугольник. Расположение шаров плотное: ни один дополнительный шар не может быть помещен в треугольник и любая пара соседних шаров в треугольнике касаются друг друга. Сколько шаров составляют сторону треугольника?

Источники: Росатом - 2025, 10.3 ( см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть основание треугольника составляют n шаров. Сколько шаров их тогда касается?

Подсказка 2

Их будет касаться n-1 шар, сверху будет n-2 шара и так далее.

Подсказка 3

Получили арифметическую прогрессию. Найдите её сумму и выразите n.

Показать ответ и решение

Если основание треугольника составляют $n$ шаров, то их касается $n − 1$ шар, которых в свою очередь сверху касается $n − 2$ шара и т.д. до вершины треугольника, где расположен единственный шар. Количества шаров в каждом ряду образуют арифметическую прогрессию, и суммарное количество шаров в треугольнике

n(n+ 1) 1+2 +⋅⋅⋅+ n =---2---= 153

Получаем квадратное уравнение:

n2 +n − 306= 0

Оно имеет два корня:

n= 17 или n =− 18

Так как количество шаров $n$ натуральное число, то $n= 17.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#126308

Четыре числа ( $x,y,z,t$ ) удовлетворяют трем условиям:

2 2 2 2 x + y =1,z + t= 4,xz+yt= −2

Найти $t,$ если известно, что $y+z$ принимает наибольшее возможное значение.

Источники: Росатом - 2025, 10.4 ( см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим на плоскости два вектора $⃗a = {x;y}$ и $⃗b= {z;t},$ тогда, согласно условиям $x2+ y2 =1,z2+ t2 = 4,$ концы этих векторов лежат на окружностях радиуса 1 и 2 соответственно. Рассмотрим скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗ b$ :

(⃗a,⃗b)= |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosφ =xz+ yt= −2= −|⃗a|⋅|⃗b|

Следовательно, $cosφ = −1,$ и векторы $⃗a$ и $⃗b$ коллинеарные и противоположные по направлению. Тогда

⃗a ⃗b |⃗a| = −|⃗b|

⃗b=− 2⃗a

Так как конец вектора $⃗a,$ выпущенного из начала координат, лежит на единичной окружности, обозначим его координаты

⃗a ={cosα,sin α} , где α∈ ℝ ⃗b= −2{cosα,sinα}

Тогда $y =sinα;z =− 2cosα.$

√-(-1- 2-- ) √- y+ z = sinα− 2cosα = 5 √5 sinα − √5cosα = 5sin(α− φ),

где $φ$ — любой угол, такой что

cosφ= √1- и sin φ= √2- 5 5

Так как угол $α$ может принимать любые действительные значения, то угол $α− φ$ также может принимать любые действительные значения, в частности, при $α− φ= π2$ величина

y+z =√5 sin(α − φ) =√5

принимает наибольшее возможное значение. При этом

t=− 2sinα =−2 sin(π +φ) =− 2cosφ =− √2- 2 5

Ответ:

$−√2- 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#126309

Трапеция $ABCD (AD∥BC )$ с прямым углом при вершине $A$ описана около окружности. Ее диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M.$ Найти площадь треугольника $ABM,$ если длина стороны $AB$ равна 2.

Источники: Росатом - 2025, 10.5 ( см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть AD = a, BC = b, AB = d, O — центр вписанной окружности, её радиус — r. Какие дополнительные построения Вы видите в этой конструкции?

Подсказка 2

А давайте проведём перпендикуляры из O на стороны трапеции.

Подсказка 3

Скажем, что мы получили точки K, L и N на сторонах BC, AD и AB соответственно. Попробуйте порассуждать о параллельных прямых.

Подсказка 4

OL и OK перпендикулярны BC и AD, но BC ∥ AD, тогда точки K, O и L должны лежать на одной прямой.

Подсказка 5

Получается, что ABLK — прямоугольник и KL = AD = d. Что можно сказать о точках касаний окружности?

Подсказка 6

Оказывается, что KL — это диаметр. А какие ещё прямоугольники Вы видите на картинке?

Подсказка 7

Можно увидеть прямоугольники ANOK и NBLO. Давайте для разнообразия подумаем о треугольниках.

Подсказка 8

Например, треугольник AMD подобен треугольнику CMD.

Подсказка 9

А ведь ещё треугольник APM подобен треугольнику CQM. Попробуйте выразить сторону AP.

Подсказка 10

Вспомните, чем является точка O.

Подсказка 11

O — центр вписанной окружности, следовательно, является точкой пересечения биссектрис.

Подсказка 12

Попробуйте, выражая углы, доказать, что треугольники DKO и OLC подобны.

Подсказка 13

Осталось только применить величину AP и посчитать площадь!

Показать ответ и решение

Пусть $AD = a,$ $BC = b,$ $AB = d.$ Пусть $O$ — центр вписанной в трапецию $ABCD$ окружности $ω$ радиуса $r.$ Пусть $K,$ $L,$ $N$ — основания перпендикуляров из $O$ на стороны трапеции $BC,$ $AD$ и $AB$ соответственно.

$PIC$

Так как $OL$ и $OK$ перпендикулярны $BC$ и $AD,$ а $BC ∥AD,$ то точки $K,$ $O$ и $L$ лежат на одной прямой, перпендикулярной $AD$ и параллельной $AB.$ Тогда $ABLK$ — прямоугольник и $KL =AB = d.$ Заметим, что $K$ и $L$ являются точками касания окружности $ω$ сторон $AD$ и $BC.$ Тогда $KL$ — диаметр $ω$ и $d =2r.$

Аналогично, $ABQP$ — прямоугольник и $PQ =AB = d,AP =BQ.$ $ANOK$ — прямоугольник и $AK = ON =r,$ $AN = OK = r.$ $NBLO$ — прямоугольник и $BL =ON = r,$ $BN = OL =r.$

Заметим, что треугольник $AMD$ подобен треугольнику $CMD$ по двум углам $(∠MAD =∠MCB,$ $∠MDA =∠MDC )$ с коэффициентом подобия

AD-= AM- = a BC MC b

Кроме того, треугольник $APM$ подобен треугольнику $CQM$ по двум углам $(∠MAP = ∠MCL,$ $∠MP A = ∠MQC = 90∘)$ с коэффициентом подобия

AP-= AM-= a LC MC b

Следовательно,

AP-= --AP--- =--AP--= a LC BC − BL b − AP b

Получим, что

AP = -ab- a+ b

Так как $O$ — центр вписанной в трапецию $ABCD$ окружности, то он лежит на пересечении биссектрис углов трапеции. Тогда $CO$ и $DO$ — биссектрисы $∠BCD$ и $∠ADC$ соответственно.

Следовательно, в треугольнике $COD$

∠COD = 180∘− ∠OCD − ∠ODC =

= 180∘− 1(∠BCD + ∠ADC )= 2

= 180∘− 90∘ = 90∘

Тогда треугольник $DKO$ подобен треугольнику $OLC$ по двум углам $(∠DKO = ∠OLC = 90∘,$ $∠KDO = 90∘− ∠KOD =$ $180∘ − 90∘− ∠KOD =$ $∠LOC)$ и их стороны пропорциональны: