07 Натуральные числа и нуль → 07.03 Запись натуральных чисел

(a) В разряде единиц стоит цифра

В разряде десятков стоит цифра

(b) В разряде единиц стоит цифра

В разряде десятков стоит цифра

В разряде сотен стоит цифра

(c) В разряде единиц стоит цифра

В разряде десятков стоит цифра

В разряде сотен стоит цифра

(d) В разряде единиц стоит цифра

В разряде десятков стоит цифра

В разряде сотен стоит цифра

В разряде тысяч стоит цифра

В разряде десятков тысяч стоит цифра

(a) Класс единиц:

Класс тысяч:

Двести тридцать четыре тысячи шестьсот сорок два.

(b) Класс единиц:

Класс тысяч:

Пятьсот две тысячи тринадцать.

(c) Класс единиц:

Класс тысяч:

Класс миллионов:

Девять миллионов сто сорок пять тысяч шестьсот семьдесят девять.

(d) Класс единиц:

Класс тысяч:

Класс миллионов:

Сто пять миллионов двести восемьдесят девять тысяч один.

(a) Самый большой класс в числе — класс миллионов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллионов — миллиона:

Или же, если убрать незначащие нули:

Класс тысяч — тысяч:

Класс единиц —

(b) Самый большой класс в числе — класс миллионов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллионов — миллионов:

Или же, если убрать незначащие нули:

Класс тысяч — тысяч:

Класс единиц —

(c) Самый большой класс в числе — класс миллиардов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллиардов — миллиардов:

Или же, если убрать незначащие нули:

Класс миллионов — миллионов:

Класс тысяч — тысяч:

Класс единиц —

(d) Самый большой класс в числе — класс миллиардов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллиардов — миллиарда:

Или же, если убрать незначащие нули:

Ненулевые цифры в классе миллионов отсутствуют. Вместо них останутся нуля.

Ненулевые цифры в классе тысяч отсутствуют. Вместо них останутся нуля.

Класс единиц —

(a) Самый большой класс в числе — класс миллиардов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллиардов — шестьдесят восемь, или же миллиардов:

Или же, если убрать незначащие нули:

Класс миллионов — двести сорок девять, или же миллионов:

Класс тысяч — девятьсот пятьдесят четыре, или же тысячи:

Класс единиц — семьсот двадцать три, или же

(b) Самый большой класс в числе — класс миллиардов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллиардов — восемьсот четырнадцать, или же миллиардов:

Класс миллионов — сто девять, или же миллионов:

Класс тысяч — две, или же тысячи:

Класс единиц — тридцать два, или же

(c) Самый большой класс в числе — класс миллиардов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллиардов — триста семь, или же миллиардов:

Ненулевые цифры в классе миллионов отсутствуют. Вместо них останутся нуля.

Класс тысяч — шестьсот двадцать одна, или же тысяча:

Класс единиц — четыреста, или же

(d) Самый большой класс в числе — класс миллиардов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллиардов — девяносто, или же миллиардов:

Или же, если убрать незначащие нули:

Ненулевые цифры в классе миллионов отсутствуют. Вместо них останутся нуля.

Класс тысяч — десять, или же тысяч:

Класс единиц — двадцать, или же

(e) Самый большой класс в числе — класс миллиардов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллиардов — два, или же миллиарда:

Или же, если убрать незначащие нули:

Класс миллионов — три, или же миллиона:

Класс тысяч — четыре, или же тысячи:

Класс единиц — пять, или же

(f) Самый большой класс в числе — класс миллиардов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллиардов — один, или же миллиард:

Или же, если убрать незначащие нули:

Ненулевые цифры в классе миллионов отсутствуют. Вместо них останутся нуля.

Класс тысяч — один, или же тысяча:

Класс единиц — один, или же

Чтобы представить число в виде суммы разрядных слагаемых, нужно просуммировать количество единиц в нём, количество десятков, количество сотен и так далее.

При этом необходимо умножать разрядные единицы на количество единиц соответствующего разряда.

(a) 

(b) 

(c) 

(d) 

(e) 

(f) 

(a) Наименьшее трехзначное число —

(b) Наибольшее трехзначное число —

(c) Наименьшее пятизначное число —

(d) Наибольшее шестизначное число —

(e) Наименьшее восьмизначное число —

Запишем наше двузначное число, как После того, как его записали два раза подряд, оно приняло вид Запишем оба числа в виде суммы разрядных слагаемых:

Заметим, что

Получается, полученное четырёхзначное число в раз больше исходного двузначного числа.

Запишем наше трёхзначное число, как После того, как его записали два раза подряд, оно приняло вид Запишем оба числа в виде суммы разрядных слагаемых:

Заметим, что

Получается, полученное шестизначное число в раз больше исходного трёхзначного числа.

Посчитаем количество однозначных, двузначных, трёхзначных чисел, напечатанных при нумерации страниц.

Однозначных чисел — это числа от до

Двузначных числа находятся в диапазоне от до включительно. Можно придумать разные способы подсчёта, например, посчитать числа в первой десятке, умножить их на количество десятков.

Всего от до включительно находится чисел, а двузначных — минус количество однозначных, а именно

Всего от до включительно находится чисел, а трёхзначных — минус (количество однозначных + количество двузначных), а именно

На запись однозначных чисел, требуется одна цифра, двузначных — две, трехзначных — три, значит всего цифр требуется:

Для начала отметим, что в книге трёхзначное число страниц. Однозначного числа страниц не хватит — тогда цифр будет не более Двузначного числа страниц также не хватит — тогда цифр будет не более А четырёхзначного числа страниц будет слишком много — тогда цифр будет не менее Получается, в книге трёхзначное число страниц.

Обозначим количество страниц, записанных трёхзначными числами, за . Тогда в ней страниц, записанных однозначными числами, страниц, записанных двузначными числами и страниц, записанных трёхзначными числами. В сумме в них цифр.

Составим и решим уравнение:

Получается, что для записи страниц использовалось однозначных, двузначных, трёхзначных чисел. Всего страниц —

Всего есть чётных цифр: и нечётных цифр:

Если к каждой цифре чётного числа прибавить по единице, то получится нечётное число. Например, из числа получается Таким образом, мы можем сопоставить каждому числу, записанному чётными цифрами, число, записанное нечётными цифрами. Однако в обратную сторону сделать не получится: у числа не будет пары, т. к. число из трёх нулей — это не трёхзначное число, а просто . Получается, чисел, все цифры которых нечётные, больше, чем чисел, все цифры которых чётные.

Способ 1. Рассмотрев последние цифры ребуса, мы получаем, что сумма Н А А А оканчивается на А, значит, Н А А оканчивается на Сумма чисел ДОН ОКА ЛЕНА ВОЛГА меньше, чем Поскольку эта сумма есть АНГАРА, это означает, что А и Н Но, так как Н А, получаем Н Но тогда Н А А 2 — противоречие.

Способ 2. Аналогично первому способу покажем, что левая часть Поэтому А Тогда сумма Н А А А Н оканчивается на Следовательно, Н А из той же первой оценки известно, что Н Противоречие.

Запишем наше трёхзначное число, как . После того, как его цифра записали в обратном порядке, новое число приняло вид Запишем оба числа в виде суммы разрядных слагаемых и посчитаем их сумму:

Сумма должна оканчиваться на то есть или Первый случай невозможен, т. к. если , то итоговая сумма будет слишком маленькой:

Следовательно, что возможно только если или наоборот. Подставим эти значения в равенство:

Поскольку мы из большего числа вычитаем меньшее, цифра в разряде сотен у первого числа больше, чем у второго. Тогда в разряде единиц, наоборот, у первого числа числа цифра меньше, чем у второго. Поэтому при вычитании придётся занять единицу в разряде десятков. Исходно в разряде десятков стояли одинаковые цифры, но теперь у уменьшаемого цифра получилась на единицу меньше, чем у вычитаемого. Значит, придётся занять единицу в разряде сотен. При этом в разряде десятков уменьшаемое оказывается на больше вычитаемого. Значит, в результате получится цифра

(a) Числа могут состоять из трех одинаковых цифр:

Из двух одинаковых и одной другой:

Все три цифры разные:

Всего чисел

А складывать будем “хитро”. Посмотрим на разряд единиц. Цифра там встречается раз. Всего “вклад” в общую сумму:

Перейдем к разряду десятков. Цифра там тоже встречается раз. Всего “вклад” в общую сумму:

С сотнями аналогично — их вклад:

Итоговый вклад единицы:

Аналогично с двойкой и тройкой. Их вклады равны и Поэтому итоговая сумма:

(b) Решается аналогично пункту Всё те же числа, только вместо надо подставить вместо — вместо —

А сумма будет равна

Запишем Васино число, как

Последнее неравенство верно, так как максимальное произведение двух цифр равно

(a) Самый большой класс в числе — класс единиц.

Класс единиц — восемьсот тридцать девять, или же

(b) Самый большой класс в числе — класс тысяч. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс тысяч — семь, или же тысяч:

Или же, если убрать незначащие нули:

Класс единиц — триста одиннадцать, или же

(c) Самый большой класс в числе — класс миллионов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туду классы цифр:

Класс миллионов — двадцать девять, или же миллионов:

Или же, если убрать незначащие нули:

Класс тысяч — пять, или же тысяч:

Класс единиц — восемь, или же

(d) Самый большой класс в числе — класс миллионов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллионов — семнадцать, или же миллионов:

Или же, если убрать незначащие нули:

Класс тысяч — девяносто, или же тысяч:

Класс единиц — триста два, или же

(e) Самый большой класс в числе — класс миллионов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллионов — пятьсот семь, или же миллионов:

Класс тысяч — восемьдесят, или же тысяч:

Ненулевые цифры в классе единиц отсутствуют. Вместо них останется нуля.

(f) Самый большой класс в числе — класс миллиардов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллиардов — три, или же миллиарда:

Или же, если убрать незначащие нули:

Класс миллионов — десять, или же миллионов:

Класс тысяч — тридцать пять, или же тысяч:

Ненулевые цифры в классе единиц отсутствуют. Вместо них останется нуля.

(g) Самый большой класс в числе — класс миллиардов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллиардов — сто пятьдесят восемь, или же миллиардов:

Класс миллионов — сто два, или же миллиона:

Класс тысяч — шестьсот, или же тысяч:

Класс единиц — семьсот восемьдесят, или же тысяч:

(h) Самый большой класс в числе — класс миллиардов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллиардов — сто пятьдесят два, или же миллиарда:

Ненулевые цифры в классе миллионов отсутствуют. Вместо них останется нуля.

Класс тысяч — сорок, или же тысяч:

Класс единиц — двенадцать, или же

(i) Самый большой класс в числе — класс миллиардов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллиардов — семьсот семнадцать, или же миллиардов:

Ненулевые цифры в классе миллионов отсутствуют. Вместо них останется нуля.

Класс тысяч — шестьдесят девять, или же тысяч:

Ненулевые цифры в классе единиц отсутствуют. Вместо них останется нуля.

(j) Самый большой класс в числе — класс миллиардов. Временно запишем число, как а потом будем добавлять туда классы цифр:

Класс миллиардов — девять, или же миллиардов:

Или же, если убирать незначащие нули:

Ненулевые цифры в классе миллионов отсутствуют. Вместо них останется нуля.

Класс тысяч — шестнадцать, или же тысяч:

Ненулевые цифры в классе единиц отсутствуют. Вместо них останется нуля.

(a) Класс единиц:

Четыреста шестьдесят два.

(b) Класс единиц:

Класс тысяч:

Девяносто четыре тысячи пятьсот шестьдесят семь.

(c) Класс единиц:

Класс тысяч:

Двести сорок три тысячи триста сорок пять.

(d) Класс единиц:

Класс тысяч:

Класс миллионов:

Класс миллиардов:

Сорок пять миллиардов двести восемьдесят четыре миллиона пятьсот девяносто пять тысяч девятьсот сорок шесть.

(e) Класс единиц:

Класс тысяч:

Класс миллионов:

Класс миллиардов:

Девяносто четыре миллиарда восемьсот шестьдесят четыре миллиона девятьсот шестьдесят пять тысяч пятьсот девяносто шесть.

(f) Класс единиц:

Класс тысяч:

Класс миллионов:

Класс миллиардов:

Тринадцать миллиардов четыреста пятьдесят шесть тысяч.

(g) Класс единиц:

Класс тысяч:

Класс миллионов:

Класс миллиардов:

Шестьсот девяносто пять миллиардов четыреста пять миллионов шестьсот девяносто семь тысяч триста.

(h) Класс единиц:

Класс тысяч:

Класс миллионов:

Класс миллиардов:

Два миллиарда четыреста пятьдесят два миллиона шестьсот девяносто есть тысяч пятьсот девяносто один.

(i) Класс единиц:

Класс тысяч:

Класс миллионов:

Класс миллиардов:

Пятьдесят один миллиард девятьсот четырнадцать миллионов девятьсот сорок одна тысяча четыреста восемьдесят один.

(j) Класс единиц:

Класс тысяч:

Класс миллионов:

Класс миллиардов:

Сорок девять миллиардов двести восемьдесят три миллиона пятьсот шестьдесят две тысячи четыреста восемьдесят пять.

(k) Класс единиц:

Класс тысяч:

Класс миллионов:

Класс миллиардов:

Сорок девять миллиардов двести восемьдесят три миллиона пятьсот шестьдесят две тысячи четыреста восемьдесят пять.

(a)  тысяч — семь тысяч.

(b)  тысячи — четыреста девяносто три тысячи.

(c)  тысячи — две тысячи пятьсот девяносто четыре тысячи.

Также можно записать это число иначе. Тысяча, или же содержит нуля, поэтому тысячи — это То есть два миллиона пятьсот девяносто четыре тысячи.

(d)  тысячи — шестьдесят одна тысяча пятьсот тридцать две тысячи.

Также можно записать это число иначе. Тысяча, или же содержит нуля, поэтому тысячи — это То есть шестьдесят один миллион пятьсот тридцать две тысячи.

(e)  миллиона — двадцать четыре миллиона.

(f)  миллиона — пятьсот сорок три миллиона.

(g)  миллиарда — триста сорок шесть миллиардов.

(h)  миллиона тысячи — сорок два миллиона триста сорок две тысячи.

(i)  миллиарда миллионов — двадцать два миллиарда шестьсот тридцать четыре миллионов.

(a) Чтобы выяснить, сколько десятков в тысяче, необходимо поделить на В три нуля, в — один. Значит, в результате будет нуля:

(b) Чтобы выяснить, сколько сотен в тысяче, необходимо поделить на В три нуля, в — два. Значит, в результате будет ноль:

(c) Чтобы выяснить, сколько десятков в двухстах тысячах, необходимо поделить на В пять нулей, в — один. Значит, в результате будет нуля:

(d) Чтобы выяснить, сколько сотен в миллионе, необходимо поделить на В шесть нулей, в — два. Значит, в результате будет нулей: