07 Натуральные числа и нуль → 07.02 Деление с остатком

Поделим на с остатком:

Тогда

Разделим на с остатком:

Число является частным от деления. Это и есть наш ответ.

Разделим на с остатком:

Число является частным от деления. Значит чтобы разложить яблок, нужно коробок. Останутся их положим в еще один ящик.

(a) Разделим на

делится на нацело. не может быть равно т. к. по условию — натуральное. Тогда наименьшее которое мы можем прибавить, —

(b) Разделим на с остатком:

До делимости на не хватает Тогда наименьшее которое мы можем прибавить, —

(c) Заметим, что неотрицательные целые числа, меньшие дают всевозможные остатки при делении на причём каждый остаток встречается ровно по разу. Поэтому остаток может давать только число Чтобы его получить, нужно отнять от число Тогда

Ботир заплатил сумов, ему вернули сдачу сумов, значит роз стоили сумов. Тогда одна роза стоила сумов.

Переведем суток в секунды. суток — это часа. часа — это минут. минут — это секунд.

Переведём мин с в секунды. минуты — это секунд, значит, мин с — это с.

Поделим первое число на второе:

Получается, за суток непрерывной работы робот может изготовить деталей.

Поскольку делимое равно а остаток — то произведение делителя и неполного частного равно

Запишем число в виде произведения двух множителей:

Учитывая, что остаток должен быть меньше делителя, видим, что делителем может быть любое из чисел и

Будем считать, что неделя начинается с того дня недели, коим является первое января рассматриваемого года (т.е. если первое января — среда, то считаем, что неделя начинается со среды и заканчивается вторником).

Посчитаем количество недель в обычном и високосном годах:

Получается, с начала года проходит полных недель, на каждой из которых ровно по одному понедельнику. Кроме этого, в конце года остается еще или дня. Можно привести пример, когда один из оставшихся дней — понедельник. Тогда будет максимально возможное число понедельников —

В каждом месяце полных недели, а в неделе дней. То есть в полных неделях дней.

По условию задачи, суббот и понедельников оказалось больше, чем пятниц, следовательно наш месяц начнётся с субботы и закончится не раньше понедельника, но при этом раньше пятницы. То есть к нашим дням прибавится ещё минимум дня — суббота, воскресенье и понедельник. На самом деле, прибавится ровно дня, потому что в месяце не может быть больше дня. Получается, в нашем месяце будет день.

В осенних месяцах день только в октябре, следовательно наш месяц — октябрь. Если месяц начинается с субботы, то субботы будут числа, и число через дня после значит, число — это среда.

Пусть — делимое, — делитель, — неполное частное, а — остаток:

По условию задачи, делимое и делитель увеличили в раза, положим и

Домножим исходное равенство на получим:

Произведем замену и на и получим:

Приравнивая второе и последнее равенства, получаем: и Из этих равенств получаем ответ к задаче, не забывая про случай, когда остаток равен нулю.

Пусть — число, которое мы ищем:

Но по условию:

Заметим, что остаток при делении на не может превышать поэтому можем вместо подставить все ненулевые остатки и получить ответ.

По условию задачи получаем:

Вычтем из первого равенства второе:

Подставим в любое равенство и получим ответ.

Если представить первое число как второе число — как третье число — как Их сумма будет равна:

Данная сумма кратна трём и, к тому же, строго больше трёх, потому что натуральное, из-за чего В таком случае она не может быть простым числом.

По условию:

Перенесем в левую часть:

Разложим на простые множители:

Поэтому возможные делители —

Поочерёдно разделим на каждое число:

Остаток получается при делителях, равных

По условию, — простое число, большее

Рассмотрим все возможные остатки от деления на Остаток от деления должен быть меньше делителя, поэтому необходимо перебрать остатки от до

Пусть — частное от деления на

Если остаток то — составное число.

Если остаток то — может быть как простым, так и составным.

Если остаток то — составное число.

Если остаток то — составное число.

Если остаток то — составное число.

Если остаток то — может быть как простым, так и составным.

Осталось привести пример простых чисел с остатками и Нам подходят и

(a) Остаток при делении на неотрицательного числа равен последней цифре этого числа (можно доказать, записав число в каноническом виде).

— кратно значит — остаток.

(b) Если делимое кратно делителю, то остаток равен нулю. А нацело делится на —

(c) Остаток — всегда положительное число. Так как то остаток равен

(d) Если делимое меньше делителя, то остаток — само делимое. Остаток —

(a) Представим первое число в виде а второе число в виде где и — частные, а и — остатки.

Сложим остатки, получим число которое имеет какой-то остаток при делении на

Сложим числа и

Первая скобка кратна поэтому число будет иметь такой же остаток при делении на как вторая скобка, а именно которое имеет остаток

(b) Разность — аналогично пункту

(c) Представим первое число в виде а второе число в виде где и — частные, а и — остатки.

Перемножим остатки, получим число которое имеет какой-то остаток при делении на

Перемножим числа и

Первые три слагаемых кратны поэтому число будет иметь такой же остаток при делении на как четвертое слагаемое, а именно которое имеет остаток

Рассмотрим три случая: когда имеет остаток при делении на три, остаток и остаток

(a) Если кратно трём, то очевидно, что условие выполняется.

(b) Предположим, имеет остаток Подставим его вместо

кратно трём, поэтому условие выполняется.

(c) Предположим, имеет остаток Подставим его вместо

кратно трём, поэтому условие выполняется.

Других остатков быть не может, поэтому делится на при любом натуральном

Рассмотрим три случая: когда имеет остаток при делении на три, остаток и остаток

(a) Предположим, имеет остаток Подставим его вместо

Результат не кратен трём, поэтому условие выполняется.

(b) Предположим, имеет остаток Подставим его вместо

Не кратно трём, поэтому условие выполняется.

(c) Предположим, имеет остаток Подставим его вместо

Не кратно трём, поэтому условие выполняется.

Других остатков быть не может, поэтому не делится на ни при каком натуральном

Из трёх последовательных чисел одно обязательно делится на

и — последовательные чётные числа. Поэтому одно из них не только чётно, но и делится на

Значит, всё произведение делится на