08 Уравнения - Каталог заданий по Школа - Школа 5-8 класс в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#135772

Найдите корень уравнения:

(a) $− 8 − (n− 1)= 7; 9 18$

(b) $159 − (s+ 49)= 23;$

(c) $− 547 +(−154 + z)=317.$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Домножим обе части уравнения на $НО К(9,18)=18$ и решим получившееся линейное уравнение:

8 7 −9 − (n− 1)= 18-|⋅18

-8⋅//182- -7⋅//181 − /9 − (18n− 18)= //18 1 1

− 8⋅2 − (18n− 18)= 7

− 16− 18n+ 18= 7

18n= 18− 16− 7

18n= −5

5- n =− 18

(b) Переведём смешанное число в обыкновенную дробь:

15 − (s+ 4)= 2 9 9 3

14 4 2 9 − (s+ 9)= 3

Домножим обе части уравнения на $НОК(9,3)= 9$ и решим получившееся линейное уравнение:

1 1 3 14⋅/9-− (9s +-4⋅/9-)= -2⋅/9- /91 /91 /31

14− (9s +4)= 2⋅3

14− 9s − 4= 6

9s= 14− 6 − 4

9s= 4

4 s = 9

(c) Переведём смешанные числа в обыкновенные дроби:

−54 +(−-5 +z)= 31 7 14 7

39 -5 22 − 7 +(−14 +z)= 7

Домножим обе части уравнения на $НОК(7,14)= 14$ и решим получившееся линейное уравнение:

2 1 2 −-39⋅//14-+ (− -5⋅//14--+14z)= -22⋅//14-- /71 //141 /71

− 39 ⋅2 +(−5+ 14z)= 22⋅2

−78− 5 +14z = 44

14z = 78+44+ 5

14z = 127

z = 127= 9 1 14 14

Ответ:

(a) $5- n = −18;$ (b) $4 s =9 ;$ (c) $1- z = 914.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#135752

Решите уравнение:

(a) $x−2-= 1; 15 3$

(b) $3x−22-=5;$

(c) $x−58 = x+42 ;$

(d) $3x−1- x+2- 6 = 3 .$

Источники: "Алгебра. 8 класс", Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Домножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $15$ для удобства дальнейших вычислений:

15⋅(x− 2) 15 ----15--- = 3-

x− 2= 5

x =5+ 2

x= 7

(b) Домножим обе части уравнения на $2:$

2(3x−-2)= 5⋅2 2

3x− 2= 10

3x= 12

12 x= -3

x= 4

(c) Домножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $5⋅2= 10:$

10(x−-8) 10(x+-4) 5 = 2

2 ⋅(x− 8)= 5⋅(x+ 4)

2x− 16= 5x +20

2x− 5x= 20 +16

−3x =36

36 x =− 3-

x= −12

(d) Домножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $6:$

6(3x-− 1)= 6(x+-2) 6 3

3x− 1= 2(x +2)

3x− 1= 2x +4

3x− 2x =4 +1

x= 5

Ответ:

(a) $x = 7;$ (b) $x= 4;$ (c) $x= −12;$ (d) $x =5.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#135753

Решите уравнения:

(a) $x+5-− x= 8; 2 3$

(b) $x5 − x−31= 3;$

(c) $1−7x =1 − 2−3x;$

(d) $2x−1- x 3 − 3= 4.$

Источники: "Алгебра. 8 класс", Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Преобразуем уравнение:

x +5 x --2- − 3 = 8

3(x+-5)−-2x= 8 2⋅3

3x-+15−-2x= 8 6

Домножим обе части уравнения на $6:$

x+ 15 =8 ⋅6

x =48− 15

x= 33

(b) Преобразуем уравнение:

x x− 1 -5 −-3--= 3

3x−-5(x-− 1)= 3 5⋅3

3x−-5x-+5- 15 =3

Домножим обе части уравнения на $15:$

−2x+ 5= 3⋅15

−2x= 45− 5

x =− 40 2

x= −20

(c) Преобразуем уравнение:

1−-x= 1− 2−-x 7 3

1-− x = 3−-(2−-x) 7 3

Домножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $7⋅3= 21:$

21(1-− x) 21(3− 2-+x) 7 = 3

3(1− x)= 7(1+ x)

3− 3x = 7+7x

7x+ 3x =3 − 7

10x= −4

4 x =− 10

x =− 0,4

(d) Преобразуем уравнение:

2x−-1− 3= x 3 4

2x−-1−-9= x 3 4

Домножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $3⋅4= 12:$

12(2x−-10)- 12x- 3 = 4

4(2x− 10)=3x

8x− 40 =3x

8x− 3x =40

x= 40 5

x= 5

Ответ:

(a) $x = 33;$ (b) $x= −20;$ (c) $x= −0,4;$ (d) $x= 8.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#135754

Решите уравнения:

(a) $x− 2=x; 3$

(b) $x − 3−42x-=3;$

(c) $4− x= x+85;$

(d) $1−4x- 9 − 5= 2x.$

Источники: "Алгебра. 8 класс", Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Преобразуем уравнение:

x 3 − 2= x

x−-2⋅3= x 3

Домножим обе части уравнения на $3:$

x− 6= 3x

x− 3x =6

−2x= 6

6 x= −2

x= −3

(b) Преобразуем уравнение:

x− 3−-4x= 3 2

2x−-(3− 4x) 2 = 3

Домножим обе части уравнения на $2:$

2x− 3+4x =3⋅2

6x= 6+3

6x= 9

x = 9 6

x= 1,5

(c) Домножим обе части уравнения на $8:$

4⋅8− 8x= 8(x-+5) 8

32− 8x =x +5

− 8x − x =5− 32

− 9x= −27

x= 27 9

x= 3

(d) Домножим обе части уравнения на $9:$

9(1−-4x) 9 − 5⋅9= 2x ⋅9

1− 4x− 45 =18x

− 4x− 18x= 45− 1

−22x= 44

44 x =− 22

x= −2

Ответ:

(a) $x = −3;$ (b) $x= 1,5;$ (c) $x =3;$ (d) $x= −2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#135755

Решите уравнения:

(a) $3x−5− 2x−3= 2− x; 2 3$

(b) $2x+ 2x−21− 1= 5x3−2;$

(c) $x−46 − 2x−61= 2+ 2x;$

Источники: "Алгебра. 8 класс", Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Домножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей $2⋅3= 6:$

6(3x− 5) 6(2x− 3) ---2---− ---3---= 6(4− x)

3(3x − 5)− 2(2x− 3)=24− 6x

9x− 15 − 4x+ 6= 24− 6x

5x +6x= 24+ 9

11x= 33

x= 3

(b) Домножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей $2 ⋅3 =6:$

6(2x − 1) 6(5x − 2) 6⋅2x+ ---2---− 6= ---3---

12x+ 3(2x− 1)− 6= 2(5x − 2)

12x +6x− 3− 6= 10x − 4

18x− 10x= −4+ 9

8x= 5

x= 0,625

(c) Домножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей $12:$

12(x− 6) 12(2x− 1) --4----− ---6----=12(2+2x)

3(x− 6)− 2(2x− 1)= 24 +24x

3x − 18− 4x+2 =24+ 24x

− x− 24x =24+ 16

−25x= 40

x =− 1,6

Ответ:

(a) $x = 3;$ (b) $x= 3;$ (c) $x= 0,625;$ (d) $x= −1,6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#135756

Решите уравнения:

(a) $x + x−10+ x−9= 2x−3− 1; 2 5 5$

(b) $1−23x-− 5−36x+ 1−23x= x+ 4.$

Источники: "Алгебра. 8 класс", Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Домножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей $2⋅5= 10:$

10(x− 10) 10(x− 9) 10(2x− 3) 10x+ ---2----+ --5----= ---5----− 1 ⋅10

10x+5(x− 10)+ 2(x − 9)= 2(2x− 3)− 10

10x +5x− 50+ 2x − 18= 4x− 6− 10

17x− 4x =− 16+68

13x= 52

x= 4

(b) Домножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей $6:$

6(1− 2x) 6(5− 3x) 6(1− 3x) ---3---− ---6---+ ---2---= 6(x+ 4)

2(1− 2x)− (5− 3x)+3(1− 3x)= 6(x+4)

2− 4x− 5 +3x+ 3− 9x= 6x +24

−10x− 6x =24

−16x= 24

x =− 1,5

Ответ:

(a) $x = 4;$ (b) $x= −1,5.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#135757

Наташа от дома до стадиона ходит пешком со скоростью $4$ км/ч. Однажды она отправилась из дома в обычное время, но поехала на велосипеде со скоростью $12$ км/ч. На стадион она приехала на $15$ мин раньше обычного. Чему равно расстояние от дома до стадиона?

Источники: "Алгебра. 8 класс", Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Переведём минуты в часы:

15 1 15 мин= 60 ч = 4 ч

Расстояние от дома до стадиона отметим за $x$ км. Теперь можем составить уравнение:

x x 1 4 − 12-= 4

Домножим обе части уравнения на наименьший общий множитель $12:$

12x-− 12x-= 12 4 12 4

3x − x =3

2x= 3

x= 1,5

Ответ:

$1,5$ км.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#135758

Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автобус со скоростью $40$ км/ч. Через $4$ ч из $B$ в $A$ выехал автомобиль со скоростью $60$ км/ч. Расстояние от $A$ до $B$ равно $250$ км. На каком расстоянии от пункта $A$ автомобиль и автобус встретились?

Источники: "Алгебра. 8 класс", Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Обозначим за $x$ ч время езды автобуса до встречи с автомобилем, тогда $x− 4$ ч — время езды автомобиля.

Теперь можем составить уравнение:

40x +60(x − 4)= 250

40x+ 60x− 240= 250

100x= 490

x= 4,9

Чтобы найти расстояние, вспомним формулу:

s =v ⋅t,

где $s$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время:

s= 40⋅4,9

s= 196

Ответ:

$196$ км.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#135759

Решите уравнение:

2x+ 7 x+ 5 --4--= --3-

Источники: "Алгебра. 8 класс. Учебник", Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Домножим обе части уравнения на наименьший общий множитель $4⋅3= 12:$

12(2x +7) 12(x +5) ---4----= ---3---

3(2x +7)= 4(x +5)

6x+ 21= 4x +20

6x− 4x= 20 − 21

2x =− 1

x =− 0,5

Ответ:

$x =− 0,5.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#135760

При каком значении переменной значение дроби равно нулю:

(a) $x−8; 9$

(b) $x−x+22;$

(c) $x4−5.$

Источники: "Алгебра. 8 класс. Учебник", Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Чтобы узнать при каком значении переменной дробь равна нулю, приравняем её к нулю соответственно:

x− 8 --9- =0

x− 8= 0

x= 8

(b) Чтобы узнать при каком значении переменной дробь равна нулю, приравняем её к нулю соответственно:

x− 2 x+-2 =0

x− 2= 0

x= 2

(c) Чтобы узнать при каком значении переменной дробь равна нулю, приравняем её к нулю соответственно:

4 x−-5 =0

4= 0

x∈ ∅

Ответ:

(a) $x = 8;$ (b) $x= 2;$ (c) $x∈ ∅.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#135761

При каком значении переменной не имеет смысла выражение:

(a) $-6-; 3x−9$

(b) $x2x2+−11;$

(c) $3xx2++412x;$

(d) $x+87-+ -4--; x− 2$

(e) $x2−1x0x+25;$

(f) $x+2 (x+10)(x−12)?$

Источники: "Алгебра 8 класс", Шыныбеков А. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Выражение не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю:

3x− 9 =0

3x= 9

x= 3

(b) Выражение не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю:

x2− 1 =0

x2 = 1

x= ±1

(c) Выражение не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю:

3x2+ 12x= 0

3x(x+ 4)=0

[ x= 0 x+4 =0

[ x =0 x =− 4

(d) Выражение не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю:

-8--+ -4-- x+7 x− 2

8(x− 2)+4(x+ 7) --(x+-7)(x−-2)--

Тогда выражение не имеет смысла при $(x+ 7)(x− 2)=0:$

[ x+7 =0 x− 2 =0

[ x =− 7 x =2

(e) Выражение не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю:

x2− 10x +25= 0

(x− 5)2 = 0

x= 5

(f) Выражение не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю:

(x+ 10)(x− 12)= 0

[ x+ 10= 0 x− 12= 0

[ x= −10 x= 12

Ответ:

(a) $x = 3;$ (b) $x= ±1$ (c) $x= −4$ и $x= 0;$ (d) $x= −7$ и $x =2;$ (e) $x = 5;$ (f) $x = −10$ и $x = 12.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#135762

Найдите корни уравнений:

(a) $x2-= -x-; x−2 x−2$

(b) $y2y−−65y= 55−y;$

(c) $5yy++11 = y+y2;$

(d) $2y−1 3y+4 y+7-= y−1 .$

Источники: "Алгебра 8 класс", Шыныбеков А. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Запишем область допустимых значений (ОДЗ):

x − 2⁄= 0⇐ ⇒ x⁄= 2

Домножим обе части уравнения на $x − 2⁄= 0$ для удобства дальнейших вычислений:

x2 = x

2 x − x =0

x(x− 1)= 0

[ x= 0 x− 1 =0

[ x= 0 x= 1

(b) Преобразуем уравнение:

2 y-− 6y-=-5-- y− 5 5− y

y2−-6y= ----5---- y− 5 − 1⋅(y− 5)

Запишем область допустимых значений (ОДЗ):

y − 5⁄= 0⇐ ⇒ y ⁄= 5

Домножим обе части уравнения на $y− 5⁄= 0$ для удобства дальнейших вычислений:

y2− 6y = −5

y2− 6y +5= 0

Найдём дискриминант:

2 D =6 − 4⋅1⋅5= 36− 20 =16

⌊ 6− √16 6− 4 || y1 =--2⋅√1- = -2--= 1 ⌈ y2 = 6+-16 = 6+4-= 5 2⋅1 2

$y = 5$ не соответствует ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения является только $y = 1.$

(c) Запишем область допустить значений:

( ( { y+ 1⁄= 0 ⇐⇒ { y ⁄= −1 ( y ⁄= 0 ( y ⁄= 0

Домножим обе части уравнения на $y(y+ 1)⁄= 0$ для удобства дальнейших вычислений:

y(5y+1)= (y+2)(y +1)

5y2 +y = y2+ 3y+2

2 4y − 2y− 2= 0

Сократим на $2:$

2y2− y − 1= 0

Найдём дискриминант:

D= (−1)2 − 4⋅2⋅(−1)= 9

⌊ √ - | y1 = 1−--9= −2-= − 1 |⌈ 12+⋅√29- 14+ 3 2 y2 = -2⋅2-= --4-= 1

Оба значения соответствуют ОДЗ, поэтому идут в ответ.

(d) Запишем область допустимы значений (ОДЗ):

({ y+ 7⁄= 0 ({ y ⁄= −7 ( ⇐⇒ ( y− 1⁄= 0 y ⁄= 1

Домножим обе части уравнения на $(y+ 7)(y− 1) ⁄=0$ для удобства дальнейших вычислений:

(2y− 1)(y− 1)= (3y+ 4)(y+ 7)

2 2 2y − 3y+ 1= 3y +11y+ 28

2 y + 14y +27= 0

Найдём дискриминант:

D =142− 4⋅27= 88

⌊ −14− √88 −14− 2√22 √ -- || y1 = ---2-√--= ----2-√--= −7 − 22 ⌈ y2 = −14+--88= −14+-2-22= −7 +√22- 2 2

Ответ:

(a) $x = 0$ и $x =1;$ (b) $y = 1;$ (c) $1 y = 2$ и $y = 1;$ (d) $√ -- y =− 7± 22.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#135763

Найдите корни уравнения:

(a) $2y+3= y−5; 2y−1 y+3$

(b) $xx−22 = 5xx−−62 ;$

(c) $x2x−22 = 6−27−xx ;$

(d) $1+1−33yy-= 5−12+y2 .$

Источники: "Алгебра 8 класс", Шыныбеков А. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Найдём область допустимых значений:

( ( 1 {2y− 1⁄= 0 ⇐ ⇒ {y ⁄= 2 (y +3 ⁄=0 (y ⁄= −3

Домножим обе части уравнения на $(2y− 1)(y+3)⁄= 0$ для удобства дальнейших вычислений.

(2y+ 3)(y+ 3)= (y− 5)(2y− 1)

2y2+ 9y +9= 2y2− 11y+ 5

2y2 +9y+ 9− 2y2+ 11y− 5 =0

20y+ 4= 0

y =− 0,2

(b) Найдём область допустимых значений:

x − 2⁄= 0⇐ ⇒ x⁄= 2

Домножим обе части уравнения на $x − 2⁄= 0$ для удобства дальнейших вычислений:

x2 5x− 6 x−-2(x− 2)= -x−-2 (x− 2)

2 x = 5x− 6

x2− 5x +6 =0

Найдём дискриминант:

D =(−5)2− 4 ⋅6 =1

⌊ √- | x1 = 5−-1= 5-− 1 =2 |⌈ 52+⋅1√1 5 2+1 x2 =-2⋅1-= --2- =3

$x= 2$ не соответствует ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения является только $x= 3.$

(c) Найдём область допустимых значений (ОДЗ):

x − 2⁄= 0⇐ ⇒ x⁄= 2

Домножим обе части уравнения на $x − 2⁄= 0$ для удобства дальнейших вычислений:

2x2 =− (6− 7x)

2x2 = −6+ 7x

2x2− 7x+ 6= 0

Найдём дискриминант:

D = (−7)2 = −4 ⋅2 ⋅6 =49− 48= 1

⌊ √ - | x1 = 7−--1= 7−-1= 3 |⌈ 72+⋅√21- 74+ 1 2 x2 = -2⋅2-= -4--= 2

$x= 2$ не соответствует ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения является только $3 x= 2.$

(d) Найдём область допустимых значений (ОДЗ):

( ( 1 {1− 3y ⁄= 0 |{ y ⁄= 3 (1+ 2y ⁄= 0 ⇐⇒ |( y ⁄= − 1 2

Домножим обе части уравнения на $(1− 3y)(1+2y)⁄= 0$ для удобства дальнейших вычислений:

(1+3y)(1+ 2y)= (5− 2y)(1− 3y)

1+ 5y+ 6y2 = 5− 17y+6y2

5y +17y = 5− 1

22y =4

4 2 y = 22 = 11

Ответ:

(a) $y =− 0,2;$ (b) $x =3;$ (c) $3 x = 2;$ (d) $-2 y = 11.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#135764

Решите уравнение:

(a) $x+1-+ 20-=4; 6 x−1$

(b) $1x−21 − x+81-= 1;$

(c) $13−x +x1+1 = 1−28x2;$

(d) $x+15- -21 4 − x+2 =2;$

(e) $-16 +-30 =3; x−3 1−x$

(f) $x5−2 −x3+3 = x220−4.$

Источники: "Алгебра 8 класс", Шыныбеков А. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Найдём область допустимых значений:

x − 1⁄= 0⇐ ⇒ x⁄= 1

Решим уравнение:

x+ 1 20 -6--+ x−-1 = 4|⋅6(x− 1)⁄= 0

(x+ 1)(x− 1)+20⋅6= 4⋅6(x− 1)|− 4⋅6(x− 1)

(x+ 1)(x− 1)+20⋅6− 4⋅6(x − 1)= 0

x2 − 1+ 120− 24x+ 24= 0

x2− 2x+143= 0

Найдём дискриминант:

2 D = (− 24) − 4⋅1⋅143= 576− 572= 4

⌊ 24 − √4 24− 2 || x1 = -2⋅1√--= --2--= 11 ⌈ x2 = 24-+--4= 24+-2= 13 2⋅1 2

(b) Найдём область допустимых значений (ОДЗ):

( {1 − x ⁄=0 (x +1 ⁄=0 ⇐ ⇒ x⁄= ±1

Решим уравнение:

-12--− -8--= 1|⋅(x − 1)(x +1)⁄= 0 x− 1 x+ 1

2 2 12(x+ 1)− 8(x− 1)= x − 1|− (x − 1)

2 12x+ 12− 8x +8− x + 1= 0

2 −x + 4x+ 21 =0

Найдём дискриминант:

D =42− 4⋅(−1)⋅21 =16+ 84= 100

⌊ √--- x1 = −4−--100= −4-− 10= 7 ||⌈ 2⋅(−√1)- −2 x2 = −4+--100= −4-+10= −3 2⋅(−1) −2

(c) Преобразуем уравнение:

3 1 28 1−-x + x+-1 =1-− x2

--3- --1- ----28---- x − 1 +x +1 = (1 − x)(1 +x)

Найдём область допустимых значений:

( {1 − x ⁄=0 ⇐ ⇒ x⁄= ±1 (x +1 ⁄=0

Продолжим решать уравнение:

-3--+ -1--= ----28---- |⋅(1− x)(1+ x)⁄= 0 1− x x+ 1 (1− x)(1+ x)

3(x+ 1)+ (1− x)= 28

3x +3+ 1− x= 28

2x +4= 28|− 4

2x= 24

x= 12

(d) Найдём область допустимых значений (ОДЗ):

x+ 2⁄=0 ⇐⇒ x ⁄=− 2

Решим уравнение:

x-+15− -21- =2 |⋅4(x+ 2)⁄= 0 4 x+ 2

(x+ 15)(x+ 2)− 21⋅4= 2⋅4(x +2)

x2+ 17x+30− 84= 8x+ 16 |− (8x+16)

x2 +17x− 8x − 54− 16= 0

2 x +9x− 70= 0

Найдём дискриминант:

D = 92− 4⋅(−70)= 81+280= 361

⌊ √ --- | x1 = −-9−-361 = −9−-19= −14 |⌈ − 92+⋅√1361- −92+ 19 x2 =---2⋅1-- = --2---= 5

(e) Найдём область допустимых значений (ОДЗ):

({x − 3 ⁄=0 ({x ⁄=3 ( ⇐ ⇒ ( 1 − x ⁄=0 x ⁄=1

Решим уравнение:

-16-- -30- x− 3 + 1− x = 3|⋅(x − 3)(1− x)⁄= 0

16(1− x)+ 30(x − 3)= 3(x− 3)(1− x)

2 16− 16x +30x− 90 =3(−x + x− 3+ 3x)

2 2 14x− 74=− 3x +12x− 9|− (−3x + 12x − 9)

3x2+ 14x− 12x− 74 +9= 0

3x2+ 2x − 65= 0

Найдём дискриминант:

D =22− 4⋅3⋅(−65) =4+ 780= 784

⌊ −2− √784 −2 − 28 || x1 = --2⋅3---= ---6--= −5 ⌈ −2+-√784 −2-+28 13 x2 = 2⋅3 = 6 = 3

(f) Преобразуем уравнение:

-5--− --3- =-220- x− 2 x+ 3 x − 4

--5- −--3- = ----20---- x − 2 x +3 (x +2)(x − 2)

Найдём область допустимых значений:

(|| x− 2⁄= 0 ( |{ { x⁄= ±2 ||| x+ 3⁄= 0 ←→ ( x⁄= −3 ( x+ 2⁄= 0

Продолжим решать уравнение:

--5- − -3--= ----20----|⋅(x2− 4)(x +3)⁄= 0 x − 2 x+3 (x +2)(x − 2)

5(x+ 2)(x+ 3)− 3(x2− 4)= 20(x+ 3)

5(x2 +5x+ 6)− 3x2+ 12= 20x+ 60|− (20x+ 60)

5x2+ 25x+ 30 − 3x2+ 12 − 20x− 60= 0

2 2x + 5x − 18= 0

Найдём дискриминант:

2 D = 5 − 4⋅2⋅(−18)= 25+144= 169

⌊ −5− √169 − 5− 13 || x1 =---2⋅√2-- =---4-- = −4,5 ⌈ x2 = −5+-169 = −-5+-13 = 2 2⋅2 4

$x= 2$ не соответствует ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения является только $x= −4,5.$

Ответ:

(a) $x = 11$ и $x =13;$ (b) $x =− 3$ и $x= 7;$ (c) $x= 12;$ (d) $x= −14$ и $x= 5;$ (e) $x= −5$ и $13 x= 3 ;$ (f) $x =− 4,5.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#135765

Решите уравнение:

(a) $26-− -2- =2− x+4; x−1 x−1 x+1$

(b) $x+32-− 2xx−+11-= x22+x+31x+2;$

(c) $x22−4 + xx2−+42x = x2−12x.$

Источники: "Алгебра 8 класс", Шыныбеков А. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Преобразуем уравнение:

6 2 x+ 4 x2− 1-− x− 1-= 2− x+-1

----6-----− --2- =2 − x-+4 (x− 1)(x +1) x − 1 x +1

Найдём область допустимых значений:

({ { x− 1⁄= 0 ⇐⇒ x ⁄= ±1 (x+ 1⁄= 0

Продолжим решать уравнение:

6 2 x+ 4 (x+-1)(x−-1) − x−-1 = 2− x+-1 |⋅(x+1)(x − 1)⁄= 0

6− 2(x+ 1)= 2(x2− 1)− (x+ 4)(x− 1)

6− 2x− 2= 2x2− 2− (x2− x +4x− 4)|+(x2− x+4x − 4)

2x2− 2− x2− 3x+ 4+2x − 4= 0

2 x − x− 2= 0

Найдём дискриминант:

2 D= (−1) − 4⋅1⋅(−2)= 1+ 8=9

⌊ 1−-√9 1− 3 || x1 = 2⋅1√- = 2 = −1 ⌈ x2 = 1+-9 = 1+3-= 2 2⋅1 2

$x= 2$ не соответствует ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения является только $x= −1.$

(b) Преобразуем уравнение:

3 2x− 1 2x+ 1 x+-2 − x-+1-= x2+-3x+2

x3+-2 − 2xx−+11= (x+2x2)+(x1+-1)

Найдём область допустимых значений:

({ x+ 2⁄= 0 ( x+ 1⁄= 0

Продолжим решать уравнение:

3 2x − 1 2x+ 1 x-+2 − x+-1-= (x-+2)(x-+1) |⋅(x+2)(x +1)⁄= 0

3(x+ 1)− (2x− 1)(x+ 2) =2x+ 1|− (2x+ 1)

3x+ 3− 2x2− 3x+ 2− 2x − 1= 0

−2x2− 2x +4 =0

Найдём дискриминант:

D = 1− 4⋅1 ⋅(−2)= 9

⌊ −1−-√9- −1−-3 || x1 = 2⋅1√- = 2 = −2 ⌈ x2 = −1+-9-= −1+-3= 1 2⋅1 2

$x= −2$ не соответствует ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения является только $x= 1.$

(c) Преобразуем уравнение:

2 x− 4 1 x2−-4 + x2+-2x = x2−-2x

-----2---- +--x− 4 = --1--- (x− 2)(x+ 2) x(x+ 2) x(x− 2)

Найдём область допустимых значений:

( |||{ x− 2⁄= 0 ({ x+ 2⁄= 0 ⇐⇒ x⁄= ±2 |||( ( x⁄= 0 x⁄= 0

Продолжим решать уравнение:

-----2---- -x−-4- ---1-- (x+ 2)(x− 2) + x(x+ 2) = x(x− 2) |⋅x(x− 2)(x+ 2)⁄= 0

2x+ (x− 4)(x+ 2)= x+2 |− (x+ 2)

2x+ x2− 6x +8− x− 2= 0

x2− 5x +6 =0

Найдём дискриминант:

D =(−5)2− 4 ⋅1 ⋅6 =1

⌊ 5− 1 4 |⌈ x1 =-2--= 2 =2 x2 = 5+-1= 6 =3 2 2

$x= 2$ не соответствует ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения является только $x= 3.$

Ответ:

(a) $x = 2;$ (b) $x= 1;$ (c) $x= 3.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#135766

Решите уравнение:

(a) $4--− 3--− -122-= 1; x+2 x−2 4−x 7$

(b) $4x + 5= 1x2;$

(c) $16−−yy2 − yy+−3y2 = yy++5y2.$

Источники: "Алгебра 8 класс", Шыныбеков А. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Немного преобразуем уравнение:

4 3 12 1 x-+2 − x− 2-− 4− x2-= 7

-4--− -3--+ ----12---- = 1 x+ 2 x− 2 (x− 2)(x+2) 7

Найдём область допустимых значений:

({ ({ x+ 2⁄= 0 ⇐⇒ x⁄= −2 ( x− 2⁄= 0 ( x⁄= 2

Продолжим решать уравнение:

4 3 12 1 x+-2 − x−-2 + (x− 2)(x+2) =7 |⋅(x+ 2)(x− 2)

2x+ (x− 4)(x− 2)= x+2 |− (x+ 2)

2x+ x2− 6x +8− x− 2= 0

2 x − 5x +6 =0

Найдём дискриминант:

2 D =(−5) − 4 ⋅1 ⋅6 =1

⌊ 5−-1 4 |⌈ x1 = 52+ 1= 2 =2 x2 =-2--= 3

$x= 2$ не соответствует ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения является только $x= 3.$

(b) Найдём область допустимый значений:

x⁄= 0

Решим уравнение:

4+ 5= 1-|⋅x2 x x2

4x+ 5x2 =1 |− 1

2 5x + 4x− 1= 0

Найдём дискриминант:

D =42− 4⋅5⋅(− 1) =16+ 20= 36

⌊ √-- | x1 = −-4−-36= −4-− 6 =− 1 |⌈ − 42+⋅5√36 −410+6 x2 =---2⋅5--= --10- =0,2

(c) Немного преобразуем уравнение:

-6− y-−-y+3-= -y+5- 1− y2 y− y2 y+ y2

---6-− y-- -y+3-- -y+-5- (1− y)(1+ y) − y(1− y) = y(1 +y)

Найдём область допустимых значений:

( |||{ 1− y ⁄= 0 ({ y ⁄= ±1 | 1+ y ⁄= 0 ⇐⇒ ( ||( y ⁄= 0 y ⁄= 0

Продолжим решать уравнение:

---6−-y---− -y+-3- = -y+5--|⋅y(y+ 1)(y− 1) (1− y)(1 +y) y(1− y) y(1+ y)

(6 − y)y− (y+ 3)(1+ y)=(y+ 5)(1− y)

2 2 2 2 6− y − 4y− 3− y =− 4y − y + 5|− (− 4y − y + 5)

−2y2− 4y +3+ y2+ 4y − 5 =0

−y2− 2= 0

−y2 = 2

y2 =− 2

y ∈∅

Ответ:

(a) $x = 3;$ (b) $x= 5;$ (c) $x∈ ∅.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#135767

Решите уравнение:

(a) $2x−1− 3x+2− 1= 0; 5 4$

(b) $x+23-+1 = x2x−21−09 ;$

(c) $2x2x+25x−−93 − xx−−13 =0.$

Источники: "Алгебра. 8 класс. Углубленный уровень. В 2-х частях. Учебник", Мордкович А. Г., Николаев Н. П. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Сначала выполним действия в левой части уравнения:

2x− 1 3x+ 2 4(2x− 1)− 5(3x+ 2)− 20 − 7x − 34 --5--− --4--− 1= --------20---------= ---20--

Далее имеем:

−7x−-34-= 0 20

−7x− 34 =0

−7x =34

x= − 34= −46 7 7

(b) Немного преобразуем уравнение:

--2- x2−-10 x +3 +1= x2− 9

2 x2− 10 x+-3 + 1− x2−-9-=0

Упростим левую его часть:

2 2 -2--+ 1− x2− 10-=-2--+ 1− --x-−-10---= x+ 3 x − 9 x+ 3 (x− 3)(x+ 3)

2(x-− 3)+-(x-− 3)(x-+3)−-(x2−-10) 2x− 6-+x2−-9−-x2+10 = (x− 3)(x+ 3) = (x− 3)(x+3) =

2x− 5 = (x−-3)(x+-3)

Мы пришли к уравнению $---2x−-5-- = 0. (x− 3)(x+ 3)$

Алгебраическая дробь $P- Q$ равна нулю тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

$∙$ числитель дроби равен нулю $(P = 0);$

$∙$ знаменатель дроби отличен от нуля $(Q ⁄=0).$ Воспользуемся этими условиями для решения полученного уравнения.

( ( ||| 2x= 5 ( 5 { 2x− 5 =0 ⇐⇒ { x− 3⁄= 0 ⇐⇒ { x= 2 ( (x − 3)(x +3)⁄= 0 |||( ( x⁄= ±3 x+ 3⁄= 0

Таким образом, получаем ответ:

x= 2,5

(c) Немного преобразуем уравнение:

2 2x-+25x−-3− x−-1= 0 x − 9 x− 3

2x2+-5x−-3−-(x−-1)(x+-3)= 0 (x− 3)(x+ 3)

Найдём область допустимых значений (ОДЗ):

({ x − 3 ⁄=0 ⇐ ⇒ x⁄= ±3 (x +3 ⁄=0

Приравняем нулю числитель дроби, стоящей в левой часть уравнения:

2x2+ 5x− 3− (x2− x+ 3x − 3)= 0

2x2+5x − 3− x2+ x− 3x +3= 0

x2+ 3x= 0

x(x+3)= 0

[ x = 0 [ x= 0 x +3 =0 ⇐⇒ x= −3

$x= −3$ не соответствует ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения является только $x= 0.$

Ответ:

(a) $6 x = −47;$ (b) $x =2,5;$ (c) $x= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#135768

Решите уравнение:

(a) $x3−36x= 0; 6+x$

(b) $4x23x−−x1 = 0;$

(c) $x−69x−x23= 0.$

Источники: "Алгебра. 8 класс. Углубленный уровень. В 2-х частях. Учебник", Мордкович А. Г., Николаев Н. П. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Алгебраическая дробь $P- Q$ равна нулю тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

$∙$ числитель дроби равен нулю $(P = 0);$

$∙$ знаменатель дроби отличен от нуля $(Q ⁄=0).$ Воспользуемся этими условиями для решения приведённых уравнений.

(a) Найдём область допустимых значений (ОДЗ):

6 +x ⁄=0 ⇐⇒ x ⁄=− 6

Чтобы найти корни уравнения, приравняем числитель дроби к нулю:

3 x − 36x =0

x(x2− 36)= 0

[ [ [ x = 0 ⇐ ⇒ x= 0 ⇐⇒ x= 0 x2 − 36= 0 x2 = 36 x= ±6

$x= −6$ не соответствует ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения являются только $x =0$ и $x =6.$

(b) Найдём область допустимых значений (ОДЗ):

1 2x− 1⁄= 0⇐ ⇒ 2x⁄= 1⇐⇒ x ⁄= 2

Чтобы найти корни уравнения, приравняем числитель дроби к нулю:

4x3− x= 0

x(4x2− 1)= 0

[ ⌊ ⌊ x =0 ⇐ ⇒ ⌈ x= 01 ⇐ ⇒ ⌈ x= 01 4x2− 1= 0 x2 = 4 x= ±2

$1 x= 2$ не соответствует ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения являются только $1 x= −2$ и $x =0.$

(c) Найдём область допустимых значений:

2 1 6x − 2⁄= 0⇐ ⇒ x⁄= 6 ⇐⇒ x⁄= 3

Чтобы найти корни уравнения, приравняем числитель дроби к нулю:

x − 9x3 = 0

2 x(1− 9x )= 0

[ x =0 ⌊ x= 0 ⌊ x= 0 2 ⇐ ⇒ ⌈ x2 = 1 ⇐ ⇒ ⌈ x= ±1 1− 9x = 0 9 3

$1 x= 3$ не соответствует ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения являются только $1 x= −3$ и $x =0.$

Ответ:

(a) $x = 0$ и $x =6;$ (b) $1 x= −2$ и $x =0;$ (c) $1 x =− 3$ и $x= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#135769

Решите уравнение:

(a) $33−4y= −5; 3y$

(b) $2y5y+9-= 14;$

(c) $2y−31= 6−4y.$

Источники: "Алгебра. 8 класс. Углубленный уровень. В 2-х частях. Учебник", Мордкович А. Г., Николаев Н. П. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Найдём область допустимых значений (ОДЗ):

3y ⁄= 0⇐ ⇒ y ⁄= 0

Решим уравнение:

33− 4y --3y--= −5 |⋅3y ⁄= 0

33− 4y = −5⋅3y

33− 4y = −15y |+15y− 33

11y =− 33

33 y = − 11-= −3

(b) Найдём область допустимых значений (ОДЗ):

2y+ 9⁄= 0⇐ ⇒ 2y ⁄= 9⇐⇒ y ⁄= 9 2

Решим уравнение:

-5y-- 1 2y+9 = 4 |⋅4(2y+ 9)⁄= 0

4⋅5y = 2y+ 9|− 2y

20y− 2y =9

18y =9

y =-9 = 1 18 2

(c) Решим уравнение:

2y− 1 6−-y 3 = 4 |⋅3⋅4

4(2y− 1)= 3(6 − y)

8y− 4=18− 3y |+ 3y +4

11y = 22

22 y = 11-= 2

Ответ:

(a) $y =− 3;$ (b) $1 y = 2;$ (c) $y =2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#135770

Раскройте скобки и решите уравнение:

(a) $39− ( 5-− x) = 7; 44 44 11$

(b) $(y+ 1105)− 415-=1,9.$

Источники: "Математика. 6 класс. В 2-х частях. Учебник", Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. И. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Раскроем скобки:

39 5 7 44 − (44 − x)= 11

39− -5+ x= -7 44 44 11

39− 5-+x = 7 44 11

17 x+ -//34-= -7 //4422 11

x+ 17= -7 22 11

Домножим обе части уравнения на $НОК(22,11)= 22$ и решим получившееся линейное уравнение:

x+ 17= -7 |⋅22 22 11

1 2 22x+ -17-⋅//22--=-7⋅//22- //221 //111

22x+ 17= 14

22x =14− 17

22x= −3

x =− 3- 22

(b) Раскроем скобки и решим получившееся линейное уравнение:

10 4- (y+ 15)− 15 = 1,9

10 4 y+ 15 − 15 = 1,9

y+ 10-− 4-=1,9 15

62 y+ -///15-= 1,9 5

∖⋅2 y+ -2--= 1,9 5

y+ 4-= 1,9 10

y+ 0,4= 1,9

y = 1,9− 0,4

y = 1,5

Ответ:

(a) $3- x = −22;$ (b) $y =1,5.$

08 Обыкновенные дроби → 08.10 Уравнения