Тема Десятичные дроби

02 Бесконечные периодические дроби

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела десятичные дроби

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119397

Соотнесите дроби $2, 5$ $3, 4$ $7-, 50$ $18-, 150$ $2, 3$ $-6, 11$ $-5, 65$ $4-- 147$ к группам:

а) Дроби можно записать в виде конечной десятичной.

б) Дробь нельзя записать в виде конечной десятичной.

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

а) Дроби можно записать в виде конечной десятичной: $2 =0,4; 5$ $3 = 0,75; 4$ $-7 =0,14; 50$ $-18-= 0,12 150$

б) Дробь нельзя записать в виде конечной десятичной (периодичная/ вообще не считается): $2 3 =0,(6);$ $6- 11 = 0,(54);$

$5- 65$ - много знаков после запятой; $4-- 147$ - много знаков после запятой.

Ответ:

а) Дроби можно записать в виде конечной десятичной: $2, 5$ $3, 4$ $7-, 50$ $18- 150$

б) Дробь нельзя записать в виде конечной десятичной: $2 3,$ $6- 11 ,$ $5- 65,$ $-4- 147$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#119399

Переведите дроби $-3, 11$ $2 , 3$ $5, 9$ $1 3$ в периодичные десятичные дроби.

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

$1)$ $3- 11$ Делим $3$ на $11$ столбиком:

| 3 |11------ -−0--|0,2727... 30 | -−22-| 80 | -−77-| 30 | -−-22-| 8 |

Значит, $3- 11 = 0,(27)$

$2)$ $2 3$ Делим $2$ на $3$ столбиком:

| 2 |3------ -−0---|0,666... 20 | -−18--| 20 | -−-18--| 2 |

Значит, $2 3 = 0,(6)$

$3)$ $5 9$ Делим $5$ на $9$ столбиком:

5 |9 −0 |0,555...-- --50--| −45 | ---50--| − 45 | ------| 5 |

Значит, $5= 0,(5) 9$

$4)$ $1 3$ Делим $1$ на $3$ столбиком:

1 |3 −0 |0,333...-- --10--| −9 | ---10--| | --−9--| 1 |

Значит, $1= 0,(3) 3$

Ответ:

$-3 =0,(27), 11$ $2 =0,(6), 3$ $5 =0,(5), 9$ $1 = 0,(3) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119401

Запишите периодическую дробь, равную данной по образцу $2= 0,222... 9$

$1)$ $79$ $2)$ $16$

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

1) $7 9$ –> Делим $7$ на $9$ столбиком:

7 |9 |------- -−0---|0,777... 70 | -−63--| 70 | -−-63--| 7 |

Значит, $7= 0,(7) 9$

2) $16$ –> Делим $1$ на $6$ столбиком:

| 1 |6------- -−0--|0,1666... 10 | -−-6-| 40 | -−36-| 40 | -−-36-| 4 |

Значит, $1= 0,1(6) 6$

Ответ:

$1)$ $7= 0,777...= 0,(7) 9$

$2)$ $1 6 = 0,1666...=0,1(6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#119402

Сравните числа: а) $1 9$ и $0,1$ б) $0,26$ и $4- 15$

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

а) $1 9$ и $0,1.$ Переведем $1 9$ в десятичную дробь:

1 |9 |------- -−0---|0,111... 10 | --−9--| 10 | --−9--| 1 |

$1= 0,(1)= 0,111... 9$

Сравниваем $0,111...$ и $0,1.$ Очевидно, что $0,111...>0,1.$ Следовательно, $19 >0,1$

б) $0,26$ и $-4 15$ . Переведем $4- 15$ в десятичную дробь:

4 |15 −0 |0,2666...- --40-| | -−30-| 100 | -−90-| 100 | -−-90-| 10 |

$4-= 0,2(6)=0,2666... 15$ Сравниваем $0,26$ и $0,2666...$ Очевидно, что $0,26< 0,2666....$ Следовательно, $0,26< 4-- 15.$

Ответ:

а) $1 > 0,1, 9$ б) $0,26 < 4- 15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#119403

Как правильно читать дробь $3,6(23)$ ?

а) Три целых и $623$ в периоде.

б) Три целых $6$ и $23$ в периоде.

в) Три целых $6$ десятых и $23$ в периоде.

г) Нет правильного ответа.

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Дробь $3,6(23)$ читается как "Три целых, шесть десятых и двадцать три в периоде". Это означает $3,6232323...$

Ответ:

в) Три целых $6$ десятых и $23$ в периоде.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#119405

Расположите дроби в порядке возрастания: $0,(3) ; 5 ; 1 ; 0,1(5) 6 9$

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Переведем все числа в десятичные дроби:

$0,(3)=0,333...$

$5 6 = 0,8333...$

$1 9 = 0,(1)= 0,111...$

$0,1(5)= 0,1555...$

Сравниваем полученные десятичные дроби:

$0,111...< 0,1555...<0,333...< 0,8333...$

Тогда, в порядке возрастания:

$1 5 9 < 0,1(5)< 0,(3) < 6$

Ответ:

$1 < 0,1(5) <0,(3)< 5 9 6$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#119406

Определите верные и неверные утверждения.

а) Десятичные дроби бывают конечные и бесконечные периодические.

б) Периодической называется дробь, в записи которой используется только одна цифра.

в) Любую десятичную дробь можно преобразовать в обыкновенную дробь.

г) Любую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную дробь (конечную).

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

а) Десятичные дроби бывают конечные, например, $0,5$ и бесконечные периодические, например, $0,(3).$ Утверждение верно.

б) Периодической называется дробь, у которой одна или несколько цифр повторяются бесконечно. Например, $0,(3)$ или $0,(12).$ Утверждение неверно.

в) Любую десятичную дробь можно преобразовать в обыкновенную. Например, $1 0,5= 2$ ; $1- 0,(3)= 3.$ Утверждение верно.

г) Не любую обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную. Например, $1 3$ нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Утверждение неверно.

Ответ:

а) Верно; б) Неверно; в) Верно; г) Неверно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#119450

Преобразуйте обыкновенные дроби в периодические, округлив их до десятых, и вычислите выражения. Ответ также округлите до десятых.

а) $7 9 + 5,65$

б) $3- 922 − 5,1$

в) $2 3 + 0,375$

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

а) $7 = 0,(7)=0,7777.... 9$ Так как цифра в сотых долях равна $7,$ что больше $5,$ округляем до десятых в большую сторону: $0,8.$

Тогда, $7 9 +5,65 ≈0,8+ 5,65= 6,45.$ Округляем до десятых: так как цифра в сотых долях равна $5,$ округляем до десятых в большую сторону: $6,5.$

б) $3- 922 = 9,1(36)= 9,13636....$ Так как цифра в сотых долях равна $3,$ что меньше $5,$ округляем до десятых в меньшую сторону: $9,1.$

Тогда, $3 922 − 5,1 ≈9,1− 5,1= 4,0.$

в) $2 3 = 0,(6)= 0,6666....$ Так как цифра в сотых долях равна $6,$ что больше $5,$ округляем до десятых в большую сторону: $0,7.$

Тогда, $2 3 +0,375 ≈0,7+ 0,375= 1,075.$ Округляем до десятых: так как цифра в сотых долях равна $7,$ что больше $5,$ округляем до десятых в большую сторону: $1,1.$

Ответ:

а) $6,5;$ б) $4,0;$ в) $1,1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#119451

Решите уравнение $χ + 2= 5,(6) 3$

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

$χ + 2 = 5,(6) 3$

$2 χ= 5,(6)− 3$

$χ= 5,666...− 0,666...$

$χ= 5$

Ответ:

$χ =5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#119453

Переведите бесконечные периодические дроби в обыкновенные:

а) $0,(3);$

б) $0,(02);$

в) $0,(45).$

Источники: Авторская, Арсенова Ю.А.

Показать ответ и решение

а) 0,(3) = x в периоде одна цифра, значит будем умножать на $10 :$

$10 ⋅x =3,(3)$

$10 ⋅x − x =3,(3)− 0,(3)$

$9⋅x= 3$

$3 1 x= 9 = 3$

б) 0,(02) = x в периоде две цифры, значит будем умножать на $100:$

$100⋅x= 2,(02)$

$100⋅x− x= 2,(02)− 0,(02)$

$99 ⋅x =2$

$2 x= 99$

в) 0,(45) = x в периоде две цифры, значит будем умножать на $100:$

$100⋅x= 45,(45)$

$100⋅x− x= 45,(45)− 0,(45)$

$99 ⋅x =45$

$x= 45= 5- 99 11$

Ответ:

а) $0,(3)= 1; 3$ б) $0,(02)= 2-; 99$ в) $0,(45)= 5- 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#119454

Переведите бесконечные периодические дроби в обыкновенные:

а) $0,1(6);$

б) $2,34(5);$

в) $1,025(12).$

Источники: Авторская, Арсенова Ю.А.

Показать ответ и решение

а) 0,1(6) = x Сначала умножим на $10,$ чтобы отделить непериодическую часть, затем на $10,$ чтобы сдвинуть период:

$x= 0,1(6)$

$10 ⋅x =1,(6)$

$100⋅x= 16,(6)$

$100⋅x− 10⋅x= 16,(6)− 1,(6)$

$90 ⋅x =15$

$15 1 x= 90 = 6$

б) 2,34(5) = x Сначала умножим на $100,$ чтобы отделить непериодическую часть, затем на $10,$ чтобы сдвинуть период:

$x= 2,34(5)$

$100⋅x= 234,(5)$

$1000⋅x= 2345,(5)$

$1000⋅x− 100 ⋅x = 2345,(5)− 234,(5)$

$900⋅x= 2111$

$x= 2911010-$

в) 1,025(12) = x Сначала умножим на $1000,$ чтобы отделить непериодическую часть, затем на $100,$ чтобы сдвинуть период:

$x= 1,025(12)$

$1000⋅x= 1025,(12)$

$100000⋅x= 102512,(12)$

$100000⋅x− 1000⋅x= 102512,(12)− 1025,(12)$

$99000⋅x= 101487$

$x= 101487 99000$

Ответ:

а) $0,1(6)= 1; 6$ б) $2,34(5)= 2111; 900$ в) $1,025(12)= 101487 99000$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#119456

Выполните действия с периодическими дробями $0,(21)+0,(372)$ (В ответе вы должны получить периодическую дробь)

Источники: Решу Урок (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Преобразуем периодические дроби в обыкновенные.

а) $0,(21)=x$ Умножим на $100,$ чтобы сдвинуть период:

$x= 0,(21)$

$100⋅x= 21,(21)$

$100⋅x− x= >21,(21)− 0,(21)$

$99 ⋅x =21$

$21 x= 99$

б) $0,(372)= x$ Умножим на $1000,$ чтобы сдвинуть период:

$x= 0,(372)$

$1000⋅x= 372,(372)$

$1000⋅x− x= 372,(372)− 0,(372)$

$999⋅x= 372$

$372 x= 999-$

Теперь сложим полученные дроби:

$0,(21)+ 0,(372)= 21-+ 372-= 21-⋅10101+-372-⋅1001= 212121+372372= 584493 99 999 999999 999 999 999999$

Почему мы взяли именно $999999$ как общий знаменатель? В условии сказано, что в ответе нужно получить периодическую дробь, а она будет тогда, когда в знаменателе будут девятки. Поэтому методом подбора находили общий знаменатель:

$999:$ на него не поделится $99.$

Если общий знаменатель будет $9999:$ то нацело на него не разделится $999.$

Если общий знаменатель будет $99999:$ то нацело на него не разделится $999.$

Если общий знаменатель будет $999999:$ то нацело на него разделятся и $999,$ и $99.$

Ответ: $584493= 0,(584493) 999999$

Ответ:

$0,(584493)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#119461

Выполните действия с периодическими дробями $1,(73)− 0,(487)$ (В ответе вы должны получить периодическую дробь)

Источники: Решу Урок (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Преобразуем периодические дроби в обыкновенные.

а) $1,(73)=x$ Умножим на $100,$ чтобы сдвинуть период:

$x= 1,(73)$

$100⋅x= 173,(73)$

$100⋅x− x= 173,(73)− 1,(73)$

$99 ⋅x =173$

$173 x= 99-$

б) $0,(487)= x$ Умножим на $1000,$ чтобы сдвинуть период:

$x= 0,(487)$

$1000⋅x= 487,(487)$

$1000⋅x− x= 487,(487)− 0,(487)$

$999⋅x= 487$

$487 x= 999-$

Теперь выполним вычитание:

$1,(73)− 0,(487)= 173-− 487= 173⋅10101− 487⋅1001 = 1747473-− 487487= 1259986 99 999 999999 999999 999999$

Представим результат в виде периодической дроби, выполнив деление столбиком или используя калькулятор:

$1259-986-=1,2599872599872...= 1,(259987) 999999$

Получили периодическую дробь.

Ответ: $1,(259987)$

Ответ:

$1,(259987)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#119462

Выполните действия с периодическими дробями $0,8(5)+0,1(6)$ (В ответе вы должны получить периодическую дробь)

Источники: Решу Урок (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Преобразуем периодические дроби в обыкновенные.

а) $0,8(5)=x$ Сначала умножим на $10,$ чтобы отделить непериодическую часть, затем на $10,$ чтобы сдвинуть период:

$x= 0,8(5)$

$10 ⋅x =8,(5)$

$100⋅x= 85,(5)$

$100⋅x− 10⋅x= 85,(5)− 8,(5)$

$90 ⋅x =77$

$77 x= 90$

б) $0,1(6)=x$ Сначала умножим на $10,$ чтобы отделить непериодическую часть, затем на $10,$ чтобы сдвинуть период:

$x= 0,1(6)$

$10 ⋅x =1,(6)$

$100⋅x= 16,(6)$

$100⋅x− 10⋅x= 16,(6)− 1,(6)$

$90 ⋅x =15$

$x= 1950 = 16$

Теперь сложим полученные дроби:

$0,8(5)+ 0,1(6)= 77+ 1= 77+-15= 92= 46 =1-1 90 6 90 90 45 45$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $1-= 0,0(2) 45$ Тогда, $1-1 =1,0(2) 45$

Ответ: $1,0(2)$

Ответ:

$1,0(2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#119463

Выполните действия с периодическими дробями $0,(4)+ 2,(5)+0,32(36)$ (В ответе вы должны получить периодическую дробь)

Источники: Решу Урок (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Преобразуем периодические дроби в обыкновенные.

а) $0,(4)= x$ Умножим на $10,$ чтобы сдвинуть период:

$x= 0,(4)$

$10 ⋅x =4,(4)$

$10 ⋅x − x =4,(4)− 0,(4)$

$9⋅x= 4$

$4 x= 9$

б) $2,(5)= x$ Умножим на $10,$ чтобы сдвинуть период:

$x= 2,(5)$

$10 ⋅x =25,(5)$

$10 ⋅x − x =25,(5)− 2,(5)$

$9⋅x= 23$

$23 x= 9-$

в) $0,32(36)= x$ Сначала умножим на $100,$ чтобы отделить непериодическую часть, затем на $100,$ чтобы сдвинуть период:

$x= 0,32(36)$

$100⋅x= 32,(36)$

$10000⋅x= 3236,(36)$

$10000⋅x− 100⋅x =3236,(36)− 32,(36)$

$9900⋅x= 3204$

$x= 3204-= 801-= 267-= 89- 9900 2475 825 275$

Теперь сложим полученные дроби:

$0,(4)+ 2,(5)+ 0,32(36)=$

$= 4+ 23+ -89-= 4+-23+ -89-= 27+ -89-= 3+ 89-= 3⋅275+89-= 825+-89= 914 9 9 275 9 275 9 275 275 275 275 275$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $914= 3,32363636... 275$

Запишем в виде периодической дроби: $914 275-= 3,32(36)$

Ответ:

$3,32(36)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#119464

Выполните действия с периодическими дробями $0,125(81)+ 0,25(72).$ Воспользуетесь правилом сложения "в столбик".

Источники: Решу Урок (см. surl.li)

Показать ответ и решение

0, 1 2 5 8 1 8 1 8 0, 2 5 7 2 7 2 7 2 --------------------------------- 0, 3 8 3 0 9 0 9 0

Ответ:

$0,383(09)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#119465

Выполните действия с периодическими дробями $0,375(54)+ 0,75(63).$ Воспользуетесь правилом сложения "в столбик".

Источники: Решу Урок (см. surl.li)

Показать ответ и решение

0, 3 7 5 5 4 5 4 5 4 0, 7 5 6 3 6 3 6 3 6 ------------------------------------ 1, 1 3 1 9 0 9 0 9 0

Следовательно, $0,375(54)+0,75(63)= 1,131(90)$

Ответ:

$1,131(90)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#119466

Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите её период:

а) $8 9$ б) $8- 33$ в) $-5 37$ г) $17 36$

Источники: Все контрольные РФ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

а) $8 9$

Выполним деление столбиком: $8÷ 9= 0,8888...$ Период: $8$

Ответ: $0,(8)$

б) $8- 33$

Выполним деление столбиком: $8÷ 33 =0,242424...$ Период: $24$

Ответ: $0,(24)$

в) $5 37$

Выполним деление столбиком: $5÷ 37 =0,135135135...$ Период: $135$

Ответ: $0,(135)$

г) $17 36$

Выполним деление столбиком: $17÷36 =0,472222...$ Период: $2$

Ответ: $0,47(2)$

Ответ:

а) $0,(8);$ б) $0,(24);$ в) $0,(135);$ г) $0,47(2);$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#119467

Сравните дроби, записав предварительно обыкновенные дроби в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби:

$1)$ $1 9$ и $0,1;$ $2)$ $14 25$ и $-9 17$ $3)$ $1,6$ и $2 13$

Источники: Все контрольные РФ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

1) $1 9$ и $0,1$

$1= 0,(1) 9$ — > $0,1111...> 0,1$

Ответ: $1 >0,1 9$

2) $14 25$ и $9- 17$

$14= 0,56 25$ $9-≈ 0,5294 17$

$0,56> 0,5294$

Ответ: $14> -9 25 17$

3) $1,6$ и $12 3$

$12= 1+ 2= 1+ 0,(6)= 1,(6) 3 3$

$1,66666...> 1,6$ —> $12> 1,6 3$ —> $1,6< 12 3$

Ответ: $1,6 <12 3$

Ответ:

$1)$ $1> 0,1; 9$ $2)$ $14> -9; 25 17$ $3)$ $1,6 <12; 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#119468

Запишите период десятичной дроби $2,31717...$

$1)$ $317$

$2)$ $17$

$3)$ $171$

$4)$ другой ответ

Источники: Тест по теме: Бесконечные периодические десятичные дроби (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Период десятичной дроби - это повторяющаяся группа цифр, которая следует после некоторого знака после запятой. В десятичной дроби $2,31717...$ повторяется группа цифр $“17”.$ Поэтому периодом является $“17”.$

Ответ:

$2)$ $17$